# RH-W-13：跨正則性延拓與規範參數

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-23  
**狀態：** 有限維嚴格證書完成；不構成 RH 證明或反例

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## 摘要

RH-W-12 在 degree-$1$ 與 degree-$3$ B-spline 字典中發現跨正則性抵消模態。本輪原計畫沿 $(h,d,\alpha)$ 延拓，其中 $\alpha$ 控制兩通道相對權重。嚴格分析首先指出：若 $\alpha$ 只是把完整 $m=3$ 通道乘上一個非零常數，它只是可逆換基底，不會改變廣義譜。因此 $\alpha$ 是規範／預條件參數，不是真正的數學延拓方向。

本輪以兩通道相對平移 $\sigma$ 取代 $\alpha$，並建立一致參數的探索器。探索器曾因只量化 $M$、未同步量化 Gram 矩陣 $G$，產生假的負廣義特徵值。錯誤修正後，選出

$$
h=\frac{1797}{10000},\qquad d=\frac{893}{5000},\qquad \sigma=0,
$$

並以 jump-resolved 阿基米德尾界建立十維真實 Weil 區間矩陣。最終 exact verifier 證明

$$
\boxed{10^{-8}<\lambda_{\min}(M,G)<5\times10^{-8}}.
$$

這是一個嚴格為正的近零有限維譜帶，不是 RH 證明，也不是 RH 反例。

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## 1. 混合字典

兩個通道為

$$
v_j^{(1)}(x)=h^{-1/2}\beta_1\!\left(\frac{x-t_j}{h}\right),
$$

$$
v_j^{(3)}(x)=h^{-1/2}\beta_3\!\left(\frac{x-t_j}{h}\right),
$$

其中

$$
t_j=\left(j-2\right)d,\qquad j=0,\dots,4.
$$

相關核分別為

$$
\beta_1*\beta_1=\beta_3,
$$

$$
\beta_1*\beta_3=\beta_5,
$$

$$
\beta_3*\beta_3=\beta_7.
$$

因此完整矩陣為

$$
M=
\begin{pmatrix}
M^{11}&M^{13}\\
M^{31}&M^{33}
\end{pmatrix},
\qquad
G=
\begin{pmatrix}
G^{11}&G^{13}\\
G^{31}&G^{33}
\end{pmatrix}.
$$

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## 2. $\alpha$ 不是延拓方向

令

$$
T_\alpha=\operatorname{diag}(I_5,\alpha I_5),\qquad \alpha\ne0.
$$

若只是把 $m=3$ 通道整體乘上 $\alpha$，則

$$
M_\alpha=T_\alpha^TMT_\alpha,
$$

$$
G_\alpha=T_\alpha^TGT_\alpha.
$$

對任意 $y\ne0$，令 $c=T_\alpha y$，則

$$
\frac{y^TM_\alpha y}{y^TG_\alpha y}
=
\frac{c^TMc}{c^TGc}.
$$

同時

$$
\det(M_\alpha-\lambda G_\alpha)
=
\det(T_\alpha)^2\det(M-\lambda G).
$$

所以廣義特徵值集合完全不變：

$$
\boxed{\operatorname{spec}(M_\alpha,G_\alpha)=\operatorname{spec}(M,G)}.
$$

因此 $\alpha$ 可改善或惡化座標條件數，但不能產生新數學子空間。

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## 3. 真正的延拓參數 $\sigma$

改令兩個通道相對平移：

$$
t_j^{(1)}=t_j-\frac\sigma2,
$$

$$
t_j^{(3)}=t_j+\frac\sigma2.
$$

此時 self-block 不變，但 cross-block 中心改為

$$
(t_i-t_j)-\sigma,
$$

因此 $\sigma$ 真正改變字典張成的子空間。

由反射對稱，廣義譜對 $\sigma$ 為偶函數：

$$
\lambda_k(\sigma)=\lambda_k(-\sigma).
$$

探索掃描顯示，在本輪選定的 $(h,d)$ 附近，$\sigma=0$ 是採樣範圍內的局部低點；這只是探索結論，不是全域最小定理。

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## 4. 一致參數原則

廣義特徵值問題是

$$
Mc=\lambda Gc.
$$

若 $M$ 使用參數 $\theta_q$，而 $G$ 使用另一組極接近的參數 $\theta$，計算的其實不是同一個字典：

$$
M(\theta_q)c=\lambda G(\theta)c.
$$

在 Gram 矩陣接近線性依賴時，這種錯配會被大幅放大。

本輪錯誤案例：

- 原始參數：$(0.17919521,0.17823161,0.01146941)$；
- $M$ 的快取鍵量化為：$(0.179195,0.178232,0.011469)$；
- $G$ 卻仍使用未量化值；
- 錯誤輸出：$-3.3206\times10^{-7}$；
- 一致量化後：$+8.7636\times10^{-8}$；
- 80 位獨立檢查：$+8.7621\times10^{-8}$。

因此固定規則為：

> 任何廣義譜計算都必須先生成單一 canonical parameter object，再由同一物件同時建立 $M$ 與 $G$。

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## 5. 選定的有理腔室

最終嚴格候選為

$$
h=\frac{1797}{10000}=0.1797,
$$

$$
d=\frac{893}{5000}=0.1786,
$$

$$
\frac dh=\frac{1786}{1797}\approx0.9938786867,
$$

$$
\sigma=0.
$$

最大相關支撐半徑為

$$
4d+4h=\frac{3583}{2500}=1.4332<\log5.
$$

所以完整 von Mangoldt 非零索引正好是

$$
\boxed{2,3,4}.
$$

其中 $4=2^2$ 必須作為獨立 prime-power 層處理。

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## 6. exact 譜夾

區間矩陣的最大列誤差為

$$
\epsilon
\approx2.9107439530551\times10^{-12}.
$$

純有理 $LDL^T$ 驗證器證明

$$
C-10^{-8}G-\epsilon I\succ0.
$$

所以

$$
\lambda_{\min}(M,G)>10^{-8}.
$$

另有整數 witness

$$
\begin{aligned}
c={}&(68190193,137154794,187700175,137154794,68190193,\\
&-3577963013,-7569824004,-10000000000,-7569824004,-3577963013)^T,
\end{aligned}
$$

滿足

$$
\frac{c^TMc}{c^TGc}
\in
[3.9958420713,3.9959698087]\times10^{-8}.
$$

因此

$$
\boxed{10^{-8}<\lambda_{\min}(M,G)<5\times10^{-8}}.
$$

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## 7. 通道抵消與算術抵消

對上述 witness，正規化通道分解約為

$$
Q_{11}\approx2.55526\times10^{-7},
$$

$$
2Q_{13}\approx-5.12593\times10^{-7},
$$

$$
Q_{33}\approx2.97025\times10^{-7}.
$$

三者相加只剩約

$$
3.9959\times10^{-8}.
$$

prime-power 貢獻則約為

$$
P_2\approx-0.1161577733,
$$

$$
P_3\approx-0.00115199678,
$$

$$
P_4\approx-6.87721\times10^{-10}.
$$

因此 prime-free 背景必須以約

$$
+0.1173098107
$$

抵消完整算術區塊。近零值同時包含：

1. $m=1$ 與 $m=3$ 通道間的 cross-block 抵消；
2. prime-free 背景與 prime-power 區塊間的算術抵消。

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## 8. 隔離通道

exact verifier 另證明

$$
\lambda_{\min}^{(m=1)}>4\times10^{-4},
$$

$$
\lambda_{\min}^{(m=3)}>10^{-7}.
$$

所以 mixed gap 嚴格低於任一已證明的 isolated lower scale。尤其

$$
\lambda_{\min}^{\mathrm{mixed}}<5\times10^{-8}<10^{-7}<\lambda_{\min}^{(m=3)}.
$$

這支持「跨正則性低譜帶」不是單一通道低模態的直接複製。

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## 9. 結論與限制

本輪完成：

- 證明 $\alpha$ 通道尺度是規範參數；
- 引入真正延拓方向 $\sigma$；
- 發現並排除一個假的負 Weil 候選；
- 建立 jump-resolved 阿基米德尾界；
- 嚴格證明十維 mixed gap 位於 $(10^{-8},5\times10^{-8})$。

但仍只有

$$
\boxed{\text{有限維正性與近零譜帶}\centernot\Longrightarrow RH}.
$$

沒有找到真實負 Weil witness。

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## 參考背景

- E. Bombieri, *Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis*.
- M. Suzuki, *Weil's quadratic form via the screw function*, arXiv:2606.09096, 2026.
- A. Groskin, *A finite Guinand–Weil dictionary and archimedean tail order for the truncated Weil quadratic form*, arXiv:2607.02828, 2026.