# RH-W-12：混合階字典與交叉抵消模態 v0.1

- 節點：`RH-W-12-MIXED-ORDER-DICTIONARY`
- 日期：2026-07-23
- 狀態：第一個真實 $m=1/3$ 混合階 Weil 字典已完成；十維區間矩陣與 exact 證書已建立
- 結論邊界：有限維正性不推出 RH

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## 1. 研究問題

`RH-W-11` 證明，在 B-spline 家族中，較低階核對 prime boundary 較敏感，但阿基米德尾界較難；較高階核較容易形成嚴格證書，卻把新算術層平滑成高階小量。

本輪不再要求單一核同時承擔兩種互相衝突的任務，而把兩族基底放進同一個測試空間：

$$
v^{(1)}_j(x)=h^{-1/2}\beta_1\!\left(\frac{x-t_j}{h}\right),
$$

$$
v^{(3)}_j(x)=h^{-1/2}\beta_3\!\left(\frac{x-t_j}{h}\right).
$$

由 centered cardinal B-spline 的卷積閉合：

$$
\beta_m*\beta_n=\beta_{m+n+1},
$$

矩陣中的三種相關核為：

$$
1\times1\longmapsto\beta_3,
$$

$$
1\times3\longmapsto\beta_5,
$$

$$
3\times3\longmapsto\beta_7.
$$

所以同一個 Hermitian 矩陣同時包含 prime layer 的三種啟動階數：

$$
\varepsilon^3,\qquad \varepsilon^5,\qquad \varepsilon^7.
$$

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## 2. 第一個嚴格腔室

本輪固定：

$$
h=\frac3{20},\qquad d=\frac9{40},\qquad N=5
$$

每個通道各有五個平移：

$$
t_j=\left(j-2\right)d,\qquad j=0,1,2,3,4.
$$

總維度為：

$$
2N=10.
$$

完整矩陣具有 block Toeplitz 結構：

$$
M=
\begin{pmatrix}
M^{11}&M^{13}\\
M^{31}&M^{33}
\end{pmatrix},
$$

Gram 矩陣同樣為：

$$
G=
\begin{pmatrix}
G^{11}&G^{13}\\
G^{31}&G^{33}
\end{pmatrix}.
$$

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## 3. 多距離算術感測圖

因三種相關核的半支撐寬分別為：

$$
2h,\qquad3h,\qquad4h,
$$

相同 lag 不會擁有相同的 prime-power 視野。

### $1\times1$ block：degree 3

| lag | 活化 prime powers |
|---:|---|
| 0 | 無 |
| 1 | 無 |
| 2 | $2$ |
| 3 | $2$ |
| 4 | $2,3$ |

### $1\times3$ block：degree 5

| lag | 活化 prime powers |
|---:|---|
| 0 | 無 |
| 1 | 無 |
| 2 | $2$ |
| 3 | $2,3$ |
| 4 | $2,3$ |

### $3\times3$ block：degree 7

| lag | 活化 prime powers |
|---:|---|
| 0 | 無 |
| 1 | $2$ |
| 2 | $2$ |
| 3 | $2,3$ |
| 4 | $2,3,4$ |

最大相關半徑為：

$$
4d+4h=\frac32<\log5.
$$

因此所有 $n\ge5$ 的 von Mangoldt 項都被嚴格排除，完整算術集合正好是：

$$
\boxed{2,3,4}.
$$

這裡的 $4=2^2$ 必須作為獨立 prime-power layer 處理；它的係數是：

$$
\frac{\Lambda(4)}{\sqrt4}=\frac{\log2}{2},
$$

但取樣距離是 $\log4$，不能與 $n=2$ 合併。

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## 4. 三種阿基米德尾界同時工作

對 correlation degree $r\in\{3,5,7\}$，令：

$$
F(x)=f(x)+f(-x).
$$

分部積分保留所有可用偶數階導數：

### degree 3

$$
I(a)=\frac{F(0)}a+\frac{F''(0)}{a^3}+R_4(a),
$$

$$
|R_4(a)|\le\frac{B_3}{a^4}.
$$

### degree 5

$$
I(a)=\frac{F(0)}a+\frac{F''(0)}{a^3}+\frac{F^{(4)}(0)}{a^5}+R_6(a).
$$

### degree 7

$$
I(a)=\frac{F(0)}a+\frac{F''(0)}{a^3}+\frac{F^{(4)}(0)}{a^5}+\frac{F^{(6)}(0)}{a^7}+R_8(a).
$$

本輪分別使用：

$$
K_3=900,\qquad K_5=320,\qquad K_7=180.
$$

結果反映正則性成本：

- degree-$3$ lag interval 寬度約 $5.08\times10^{-8}$；
- degree-$5$ 約 $2.46\times10^{-10}$；
- degree-$7$ 約 $3.77\times10^{-12}$。

低階通道確實需要更大的尾項預算。

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## 5. 單一通道與混合通道的差異

探索性廣義特徵值僅用於解釋，不參與 proof path：

$$
\lambda_{\min}^{(1)}\approx6.0218\times10^{-2},
$$

$$
\lambda_{\min}^{(3)}\approx4.9910\times10^{-3},
$$

$$
\lambda_{\min}^{\mathrm{mixed}}\approx9.7385\times10^{-4}.
$$

重要的現象不是低階通道單獨產生更低譜值。恰好相反：

$$
\lambda_{\min}^{(1)}>\lambda_{\min}^{(3)}>\lambda_{\min}^{\mathrm{mixed}}.
$$

也就是說，新的低模態來自：

$$
\boxed{m=1\text{ 與 }m=3\text{ 的交叉耦合}}
$$

而不是任何一個孤立核。

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## 6. exact 譜夾證書

### 6.1 混合空間下界

純有理 verifier 證明：

$$
C-\frac1{2000}G-\epsilon I\succ0,
$$

其中最大列誤差為：

$$
\epsilon\approx1.53285\times10^{-7}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\lambda_{\min}(M,G)>\frac1{2000}
}.
$$

### 6.2 混合空間上界 witness

對整數向量：

$$
c=
(-1198150,-2003160,-2002921,-2003160,-1198150,
$$

$$
5477016,10000000,9638591,10000000,5477016)^T,
$$

區間 verifier 證明：

$$
c^TMc<\frac1{1000}c^TGc.
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac1{2000}
<\lambda_{\min}^{\mathrm{mixed}}
<\frac1{1000}
}.
$$

### 6.3 隔離通道下界

同一 verifier 另外證明：

$$
\boxed{
\lambda_{\min}^{(1)}>\frac1{20}
},
$$

$$
\boxed{
\lambda_{\min}^{(3)}>\frac1{250}
}.
$$

因此存在嚴格分離：

$$
\lambda_{\min}^{\mathrm{mixed}}
<\frac1{1000}
<\frac1{250}
<\lambda_{\min}^{(3)},
$$

而且：

$$
\lambda_{\min}^{(1)}>\frac1{20}.
$$

這不是浮點排序，而是 exact rational certificate。

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## 7. 交叉抵消模態

對上述有理 witness，以 $c^TGc$ 正規化後：

$$
\frac{Q_{11}(c_1)}{c^TGc}
\in
[0.00663962797,0.00663965873],
$$

$$
\frac{2Q_{13}(c_1,c_3)}{c^TGc}
\in
[-0.01378995092,-0.01378994947],
$$

$$
\frac{Q_{33}(c_3)}{c^TGc}
\in
[0.00812415339,0.00812415345].
$$

兩個 self-block 都嚴格為正：

$$
Q_{11}>0,\qquad Q_{33}>0,
$$

但 cross-block 嚴格為負：

$$
2Q_{13}<0.
$$

它抵消約：

$$
93.40\%
$$

的 self-energy，最後留下：

$$
\frac{c^TMc}{c^TGc}
\in
[0.000973830446,0.000973862704].
$$

因此這個低模態可命名為：

$$
\boxed{\text{cross-regularity cancellation mode}}
$$

或中文：

$$
\boxed{\text{跨正則性抵消模態}}.
$$

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## 8. prime-power 對 witness 的作用

在同一有理 witness 上，各算術層的正規化貢獻為：

$$
P_2\approx-0.30391314387,
$$

$$
P_3\approx-0.02581098712,
$$

$$
P_4\approx-4.19481\times10^{-6}.
$$

這些數字不能單獨解讀為完整譜值，因為端點、常數與阿基米德背景同時提供大量正補償；它們只表示該 witness 如何讀取不同的算術距離層。

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## 9. 結論邊界

本輪證明的是：

1. mixed-order B-spline 字典的 Gram 矩陣 exact 正定；
2. 完整顯式公式十維區間矩陣 exact 正定；
3. 混合譜底被 exact 夾在 $1/2000$ 與 $1/1000$；
4. 兩個隔離通道的譜底都嚴格高於混合譜底；
5. 有理 witness 上的 cross-block 貢獻嚴格為負並形成近抵消。

本輪沒有證明：

- 任意維度或完備極限中的 Weil positivity；
- RH；
- 混合核一定比單核更接近任何全域極值；
- 跨正則性抵消必然與 zeta 零點的特定結構一一對應。

正確結論是：

$$
\boxed{
\text{混合正則性不是通道拼接，而會生成單一通道不存在的新譜模態。}
}
$$