# RH-W-11：核靈敏度與正則性對偶 v0.1

- 計畫：Riemann Hypothesis GAP Engineering
- 節點：`RH-W-11-KERNEL-SENSITIVITY-ORDER`
- 日期：2026-07-23
- 原始研究構想：Neo.K
- 數學工程、推導與實作：Aletheia（GPT-5.6 Thinking）
- 狀態：B-spline 核族的啟動階數、正則性與保守尾界階數已閉合；不構成 RH 證明

---

## 0. 本輪問題

`RH-W-10` 發現，使用 cubic B-spline 基底時，其自相關是 degree-$7$ B-spline；因此 prime-$3$ 在支撐邊界後只以

$$
\mu_+^7
$$

出現。這使算術門檻極度平滑，但也把局部訊號壓到約 $10^{-28}$。

本輪不再把 cubic 核視為固定選擇，而研究整個 centered cardinal B-spline 族：

1. 核的階數如何決定 prime layer 的出現階數？
2. 光滑性如何影響 Fourier 衰減與阿基米德尾界？
3. 是否存在一個單一最佳核？
4. 不同階核能否組成一個分級感測字典？

---

## 1. centered cardinal B-spline 族

以端點取平均的中心盒函數為

$$
\beta_0(x)=\mathbf 1_{[-1/2,1/2]}(x),
$$

並遞迴定義

$$
\beta_m=\underbrace{\beta_0*\cdots*\beta_0}_{m+1\text{ 次}}.
$$

因此：

$$
\operatorname{supp}(\beta_m)
=
\left[-\frac{m+1}{2},\frac{m+1}{2}\right],
$$

且 $\beta_m$ 是 degree-$m$ 分段多項式。對 $m\ge1$，

$$
\beta_m\in C^{m-1}.
$$

它的截斷冪表示為

$$
\beta_m(x)
=
\frac1{m!}
\sum_{k=0}^{m+1}
(-1)^k{m+1\choose k}
\left(x+\frac{m+1}{2}-k\right)_+^m.
$$

在最左側第一片段，若 $0<\varepsilon<1$，則

$$
\boxed{
\beta_m\left(-\frac{m+1}{2}+\varepsilon\right)
=
\frac{\varepsilon^m}{m!}
}.
$$

這個第一片段公式就是 prime boundary 啟動律的來源。

---

## 2. 縮放平移基底與相關閉合

定義 $L^2$ 正規化基底

$$
v_{m,h,t}(x)
=
h^{-1/2}
\beta_m\left(\frac{x-t}{h}\right),
\qquad h>0.
$$

令

$$
\widetilde v(x)=\overline{v(-x)}.
$$

由 B-spline 的卷積定義立即得到：

$$
\boxed{
\beta_m*\beta_n=\beta_{m+n+1}
}.
$$

所以同尺度交叉相關為

$$
\boxed{
(v_{m,h,t}*\widetilde v_{n,h,s})(x)
=
\beta_{m+n+1}
\left(
\frac{x-(t-s)}h
\right)
}.
$$

令

$$
r=m+n+1.
$$

則交叉相關具有：

$$
\deg=r,
\qquad
C^{r-1}\text{ 正則性},
\qquad
\text{支撐半寬 }\frac{r+1}{2}h.
$$

因此不同核階數之間並不破壞封閉性；它們只把相關核送到另一個已知 B-spline 階數。

---

## 3. 一般 prime-power 軟啟動律

考慮某個 prime power $n=p^k$ 的負對數樣本

$$
-\log n.
$$

假設它剛進入某個交叉相關支撐的左端點，並令無因次穿透深度為

$$
\varepsilon
=
\frac{\mu_+}{h},
\qquad
0<\varepsilon<1.
$$

其中 $\mu$ 是樣本超過支撐邊界的實際距離。由第一片段公式，對應離散算術矩陣元素為

$$
\boxed{
p_{n;m,n}(\varepsilon)
=
-\frac{\Lambda(n)}{\sqrt n}
\frac{\varepsilon^{m+n+1}}{(m+n+1)!}
}.
$$

這裡 $\Lambda(n)=\log p$。

因此交叉核的 prime activation order 是

$$
\boxed{r=m+n+1}.
$$

在邊界上，其正則性是

$$
\boxed{
C^{r-1}\text{ 但非 }C^r
}.
$$

### 自相關特例

取 $m=n$，得到

$$
\boxed{
r=2m+1}.
$$

因此：

| 基底 degree $m$ | 自相關 degree | prime 啟動階數 | 邊界正則性 |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | 1 | 1 | $C^0$，非 $C^1$ |
| 1 | 3 | 3 | $C^2$，非 $C^3$ |
| 2 | 5 | 5 | $C^4$，非 $C^5$ |
| 3 | 7 | 7 | $C^6$，非 $C^7$ |
| 4 | 9 | 9 | $C^8$，非 $C^9$ |
| 5 | 11 | 11 | $C^{10}$，非 $C^{11}$ |

`RH-W-10` 使用的 cubic 基底正是 $m=3$，所以其啟動階數為 $7$。

---

## 4. 靈敏度—正則性對偶

B-spline 的 Fourier 變換在中心化慣例下滿足

$$
\widehat{\beta_m}(\xi)
=
\left(
\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}
\right)^{m+1}
$$

（差一個依 Fourier 慣例而定的相位或尺度不影響衰減次序）。

所以 $m,n$ 交叉相關的 Fourier 衰減為

$$
\boxed{
|\xi|^{-(m+n+2)}
=|\xi|^{-(r+1)}
}.
$$

另一方面，prime boundary 的局部振幅是

$$
\boxed{
O(\varepsilon^r)
}.
$$

同一個整數 $r$ 同時控制：

- 算術門檻被壓平的階數；
- 相關核的正則性；
- Fourier 衰減；
- 本工程逐項 Laplace 尾界可取得的保守餘項階數。

若在第一個局部多項式片段保留可用導數，則單一 Laplace 項的餘項可控制為

$$
O(a^{-(r+1)}),
$$

而對 $a_k\asymp k$ 的尾和得到保守階數

$$
\boxed{
O(K^{-r})
}.
$$

所以提高核階數同時造成兩件相反的事：

$$
\text{prime boundary 訊號更弱},
$$

但

$$
\text{阿基米德／頻域尾更容易嚴格控制}.
$$

這裡不存在免費的光滑性。

---

## 5. 逐階壓縮比

對自相關族，令

$$
a_m(\varepsilon)
=
\frac{\Lambda(n)}{\sqrt n}
\frac{\varepsilon^{2m+1}}{(2m+1)!}.
$$

則相鄰兩階的精確比值為

$$
\boxed{
\frac{a_{m+1}}{a_m}
=
\frac{\varepsilon^2}{(2m+2)(2m+3)}
}.
$$

當 $\varepsilon\ll1$ 時，每增加一個基底 degree，不只是多壓兩次 $\varepsilon$，還要再除以兩個增長中的整數。

因此高階核在 prime boundary 附近的靈敏度下降非常快。

---

## 6. 對 `RH-W-10` 穿透深度的嚴格比較

沿用 `RH-W-10` 邊界後參數：

$$
h=\frac{87}{400},
\qquad
 d_+=\frac{73189}{320000}.
$$

相對 cubic 邊界的無因次穿透深度為

$$
\boxed{
\varepsilon
\approx
4.7510957190946486\times10^{-4}
}.
$$

在相同 $\varepsilon$ 下，prime-$3$ 局部元素的嚴格區間中點量級為：

| $m$ | 啟動階數 | $|p_3|$ |
|---:|---:|---:|
| 0 | 1 | $3.0135444750\times10^{-4}$ |
| 1 | 3 | $1.1337411637\times10^{-11}$ |
| 2 | 5 | $1.2795918927\times10^{-19}$ |
| 3 | 7 | $6.8771698359\times10^{-28}$ |
| 4 | 9 | $2.1560797142\times10^{-36}$ |
| 5 | 11 | $4.4244540443\times10^{-45}$ |

特別地：

$$
\boxed{
\frac{|p_3|_{m=1}}{|p_3|_{m=3}}
>
10^{16}
}.
$$

實際計算約為：

$$
1.64856\times10^{16}.
$$

所以 `RH-W-10` 看見的 $10^{-28}$ 並不是 prime-$3$ 本身必然微弱，而是 cubic 自相關的七階軟啟動把它壓低了十六個數量級以上。

---

## 7. admissibility 邊界

Bombieri／Clay 使用的 $\mathcal W$ 類允許函數在有限多點具有第一類不連續，並要求其餘區域連續可微及適當衰減。緊支撐分段多項式 B-spline 在乘法座標轉換後仍屬此廣義工作類。

因此：

- $m=0$ 可作為廣義 $\mathcal W$ 感測核，但不屬 $C_c^\infty$ 核心，且必須鎖定端點平均慣例；
- $m=1$ 是連續分段線性核，導數只有有限跳躍；
- $m\ge2$ 提供逐步更高正則性；
- 所有這些核都仍需使用完整端點版 Weil 二次型，不能自動假定雙消失矩。

`m=0` 的高靈敏度不代表它在證書計算上最佳：其尾界只呈低階衰減，可能需要極大的 cutoff 或另一種閉式處理。

---

## 8. 本輪結論

本輪關閉的不是 RH 正性，而是一個核設計問題：

$$
\boxed{
\text{核越光滑，prime 邊界越不可見；}
\quad
\text{核越尖銳，尾界越昂貴。}
}
$$

因此沒有單一 degree 在所有工程指標上支配其他 degree。

真正合理的架構不是「找到最佳核」，而是建立多階字典：

- 低階核負責感測支撐事件；
- 高階核負責穩定背景與高精度證書；
- 交叉相關提供中間階數。

下一節點是：

$$
\boxed{
\texttt{RH-W-12-MIXED-ORDER-DICTIONARY}
}.
$$

---

## 9. 範圍聲明

本文件證明的是 centered cardinal B-spline 家族中的局部縮放律與工程 trade-off。

它沒有：

- 找到 Weil 負證人；
- 證明任何無限維正性；
- 證明 RH；
- 把有限維近零模態解釋成 zeta 離軸零點。

---

## 參考基準

1. Enrico Bombieri, *The Riemann Hypothesis*, in *The Millennium Prize Problems*, Clay Mathematics Institute；其中給出測試函數類 $\mathcal W$、顯式公式及 Weil 判準。
2. Masatoshi Suzuki, *Weil's quadratic form via the screw function*, arXiv:2606.09096, 2026；提供固定區間與連續函數框架。
3. Akiva Groskin, *A finite Guinand–Weil dictionary and archimedean tail order for the truncated Weil quadratic form*, arXiv:2607.02828, 2026；強調有限字典、cutoff-free assembly 與可校準尾界。