# RH-W-09：自適應腔室延拓
## 從固定網格到 prime-power 活化邊界附近的局部追蹤

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-23  
**研究計畫：** RH GAP Atlas／AI 數學工程化接力  
**父節點：** `RH-W-08-CHAMBER-SEARCH-AND-REFINEMENT`  
**本輪節點：** `RH-W-09-ADAPTIVE-CHAMBER-CONTINUATION`  
**狀態：** `CLOSED_FOR_ONE_LOCAL_CONTINUATION_POLICY_AND_ONE_CERTIFIED_15D_CHAMBER`  
**邊界：** 本輪只研究一族有限維 translated cubic B-spline 腔室；沒有證明 RH，也沒有找到 RH 反例。

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# 1. 為什麼固定網格仍然不夠

`RH-W-08` 已完成：

$$
\text{粗搜尋}
\longrightarrow
\text{候選排序}
\longrightarrow
\text{區間重建}
\longrightarrow
\text{exact verifier}.
$$

但固定網格只能回答：

> 在預先列出的有限點中，哪一點最低？

它無法回答：

1. 從當前最低模態出發，哪個參數方向會繼續下降？
2. 下降是否集中在某個 $\log p^k$ 活化邊界附近？
3. 維度增加與幾何參數移動，哪一個才是主要來源？
4. 搜尋器找到 $10^{-9}$ 尺度候選後，證書層能否跟上？

因此本輪把腔室搜尋改寫成一個局部延拓問題。

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# 2. 腔室參數與廣義譜底

固定中心化 cubic B-spline $\beta_3$，令

$$
v_j(x)
=
h^{-1/2}\beta_3\!\left(\frac{x-jd}{h}\right),
$$

並在 $N$ 維空間中建立 Weil 矩陣 $M(h,d,N)$ 與 Gram 矩陣 $G(h,d,N)$。

探索目標是

$$
\lambda_{\min}(h,d,N)
=
\min_{c\ne0}
\frac{c^TM(h,d,N)c}{c^TG(h,d,N)c}.
$$

這裡的浮點值只負責引導；它的狀態永遠是：

```text
NUMERICAL_CANDIDATE_ONLY
```

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# 3. 局部延拓政策

本輪固定 $N=15$，從上一輪候選附近開始：

$$
(h_0,d_0)=\left(\frac3{20},\frac9{40}\right).
$$

每輪評估九個局部鄰點：

$$
(h,d),
\quad
(h\pm\Delta h,d),
\quad
(h,d\pm\Delta d),
$$

$$
(h\pm\Delta h,d\pm\Delta d).
$$

若某個鄰點降低探索性廣義譜底，就移動到該點；否則執行：

$$
\Delta h\leftarrow\frac{\Delta h}{2},
\qquad
\Delta d\leftarrow\frac{\Delta d}{2}.
$$

這不是全域最佳化，也不是梯度法。它是一個可重播的有限狀態政策，目的在於：

- 產生候選；
- 保存完整路徑；
- 找出最近的 prime-power 支撐邊界；
- 把最終點交給嚴格層。

完整路徑保存在：

- `adaptive_continuation_path.csv`
- `adaptive_continuation_path.json`

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# 4. prime-power 活化邊界追蹤器

第 $k$ 個 Toeplitz lag 的相關函數中心為 $-kd$，支撐為

$$
[-kd-4h,-kd+4h].
$$

樣本 $-\log n$ 進入左端點的邊界條件為

$$
\boxed{
\log n=kd+4h
}.
$$

樣本 $+\log n$ 的進出也由相應支撐端點條件決定。

因此每一個 prime power $n=p^m$ 都會在參數平面中產生若干條邊界曲線。搜尋器在每一步記錄：

$$
\min_{k,n,\pm}
\operatorname{dist}
\left(
\pm\log n,
\partial\operatorname{supp}(f_k)
\right).
$$

這讓「靠近哪一個素數門檻」成為顯式狀態，而不是事後猜測。

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# 5. 延拓結果

延拓終點為

$$
\boxed{
h=\frac{87}{400},
\qquad
d=\frac{117}{512},
\qquad N=15
}.
$$

也就是

$$
h=0.2175,
\qquad
d=0.228515625.
$$

浮點探索層得到

$$
\lambda_{\min}^{\mathrm{explore}}
\approx
1.3197955822649145\times10^{-9}.
$$

相較起始固定網格候選

$$
1.2020901345911073\times10^{-5},
$$

下降約

$$
9.11\times10^3
$$

倍。

這個下降只是候選生成結果，不能直接當作正性或近零定理。

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# 6. 最近的活化邊界

終點距離最近的是：

$$
\boxed{
\text{lag}=1,
\qquad n=3,
\qquad -\log3\text{ 樣本}
}.
$$

邊界方程為

$$
\log3=d+4h.
$$

目前

$$
d+4h
=
\frac{117}{512}+4\cdot\frac{87}{400}
=
1.098515625,
$$

而嚴格區間證明

$$
\boxed{
\log3-(d+4h)
>
9.6663668109691\times10^{-5}
}.
$$

所以 $-\log3$ 仍位於 lag-$1$ 相關支撐之外，但非常接近進場邊界。

這一點的重要性不是「三這個素數特別神祕」，而是：

> 搜尋器自動把最低模態推向一條離散算術耦合即將改變的幾何邊界。

是否所有低模態都傾向此類邊界，目前仍是開放研究問題。

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# 7. 本輪沒有得到什麼

本輪沒有證明：

$$
\lambda_{\min}(h,d,N)
$$

在該邊界取得局部極小；也沒有證明跨過邊界後譜底必然上升或下降。

更沒有證明：

$$
\inf_{h,d,N}\lambda_{\min}(h,d,N)=0.
$$

目前只得到：

1. 一條可重播局部延拓路徑；
2. 一個 $10^{-9}$ 尺度候選；
3. 一個明確的最近 prime-power 邊界；
4. 對該候選完成的嚴格證書，見下一文件。

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# 8. GAP 更新

```text
RH-W-09-LOCAL-CONTINUATION
    CLOSED_FOR_ONE_DETERMINISTIC_POLICY

RH-W-09-BOUNDARY-TRACKER
    CLOSED_FOR_TRANSLATED_BSPLINE_FAMILY

RH-W-09-GLOBAL-OPTIMUM
    OPEN

RH-W-09-BOUNDARY-CROSSING-LAW
    OPEN

RH-W-09-NEGATIVE-WITNESS
    NOT_FOUND
```

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# 9. 下一個研究方向

本輪之後，研究不應只繼續盲目下降數值。需要把「邊界前、邊界上、邊界後」拆成三個可比較狀態：

$$
\theta_-,\qquad\theta_0,\qquad\theta_+,
$$

其中

$$
\theta_0:\ \log3=d+4h.
$$

接著研究：

1. prime-$3$ 新增矩陣塊的局部階數；
2. 最低廣義特徵向量與新增塊的耦合符號；
3. 譜底對邊界法向參數的單側導數；
4. 是否存在可解析預測的 avoided crossing 或真零交叉。

這將成為：

```text
RH-W-10-PRIME-BOUNDARY-LOCAL-MODE
```