# RH-W-08：腔室搜尋與嚴格細化
## 從浮點探索器到十三維廣義正裕度證書

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-23  
**研究計畫：** RH GAP Atlas／AI 數學工程化接力  
**父節點：** `RH-W-07-MULTIPRIME-CHAMBER-COMPILER`  
**本輪節點：** `RH-W-08-CHAMBER-SEARCH-AND-REFINEMENT`  
**狀態：** `CLOSED_FOR_ONE_FIXED_SEARCH_GRID_AND_ONE_REFINED_13D_CHAMBER`  
**邊界：** 本文件只證明一個固定十三維子空間上的嚴格正裕度；不構成 RH 證明，也沒有找到 RH 反例。

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# 1. 本輪真正要工程化的對象

上一輪已能對一個預先指定的多素數支撐腔室建立區間矩陣。但若每一組：

$$
(h,d,N)
$$

都由人類手動挑選，再手工決定哪一組值得嚴格計算，研究仍然沒有形成可擴張的接力系統。

因此本輪把工作流拆成兩個互不混淆的層級：

$$
\boxed{
\text{廉價探索層}
\rightarrow
\text{候選排序}
\rightarrow
\text{嚴格重建層}
\rightarrow
\text{純有理驗證器}
}
$$

探索器可以使用浮點數、數值積分、特徵值算法與啟發式排序。它只能輸出：

```text
NUMERICAL_CANDIDATE
```

只有區間生成器與 exact verifier 才能輸出：

```text
CERTIFIED_POSITIVE_GENERALIZED_MARGIN
```

或：

```text
CERTIFIED_NEGATIVE_WITNESS
```

本輪沒有得到後者。

---

# 2. 被搜尋的 B-spline 腔室族

固定中心化 cubic B-spline $\beta_3$，定義：

$$
v_j(x)
=
h^{-1/2}
\beta_3\!\left(\frac{x-t_j}{h}\right),
$$

其中平移採等距配置：

$$
t_j=jd.
$$

兩個基底的相關函數為：

$$
f_{ij}(x)
=
\beta_7\!\left(
\frac{x-(t_i-t_j)}{h}
\right).
$$

它的支撐為：

$$
[t_i-t_j-4h,\ t_i-t_j+4h].
$$

因此，參數 $(h,d,N)$ 同時控制：

1. 單一波包寬度；
2. 波包重疊與 Gram 矩陣條件數；
3. 可見的最大對數距離；
4. 哪些 $\log p^k$ 進入相關支撐；
5. 有限維 Weil 矩陣的最低廣義 Rayleigh 值。

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# 3. 探索網格

本輪固定有限網格：

$$
h\in
\left\{
\frac3{50},\frac2{25},\frac1{10},\frac3{25},\frac3{20}
\right\},
$$

$$
\frac dh\in
\left\{
\frac32,2,\frac52,3,\frac72,4
\right\},
$$

$$
N\in\{5,7,9,11,13\}.
$$

並排除最大相關半徑超過：

$$
\frac{19}{5}
$$

的組合。最終實際掃描：

$$
\boxed{122\text{ 個腔室}}
$$

完整排序保存在：

- `chamber_search_results.csv`
- `chamber_search_results.json`
- `chamber_search_summary.json`

此網格不是完備搜尋，只是第一個固定、可重播的探索批次。

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# 4. 探索層計算的是廣義特徵值

不同平移間距下，B-spline 基底可能重疊，因此不能只對 Weil 矩陣 $M$ 計算普通特徵值。

必須同時計算 Gram 矩陣：

$$
G_{ij}
=
\langle v_i,v_j\rangle_{L^2}.
$$

探索排序使用：

$$
\boxed{
\lambda_{\min}^{\mathrm{explore}}
=
\min_{c\ne0}
\frac{c^TMc}{c^TGc}
}
$$

而不是：

$$
\lambda_{\min}(M).
$$

這避免把基底重疊或條件數問題誤認為 Weil 幾何本身的近零方向。

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# 5. 第一名候選

粗搜尋排名第一的參數為：

$$
\boxed{
h=\frac3{20},\qquad
d=\frac9{40},\qquad
N=13
}
$$

其最大相關半徑為：

$$
12d+4h
=
\frac{33}{10}.
$$

探索層得到：

$$
\lambda_{\min}^{\mathrm{explore}}
\approx
1.20209013459\times10^{-5}.
$$

此數值只用於排序，不能用於正性證明。

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# 6. 完整 prime-power 枚舉

因為：

$$
\frac{33}{10}<\log28,
$$

所有 $n\ge28$ 都由支撐幾何排除。

在 $2\le n\le27$ 之間，von Mangoldt 權重非零的索引恰為：

$$
\boxed{
2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,17,19,23,25,27
}.
$$

其中：

- $8=2^3$；
- $9=3^2$；
- $16=2^4$；
- $25=5^2$；
- $27=3^3$。

每一個 prime power 都在自己的幾何位置：

$$
\log p^k
$$

上取樣，不能只按底層素數合併。

最遠 lag 的活化集合為：

$$
\{9,11,13,16,17,19,23,25,27\}.
$$

這再次顯示 prime-power 圖具有進場與退場，而不是簡單累積。

---

# 7. 第一輪嚴格重建為何失敗

最初仍使用上一版的阿基米德尾界：

$$
|F_2|S_3+|F_4|S_5+B_6S_7,
$$

也就是把高階尾項全部視為未知符號，使用絕對值 majorant。

即使前 $1400$ 項被精確計算，十三維矩陣的 interval row-radius 仍約為：

$$
3.72847\times10^{-6}.
$$

該區間無法證明矩陣正定，因此狀態正確保持為：

```text
INCONCLUSIVE
```

這不是候選被證明為不定，也不是 RH 出現反例；只是**證書解析度低於候選的譜尺度**。

失敗記錄保存在：

`refinement_attempt_old_tail_inconclusive.json`

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# 8. 尾界精化後的結果

本輪保留 $F_2,F_4,F_6$ 的符號，分別對：

$$
S_3(K),\qquad S_5(K),\qquad S_7(K)
$$

建立上下界，只把七階導數餘項放入對稱誤差。

因此只需：

- lag $0,1,2$：$K=500$；
- 其他 lag：$K=180$；

便把完整十三維 interval row-radius 壓縮為：

$$
\boxed{
\epsilon
\approx
5.91302180744\times10^{-8}
}.
$$

相較舊方法縮小約：

$$
63.06\text{ 倍}.
$$

嚴格區間中心的探索性廣義特徵值為：

$$
1.20203314305\times10^{-5},
$$

與粗搜尋排名值一致到有效尺度。

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# 9. exact 廣義正裕度證書

令 $[M]$ 為完整十三維區間矩陣，$G$ 為精確有理 Gram 矩陣。

在固定有理網格：

$$
10^{-26}\mathbb Z
$$

上選擇中心矩陣 $C$，並令 $\epsilon$ 為所有區間偏移的最大 row-sum bound。

純有理驗證器證明：

$$
\boxed{
C-\frac1{100000}G-\epsilon I\succ0.
}
$$

對任意被區間矩陣包含的真實矩陣：

$$
M'=C+E,
$$

有：

$$
|c^TEc|
\le
\epsilon\|c\|_2^2.
$$

因此對所有非零 $c\in\mathbb R^{13}$：

$$
\boxed{
c^TM'c
>
\frac1{100000}c^TGc.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\lambda_{\min}(M',G)>10^{-5}.
}
$$

證書狀態為：

```text
CERTIFIED_POSITIVE_GENERALIZED_MARGIN
```

但其作用域只有這個固定十三維子空間，所以：

$$
\boxed{
\text{十三維嚴格正性}
\centernot\Longrightarrow RH.
}
$$

---

# 10. 本輪閉合了什麼

本輪不是靠搜尋「猜中答案」，而是閉合下列工程鏈：

$$
\boxed{
\text{固定網格}
\rightarrow
122\text{ 個候選}
\rightarrow
\text{廣義譜排序}
\rightarrow
\text{第一名候選}
\rightarrow
\text{完整 prime-power 重建}
\rightarrow
\text{尾界自動升級}
\rightarrow
\text{exact 證書}
}
$$

搜尋層與證明層的角色也被嚴格分離：

- AI／浮點算法負責找值得花成本的區域；
- 區間生成器負責把候選翻譯成有理包絡；
- exact verifier 負責決定證書狀態；
- 正的有限維結果永遠不能升格為 RH 證明。

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# 11. 尚未完成的 GAP

本輪沒有解決：

1. 搜尋網格之外的參數空間；
2. 非等距平移；
3. 不同 spline degree；
4. 自適應增加基底；
5. 支撐半徑趨於無限時的有效收斂率；
6. 真實負證人；
7. Lean／Coq 形式化後端。

尤其不能從本輪推論：

$$
\lambda_{\min}(a)>0
$$

對所有支撐尺度成立。

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# 12. 下一節點

下一輪固定為：

$$
\boxed{
\texttt{RH-W-09-ADAPTIVE-CHAMBER-CONTINUATION}
}
$$

目標是由本輪候選出發，沿：

$$
(h,d,N)
$$

進行局部 continuation：

- 自動估計哪一個參數方向使最低廣義特徵值下降；
- 在 prime-power 活化邊界附近細分腔室；
- 追蹤最低模態的形狀與條件數；
- 只有在候選落入證書解析度時才啟動嚴格重建；
- 若嚴格區間跨零，標記為 `UNRESOLVED_NEAR_ZERO`，不得自行判號。

本輪的結論不是「更接近證明 RH」，而是：

> **AI 已能從一批有限腔室中尋找最難的候選，發現原有驗證器解析度不足，修正尾界，再留下可獨立重播的有理證書。**