# RH-W-07：多素數支撐腔室編譯器
## 從單一 $n=2$ 耦合，推進到 prime-power 稀疏算術圖

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-23  
**研究計畫：** RH GAP Atlas／AI 數學工程化接力  
**父節點：** `RH-W-06-PRIME-ACTIVE-MATRIX`  
**本輪節點：** `RH-W-07-MULTIPRIME-CHAMBER-COMPILER`  
**狀態：** `CLOSED_FOR_ONE_9D_RATIONAL_SPLINE_FAMILY`  
**邊界：** 本文件建立真實 Riemann–Weil 顯式公式的有限維區間矩陣與局部正定證書；不構成 RH 證明，也沒有找到 RH 反例。

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# 1. 為何不只看「最大支撐半徑」

上一輪只有 $n=2$，使用最大相關支撐半徑便足以排除 $n\ge3$。進入多素數後，這種做法太粗。

對平移基底 $v_i,v_j$，令：

$$
f_{ij}=v_i*\widetilde v_j.
$$

若：

$$
\operatorname{supp}(f_{ij})=[L_{ij},R_{ij}],
$$

則 prime power $n=p^k$ 的離散項只有在：

$$
\log n\in[L_{ij},R_{ij}]
$$

或：

$$
-\log n\in[L_{ij},R_{ij}]
$$

時才會作用。

因此真正需要編譯的是**完整平移支撐窗**，不是單一半徑。當相關窗沿實軸移動時，某個 $\log p^k$ 會進入，也會再次離開。

這使 prime-power 活化圖具有 band-pass 性質，而不是「支撐愈大，所有舊素數永遠保留」的低通結構。

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# 2. 固定九維 B-spline 字典

取中心化 cubic B-spline $\beta_3$，固定：

$$
h=\frac1{10},
$$

以及九個平移，直接以索引式固定：

$$
\boxed{t_j=\frac{j}{5},\qquad j=-4,-3,\ldots,4.}
$$

定義：

$$
v_j(x)=h^{-1/2}\beta_3\!\left(\frac{x-t_j}{h}\right).
$$

相關函數為：

$$
\boxed{
f_{ij}(x)=\beta_7\!\left(\frac{x-(t_i-t_j)}h\right).}
$$

其支撐為：

$$
\boxed{
[t_i-t_j-4h,\ t_i-t_j+4h].
}
$$

最大相關支撐只到：

$$
|x|\le2<\log8.
$$

因此所有 $n\ge8$ 都被嚴格排除。$2\le n\le7$ 中，只有：

$$
\boxed{2,3,4,5,7}
$$

具有非零 von Mangoldt 權重。

注意：

$$
\Lambda(2)=\Lambda(4)=\log2,
$$

但 $n=2$ 與 $n=4$ 分別在 $\log2$ 與 $\log4$ 的幾何位置取樣，所以它們是兩個不同的稀疏耦合層。

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# 3. 編譯出的 prime-power 活化圖

由 Toeplitz 平移不變性，只需計算 lag $\ell=0,\ldots,8$。

| lag $\ell$ | $|t_i-t_j|$ | 支撐最大絕對值 | 真正活化的 prime powers |
|---:|---:|---:|---|
| 0 | $0$ | $2/5$ | 無 |
| 1 | $1/5$ | $3/5$ | 無 |
| 2 | $2/5$ | $4/5$ | $2$ |
| 3 | $3/5$ | $1$ | $2$ |
| 4 | $4/5$ | $6/5$ | $2,3$ |
| 5 | $1$ | $7/5$ | $2,3,4$ |
| 6 | $6/5$ | $8/5$ | $3,4$ |
| 7 | $7/5$ | $9/5$ | $3,4,5$ |
| 8 | $8/5$ | $2$ | $4,5,7$ |

最重要的現象是：

$$
\boxed{
\ell=6\text{ 時 }2\text{ 已離開支撐窗，但 }3,4\text{ 仍在窗內。}
}
$$

最遠的 lag 也不是看到全部 $2,3,4,5,7$，而只看到：

$$
\boxed{4,5,7.}
$$

所以每個 prime power 形成的是一組具有有限帶寬與有限生命週期的矩陣邊。

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# 4. 稀疏算術圖分解

完整九維矩陣可以寫成：

$$
\boxed{
M=A_{\infty}+P_2+P_3+P_4+P_5+P_7,
}
$$

其中：

- $A_{\infty}$ 包含端點、常數與阿基米德區塊；
- $P_n$ 是 prime power $n$ 的稀疏 Toeplitz 區塊；
- $P_n$ 的非零 lag 完全由 $\pm\log n$ 是否落入相關支撐窗決定。

這可視為一個算術圖：

- 基底函數是節點；
- 每個 $p^k$ 是一種邊標籤；
- 邊只在相對位移約等於 $\log p^k$ 時亮起；
- 完整 Weil 幾何是連續阿基米德背景與離散 prime-power 邊的疊加。

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# 5. 九個 Toeplitz lag 的真實區間

本輪計算得到：

$$
\begin{aligned}
T_0&\in[0.178584904159,\ 0.178613529500],\\
T_1&\in[-0.100987756288,\ -0.100982154010],\\
T_2&\in[0.0493818162380,\ 0.0493818714463],\\
T_3&\in[-0.0257602730928,\ -0.0257602178844],\\
T_4&\in[0.0270514132119,\ 0.0270514684202],\\
T_5&\in[0.00228735758772,\ 0.00228741279606],\\
T_6&\in[0.0171981453966,\ 0.0171982006049],\\
T_7&\in[0.0216954720465,\ 0.0216955272549],\\
T_8&\in[-0.127273287125,\ -0.127273231916].
\end{aligned}
$$

矩陣為：

$$
M_{ij}=T_{|i-j|}.
$$

這些區間直接由完整顯式公式產生，不使用零點截斷。

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# 6. 阿基米德尾界的第二次工程修正

舊版尾界把：

$$
\sum_{k\ge K}
F(0)
\left(
\frac1{2k+1/2}-\frac1{2k+1}
\right)
$$

以粗略 $O(K^{-1})$ majorant 包住，會淹沒近臨界的最小特徵值。

本輪使用閉式：

$$
\boxed{
\sum_{k=0}^{\infty}
\left(
\frac1{2k+1/2}-\frac1{2k+1}
\right)
=
\frac{\pi}{4}+\frac{\log2}{2}.
}
$$

因此 leading tail 可由閉式總和減去有限有理部分精確包絡，只把更高導數尾項留給 $p$-series majorant。

此外採用 adaptive cutoff：

- lag $0,1$ 使用 $K=1000$；
- lag $2,\ldots,8$ 因端點值為零或尾界已極小，使用 $K=100$。

這不是更改數學形式，而是把驗證成本集中在真正控制整體誤差的 lag 上。

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# 7. 九維 exact 正定證書

對每個區間元素選取分母為 $10^{20}$ 的固定有理中心矩陣 $C$，並將中心偏移也計入誤差矩陣 $E$：

$$
M=C+E.
$$

得到最大 row-radius：

$$
\epsilon
=
\|E\|_{\infty}^{\mathrm{bound}}
\approx
2.0080572380713665\times10^{-5}.
$$

驗證器以純有理 $LDL^T$ 證明：

$$
\boxed{
C-\frac1{2000}I\succ0.
}
$$

所以：

$$
\lambda_{\min}(M)
>
\frac1{2000}-\epsilon.
$$

即：

$$
\boxed{
\lambda_{\min}(M)
>
4.799194276192863\times10^{-4}.
}
$$

因此證書所包含的每一個真實區間矩陣都正定：

$$
\boxed{M\succ0.}
$$

仍須重申：

$$
\boxed{
\text{此九維子空間正定}\centernot\Longrightarrow RH.
}
$$

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# 8. prime-power 消融實驗

為觀察各離散層的作用，定義人工累積矩陣：

$$
M_S=A_{\infty}+\sum_{n\in S}P_n.
$$

只有完整集合：

$$
S=\{2,3,4,5,7\}
$$

是真實顯式公式；其他階段只是機制消融，不是新的 zeta 對象。

本輪找到四個有理整數 witness，分別嚴格證明加入 $2,3,4,5$ 時，同一方向由負翻成正。

### 加入 $2$

$$
c=(3,-3,-8,-6,0,6,8,3,-3),
$$

$$
c^TM_{\varnothing}c< -28.002,
$$

$$
c^TM_{\{2\}}c>26.543.
$$

### 加入 $3$

$$
c=(12,2,-16,-16,-9,-16,-16,2,12),
$$

由小於 $-95.41$ 翻成大於 $153.16$。

### 加入 $4$

$$
c=(2,1,-2,-2,0,2,2,-1,-2),
$$

由小於 $-0.606$ 翻成大於 $0.568$。

### 加入 $5$

$$
c=(16,9,2,2,0,-2,-2,-9,-16),
$$

由小於 $-74.89$ 翻成大於 $107.82$。

這些結果只說明指定方向上的嚴格符號翻轉，不等價於逐階段完整 inertia 證明。

對 $7$，固定候選集中沒有找到嚴格符號翻轉。這不代表 $P_7$ 沒有作用，只代表本輪沒有證明某個候選方向跨零。

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# 9. 本輪真正完成了什麼

完成：

1. 從「支撐半徑」升級成完整 shifted-window 編譯；
2. 嚴格列舉 $2,3,4,5,7$ 五個 von Mangoldt 層；
3. 建立 prime powers 會進入也會離開的活化圖；
4. 產生真實 $9\times9$ 多素數 Weil 區間矩陣；
5. 改善阿基米德 leading tail；
6. 建立固定有理網格的 exact 正定證書；
7. 以四個有理 witness 證明不同 prime-power 層可改變指定方向的符號。

沒有完成：

1. 任意基底、任意支撐的通用腔室編譯器；
2. 對所有 prime powers 的無界支撐枚舉；
3. 自動尋找最接近零或真正負的子空間；
4. RH 證明或 RH 反例；
5. Lean／Coq 形式化證書。

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# 10. 下一節點

下一節點固定為：

$$
\boxed{
\texttt{RH-W-08-CHAMBER-SEARCH-AND-REFINEMENT}
}
$$

其工作不是盲目提高維度，而是建立雙層系統：

$$
\text{快速浮點／AI 搜尋器}
\longrightarrow
\text{候選腔室與 witness}
\longrightarrow
\text{嚴格區間重建器}
\longrightarrow
\text{純有理 verifier}.
$$

搜尋器可以不可信；最後證書必須可重播。

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# 參考來源

1. Enrico Bombieri, *Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis*, Clay Mathematics Institute, in *The Millennium Prize Problems*.
2. Masatoshi Suzuki, *Weil's quadratic form via the screw function*, arXiv:2606.09096, 2026.
3. Akiva Groskin, *A finite Guinand–Weil dictionary and archimedean tail order for the truncated Weil quadratic form*, arXiv:2607.02828, 2026.

上述來源提供 Weil 形式、固定區間／有限維研究及尾界背景；本工程包的 B-spline 支撐腔室、區間實作與證書分解是本研究流程中的工程化實例。