# RH-W-04：有限維完備性與有理負證書

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-23  
**定位：** 非 RH 證明；建立 Weil 二次型的有限維必達性與機器可驗負證書

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## 0. 本輪結論

本輪把 `RH-W-04-GALERKIN-CERTIFICATE` 拆成兩個彼此獨立的問題：

1. **有限維完備性：** 若固定支撐半徑 $a$ 的 Weil 二次型存在負方向，某個明確可枚舉的有限維空間是否終究會捕捉到它？
2. **數值嚴格性：** 找到浮點負方向後，如何把它轉成不依賴浮點特徵向量的有限證書？

本輪對第一題給出肯定答案；對第二題把證書縮減成一個有理向量與一個純有理區間不等式。

尚未完成的是：真實 $\mathrm{zeta}$ Weil 矩陣每一個元素的嚴格區間包絡。

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# 1. 固定支撐 Weil 形式

固定 $a>0$，令

$$
H_a=L^2(-a,a).
$$

以 $Q_a$ 表示 Weil 二次型在 $(-a,a)$ 上的閉、下有界延拓，形式域記為

$$
D(Q_a).
$$

定義譜底：

$$
\lambda(a)
=
\inf_{0\ne v\in D(Q_a)}
\frac{Q_a(v)}{\|v\|_{L^2}^2}.
$$

已知 $C_c^\infty(-a,a)$ 是相關形式核心；更具體地，週期指數函數所張成的空間

$$
E_a
=
\operatorname{span}
\left\{
 e_n(x)=e^{i\pi n x/a}:n\in\mathbb Z
\right\}
$$

是 $Q_a$ 的 form core，而每一個 $e_n$ 可以由邊界 cutoff 後的緊支撐平滑函數在 form norm 中逼近。

這使我們可以把抽象密度敘述改造成一個可枚舉字典。

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# 2. cutoff–Fourier 完備字典

選定一列實值平滑 cutoff：

$$
\eta_k\in C_c^\infty(-a,a),
$$

滿足：

$$
0\le \eta_k\le1,
$$

$$
\eta_k(x)=1
\quad
\text{for }|x|\le a-\varepsilon_k,
$$

其中：

$$
\varepsilon_k\downarrow0.
$$

例如可取 $\varepsilon_k=2^{-k}a$，並在兩個邊界層中使用標準 flat cutoff。

定義實值字典：

$$
b_{0,k}(x)=\eta_k(x),
$$

$$
b^c_{n,k}(x)
=
\eta_k(x)\cos\left(\frac{\pi n x}{a}\right),
\qquad n\ge1,
$$

$$
b^s_{n,k}(x)
=
\eta_k(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{a}\right),
\qquad n\ge1.
$$

令：

$$
V_N(a)
=
\operatorname{span}
\left\{
 b_{0,k},b^c_{n,k},b^s_{n,k}:
 1\le k\le N,
 1\le n\le N
\right\}.
$$

則：

$$
V_1(a)\subseteq V_2(a)\subseteq\cdots.
$$

## 命題 2.1：form-core 完備性

$$
\boxed{
\overline{\bigcup_{N\ge1}V_N(a)}^{\|\cdot\|_{Q_a}}
=
D(Q_a)
}
$$

### 證明骨架

對每個固定 $n$：

$$
\eta_k e_n
\longrightarrow e_n
$$

於 $Q_a$ 的 form norm。實部與虛部分別給出：

$$
\eta_k\cos(\pi nx/a)
\longrightarrow
\cos(\pi nx/a),
$$

$$
\eta_k\sin(\pi nx/a)
\longrightarrow
\sin(\pi nx/a).
$$

因此 $\bigcup_N V_N(a)$ 的 form-norm 閉包包含 $E_a$。由 $E_a$ 是 form core：

$$
\overline{E_a}^{\|\cdot\|_{Q_a}}
=
D(Q_a),
$$

故結論成立。

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# 3. Rayleigh–Ritz 必達性

定義有限維譜底：

$$
\lambda_N(a)
=
\inf_{0\ne v\in V_N(a)}
\frac{Q_a(v)}{\|v\|_{L^2}^2}.
$$

由空間巢狀性：

$$
\lambda_1(a)
\ge
\lambda_2(a)
\ge\cdots
\ge
\lambda(a).
$$

## 定理 3.1：有限維收斂

$$
\boxed{
\lambda_N(a)\downarrow\lambda(a)
}
$$

### 證明

任取 $\varepsilon>0$。由 $\varepsilon$-極小性，可選 $v\in D(Q_a)$，並正規化為 $\|v\|_{L^2}=1$，使：

$$
Q_a(v)<\lambda(a)+\frac{\varepsilon}{2}.
$$

由命題 2.1，存在 $v_N\in V_N(a)$ 使：

$$
\|v_N-v\|_{Q_a}\to0.
$$

因此：

$$
\|v_N\|_{L^2}\to1,
$$

且由閉形式的雙線性化與 form-norm 收斂：

$$
Q_a(v_N)\to Q_a(v).
$$

對充分大的 $N$：

$$
\frac{Q_a(v_N)}{\|v_N\|_{L^2}^2}
<
\lambda(a)+\varepsilon.
$$

故：

$$
\limsup_{N\to\infty}\lambda_N(a)
\le\lambda(a)+\varepsilon.
$$

再由 $\varepsilon$ 任意及 $\lambda_N(a)\ge\lambda(a)$ 得證。

## 推論 3.2：負方向有限維必達

若：

$$
\lambda(a)<0,
$$

則存在有限 $N$ 使：

$$
\boxed{
\lambda_N(a)<0
}.
$$

所以若 RH 為假，已知某個有限支撐視窗存在負方向；再由本推論，某個有限 cutoff–Fourier 矩陣必定出現負方向。

這是存在性結論，不提供有效的 $a$ 或 $N$ 上界。

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# 4. 不必驗證整個特徵值問題

取 $V_N(a)$ 的任一實基底：

$$
\phi_1,\ldots,\phi_m.
$$

定義 Weil 矩陣：

$$
M_{ij}=Q_a(\phi_i,\phi_j),
$$

以及 $L^2$ Gram 矩陣：

$$
G_{ij}=\langle\phi_i,\phi_j\rangle_{L^2}.
$$

浮點程式可以用廣義最小特徵向量尋找候選方向，但正式證書不需要保存或相信該浮點特徵向量。

只要輸出一個非零有理向量：

$$
c\in\mathbb Q^m,
$$

並嚴格證明：

$$
\boxed{
c^TMc<0
},
$$

令：

$$
v_c=\sum_{j=1}^m c_j\phi_j,
$$

便有：

$$
Q_a(v_c)<0.
$$

負值本身已排除 $v_c=0$，所以**反駁語義只需要分子負性**。證明：

$$
c^TGc>0
$$

不是邏輯必需，但可作為基底退化檢查，並允許輸出嚴格 Rayleigh 商區間。

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# 5. 分量區間負證書

假設每個矩陣元素已有有理區間：

$$
M_{ij}\in
[\underline M_{ij},\overline M_{ij}].
$$

對固定有理向量 $c$，令：

$$
a_{ij}=c_ic_j.
$$

定義單項上界：

$$
U_{ij}(c)=
\begin{cases}
 a_{ij}\overline M_{ij},&a_{ij}\ge0,\\
 a_{ij}\underline M_{ij},&a_{ij}<0.
\end{cases}
$$

則：

$$
\boxed{
 c^TMc
\le
U_M(c):=
\sum_{i,j}U_{ij}(c)
}.
$$

所以：

$$
\boxed{
U_M(c)<0
\Longrightarrow
c^TMc<0
}.
$$

整個驗證只使用有理數加法、乘法與次序比較。

對 $G$ 同理可得下界：

$$
L_G(c)
\le c^TGc.
$$

若：

$$
U_M(c)<0,
\qquad
L_G(c)>0,
$$

則 Rayleigh 商嚴格滿足：

$$
\frac{c^TMc}{c^TGc}
\le
\frac{U_M(c)}{L_G(c)}<0.
$$

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# 6. 擾動預算的等價形式

若有中心矩陣 $\widehat M$ 及分量誤差：

$$
|M_{ij}-\widehat M_{ij}|
\le\epsilon_{ij},
$$

則：

$$
\boxed{
 c^TMc
\le
c^T\widehat Mc
+
\sum_{i,j}|c_i||c_j|\epsilon_{ij}
}.
$$

這個量稱為**證書餘裕**：

$$
\mathfrak m(c)
:=
-
\left(
 c^T\widehat Mc
+
\sum_{i,j}|c_i||c_j|\epsilon_{ij}
\right).
$$

只有：

$$
\mathfrak m(c)>0
$$

才能升級為正式負證書。

浮點最小特徵值本身沒有證書地位。

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# 7. 浮點候選到有理證人的防火牆

候選搜尋器可以完全不可信。標準流程為：

1. 浮點或 AI 程式產生候選特徵向量 $v$；
2. 選擇整數尺度 $B$；
3. 取：

   $$
   p_i=\operatorname{round}(Bv_i)\in\mathbb Z;
   $$

4. 約去整數最大公因數，得到 $p$；
5. 將 $c=p$ 交給純有理驗證器；
6. 驗證器只讀取區間矩陣，不讀取浮點殘差或模型信心。

若有理化後負性消失，增加 $B$ 或更換候選；不得把原浮點結果當成替代證書。

此結構等價於：

$$
\text{untrusted search}
\longrightarrow
\text{proof-carrying witness}
\longrightarrow
\text{small exact verifier}.
$$

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# 8. 真實 RH 證書的最小可信邊界

一份聲稱屬於真實 zeta Weil 形式的證書，至少必須固定：

1. 支撐半徑 $a$；
2. cutoff 的精確公式與參數；
3. 基底次序與檔案雜湊；
4. Fourier／Mellin 正規化；
5. Weil 形式與算術側公式版本；
6. 每一個 $M_{ij}$ 的有理上下界；
7. 每項誤差來源：
   - 端點項；
   - 素數和；
   - 阿基米德項；
   - 可去奇異；
   - 積分截斷；
   - 捨入誤差；
8. 有理 witness；
9. 附件及雜湊；
10. 驗證器版本。

本輪驗證器只保證：**給定區間端點後，純有理負性推論正確。**

它尚未證明區間端點確實包住真實 Weil 矩陣；那是下一層 `MATRIX-ENCLOSURE` GAP。

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# 9. 一側語義

正式鎖定：

$$
\boxed{
\text{rigorous Weil interval matrix}
+
U_M(c)<0
\Longrightarrow
\neg RH
}.
$$

反方向不成立：

$$
U_M(c)\ge0
$$

只代表這個 witness 沒有成功。

即使某個有限矩陣嚴格正定，也不能證明 RH。

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# 10. 本輪 GAP 更新

- `RH-W-04-CUTOFF-FOURIER-CORE`：`CLOSED_BY_FORM_CORE_CONSTRUCTION`
- `RH-W-04-RAYLEIGH-RITZ-LIMIT`：`CLOSED`
- `RH-W-04-FINITE-DETECTION`：`CLOSED_NON_EFFECTIVE`
- `RH-W-04-REAL-BASIS`：`CLOSED`
- `RH-W-04-RATIONAL-WITNESS-REDUCTION`：`CLOSED`
- `RH-W-04-EXACT-VERIFIER`：`CLOSED_FOR_SUPPLIED_INTERVALS`
- `RH-W-04-MATRIX-ENCLOSURE`：`OPEN`
- `RH-W-04-ARCHIMEDEAN-ENCLOSURE`：`OPEN`
- `RH-W-04-TRUE-ZETA-CERTIFICATE`：`NOT_PRODUCED`
- `RH-W-04-POSITIVE-NONCERTIFICATE`：`LOCKED_WARNING`

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# 11. 參考依賴

1. M. Suzuki, *Weil's quadratic form via the screw function*, arXiv:2606.09096, 2026。使用其固定支撐閉形式、form core、邊界 cutoff 逼近與廣義特徵值架構。
2. A. Imakura, K. Morikuni, A. Takayasu, *Verified eigenvalue and eigenvector computations using complex moments and the Rayleigh–Ritz procedure for generalized Hermitian eigenvalue problems*, JCAM 424 (2022)。作為完整已驗證特徵值算法的背景；本工程採用更小的單 witness 純有理證書。

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# 12. 結語

本輪把問題由：

> 有限維掃描也許永遠漏掉真正負方向。

改寫成：

> 指定的 cutoff–Fourier 字典在 form norm 下完整；若負方向存在，有限維終究必達。真正剩下的問題，只是如何嚴格包住矩陣元素。

這使 `RH-W-04` 從「有限維方法是否有邏輯缺口」縮小為一個明確的 verified numerics 工程問題。