> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# RCHM × Hodge 猜想 — 研究回合 8
## 有理四次曲線陰性對照：包絡恢復、純粹性崩解與二維非幾何缺陷

**狀態：** 內部研究筆記 + 可重現符號實驗  
**版本：** 回合 8 / v0.8  
**日期：** 2026-09-17  
**方法論基礎：** RCHM；具型別的關係與約束代數；X 層數學完備性；圖原生數學  
**前序回合：** RCHM × Hodge 猜想 — 回合 1–7  
**典範來源：** UTF-8 Markdown

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# 0. 回合 8 目標

回合 7 以光滑四次曲面上的扭三次曲線，建立了一個陽性的閉環重建例子。

回合 8 進行所需的陰性對照。

載體現在是一條光滑有理四次曲線

$$
C\subset\mathbb P^3
$$

包含於光滑四次曲面

$$
S\subset\mathbb P^3.
$$

文獻同時給出兩項事實：

1. 二次 Hodge 零化子資料仍與實際的二次載體理想一致；
2. Hodge 類**在層級 $3$ 並不完美**。

因此，此例子單獨呈現了下列失敗模式：

$$
\boxed{
\text{特徵資訊增加}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{幾何純粹性下降}.
}
$$

本回合的目的，是讓此失敗可以量化且可重現。

---

# 1. 明確的光滑有理四次曲線

使用齊次座標：

$$
[x:y:z:w]
$$

所在空間為：

$$
\mathbb P^3.
$$

定義：

$$
\nu_C:
\mathbb P^1
\to
\mathbb P^3
$$

如下：

$$
\boxed{
[s:t]
\mapsto
[s^4:s t^3:s^3t:t^4].
}
$$

在座標圖 $s\neq0$ 上，寫成：

$$
u=t/s,
$$

映射變為：

$$
u
\mapsto
[1:u^3:u:u^4].
$$

座標 $z/x=u$ 恢復來源參數。

在座標圖 $t\neq0$ 上，寫成：

$$
v=s/t,
$$

映射變為：

$$
v
\mapsto
[v^4:v:v^3:1],
$$

而 $y/w=v$ 恢復來源參數。

因此，映射是嵌入，其像是次數為 $4$ 的光滑有理曲線。

將其像稱為：

$$
C.
$$

---

# 2. 唯一二次曲面包絡

代入次數為 $2$ 的型後顯示：

$$
\dim I_{C,2}=1.
$$

一個生成元為：

$$
\boxed{
q=xw-yz.
}
$$

因此：

$$
Q=V(q)
$$

是包含 $C$ 的唯一二次曲面。

此二次曲面是光滑的。

在 Segre 參數化下：

$$
x=ac,
\qquad
y=ad,
\qquad
z=bc,
\qquad
w=bd,
$$

有：

$$
Q\simeq\mathbb P^1\times\mathbb P^1.
$$

曲線 $C$ 在 $Q$ 上由下式給出：

$$
\boxed{
a^3d-b^3c=0,
}
$$

因此其雙次數為：

$$
(3,1).
$$

這與非完美性定理所使用的標準幾何一致。

---

# 3. $C$ 的三次理想

參數化在次數 $3$ 的核，其維度為：

$$
\boxed{
\dim I_{C,3}=7.
}
$$

其中四個維度由下式生成：

$$
qR_1.
$$

一組方便的額外三次生成元為：

$$
c_1=y^3-w^2z,
$$

$$
c_2=xy^2-wz^2,
$$

$$
c_3=x^2y-z^3.
$$

因此，齊次理想在次數 $2$ 與 $3$ 生成，符合光滑有理四次曲線的預期。

---

# 4. 構造明確的光滑四次曲面

定義：

$$
Q_2
=
w^2-wx-wz-y^2+yz,
$$

$$
L_1
=
w+x-y-z,
$$

$$
L_2
=
-w-z,
$$

$$
L_3
=
x-z.
$$

令：

$$
\boxed{
f
=
qQ_2+c_1L_1+c_2L_2+c_3L_3.
}
$$

於是：

$$
f\in I_C,
$$

故：

$$
\boxed{
C\subset S:=V(f).
}
$$

展開後的四次式為：

$$
\begin{aligned}
f={}&
w^3x-w^3z-w^2x^2-2w^2xz+2w^2z^2
-2wxy^2+2wxyz\\
&+wy^3+wyz^2+wz^3+x^3y-x^2yz
+xy^3-xy^2z-xz^3\\
&-y^4-y^2z^2+z^4.
\end{aligned}
$$

---

# 5. 精確光滑性核驗

由於 $f$ 是特徵零之上的齊次多項式，射影奇異點將是下列偏導數的非零共同零點：

$$
f_x,
\qquad
f_y,
\qquad
f_z,
\qquad
f_w.
$$

附帶的符號驗證器以以下座標圖覆蓋射影空間：

$$
x=1,
\qquad
y=1,
\qquad
z=1,
\qquad
w=1.
$$

對每個座標圖變數 $u$，它計算下列理想的 Gröbner 基：

$$
(f_x,f_y,f_z,f_w,u-1).
$$

所有四個理想都包含：

$$
1.
$$

因此：

$$
\boxed{
S\text{ 是光滑四次曲面，定義於 }\mathbb Q,
}
$$

因而也在下列體上光滑：

$$
\mathbb C.
$$

---

# 6. 二次曲面上的精確剩餘曲線

將四次曲面限制至 Segre 二次曲面：

$$
x=ac,
\quad
y=ad,
\quad
z=bc,
\quad
w=bd.
$$

精確的符號因式分解給出：

$$
\boxed{
f|_Q
=
(a^3d-b^3c)\,R(a,b,c,d),
}
$$

其中：

$$
\begin{aligned}
R={}&
ac^3+acd^2-ad^3
-bc^3-bc^2d\\
&-2bcd^2+bd^3.
\end{aligned}
$$

因此：

$$
Q\cap S
=
C\cup D_0,
$$

其中：

$$
D_0=V(R)\subset Q.
$$

第二個因子的雙次數為：

$$
(1,3).
$$

因此：

$$
\boxed{
C+D_0\sim2H
}
$$

在四次曲面上成立。

這正是文獻中非完美性證明所出現的剩餘幾何。

---

# 7. 剩餘曲線的明確參數化

寫成：

$$
R=aA(c,d)+bB(c,d),
$$

其中：

$$
A(c,d)
=
c^3+cd^2-d^3,
$$

以及：

$$
B(c,d)
=
-c^3-c^2d-2cd^2+d^3.
$$

選取：

$$
[a:b]
=
[-B(c,d):A(c,d)].
$$

在 Segre 映射下，這給出一個四次有理參數化：

$$
\boxed{
[c:d]
\mapsto
[-Bc:-Bd:Ac:Ad].
}
$$

符號驗證器確認：

$$
\dim I_{D_0,2}=1,
$$

以及：

$$
\boxed{
\dim I_{D_0,3}=7.
}
$$

唯一二次曲面仍為：

$$
Q.
$$

---

# 8. 三次部分的交集幾何

符號計算給出：

$$
\dim I_{C,3}=7,
$$

$$
\dim I_{D_0,3}=7.
$$

兩者之和的維度為：

$$
10.
$$

故：

$$
\dim(I_{C,3}\cap I_{D_0,3})
=
7+7-10
=
4.
$$

共同的 $4$ 維空間正是：

$$
\boxed{
qR_1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\dim(I_{C,3}+I_{D_0,3})=10.
}
$$

這重現了理論上非完美性論證所使用的維度計數。

---

# 9. Jacobian 三次式

對此明確的光滑四次曲面 $S$，四個偏導數：

$$
f_x,
\qquad
f_y,
\qquad
f_z,
\qquad
f_w
$$

是線性獨立的三次型。

故：

$$
\boxed{
\dim J_{S,3}=4.
}
$$

精確符號計算給出：

$$
\boxed{
\dim
\left(
I_{C,3}
+
I_{D_0,3}
+
J_{S,3}
\right)
=
14.
}
$$

因此，對此明確例子，非完美性證明中可用的幾何來源恰好張成一個 $14$ 維三次空間。

---

# 10. Hodge 零化子的三次部分維度

Cifani--Pirola--Schlesinger 證明，對於光滑有理四次曲線 $C$，所在光滑四次曲面為 $S$，有：

$$
I_{\alpha(C),1}=0.
$$

利用下列商環的 Gorenstein 對稱性：

$$
R/I_{\alpha(C)}
$$

其底座次數為：

$$
2s-4=4,
$$

他們得到：

$$
\boxed{
\dim I_{\alpha(C),3}=16.
}
$$

他們也證明：

$$
\boxed{
I_{\alpha(C),2}=I_{C,2}.
}
$$

最後，他們的定理 5.1 證明：

$$
\boxed{
\alpha(C)\text{ 在下列層級並不完美：}3.
}
$$

---

# 11. 二次特徵的正確詮釋

因為：

$$
I_{\alpha(C),2}=I_{C,2}
=
\langle q\rangle,
$$

二次 Hodge 特徵精確恢復：

$$
Q=V(q).
$$

但：

$$
Q\neq C.
$$

因此，次數 $2$ 的特徵重建的是載體的**唯一幾何包絡**，而非載體本身。

這促成了以下區別：

$$
\boxed{
\textbf{載體包絡}
\neq
\textbf{載體}.
}
$$

對有理四次曲線：

$$
\boxed{
E_2(C)=Q.
}
$$

這修正了任何樸素敘述：低次 Hodge 理想與載體理想相等，會自動重建完整載體。

---

# 12. 載體包絡深度

定義深度 $m$ 的特徵包絡：

$$
\boxed{
E_m(\alpha)
=
V
\left(
I_{\alpha,\le m}
\right),
}
$$

其中，零點軌跡在已宣告的幾何範疇中解讀。

包絡可能包含載體：

$$
C\subseteq E_m(\alpha),
$$

但等號不會自動成立。

對此例子：

$$
\boxed{
E_2(\alpha(C))
=
Q
\supsetneq
C.
}
$$

故二次特徵具有資訊，但不足以唯一決定載體。

---

# 13. 為何更多方程可能變得較不具幾何性

在次數 $3$：

$$
\dim I_{\alpha(C),3}=16,
$$

而：

$$
\dim I_{C,3}=7.
$$

因此，Hodge 零化子比實際載體理想多出：

$$
\boxed{
9
}
$$

個三次維度。

並非所有額外三次式都在同一意義下是虛假的：有些可由剩餘載體或 Hodge 等價的幾何載體，以及 Jacobian 理想解釋。

但即使允許定理所描述的全部此類貢獻，仍有缺口。

因此：

$$
\boxed{
\text{更多零化子方程}
\not\Rightarrow
\text{更忠實的載體方程}.
}
$$

這是核心的陰性對照結果。

---

# 14. 幾何純粹性空間

對光滑超曲面上的類 $\alpha$，其超曲面為 $S$，在層級 $m$ 定義：

$$
\boxed{
G_{\alpha,m}
=
J_{S,m}
+
\sum_{
D:
I_{\alpha(D)}=I_\alpha
}
I_{D,m},
}
$$

其中求和遍歷與次數 $m$ 相關的有效幾何載體。

確切的可容許載體集合，必須由應用指定。

接著定義**幾何純粹性缺陷**：

$$
\boxed{
\operatorname{PD}_m(\alpha)
=
\dim I_{\alpha,m}
-
\dim G_{\alpha,m}.
}
$$

只要：

$$
G_{\alpha,m}\subseteq I_{\alpha,m},
$$

就有：

$$
\operatorname{PD}_m(\alpha)\ge0.
$$

---

# 15. 明確有理四次曲線的精確純粹性缺陷

非完美性證明顯示，每個能為相同零化子貢獻三次方程的有效除子，在三次層級都已包含於下列項目所生成的張成空間中：

$$
I_{C,3},
\qquad
I_{D_0,3},
$$

連同：

$$
J_{S,3}.
$$

對我們的明確曲面，符號計算給出：

$$
\dim G_{\alpha(C),3}=14.
$$

Hodge 定理給出：

$$
\dim I_{\alpha(C),3}=16.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{PD}_3(\alpha(C))
=
16-14
=
2.
}
$$

這是一份精確的量化失敗憑證。

此類並非僅在抽象上不滿足完美性。

它具有一個二維三次 Hodge 零化子區段，無法由允許的幾何載體加上 Jacobian 貢獻生成。

---

# 16. 純粹性崩解深度

定義：

$$
\boxed{
b_{\mathrm{pur}}(\alpha)
=
\min
\left\{
m:
\operatorname{PD}_m(\alpha)>0
\right\}.
}
$$

對有理四次曲線的類：

### 層級 1

$$
I_{\alpha,1}=0.
$$

沒有缺陷發生。

### 層級 2

$$
I_{\alpha,2}=I_{C,2}.
$$

由於：

$$
J_{S,2}=0,
$$

此類在此層級可由幾何解釋。

### 層級 3

$$
\operatorname{PD}_3(\alpha)=2.
$$

因此：

$$
\boxed{
b_{\mathrm{pur}}(\alpha(C))=3.
}
$$

這精確定位了純粹性崩解。

---

# 17. 特徵細化與載體忠實度

回合 6 證明了一項抽象的單調性敘述：

若將特徵階層保留為資料，則更高的特徵深度只能縮小逆向纖維。

該敘述仍然正確。

在此失敗的是另一種運算：

$$
\boxed{
\text{將每個新零化子方程解讀為載體方程}.
}
$$

這不是同一個程序。

因此，區分：

$$
\boxed{
\text{資訊細化}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{幾何零點集細化}.
}
$$

前者可以是單調的。

後者可能過度越過真正載體。

---

# 18. 兩種失敗模式

有理四次曲線現在區分出逆問題的兩種失敗。

## 18.1 辨識不足

在次數 $2$：

$$
E_2=Q\supsetneq C.
$$

特徵太弱，無法單獨識別載體。

## 18.2 過度約束／不純粹性

在次數 $3$，將完整零化子解讀為載體方程，會引入非幾何約束。

因此：

$$
\boxed{
\text{特徵太少}
\to
\text{載體包絡太大},
}
$$

而：

$$
\boxed{
\text{以樸素方式解讀的額外特徵}
\to
\text{載體方程太強}.
}
$$

正確的逆向求解器，必須在這兩種失敗之間找到路徑。

---

# 19. 安全重建深度

若將特徵方程當作幾何方程使用時，全都由幾何載體加上已宣告的結構理想（如 Jacobian 理想）提供正當依據，則定義層級 $m$ 為**載體安全**。

定義：

$$
\boxed{
m_{\mathrm{safe}}(\alpha)
=
\max
\left\{
m:
\operatorname{PD}_j(\alpha)=0
\text{ 對所有 }j\le m
\right\}.
}
$$

對有理四次曲線：

$$
\boxed{
m_{\mathrm{safe}}(\alpha(C))=2.
}
$$

但安全性不蘊含可辨識性。

在安全深度 $2$，僅恢復包絡 $Q$。

因此：

$$
\boxed{
\text{安全}
\not\Rightarrow
\text{具有辨識力}.
}
$$

---

# 20. 安全但有歧義的區域

此例子展示一個特別重要的狀態：

$$
\boxed{
\text{幾何上安全但載體仍有歧義}.
}
$$

在層級 $2$：

- 特徵是純粹的；
- 唯一二次曲面是正確的；
- 載體未被唯一恢復。

在層級 $3$：

- 存在更多特徵資訊；
- 幾何純粹性崩解。

因此，僅靠零化子方程，不存在下列樸素的逐次數路徑：

$$
\text{安全}
\to
\text{更有資訊}
\to
\text{唯一載體}
$$

。

這是一個真正的逆問題障礙。

---

# 21. 重建相圖

引入兩個軸：

$$
\text{歧義}
$$

以及：

$$
\text{純粹性缺陷}.
$$

於是出現四個範圍。

### 相 A — 純粹且具有辨識力

$$
A_m=0,
\qquad
\operatorname{PD}_m=0.
$$

理想的重建範圍。

### 相 B — 純粹但有歧義

$$
A_m>0,
\qquad
\operatorname{PD}_m=0.
$$

有理四次曲線在層級 $2$ 屬於此相。

### 相 C — 不純粹但看似具有辨識力

這是一個危險範圍：方程孤立出看似幾何的物件，卻包含沒有正當依據的非載體資訊。

### 相 D — 不純粹且有歧義

特徵方程不適合直接恢復載體。

有理四次曲線在層級 $3$ 從相 B 進入一個不純粹範圍。

---

# 22. 所需的演算法修正

載體逆向求解器絕不可執行：

$$
I_{\alpha,\le m}
\mapsto
V(I_{\alpha,\le m})
$$

然後自動將結果稱為見證。

而應：

$$
\boxed{
I_{\alpha,m}
\to
\text{純粹性檢驗}
\to
\text{載體安全子空間}
\to
\text{幾何求解}.
}
$$

若：

$$
\operatorname{PD}_m>0,
$$

則必須隔離不純粹的商空間：

$$
\boxed{
N_{\alpha,m}
=
I_{\alpha,m}/G_{\alpha,m}.
}
$$

將：

$$
N_{\alpha,m}
$$

稱為層級 $m$ 的**非幾何特徵區段**。

對此明確的有理四次曲線：

$$
\boxed{
\dim N_{\alpha(C),3}=2.
}
$$

---

# 23. X 層詮釋

僅有定理的記錄會儲存：

> 有理四次曲線的 Hodge 類在層級 $3$ 並不完美。

X 層記錄則應保留：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{載體類型}=\text{有理四次曲線},\\
&\text{唯一包絡}=Q,\\
&\dim I_{C,2}=1,\\
&\dim I_{C,3}=7,\\
&\dim I_{D_0,3}=7,\\
&\dim(I_{C,3}\cap I_{D_0,3})=4,\\
&\dim J_{S,3}=4,\\
&\dim G_{\alpha,3}=14,\\
&\dim I_{\alpha,3}=16,\\
&\operatorname{PD}_3=2,\\
&b_{\mathrm{pur}}=3.
\end{aligned}
}
$$

相較於只有最終定理敘述，這對 AI 推理有用得多。

---

# 24. 證據定型的閉環

本回合使用三種證據類別。

## 此處以計算核驗

- 明確的有理四次曲線參數化；
- 唯一二次包絡；
- 載體三次空間的維度；
- 明確的光滑四次曲面；
- 精確的剩餘因式分解；
- 剩餘曲線三次空間的維度；
- 三次部分交集的維度；
- Jacobian 維度；
- 整個幾何張成空間的維度 $14$。

## 文獻定理橋接

- $I_{\alpha(C),1}=0$;
- $I_{\alpha(C),2}=I_{C,2}$;
- $\dim I_{\alpha(C),3}=16$;
- 可貢獻三次式且具有相同零化子之除子的分類；
- 在層級 $3$ 的非完美性。

## 標準幾何

- $(3,1)$ 與 $(1,3)$ 在光滑二次曲面上的除子詮釋；
- $C+D_0\sim2H$.

---

# 25. 可重現的失敗憑證

附帶驗證器產生：

```text
failure_certificate:
  carrier_type: smooth_rational_quartic
  ambient_surface: smooth_quartic
  unique_quadric_dimension: 1
  carrier_cubic_dimension: 7
  residual_cubic_dimension: 7
  common_cubic_dimension: 4
  geometric_cubic_span_dimension: 14
  hodge_annihilator_cubic_dimension: 16
  geometric_purity_defect: 2
  purity_breakdown_depth: 3
  safe_reconstruction_depth: 2
  level_2_result: unique_quadric_envelope
  level_3_result: non_geometric_signature_sector
```

這是 RCHM Hodge 系列中首份明確的陰性對照憑證。

---

# 26. 與回合 7 比較

## 扭三次曲線

二次 Hodge 特徵提供足夠方程，能切出完整載體：

$$
\boxed{
E_2=T.
}
$$

此類是 ACM 的且完美。

## 有理四次曲線

二次 Hodge 特徵僅給出：

$$
\boxed{
E_2=Q\supsetneq C.
}
$$

在下一個次數：

$$
\boxed{
\operatorname{PD}_3=2.
}
$$

因此，兩個情形區分了：

$$
\boxed{
\text{可重建的完美載體}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{安全包絡之後發生純粹性崩解}.
}
$$

---

# 27. 回合 8 的新原則

## 原則 A — 載體包絡原則

低次 Hodge 特徵可能精確恢復唯一的幾何容器，卻沒有恢復載體。

$$
\boxed{
\text{精確的低次理想相等}
\not\Rightarrow
\text{載體可辨識性}.
}
$$

---

## 原則 B — 純粹性崩解深度

幾何純粹性缺陷首次非零的次數，是有意義的逆問題不變量：

$$
\boxed{
b_{\mathrm{pur}}(\alpha)
=
\min\{m:\operatorname{PD}_m(\alpha)>0\}.
}
$$

---

## 原則 C — 安全深度與可辨識性

$$
\boxed{
\text{載體安全的特徵}
\not\Rightarrow
\text{可辨識載體的特徵}.
}
$$

---

## 原則 D — 非幾何特徵區段

當：

$$
\operatorname{PD}_m>0,
$$

此商空間：

$$
\boxed{
N_{\alpha,m}
=
I_{\alpha,m}/G_{\alpha,m}
}
$$

衡量無法由允許的幾何載體加上結構性的 Jacobian 貢獻解釋的特徵方向。

---

## 原則 E — 更多方程可能降低幾何忠實度

原始特徵深度可以增加，而將特徵解讀為載體方程的有效性卻降低。

因此：

$$
\boxed{
\text{資訊單調性}
\neq
\text{幾何忠實度單調性}.
}
$$

---

# 28. 近期的下一研究方向

陽性與陰性對照現在辨識出真正的逆問題。

下一個有用物件，不是任意選擇的另一種載體族。

而是一個**純粹性分離器**：

$$
\boxed{
I_{\alpha,m}
=
G_{\alpha,m}
\oplus_{\text{非典範}}
N_{\alpha,m}.
}
$$

直和符號僅是示意：典範分裂未必存在。

研究問題變為：

> 在知道載體之前，能否僅使用 Hodge／週期／變形資料，偵測幾何子空間 $G_{\alpha,m}$？

若可以，逆向求解器便能在嘗試載體重建之前，捨棄非幾何的零化子方向。

這將把有理四次曲線的失敗，從警告轉化為可用的診斷。

---

# 29. 回合 8 結論

回合 8 產生首個明確的 RCHM 陰性對照幾何。

一條光滑有理四次曲線：

$$
C\subset S
$$

被構造於明確的光滑四次曲面之中。

其唯一二次包絡為：

$$
Q=V(xw-yz).
$$

曲面的交集精確分解為：

$$
Q\cap S=C\cup D_0,
$$

且：

$$
C\text{ 的類型為 }(3,1),
\qquad
D_0\text{ 的類型為 }(1,3).
$$

符號計算給出：

$$
\dim I_{C,3}=7,
$$

$$
\dim I_{D_0,3}=7,
$$

$$
\dim(I_{C,3}\cap I_{D_0,3})=4,
$$

$$
\dim J_{S,3}=4,
$$

以及：

$$
\boxed{
\dim
(
I_{C,3}+I_{D_0,3}+J_{S,3}
)
=14.
}
$$

Hodge 定理給出：

$$
\boxed{
\dim I_{\alpha(C),3}=16.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{PD}_3(\alpha(C))=2.
}
$$

純粹性崩解恰好發生於：

$$
\boxed{
b_{\mathrm{pur}}=3.
}
$$

同時，次數 $2$ 在幾何上安全，但僅恢復載體包絡：

$$
\boxed{
E_2=Q\supsetneq C.
}
$$

核心教訓是：

$$
\boxed{
\text{更多 Hodge 零化子資訊，不會自動意味著更多載體資訊}.
}
$$

這是回合 8 的主要閉合。

---

# 參考文獻

1. Maria Gioia Cifani、Gian Pietro Pirola、Enrico Schlesinger，**從 Hodge 類重建曲線**，Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2，72（2023），945--958。  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2104.05576  
   DOI: https://doi.org/10.1007/s12215-021-00704-9  
   相關結果：定理 5.1 及其證明。

2. Hossein Movasati、Emre Can Sertöz，**從週期重建子簇**，Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2，70（2021），1441--1457。  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/1908.03221  
   DOI: https://doi.org/10.1007/s12215-020-00562-x