> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。 # RCHM × Hodge 猜想 — 研究回合 2 ## 約束疊加、抵消域與見證載體轉化 **狀態：** 內部研究筆記 **版本：** 回合 2 / v0.2 **日期：** 2026-09-17 **方法論基礎：** 關係約束交接方法論（RCHM）v0.1 **前一回合：** RCHM × Hodge 猜想 — 研究回合 1 --- ## 0. 回合 2 目標 回合 1 將 Hodge 問題分解為： $$ \text{錨定缺陷} + \text{交接缺陷} + \text{剛性缺陷} + \text{高階形式缺陷}. $$ 回合 2 提出一個更基本的問題： > 當數個約束或見證類被組合時，它們是由什麼算子組合的？ 關鍵修正在於，下列兩種運算並不等價： $$ \text{約束合取} $$ 與 $$ \text{約束疊加}. $$ 這個區別至關重要，因為疊加的約束可能相互抵消。 因此： $$ \boxed{ \text{增加關聯結構，既可能消除自由度，也可能產生新的合法自由度。} } $$ 這是對 RCHM v0.1 的一項重大擴展。 --- # 1.「滿足兩個約束」的兩種不同意義 令 $V$ 為局部變形空間，並令 $$ \Phi_1:V\to Q, \qquad \Phi_2:V\to Q $$ 為一階障礙映射。 各自的合法域為 $$ L_1=\ker\Phi_1, \qquad L_2=\ker\Phi_2. $$ 至少有兩種不同的方式可組合這些約束。 ## 1.1 合取式組合 分別要求兩個約束都成立： $$ \Phi_1(v)=0, \qquad \Phi_2(v)=0. $$ 於是 $$ L_{\wedge} = L_1\cap L_2. $$ 等價地， $$ L_{\wedge} = \ker(\Phi_1\oplus\Phi_2). $$ 這是一般的約束累積。 它只能維持或減少自由度。 --- ## 1.2 疊加式組合 選擇非零係數 $a,b$，並僅施加 $$ a\Phi_1(v)+b\Phi_2(v)=0. $$ 於是 $$ L_{a,b} = \ker(a\Phi_1+b\Phi_2). $$ 必有 $$ L_{\wedge} \subseteq L_{a,b}. $$ 但等號未必成立。 確實，可能出現 $$ \Phi_1(v)\neq0, \qquad \Phi_2(v)\neq0, $$ 同時 $$ a\Phi_1(v) = -b\Phi_2(v). $$ 於是 $$ v\notin L_1, \qquad v\notin L_2, $$ 但 $$ v\in L_{a,b}. $$ 因此： $$ \boxed{ \text{兩個各自不合法的偏離，可以形成合法容許的關係。} } $$ 這不是交集。 這是關聯抵消。 --- # 2. 一階抵消商空間 定義一階關聯抵消域 $$ \boxed{ \mathcal C^{(1)}_{a,b} = \ker(a\Phi_1+b\Phi_2) \big/ (\ker\Phi_1\cap\ker\Phi_2). } $$ 於是 $$ \mathcal C^{(1)}_{a,b}=0 $$ 表示疊加條件並未產生新的無窮小合法方向。 反之， $$ \mathcal C^{(1)}_{a,b}\neq0 $$ 表示存在某些方向，僅因兩條障礙通道相互抵消才是合法的。 定義一階關聯增益 $$ \boxed{ g_1(a,b) = \dim\mathcal C^{(1)}_{a,b}. } $$ 因此： $$ g_1(a,b)>0 $$ 是關係所產生自由度的一個精確線性代數特徵。 這是 RCHM 對近期 Hodge 軌跡文獻所稱的**超額切空間維度**的詮釋。 --- # 3. Hodge 軌跡中的實現 令 $X$ 為光滑超曲面，並令 $$ \gamma_1,\gamma_2 \in H^{2k}(X,\mathbb Q)\cap H^{k,k}(X) $$ 為 Hodge 類。 以 $$ \operatorname{NL}(\gamma) $$ 表示 $\gamma$ 仍維持 Hodge 型的局部 Hodge 軌跡。 分別要求兩個類都維持 Hodge 型，得到 $$ \operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2) = \operatorname{NL}(\gamma_1) \cap \operatorname{NL}(\gamma_2). $$ 對於組合後的類 $$ \gamma_\lambda = \gamma_1+\lambda\gamma_2, \qquad \lambda\in\mathbb Q^\times, $$ 恆有 $$ \boxed{ \operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2) \subseteq \operatorname{NL}(\gamma_1+\lambda\gamma_2). } $$ 此包含關係可能是嚴格的。 在切空間層級： $$ T_X\operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2) \subseteq T_X\operatorname{NL}(\gamma_1+\lambda\gamma_2). $$ Kloosterman 將嚴格包含形式化為超額切空間維度。 RCHM 將商空間 $$ \boxed{ \mathcal C^{(1)}_\lambda = T_X\operatorname{NL}(\gamma_1+\lambda\gamma_2) \big/ T_X\operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2) } $$ 辨識為由抵消產生的合法域。 --- # 4. 為何 Hodge 條件可以抵消 在無窮小層級，$\gamma$ 維持 $(k,k)$ 型的條件，對類 $\gamma$ 是線性的。 若與 $\gamma_i$ 相關的一階 Hodge 障礙為 $$ \Phi_{\gamma_i}(v), $$ 則線性性給出 $$ \Phi_{\gamma_1+\lambda\gamma_2}(v) = \Phi_{\gamma_1}(v) + \lambda\Phi_{\gamma_2}(v). $$ 故方向 $v$ 可滿足 $$ \Phi_{\gamma_1}(v)\neq0, $$ $$ \Phi_{\gamma_2}(v)\neq0, $$ 但 $$ \Phi_{\gamma_1}(v) + \lambda\Phi_{\gamma_2}(v) = 0. $$ 因此： $$ \boxed{ \text{一個關係的 Hodge 合法性} \not\Rightarrow \text{各個分量的 Hodge 合法性}. } $$ 這為下列 RCHM 敘述提供了一個具體的數學模型： $$ \boxed{ \text{關聯合法性可以是湧現的。} } $$ --- # 5. 超曲面的代數表述 對於次數為 $d$ 的光滑超曲面 $$ X\subset\mathbb P^{2k+1}, $$ 其本原上同調透過 Jacobian 環描述。 對於 Hodge 類 $\gamma$，目前的超曲面方法會與之關聯一個 Artin Gorenstein 理想 $$ I(\gamma)\subset S = \mathbb C[x_0,\ldots,x_{2k+1}]. $$ 在通常的假設下，次數為 $d$ 的部分決定 Hodge 軌跡的切空間： $$ T_X\operatorname{NL}(\gamma) \leftrightarrow I(\gamma)_d. $$ 對於兩個獨立的類，Kloosterman 證明超額切空間商空間可用雙線性配對的左核，以代數方式寫出。 示意地， $$ \boxed{ \frac{ T_X\operatorname{NL}(\gamma_1+\lambda\gamma_2) }{ T_X\operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2) } \simeq \ker_L(\psi_1+\nu(\lambda)\psi_2). } $$ 這是 RCHM 抵消商空間的一個具體實作。 因此，抽象的障礙抵消圖景不僅僅是比喻。 它已存在於可計算的交換代數中。 --- # 6. 抵消何時消失 對於兩個完全交循環 $Y_1,Y_2$，Kloosterman 給出一些條件，使一般的非零線性組合沒有超額切空間維度。 對於兩個 $k$-平面，其交集餘維為 $c$，一個關鍵的數值門檻是 $$ (c-1)(d-2)>2. $$ 在此範圍內，一般組合的表現具有足夠剛性，使得 $$ T_X\operatorname{NL}([\Pi_1]+\lambda[\Pi_2]) = T_X\operatorname{NL}([\Pi_1],[\Pi_2]) $$ 於相關的一般情況成立。 因此，以 RCHM 的語言表述： $$ \boxed{ \text{幾何分離} + \text{次數} \Rightarrow \text{抑制關聯抵消}. } $$ 因此，該門檻可詮釋為**抵消許可邊界**。 在邊界上或邊界以下， $$ (c-1)(d-2)\le2, $$ 特殊的抵消行為成為可能。 重要的例外範圍包括 $$ (d,c)\in \{(4,2),(3,3),(3,2)\}. $$ --- # 7. 一個具體的維度例子 考慮 $$ d=4, \qquad k=3, \qquad c=2. $$ 因此 $X$ 是位於 $$ \mathbb P^7, $$ 中的四次六維簇，包含兩個交於一條直線的 $3$-平面。 對於一個固定的 $3$-平面，四次超曲面包含它的條件，對四次多項式施加 $$ \binom{k+d}{d} = \binom{7}{4} = 35 $$ 個線性條件。 $3$-平面在 $\mathbb P^7$ 中的 Grassmann 簇，其維度為 $$ (k+1)^2 = 16. $$ 故包含某個 $3$-平面的軌跡，其預期餘維為 $$ 35-16 = 19. $$ 對於一對有序 $3$-平面，其交集餘維為 $2$，這類平面對的空間維度為 $$ (k+1)^2-c^2+2c(k+1) = 16-4+16 = 28. $$ 固定的一對平面施加 $$ 2\binom{7}{4} - \binom{5}{4} = 70-5 = 65 $$ 個條件。 因此，包含這類平面對的軌跡，其餘維為 $$ 65-28 = 37. $$ 這提供了一個具體基準： $$ \operatorname{codim} \operatorname{NL}([\Pi_1],[\Pi_2]) = 37 $$ 於光滑的預期情況成立。 組合後的類，其合法變形域可能比此聯合軌跡更大。 此差異正是關聯抵消區域。 --- # 8. 最重要的幾何發現：見證載體轉化 回合 2 最強的觀察並不是切空間計算。 而是**代數見證本身的類型，可以在合法變形下改變**。 考慮四次情形 $$ d=4, \qquad c=2. $$ Kloosterman 構造了一個平坦族 $$ (X_t,Y_t) $$ 使得當 $t\neq0$ 時，$Y_t$ 是多重次數為 $$ (2,2,1,\ldots,1), $$ 的完全交，而在特殊纖維上，本原類滿足 $$ [Y_0]_{\mathrm{prim}} = [\Pi_1]_{\mathrm{prim}} - [\Pi_2]_{\mathrm{prim}}. $$ 因此，關係 $$ [\Pi_1]-[\Pi_2] $$ 不必一直表示為兩個各自獨立變形的平面之差。 它可以交接至新的幾何載體： $$ \boxed{ \text{兩平面關係} \longrightarrow \text{完全交見證}. } $$ 這促成了以下 RCHM 概念： $$ \boxed{ \textbf{見證載體轉化}. } $$ 合法關係可以在改變其見證的幾何類型時，維持其上同調身分。 --- # 9. 三次例子：通往 Grassmann 型載體的關係 對於 $$ d=3, \qquad c=3. $$ 有類似現象。對於兩個 $k$-平面，其交集維度為 $k-3$，Kloosterman 構造了一個平坦族，其一般見證是 Plücker 嵌入 $$ G(2,5)\hookrightarrow\mathbb P^9. $$ 之上迭代錐的線性截面。在特殊纖維上，忽略環境超平面的貢獻後，該類變成 $$ [\Pi_1]+[\Pi_2]. $$ 因此： $$ \boxed{ \text{線性見證之和} \longrightarrow \text{Grassmann 型見證}. } $$ 這是回合 1 所提出橋接物件機制的一個明確例子。 它不再只是設想。 橋接物件在幾何上確實存在。 --- # 10. 對見證搜尋的影響 回合 1 隱含地有採用下列形式見證空間的風險 $$ M_\alpha = \text{單一幾何類型的一個 Hilbert 分支}. $$ 回合 2 顯示這可能過於限制。 Hodge 猜想只要求一個有理代數循環： $$ Z = \sum_i q_i Z_i, \qquad q_i\in\mathbb Q. $$ 它並不要求： - 一個不可約子簇； - 一個固定的 Hilbert 分支； - 保留原始分解； - 保留原始次數； - 保留原始載體類型。 因此，正確的見證域必須允許**載體改變**。 不用單一見證空間，而採用帶過濾結構的聯集： $$ \mathcal W^p(X) = \bigcup_{\tau} \mathcal W^p_\tau(X), $$ 其中 $\tau$ 索引見證類型。 $\tau$ 的例子可以編碼： - 不可約分支的數量； - 次數； - 完全交類型； - Hilbert 多項式； - Chow 分層； - 特殊的齊性幾何； - 橋接物件類型。 因此，變形交接可能具有以下形式 $$ \mathcal W_{\tau_0} \longrightarrow \mathcal W_{\tau_1} $$ 且 $$ \tau_0\neq\tau_1. $$ --- # 11. 見證複雜度過濾 在代數循環的表示上引入單調的複雜度函數 $$ \mathfrak c(Z) $$ 。 對於 Hodge 類 $\alpha$，將其最小已知見證複雜度定義為 $$ \boxed{ \kappa_X(\alpha) = \inf \left\{ \mathfrak c(Z): cl(Z)=\alpha \right\}. } $$ 更一般地，定義 $$ \mathcal A^p_{\le B}(X) = \left\{ \alpha: \exists Z,\; cl(Z)=\alpha,\; \mathfrak c(Z)\le B \right\}. $$ 於是 $$ \mathcal A^p_{\le B}(X) \subseteq \mathcal A^p_{\le B'}(X) \qquad (B\le B'). $$ 完整的代數見證域為 $$ \mathcal A^p(X) = \bigcup_B \mathcal A^p_{\le B}(X). $$ 因此，Hodge 猜想變為： $$ \boxed{ \forall\alpha\in\mathcal H^p(X), \quad \kappa_X(\alpha)<\infty. } $$ 此表述並未解決猜想。 它的目的在於演算法：見證搜尋可以系統性擴張，而不是預設單一載體類型。 --- # 12. 虛假線性循環對載體辨識的警示 對於次數為 $$ d=3,4,6, $$ 的 Fermat 超曲面，Duque Franco 與 Villaflor 構造了無窮多個虛假線性循環。 它們所關聯的 Artin Gorenstein 理想，其 Hilbert 函數行為與真正線性循環所關聯的理想相同，且其 Hodge 軌跡具有最大的一階切空間維度。 然而，它們並不是真正的線性循環。 作者進一步使用二階 IVHS 資訊，偵測 Hodge 軌跡的非約化行為。 在相關的 Fermat 情形中，Hodge 猜想已知成立，因此這些 Hodge 類是代數的，而且確實是線性循環的有理組合。 因此： $$ \boxed{ \text{一階載體特徵} \not\Rightarrow \text{實際載體身分}. } $$ 這是一項關鍵的 RCHM 警告。 表面上的介面，可能是另一種見證結構的**別名**。 --- # 13. 介面混疊 若兩個見證類型 $\tau_1,\tau_2$ 在某點的可觀察 Hodge 變形資料，直到 $r$ 階都一致，但其幾何載體不同，則定義它們在該點為 $r$ 階介面別名。 符號化地： $$ J^r_{\mathrm{Hodge}}(\tau_1) = J^r_{\mathrm{Hodge}}(\tau_2), $$ 同時 $$ \tau_1\neq\tau_2. $$ 虛假線性循環展示了 $1$ 階混疊確實可能發生。 因此： $$ \boxed{ \text{週期／切空間重建需要深度參數}. } $$ 不應僅從一階資料辨識載體。 --- # 14. jet 層級的抵消缺陷 令 $$ \mathcal O $$ 為環境變形空間在 $X$ 的局部環，其極大理想為 $\mathfrak m$。 令 $$ I_{\mathrm{joint}} $$ 為下列軌跡的局部理想 $$ \operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2), $$ 並令 $$ I_{\lambda} $$ 為下列軌跡的局部理想 $$ \operatorname{NL}(\gamma_1+\lambda\gamma_2). $$ 由於 $$ \operatorname{NL}(\gamma_1,\gamma_2) \subseteq \operatorname{NL}(\gamma_1+\lambda\gamma_2), $$ 我們有 $$ I_\lambda \subseteq I_{\mathrm{joint}}. $$ 定義截斷的局部代數 $$ A^{(r)}_\lambda = \mathcal O/ (I_\lambda+\mathfrak m^{r+1}), $$ 以及 $$ A^{(r)}_{\mathrm{joint}} = \mathcal O/ (I_{\mathrm{joint}}+\mathfrak m^{r+1}). $$ 定義 $r$ 階抵消缺陷 $$ \boxed{ \delta_r(\lambda) = \dim_{\mathbb C}A^{(r)}_\lambda - \dim_{\mathbb C}A^{(r)}_{\mathrm{joint}}. } $$ 於是 $$ \delta_r(\lambda)\ge0. $$ 詮釋： - $\delta_1>0$：一階關聯自由度； - $\delta_1=0$ 但 $\delta_2>0$：隱藏的二階差異； - 起初數個 $\delta_r=0$，之後出現 $\delta_{r+1}>0$：延遲的關聯分支； - 在所有形式階數持續相等，提示形式上的重合； - 約化軌跡仍可能需要另外進行全域／分支分析。 這將回合 1 的缺陷階梯，擴展為**聯合合法性**與**關係合法性**的比較。 --- # 15. 約束代數 回合 2 提示 RCHM 需要一套明確的約束組合代數。 令 $$ \Gamma_1,\ldots,\Gamma_m $$ 為約束通道。 應至少區分四種不同的組合算子。 ## 15.1 合取 $$ \Gamma_{\wedge} = \Gamma_1\wedge\cdots\wedge\Gamma_m. $$ 效果： $$ \text{自由度減少}. $$ --- ## 15.2 疊加 對於取值為障礙的約束： $$ \Gamma_a : \sum_i a_i\Phi_i=0. $$ 效果： $$ \text{自由度可能透過抵消而增加}. $$ --- ## 15.3 取商 將透過對稱或等價關係相聯的狀態視為相同： $$ D/\sim. $$ 效果： $$ \text{透過等同辨識減少表面上的自由度}. $$ --- ## 15.4 交接 維持某個不變量的狀態，改變載體： $$ (W_{\tau_0},\alpha) \longrightarrow (W_{\tau_1},\alpha). $$ 效果： $$ \text{表示改變，而關聯身分得以維持}. $$ 因此，不能僅從約束的數量推論系統行為。 必須指定組合算子。 --- # 16. 新的 RCHM 原則：約束組合的非單調性 一個樸素的原則說： $$ \text{更多約束} \Rightarrow \text{更少自由度}. $$ 回合 2 顯示，這對合取成立，對疊加卻不成立。 修正後的原則是： $$ \boxed{ \text{約束數量不決定有效自由度；} \text{ 約束的組合方式才決定有效自由度。} } $$ 更形式化地： $$ \boxed{ \ker(\Phi_1\oplus\Phi_2) \subseteq \ker(a\Phi_1+b\Phi_2), } $$ 而且，恰在存在非平凡抵消時，出現嚴格包含。 這是關聯所產生可容許性的最簡單嚴格模型。 --- # 17. 新的 RCHM 原則：見證身分不等於載體身分 必須區分上同調物件與其幾何載體。 令 $$ \alpha $$ 為被搬運的不變類。 時刻 $t$ 的見證是某個 $$ W_t $$ 使得 $$ cl(W_t)=\alpha_t. $$ 並不要求 $$ W_t $$ 一直留在同一個固定的幾何族中。 因此： $$ \boxed{ cl(W_{t_0})=cl(W_{t_1}) \text{ 在搬運下} } $$ 並不蘊含 $$ \boxed{ \operatorname{Type}(W_{t_0}) = \operatorname{Type}(W_{t_1}). } $$ 這個區別對任何全域見證搜尋策略都是必要的。 --- # 18. 修訂後的 Hodge 攻關架構 回合 1 提出： $$ \text{合法狀態} \to \text{錨定見證} \to \text{變形交接} \to \text{形式提升}. $$ 回合 2 將其修訂為： $$ \boxed{ \text{合法狀態} \to \text{見證集群} \to \text{約束組合} \to \text{抵消分析} \to \text{載體交接} \to \text{jet 深度核驗} \to \text{全域閉合}. } $$ 見證集群必須允許類型改變。 約束層必須區分合取與疊加。 jet 層必須防止切空間混疊導致的錯誤辨識。 --- # 19. 下一回合的實用搜尋演算法 給定一個最初表示為下列形式的 Hodge 類 $$ \gamma = \sum_{i=1}^r a_i[Z_i], $$ 執行： ### 步驟 1 — 提取個別障礙 構造 $$ \Phi_i. $$ ### 步驟 2 — 聯合合法域 計算 $$ L_{\wedge} = \bigcap_i\ker\Phi_i. $$ ### 步驟 3 — 疊加合法域 計算 $$ L_a = \ker\left(\sum_i a_i\Phi_i\right). $$ ### 步驟 4 — 一階關聯增益 計算 $$ \mathcal C^{(1)}_a = L_a/L_{\wedge}. $$ ### 步驟 5 — 搜尋幾何載體替代物 對 $\mathcal C^{(1)}_a$ 中的每個新方向，詢問組合後的類是否容許另一種類型的見證： $$ \tau_0\to\tau_1. $$ ### 步驟 6 — jet 核驗 計算或近似 $$ \delta_2,\delta_3,\ldots. $$ ### 步驟 7 — 擴張載體複雜度 若目前的類型預算 $B$ 中不存在見證，則擴大 $$ \mathcal W_{\le B} \to \mathcal W_{\le B'}. $$ ### 步驟 8 — 全域分支閉合 判定局部方向形成的是： - 一個約化分支； - 一個非約化分支； - 多條分支； - 實際更大的 Hodge 軌跡。 --- # 20. 近期的下一個目標 最強的下一個測試，不再是單一線性循環。 而是一對 $$ \Pi_1,\Pi_2 $$ 其交集受到控制。 兩個特別有用的範圍是： $$ (d,c)=(4,2) $$ 與 $$ (d,c)=(3,3). $$ 它們包含測試 RCHM 所需的全部要素： - 明確的 Jacobian 環控制； - 明確的 Artin Gorenstein 理想； - 超額切空間維度； - 特殊的係數值 $\lambda$； - 可約的 Hodge 軌跡； - 非約化行為； - 載體轉化； - 明確的平坦族； - 完全交見證； - Grassmann 型見證。 因此，下一研究回合應攻關下列映射 $$ \boxed{ \lambda \longmapsto \left( g_1(\lambda), \delta_2(\lambda), \operatorname{CarrierType}(\lambda) \right). } $$ 目標是判定係數空間本身，是否能有限分層為不同的關聯範圍。 這將把非正式的問題 >「兩個合法的無窮彼此相交時，會發生什麼？」 轉化為可計算的版本： $$ \boxed{ \text{給定兩條約束通道與一個耦合係數， 會產生什麼合法域與見證載體？} } $$ --- # 21. 回合 2 結論 回合 2 產生五項主要結論。 ### 結論 A — 交集不足以涵蓋問題 $$ \boxed{ \text{聯合合法性} \neq \text{疊加合法性}. } $$ ### 結論 B — 關係可以產生自由度 $$ \boxed{ \mathcal C^{(1)}_{a,b}\neq0 } $$ 表示某些自由度僅因兩個不合法偏離相互抵消而存在。 ### 結論 C — 約束需要算子 $$ \boxed{ \text{約束組合} \text{ 比約束數量更強地決定自由度}. } $$ ### 結論 D — 見證載體可以改變 $$ \boxed{ \text{上同調身分可以在幾何載體轉化中維持}. } $$ ### 結論 E — 一階特徵並不足夠 $$ \boxed{ \text{切空間一致} \not\Rightarrow \text{載體身分} \not\Rightarrow \text{概形層級的相等}. } $$ 升級後的 RCHM 鏈為： $$ \boxed{ \text{域} \to \text{約束算子} \to \text{抵消區域} \to \text{見證集群} \to \text{載體交接} \to \text{jet 核驗} \to \text{全域閉合}. } $$ 這是回合 2 的主要方法論產出。 --- # 參考文獻 1. Remke Kloosterman，**關於線性子簇線性組合之 Hodge 軌跡的一個猜想**，Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2，74，文章 187（2025）。 DOI: https://doi.org/10.1007/s12215-025-01307-4 2. Jorge Duque Franco 與 Roberto Villaflor Loyola，**Fermat 簇內的虛假線性循環**，Algebra & Number Theory 17（2023），1847–1865。 arXiv: https://arxiv.org/abs/2112.14818 DOI: https://doi.org/10.2140/ant.2023.17.1847 3. Roberto Villaflor Loyola，**包含 Fermat 簇的 Hodge 軌跡之小餘維分支**，Communications in Contemporary Mathematics 24（2022）。 arXiv: https://arxiv.org/abs/2001.01019 4. Remke Kloosterman，**射影空間中超曲面上完全交的變分 Hodge 猜想**，Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova 148（2022），185–201。 5. Hossein Movasati，**葉概形與 Hodge 軌跡**，預印本（2025）。 arXiv: https://arxiv.org/abs/2502.19988 6. Ananyo Dan 與 Inder Kaur，**半正則簇與變分 Hodge 猜想**，Comptes Rendus Mathématique 354（2016），297–300。 DOI: https://doi.org/10.1016/j.crma.2016.01.005