# Projection Possibility Space · Paper 01 重建版
## 3D Projection Possibility Space：三維母體與二維配置族

**版本：** reconstructed-v1 · 2026-10-08  
**性質：** 依 Neo.K 指示，從 PPS Papers 02–06 对前置 Paper 01 的引用重建基礎層。原稿與原始對話未恢復；下列定義是本次提出的相容整理，不宣稱原作者曾使用完全相同的記號。

## 1. 問題與母體

給定二維研究域 \(\mathcal C\)、任務量 \(Q:\mathcal C\to\mathbb R\)，一般方法直接枚舉平面形狀。PPS 的基礎提案是改用可投影的三維母體 \(M\subset\mathbb R^3\)，連同姿態及投影參數產生配置族。

設變換為 \(T_\theta\)，投影為 \(\Pi_\eta\)，則

\[
G(\theta,\eta)=\Pi_\eta(T_\theta M),\qquad
\mathcal P(M)=\{G(\theta,\eta):(\theta,\eta)\in\Theta\times H\}.
\]

這定義了一個可搜尋族，並未證明 \(\mathcal P(M)=\mathcal C\)。凡欲用它證明全域結論，必須補上覆蓋或化約命題。

## 2. 最小三層物件

| 層 | 保存的內容 |
|---|---|
| 3D source | 母體、變換、投影方向、形狀來源與參數域 |
| 2.5D intermediate | 深度、layer order、遮擋／可見性及各投影片的來源標籤 |
| 2D projection | 研究形狀、邊界、支撐函數、接觸與任務量 |

2.5D 不是另一個抽象空間維數；它是保留部分來源資訊的中介記錄。投影通常非單射，因此只有二維影像未必足以恢復母體或遮擋事件。

## 3. 基本穩定性命題

若 \(\Pi\) 是 Lipschitz 常數 L 的映射，K、K′ 為非空緊集，則

\[
d_H(\Pi K,\Pi K')\le Ld_H(K,K').
\]

證明：對每個 \(x\in K\) 選距離 K′ 任意接近下確界的 y，使用 \(\|\Pi x-\Pi y\|\le L\|x-y\|\)；兩方向取 supremum 即得。正交投影可取 L=1。

這是幾何誤差傳播的局部工具，尚未給出任務量 Q 的誤差。後者要另列 Q 的連續性／Lipschitz 契約。

## 4. 邊界來源要另外追蹤

通常不能把 \(\Pi(\partial K)\) 直接當作 \(\partial(\Pi K)\)。例如三維單位球體的球面投影填滿二維圓盤，卻只有圓周是投影圓盤的邊界。因此 boundary event ledger 要記錄哪些 source patches 實際生成可見外邊界。

這正是後續 PPS-03 的 subject/object/boundary 分層，以及 PPS-05 的 hidden geometry 要處理的資訊損失。

## 5. 最小可重播例子

取三維單位線段

\[
M=\{(s,0,0):-1/2\le s\le1/2\},
\]

繞 y 軸旋轉 θ，再投影到 xy 平面。所得線段長度為 \(|\cos\theta|\)。在 θ=π/2 投影塌縮，在兩側重新展開。

這個例子展示：有限 frames 可以漏掉退化事件；連續族與事件方程則明列 \(\cos\theta=0\)。它是教學例子，沒有提供 Lebesgue 或蟲問題的證書。

## 6. Projection Certificate 的最小欄位

```text
source_id / source_hash
mother_geometry / parameter_domain
transform / projection / coordinate_conventions
intermediate_state / visible_boundary_sources
target_shape / task_functional / assumptions
critical_events / coverage_status / evidence
```

憑證須區分研究域內的覆蓋、整個配置空間的覆蓋及數值抽樣。未恢復的原始資料使用 null；不以虛構的 source hash 補齊。

## 7. 與後續系列的接合

- Paper 02：把參數路徑時間化，形成 \(G_t=\Pi_t(T_tM)\)。
- Paper 03：把主體、客體與邊界來源分開。
- Paper 04：擴大到非剛性擾動物。
- Paper 05：追蹤投影诱發的隱藏幾何。
- Paper 06：以對抗式重推導、反例與閉合帳驗證使用範圍。

本版沿用定義、契約和已閉項目三者分列的方式，並保留後續系列的權威階梯。它沒有替 Paper 06 與其他案例中尚未對齊的階梯順序作全站改判。

## 8. 剩餘責任

真正應用到一個猜想時，仍須給出母體選擇、目標域覆蓋、退化與遮擋的完整處理、任務量穩定性、有限證書及全域量詞的化約。本版提供系列可讀的前置物件，不宣稱這些責任已完成。

===END OF RECONSTRUCTED EDITION===