# Projection Possibility Space Series
## Paper 03 — Subject–Object–Boundary Geometry
### 主、客、邊三元幾何系統：從觀察者、擾動物與界面耦合到投影可能性
### Subject–Object–Boundary Geometry: A Triadic Geometric System for Observer, Perturbation Object, Interface Coupling, and Projection Possibility

**文件代號：** `PPS-SOBG-03-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-21  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**系列：** Projection Possibility Space / 投影可能性空間系列  
**前置：** Paper 01 — 3D Projection Possibility Space；Paper 02 — Dynamic Projection Geometry  
**狀態：** `FOUNDATIONAL THEORY / TRIADIC GEOMETRIC STATE MODEL`

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# 摘要

傳統幾何建模通常把「物體」視為主要研究對象，而把觀察位置、投影規則、容器邊界、接觸界面與可見性條件當成背景設定。然而，對需要進行幾何閉合、反例搜尋、動態投影與可能性空間展開的問題而言，這種做法容易把真正影響結果的變因偷偷固定。

本文提出：

$$
\boxed{
\textbf{Subject–Object–Boundary Geometry}
}
$$

簡稱：

$$
\boxed{
\textbf{SOB Geometry}.
}
$$

其基本狀態不是單一客體：

$$
O,
$$

而是：

$$
\boxed{
\Gamma
=
\langle
S,
O,
\partial
\rangle.
}
$$

其中：

$$
S
=
\text{Subject / Observer},
$$

$$
O
=
\text{Object / Perturbation Object},
$$

$$
\partial
=
\text{Boundary / Carrier / Interface}.
$$

本文主張：若幾何結論依賴投影、接觸、容器、可見性、相對姿態或操作方式，那麼主體、客體與邊界都應成為顯式狀態變數，而不能只修改客體本身。

本文進一步將：

$$
\partial
$$

拆成：

$$
\partial_{\rm container},
\quad
\partial_{\rm contact},
\quad
\partial_{\rm projection},
\quad
\partial_{\rm visibility},
$$

並將 Subject 拆成：

- pose；
- projection convention；
- observation direction；
- sampling rule；
- temporal path；
- resolution / tolerance；
- query semantics。

因此同一個客體：

$$
O
$$

在不同：

$$
S
$$

或：

$$
\partial
$$

下，可產生不同有效幾何結果：

$$
\boxed{
\mathcal R(S_1,O,\partial_1)
\ne
\mathcal R(S_2,O,\partial_2).
}
$$

本文最後建立 Triadic Perturbation、Observer Relativity Audit、Boundary Responsibility Graph、Coupled Closure 與 Subject–Object–Boundary Certificate，使未來的 3D→2.5D→2D 動態實驗、柔性擾動與 Lebesgue 類幾何閉合能在同一形式框架下運作。

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# 關鍵詞

subject–object–boundary、observer geometry、boundary coupling、projection geometry、interface geometry、triadic state、geometric relativity、visibility boundary、contact boundary、counterexample search、closure audit、interactive geometry

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# 0. 研究定位

Paper 01 建立：

$$
3D
\rightarrow
2.5D
\rightarrow
2D
$$

作為投影可能性展開。

Paper 02 建立：

$$
G_t
=
\Pi_t(T_tM)
$$

作為連續幾何實驗。

但這兩篇仍保留一個隱含假設：

> 誰在看？什麼在被看？哪一個邊界決定什麼可以被看見、接觸、容納、投影？

若這些不拆開，則：

$$
\Pi
$$

與：

$$
T
$$

仍然可能把大量背景假設偷偷藏在 operator 裡。

因此本文提出：

$$
\boxed{
\Gamma
=
\langle
S,O,\partial
\rangle.
}
$$

---

# 1. 為什麼「只有 Object」不夠

傳統幾何優化常寫：

$$
\min_O
F(O).
$$

或者：

$$
P(O).
$$

但若：

$$
P
$$

實際依賴：

- observer；
- projection；
- container；
- visibility；
- contact rule；

那真正問題應寫成：

$$
\boxed{
P(S,O,\partial).
}
$$

若只改：

$$
O
$$

而固定：

$$
S,\partial,
$$

則得到的 closure 只是：

$$
\boxed{
\text{conditional closure under fixed subject and boundary}.
}
$$

---

# 2. 三元狀態

定義：

$$
\boxed{
\Gamma
=
\langle
S,O,\partial
\rangle.
}
$$

其中三者均為狀態空間中的元素：

$$
S\in\mathcal S,
$$

$$
O\in\mathcal O,
$$

$$
\partial\in\mathcal B.
$$

因此完整狀態空間：

$$
\boxed{
\mathcal X
=
\mathcal S
\times
\mathcal O
\times
\mathcal B.
}
$$

---

# 3. Subject 不是人類心理主體

本文中的：

$$
S
$$

首先是一個 operational observer。

它不要求：

- 意識；
- 人格；
- 感受；
- 主觀經驗。

而只要求：

$$
\boxed{
\text{它決定「如何取得幾何資訊」。}
}
$$

---

# 4. Subject State

Subject 可以形式化為：

$$
\boxed{
S
=
(
P,
V,
\Pi,
Q,
\Sigma,
\tau
).
}
$$

其中：

- $P$：observer pose；
- $V$：view / observation direction；
- $\Pi$：projection / reduction operator；
- $Q$：query semantics；
- $\Sigma$：sampling / resolution / tolerance；
- $\tau$：observation path or time rule。

---

# 5. Observer Pose

最基本：

$$
P\in SE(3)
$$

或：

$$
P\in SE(2)
$$

依問題而定。

不同 pose：

$$
P_1
\ne
P_2
$$

即使：

$$
O
$$

與：

$$
\partial
$$

不變，也可能得到：

$$
\boxed{
R(P_1,O,\partial)
\ne
R(P_2,O,\partial).
}
$$

---

# 6. Projection Convention

Subject 也包含：

$$
\Pi.
$$

例如：

- orthographic；
- perspective；
- oblique；
- stereographic；
- slice；
- silhouette；
- depth collapse；
- visibility projection。

所以：

$$
\boxed{
\text{observer change}
\not\equiv
\text{camera translation only}.
}
$$

---

# 7. Query Semantics

更進一步：

$$
Q
$$

決定觀察者到底問什麼。

例如：

$$
Q_1:
\text{is it contained?}
$$

$$
Q_2:
\text{is it visible?}
$$

$$
Q_3:
\text{is it tangent?}
$$

$$
Q_4:
\text{is the projected topology unchanged?}
$$

同一狀態：

$$
\Gamma
$$

在不同 query 下可有不同判定。

因此：

$$
\boxed{
\text{geometric observation is query-relative}.
}
$$

---

# 8. Sampling Rule

Subject 也可以攜帶：

$$
\Sigma
$$

例如：

- angular step；
- pixel resolution；
- interval precision；
- time step；
- mesh density；
- contact epsilon。

若：

$$
\Sigma_1
\ne
\Sigma_2,
$$

可能得到不同 numerical observations。

因此要區分：

$$
\boxed{
\text{mathematical state}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{sampled observation}.
}
$$

---

# 9. Object State

客體：

$$
O
$$

可以是：

- rigid body；
- convex body；
- curve；
- deformable body；
- articulated body；
- multi-body system；
- field；
- graph-embedded geometry。

一般形式：

$$
\boxed{
O
=
(
G,
A,
D,
L
)
}
$$

其中：

- $G$：geometry；
- $A$：articulation；
- $D$：deformation state；
- $L$：labels / provenance。

---

# 10. Object 不等於 Rendered Mesh

客體 canonical geometry：

$$
O_{\rm can}
$$

與 rendering geometry：

$$
O_{\rm render}
$$

必須區分。

$$
\boxed{
O_{\rm render}
=
R(O_{\rm can}).
}
$$

但：

$$
\boxed{
O_{\rm render}
\text{ 不得成為唯一 proof source}.
}
$$

---

# 11. Boundary 是什麼

本文中的：

$$
\partial
$$

不是單純：

> 物體的外框。

它是：

$$
\boxed{
\text{決定幾何可行性、接觸、投影、可見性或觀察介面的邊界系統。}
}
$$

---

# 12. Boundary 分層

定義：

$$
\boxed{
\partial
=
(
\partial_C,
\partial_K,
\partial_P,
\partial_V
).
}
$$

其中：

$$
\partial_C
=
\partial_{\rm container},
$$

$$
\partial_K
=
\partial_{\rm contact},
$$

$$
\partial_P
=
\partial_{\rm projection},
$$

$$
\partial_V
=
\partial_{\rm visibility}.
$$

---

# 13. Container Boundary

$$
\partial_C
$$

決定：

$$
O
$$

是否可被容納。

例如：

$$
O\subset C.
$$

或者：

$$
\operatorname{dist}(O,\partial C)\ge0.
$$

---

# 14. Contact Boundary

$$
\partial_K
$$

決定：

- contact；
- tangency；
- penetration；
- support；
- frictionless interface；
- active constraint。

可以定義：

$$
g_i(S,O,\partial_K)\ge0.
$$

當：

$$
g_i=0,
$$

表示 active contact。

---

# 15. Projection Boundary

$$
\partial_P
$$

決定：

$$
\Pi
$$

投影到哪裡。

例如投影面：

$$
H.
$$

或 screen：

$$
\Sigma_P.
$$

投影並不是沒有邊界的抽象操作。

---

# 16. Visibility Boundary

$$
\partial_V
$$

決定：

- clipping；
- near/far plane；
- occlusion；
- depth ordering；
- visibility mask。

所以：

$$
\boxed{
\text{visible geometry}
\ne
\text{projected geometry}.
}
$$

---

# 17. 同一客體的不同有效幾何

定義 reduction：

$$
\mathcal R:
\mathcal S
\times
\mathcal O
\times
\mathcal B
\rightarrow
\mathcal Y.
$$

則：

$$
\boxed{
Y
=
\mathcal R(S,O,\partial).
}
$$

若：

$$
S_1\ne S_2,
$$

則可能：

$$
Y_1\ne Y_2.
$$

若：

$$
\partial_1\ne\partial_2,
$$

也可能：

$$
Y_1\ne Y_2.
$$

---

# 18. Subject–Object Coupling

Subject 與 Object 之間有相對幾何：

$$
\boxed{
R_{SO}.
}
$$

例如：

$$
R_{SO}
=
P_S^{-1}P_O.
$$

因此 absolute coordinates 不是唯一重要量。

很多觀察只依賴：

$$
\boxed{
\text{relative configuration}.
}
$$

---

# 19. Object–Boundary Coupling

Object 與 Boundary 之間有：

$$
R_{O\partial}.
$$

例如：

- containment；
- contact；
- support；
- clearance；
- penetration。

所以：

$$
\boxed{
O
\text{ 的幾何角色取決於它相對 boundary 的位置。}
}
$$

---

# 20. Subject–Boundary Coupling

Subject 與 Boundary 之間也有：

$$
R_{S\partial}.
$$

例如：

- camera 相對 projection plane；
- observer 相對 clipping region；
- sensor 相對 visibility aperture。

所以：

$$
\boxed{
\partial
\text{ 不只是 Object 的 boundary，也可以是 Subject 的介面。}
}
$$

---

# 21. 三角耦合

完整系統不是兩兩獨立。

定義：

$$
\boxed{
\mathcal C_{SOB}
=
(
R_{SO},
R_{O\partial},
R_{S\partial}
).
}
$$

則：

$$
\Gamma
$$

的有效幾何可能由三邊共同決定。

---

# 22. 為什麼叫「主、客、邊」

因為：

$$
S
$$

決定怎麼看；

$$
O
$$

決定看什麼；

$$
\partial
$$

決定什麼被允許、接觸、投影、遮擋或裁切。

因此：

$$
\boxed{
\text{geometry}
=
\text{subject}
+
\text{object}
+
\text{boundary relation}.
}
$$

---

# 23. Static SOB State

靜態狀態：

$$
\Gamma_0
=
\langle
S_0,O_0,\partial_0
\rangle.
$$

其輸出：

$$
Y_0
=
\mathcal R(\Gamma_0).
$$

---

# 24. Dynamic SOB State

動態：

$$
\boxed{
\Gamma(t)
=
\langle
S(t),
O(t),
\partial(t)
\rangle.
}
$$

輸出：

$$
\boxed{
Y(t)
=
\mathcal R(
S(t),
O(t),
\partial(t)
).
}
$$

Paper 02 的動態投影現在被展開成三元形式。

---

# 25. Perturbation 不能只寫 $\Delta O$

傳統壓測可能只做：

$$
O
\rightarrow
O+\Delta O.
$$

本文要求更完整：

$$
\boxed{
\Gamma
\rightarrow
\Gamma'
=
\langle
S+\Delta S,
O+\Delta O,
\partial+\Delta\partial
\rangle.
}
$$

---

# 26. 三類擾動

## Subject perturbation

$$
\Delta S.
$$

例如：

- camera；
- projection；
- observer motion；
- resolution；
- query。

## Object perturbation

$$
\Delta O.
$$

例如：

- rotation；
- translation；
- bend；
- deformation；
- topology change。

## Boundary perturbation

$$
\Delta\partial.
$$

例如：

- container shape；
- projection plane；
- clipping rule；
- contact surface；
- visibility aperture。

---

# 27. Triadic Perturbation Space

定義：

$$
\boxed{
\Delta\mathcal X
=
\Delta\mathcal S
\times
\Delta\mathcal O
\times
\Delta\mathcal B.
}
$$

最後壓力測試應探索：

$$
\boxed{
(\Delta S,\Delta O,\Delta\partial),
}
$$

而不是：

$$
(0,\Delta O,0).
$$

---

# 28. Conditional Closure

若只固定：

$$
S=S_0,
$$

$$
\partial=\partial_0,
$$

並對所有：

$$
O\in\mathcal O
$$

證明：

$$
P(S_0,O,\partial_0),
$$

那麼只能說：

$$
\boxed{
\text{Object-conditional closure}.
}
$$

不能自動升成：

$$
\boxed{
\text{triadic global closure}.
}
$$

---

# 29. Observer Relativity Audit

如果研究結論：

$$
C
$$

在：

$$
S_1
$$

成立，

則要問：

$$
\boxed{
C(S_1)
\overset{?}{=}
C(S_2).
}
$$

這不是物理相對論。

而是：

$$
\boxed{
\text{observation-model relativity}.
}
$$

---

# 30. Observer-Invariant Property

定義：

$$
P
$$

為 observer-invariant，如果：

$$
\boxed{
\forall S\in\mathcal S_{\rm adm},
\quad
P(S,O,\partial)
=
P(O,\partial).
}
$$

這是一個可證性問題。

不能因為「直覺上應該一樣」就假設 invariant。

---

# 31. Gauge Subject

有些 Subject 變化只是 gauge。

例如：

$$
S\rightarrow S'
$$

但存在：

$$
g
$$

使：

$$
\mathcal R(S',O,\partial)
=
g\cdot
\mathcal R(S,O,\partial).
$$

則：

$$
S
\sim
S'.
$$

---

# 32. Subject Quotient

定義 gauge equivalence：

$$
\sim_S.
$$

則真正 observer state 可以使用：

$$
\boxed{
\mathcal S/\sim_S.
}
$$

避免把同一觀察方式重複計數。

---

# 33. Object Gauge

同樣地：

$$
O_1
\sim_O
O_2
$$

如果只是：

- rigid transform；
- label change；
- parameter chart change；

而不改變研究性質。

---

# 34. Boundary Gauge

Boundary 也可能有：

$$
\partial_1
\sim_\partial
\partial_2.
$$

例如：

- coordinate reparameterization；
- equivalent clipping representation；
- same geometric carrier with different mesh。

---

# 35. Triadic Quotient

真正狀態空間可能是：

$$
\boxed{
\mathcal X_{\rm phys}
=
\mathcal X/\sim
}
$$

其中：

$$
\sim
$$

同時考慮：

- Subject gauge；
- Object gauge；
- Boundary gauge；
- coupled relabeling。

---

# 36. Labeled Geometry

若 Object 帶有：

$$
L_O
$$

而 Boundary 帶有：

$$
L_\partial,
$$

則 unmarked geometry 與 labeled geometry 必須區分。

例如：

$$
K
$$

與其鏡像可能在 unmarked shape 上等價，

但：

$$
(K,L)
$$

未必等價。

---

# 37. Boundary Responsibility

每個 boundary segment：

$$
b_i\subset\partial O
$$

可以被標記：

$$
\boxed{
\operatorname{Resp}(b_i).
}
$$

其責任來源可能是：

- contact witness；
- container wall；
- support family；
- visibility edge；
- projection event；
- no-slack constraint。

---

# 38. Boundary Responsibility Graph

建立 graph：

$$
\boxed{
\mathcal G_\partial
=
(V_\partial,E_\partial).
}
$$

其中 node 可包含：

- boundary sector；
- witness；
- support family；
- subject condition；
- container condition。

edge 表示：

$$
\boxed{
\text{responsibility relation}.
}
$$

---

# 39. Boundary Sector Traceability

理想上：

$$
\boxed{
b_i
\leftarrow
c_j
\leftarrow
w_k
}
$$

其中：

- $b_i$：boundary sector；
- $c_j$：active contact；
- $w_k$：witness / constraint source。

這使：

$$
\boxed{
\text{shape explanation}
}
$$

不再只是視覺描述。

---

# 40. No-Slack Boundary in SOB Language

如果某 boundary sector：

$$
b
$$

沒有任何：

- contact；
- support；
- visibility；
- containment；
- other active responsibility，

則可能存在 inward perturbation：

$$
b
\rightarrow
b-\varepsilon n.
$$

若 objective 改善且 feasibility 不變，

則原 state 不是 extremal。

所以：

$$
\boxed{
\text{extremal boundary}
\Rightarrow
\text{responsibility coverage}.
}
$$

---

# 41. Visibility Responsibility

某些 2D boundary 並非物體真正 boundary。

它可能只是：

$$
\boxed{
\text{visibility boundary}.
}
$$

例如 silhouette。

所以必須標記：

```text
PHYSICAL_BOUNDARY
CONTACT_BOUNDARY
SILHOUETTE_BOUNDARY
CLIPPING_BOUNDARY
PROJECTION_BOUNDARY
```

否則容易把 render edge 當數學 edge。

---

# 42. Contact Responsibility

接觸 boundary：

$$
b_c
$$

由：

$$
g_i=0
$$

生成。

若：

$$
\lambda_i>0
$$

是對應 dual multiplier，

可以保存：

$$
\boxed{
(b_c,g_i,\lambda_i).
}
$$

這可直接與 LESR 類 contact pressure 結合。

---

# 43. Subject-Induced Boundary

有些 boundary 完全由 Subject 產生。

例如 camera clipping plane：

$$
\partial_V(S).
$$

所以：

$$
\boxed{
\partial
\text{ 可以依賴 }S.
}
$$

更一般：

$$
\partial
=
\partial(S,O).
$$

---

# 44. Object-Induced Boundary

同樣：

$$
\partial_K
$$

可能由 object pair 產生。

例如 Voronoi / contact bisector。

所以：

$$
\boxed{
\partial
\text{ 不一定是外生變量。}
}
$$

---

# 45. Endogenous Boundary

令：

$$
\boxed{
\partial
=
B(S,O).
}
$$

則真正狀態可縮成：

$$
\Gamma
=
\langle
S,O,B(S,O)
\rangle.
$$

但為了審計，仍然保留：

$$
\partial
$$

作 explicit state。

---

# 46. Exogenous Boundary

若 container：

$$
C
$$

由問題外部指定，

則：

$$
\partial_C
$$

是 exogenous。

因此 boundary 應標記：

```text
ENDOGENOUS
EXOGENOUS
DERIVED
GAUGE
```

---

# 47. 主體移動與客體移動的等價性

某些情況：

$$
S\rightarrow gS
$$

等價於：

$$
O\rightarrow g^{-1}O.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{move observer}
\sim
\text{inverse-move object}
}
$$

只在：

- projection operator covariance；
- boundary covariance；
- no external anisotropy；

成立時才有效。

---

# 48. 為什麼這個等價性常失敗

若 boundary 固定：

$$
\partial=\partial_0,
$$

則：

$$
g^{-1}O
$$

可能改變：

$$
R_{O\partial}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{observer/object duality breaks under fixed boundary}.
}
$$

這正是「邊」不可忽略的原因之一。

---

# 49. Triadic Symmetry

令：

$$
g
$$

同時作用：

$$
g:
(S,O,\partial)
\mapsto
(gS,gO,g\partial).
$$

若：

$$
\mathcal R(gS,gO,g\partial)
=
g'\mathcal R(S,O,\partial),
$$

則系統具有 triadic covariance。

---

# 50. Partial Symmetry

若只作用：

$$
O
$$

而不作用：

$$
S,\partial,
$$

對稱可能失敗。

因此：

$$
\boxed{
\text{Object symmetry}
\neq
\text{system symmetry}.
}
$$

---

# 51. Mirror Test 的 SOB 版本

普通 mirror test 只做：

$$
O
\rightarrow
\sigma O.
$$

SOB mirror test 應檢查：

$$
\boxed{
(S,O,\partial)
\rightarrow
(
\sigma_S S,
\sigma_O O,
\sigma_\partial\partial
).
}
$$

並判定：

$$
\mathcal R
$$

是否共變。

---

# 52. 為什麼鏡像測試會被標記系統影響

如果：

$$
B_3
$$

與：

$$
B_5
$$

是不同 labels，

鏡像後可能要：

$$
B_3
\leftrightarrow
B_5.
$$

若不做 label map，

會錯判為：

$$
\boxed{
\text{asymmetry}.
}
$$

---

# 53. Subject Label

Subject 也可能有 orientation label。

例如：

```text
LEFT_HANDED_CAMERA_FRAME
RIGHT_HANDED_CAMERA_FRAME
```

所以跨 runtime 時：

$$
\boxed{
\text{coordinate handedness}
}
$$

必須顯式保存。

---

# 54. Boundary Orientation

Boundary 也可以有 orientation：

$$
n.
$$

鏡像會改變 orientation。

因此 contact equations 中：

$$
n
$$

的 transformation 必須一起做。

---

# 55. 觀察者不是上帝視角

如果某 proof system 把：

$$
S=S_{\rm global}
$$

固定為「全知觀察者」，

則其結果可能只是：

$$
\boxed{
\text{global-observer model result}.
}
$$

若實際 system 只能得到 partial visibility，

則必須另做：

$$
S_{\rm partial}.
$$

---

# 56. Partial Observation

Subject 可能只取得：

$$
\mathcal O_S(X)
$$

而不是完整：

$$
X.
$$

因此：

$$
\boxed{
Y
=
\mathcal O_S(
S,O,\partial
).
}
$$

這與 perception / sensing 問題接軌。

---

# 57. Multiple Subjects

更一般可以有：

$$
S_1,\ldots,S_n.
$$

形成：

$$
\boxed{
\Gamma
=
\langle
\{S_i\},
O,
\partial
\rangle.
}
$$

---

# 58. Collective Observation

若每個：

$$
S_i
$$

只看到 partial state，

但聯合集合可重建：

$$
O,
$$

則：

$$
\boxed{
\text{collective observability}
}
$$

成立。

這可以支援未來多攝影機、多 AI、多 agent 幾何審計。

---

# 59. Subject Disagreement

若：

$$
Y_i
=
\mathcal R(S_i,O,\partial)
$$

彼此不一致，

不應直接判定：

$$
\boxed{
\text{誰錯。}
}
$$

先檢查：

- projection difference；
- visibility；
- resolution；
- query semantics；
- boundary access。

---

# 60. Observation Equivalence

定義：

$$
S_1
\equiv_{O,\partial,Q}
S_2
$$

若：

$$
\boxed{
\mathcal R_Q(S_1,O,\partial)
=
\mathcal R_Q(S_2,O,\partial).
}
$$

這是一種 task-relative observer equivalence。

---

# 61. Boundary Equivalence

同理：

$$
\partial_1
\equiv_{S,O,Q}
\partial_2
$$

若它們對指定 query 產生同樣結果。

---

# 62. Object Equivalence

$$
O_1
\equiv_{S,\partial,Q}
O_2
$$

若觀察者在指定邊界與 query 下無法區分。

---

# 63. 三元等價不是分量等價的簡單乘積

可能：

$$
S_1\not\equiv S_2,
$$

$$
O_1\not\equiv O_2,
$$

但：

$$
\boxed{
(S_1,O_1,\partial_1)
\equiv
(S_2,O_2,\partial_2).
}
$$

因為差異互相抵消。

---

# 64. Counterfactual SOB Test

對已知 state：

$$
\Gamma
$$

生成反事實：

$$
\Gamma'.
$$

例如只改：

$$
S.
$$

若結論突然變，

表示：

$$
\boxed{
\text{結果 observer-sensitive}.
}
$$

只改：

$$
\partial.
$$

若結論變，

表示：

$$
\boxed{
\text{結果 boundary-sensitive}.
}
$$

---

# 65. Sensitivity Tensor

局部可以定義：

$$
\boxed{
D\mathcal R
=
\left[
\frac{\partial\mathcal R}{\partial S},
\frac{\partial\mathcal R}{\partial O},
\frac{\partial\mathcal R}{\partial\partial}
\right].
}
$$

這是一個概念表示。

對非平滑事件，應使用：

- directional derivative；
- generalized derivative；
- finite difference；
- event-based sensitivity。

---

# 66. Responsibility Sensitivity

若某 boundary sector 責任：

$$
R_i
$$

對：

$$
S
$$

極敏感，

則：

$$
\boxed{
\text{它可能是 observation-induced boundary}.
}
$$

若對：

$$
O
$$

敏感，

則可能是：

$$
\boxed{
\text{object-driven}.
}
$$

若對：

$$
\partial
$$

敏感，

則：

$$
\boxed{
\text{container/interface-driven}.
}
$$

---

# 67. 主客邊分類表

每個 event / boundary / shape feature 可以標記：

```text
SUBJECT_DOMINANT
OBJECT_DOMINANT
BOUNDARY_DOMINANT
COUPLED
UNKNOWN
```

這有助於後續 closure。

---

# 68. Coupled Feature

若某 feature：

$$
F
$$

只有在：

$$
S=S^\star,
$$

$$
O=O^\star,
$$

$$
\partial=\partial^\star
$$

共同成立時出現，

則：

$$
\boxed{
F
\text{ 是 triad-coupled feature}.
}
$$

---

# 69. Closure 的三種責任

## Subject Closure

$$
\boxed{
\mathcal S_{\rm adm}
}
$$

是否已涵蓋？

## Object Closure

$$
\boxed{
\mathcal O_{\rm adm}
}
$$

是否已涵蓋？

## Boundary Closure

$$
\boxed{
\mathcal B_{\rm adm}
}
$$

是否已涵蓋？

---

# 70. Coupled Closure

即使三者各自有限：

$$
|\mathcal S|<\infty,
$$

$$
|\mathcal O|<\infty,
$$

$$
|\mathcal B|<\infty,
$$

其組合：

$$
|\mathcal S|
|\mathcal O|
|\mathcal B|
$$

仍可能很大。

所以真正 closure 要利用：

- symmetry；
- equivalence；
- monotonicity；
- responsibility pruning；
- event decomposition。

---

# 71. False Closure Example

假設只測：

$$
S_0,
$$

$$
\partial_0
$$

並對大量：

$$
O_i
$$

都沒找到反例。

不能推出：

$$
\boxed{
\forall S,O,\partial,
P(S,O,\partial).
}
$$

因為反例可能只在：

$$
S_1
$$

或：

$$
\partial_1
$$

出現。

---

# 72. SOB Counterexample

一個完整反例應保存：

$$
\boxed{
C_{\rm x}
=
(
S^\star,
O^\star,
\partial^\star,
Q^\star,
Y^\star
).
}
$$

而不是只存：

$$
O^\star.
$$

---

# 73. 為什麼這對 3D→2D 很重要

在動態投影裡：

$$
S
$$

控制：

- camera；
- projection；
- sampling。

$$
O
$$

控制：

- 3D source object；
- deformation；
- motion。

$$
\partial
$$

控制：

- screen；
- clipping；
- contact；
- visibility。

所以 Paper 02 的：

$$
G_t
=
\Pi_t(T_tM)
$$

更完整應寫成：

$$
\boxed{
G_t
=
\mathcal R(
S_t,
O_t,
\partial_t
).
}
$$

---

# 74. 2.5D 的 SOB 解讀

2.5D state：

$$
Y^{2.5D}
$$

不只保存 depth。

還應保存：

```text
subject_id
object_id
boundary_id
source_primitive
visibility_reason
projection_reason
contact_reason
```

這使每一個 2D feature 都可反向追溯。

---

# 75. Interactive UI 的 SOB 控制

可以建立三組控制面板：

## Subject Controls

- camera；
- projection；
- observation path；
- resolution。

## Object Controls

- transform；
- articulation；
- deformation；
- material geometry。

## Boundary Controls

- container；
- slice plane；
- clipping；
- support plane；
- visibility mask。

---

# 76. 為什麼三組控制不能混在一起

若 UI 只給：

```text
Move Object
```

使用者可能無法知道：

$$
\boxed{
\text{改 camera}
}
$$

其實能生成完全不同的一族 2D states。

同樣：

$$
\boxed{
\text{改 boundary}
}
$$

可能比改 object 更容易暴露新 configuration。

---

# 77. AI Agent 的 SOB Action Space

Agent action 可以寫：

$$
\boxed{
a_t
=
(
a_t^S,
a_t^O,
a_t^\partial
).
}
$$

Agent 不只操控 object。

它可以選擇：

- observer；
- object；
- boundary；

三個方向的 perturbation。

---

# 78. Counterexample Policy

定義：

$$
\pi:
\Gamma_t
\mapsto
a_t.
$$

若目標是找未知類：

$$
\boxed{
\pi^\star
=
\arg\max_\pi
\mathbb E[
N(Y_t)
].
}
$$

其中：

$$
N
$$

是 novelty / counterexample score。

---

# 79. 主體本身也可以被攻擊

最後壓力測試不能假設：

$$
S
$$

永遠正確。

可以故意：

- shift camera；
- perturb projection matrix；
- lower resolution；
- change sampling phase；
- change observation order。

看 theorem-like conclusion 是否只是 observer artefact。

---

# 80. Boundary 也必須被攻擊

可以故意：

- deform container；
- change contact surface；
- move clipping plane；
- introduce aperture；
- perturb projection plane。

若結論不穩定，

就找到：

$$
\boxed{
\text{boundary dependence}.
}
$$

---

# 81. Object Attack 只是三分之一

因此完整 adversarial geometry：

$$
\boxed{
\text{Attack}
=
\text{Attack}_S
+
\text{Attack}_O
+
\text{Attack}_\partial.
}
$$

---

# 82. SOB Certificate

定義：

$$
\boxed{
C_{\rm SOB}
}
$$

最低內容：

```text
subject_state
object_state
boundary_state
query
projection/reduction operator
gauge conventions
labels
responsibility graph
event ledger
result
precision policy
verifier
hashes
```

---

# 83. Subject Certificate

Subject 至少保存：

- pose；
- projection matrix / analytic operator；
- handedness；
- clipping；
- sampling；
- query；
- time path。

---

# 84. Object Certificate

Object 至少保存：

- canonical geometry；
- transform；
- deformation；
- articulation；
- labels；
- topology。

---

# 85. Boundary Certificate

Boundary 至少保存：

- geometric carrier；
- orientation；
- contact rule；
- visibility rule；
- projection interface；
- provenance。

---

# 86. Coupling Certificate

另外保存：

$$
\boxed{
R_{SO},
R_{O\partial},
R_{S\partial}.
}
$$

避免三份獨立檔案無法重建真正關係。

---

# 87. Verifier 不應假設三者獨立

如果 verifier 只驗：

$$
S,
$$

$$
O,
$$

$$
\partial
$$

各自合法，

但沒驗：

$$
\mathcal C_{SOB},
$$

仍可能接受錯誤狀態。

---

# 88. Boundary Mutation Test

故意修改：

- normal；
- container size；
- clipping；
- contact threshold。

若 result 不變但理論上應變，

verifier 可能沒真正讀 boundary。

---

# 89. Subject Mutation Test

故意修改：

- handedness；
- camera；
- projection；
- query。

若 verifier 仍回同一結果，

要檢查：

$$
\boxed{
\text{Subject 是否其實被忽略。}
}
$$

---

# 90. Object Mutation Test

故意修改：

- coordinate；
- edge；
- articulation；
- deformation。

這是最傳統的測試。

但不能取代前兩者。

---

# 91. 三元完備性問題

最終要問：

$$
\boxed{
\text{Is the tested triadic state family complete?}
}
$$

也就是：

$$
\mathcal X_{\rm tested}
\overset{?}{=}
\mathcal X_{\rm admissible}.
$$

---

# 92. 完備性不一定靠枚舉

可以靠：

- quotient；
- symmetry；
- interval covering；
- monotonicity；
- topology classes；
- deformation retraction；
- finite event classes。

---

# 93. Subject Compression

如果大量：

$$
S
$$

對 query 等價，

可壓成：

$$
[S].
$$

---

# 94. Object Compression

如果大量：

$$
O
$$

在指定 SOB context 中等價，

可壓成：

$$
[O].
$$

---

# 95. Boundary Compression

同理：

$$
[\partial].
$$

---

# 96. Triadic Class

最後 classification unit 可以是：

$$
\boxed{
[\Gamma]
=
[(S,O,\partial)].
}
$$

---

# 97. Closure Graph

建立：

$$
\boxed{
\mathcal G_{\rm SOB}.
}
$$

node：

$$
[\Gamma_i].
$$

edge：

- subject perturbation；
- object perturbation；
- boundary perturbation；
- coupled transition。

---

# 98. Edge Typing

可標：

```text
S-EDGE
O-EDGE
B-EDGE
SO-EDGE
SB-EDGE
OB-EDGE
SOB-EDGE
```

這直接顯示 transition 來源。

---

# 99. Critical Triadic Event

如果一個 event 只有同時改：

$$
S,O,\partial
$$

才會出現，

則標：

$$
\boxed{
E_{SOB}.
}
$$

這是最容易被單變量掃描漏掉的類型。

---

# 100. Lebesgue 類問題中的 SOB 映射

對一個幾何 covering 實驗，可以令：

## Subject

$$
S
=
\text{projection / observation / support-query frame}.
$$

## Object

$$
O
=
\text{witness or perturbation object}.
$$

## Boundary

$$
\partial
=
\text{candidate container / support / contact boundary}.
$$

---

# 101. Container 與 Object 的角色不能混

在某些問題裡：

$$
O
$$

是被放進 container 的 witness。

在另一些實驗裡：

$$
O
$$

也可以是 container candidate。

因此角色應由：

$$
Q
$$

決定。

不能把「幾何物體」與「問題角色」混為一談。

---

# 102. Role Map

定義：

$$
\boxed{
\rho_{\rm role}:
\text{entity}
\rightarrow
\{
S,O,\partial
\}.
}
$$

同一 geometric entity 在不同 experiment 可以換角色。

---

# 103. 主客互換

某些問題允許：

$$
S
\leftrightarrow
O.
$$

例如 object-mounted camera。

但這不是自動對稱。

必須檢查：

$$
\mathcal R
$$

是否共變。

---

# 104. Object–Boundary Duality

某些 container problem 可以把：

$$
O
$$

與：

$$
\partial_C
$$

交換觀點。

例如：

> object 能不能進 container？

與：

> container 能不能包住 object？

語義接近，但數學不一定完全同一。

---

# 105. Boundary 不是被動背景

這是本文最重要的觀念之一：

$$
\boxed{
\partial
\text{ can actively generate geometry}.
}
$$

例如：

- silhouette；
- slice；
- contact；
- clipping；
- constrained motion。

---

# 106. Subject 也不是被動背景

同理：

$$
\boxed{
S
\text{ can actively generate geometry}.
}
$$

只改 camera：

$$
O
$$

完全不動，

仍然能產生一族：

$$
G_t.
$$

---

# 107. Object 也不是唯一來源

因此：

$$
\boxed{
\text{geometric possibility}
\neq
\text{object possibility only}.
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{triadic possibility}.
}
$$

---

# 108. Triadic Possibility Space

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak P_{\rm SOB}
=
\mathcal R(
\mathcal S_{\rm adm}
\times
\mathcal O_{\rm adm}
\times
\mathcal B_{\rm adm}
).
}
$$

這是本文核心空間。

---

# 109. Projected Possibility Space

若最後只關心二維：

$$
\boxed{
\mathfrak P_{2D}
=
\Pi(
\mathfrak P_{\rm SOB}
).
}
$$

Paper 01 的 3D→2D possibility expansion 現在被提升為 triadic source space。

---

# 110. 可能性遺漏

若研究只取：

$$
S=S_0,
$$

$$
\partial=\partial_0,
$$

則實際探索的是：

$$
\boxed{
\mathfrak P_{2D}^{(0)}
=
\Pi(
\{S_0\}
\times
\mathcal O
\times
\{\partial_0\}
).
}
$$

一般：

$$
\mathfrak P_{2D}^{(0)}
\subseteq
\mathfrak P_{2D}.
$$

---

# 111. Missing Possibility Region

定義：

$$
\boxed{
\Delta\mathfrak P
=
\mathfrak P_{2D}
\setminus
\mathfrak P_{2D}^{(0)}.
}
$$

最後壓測的重要目標之一：

$$
\boxed{
\text{search }\Delta\mathfrak P.
}
$$

---

# 112. 這就是為什麼只做 Object 枚舉不夠

即使：

$$
\mathcal O
$$

掃得很密，

只要：

$$
S
$$

與：

$$
\partial
$$

被錯誤固定，

仍可能漏掉：

$$
\Delta\mathfrak P.
$$

---

# 113. 研究與科普共享同一模型

SOB model 也適合可視化。

左側可以顯示：

```text
Subject
Object
Boundary
```

右側顯示：

```text
Projected Result
Responsibility
Event
```

這不是額外科普模型。

是同一 canonical state 的 public projection。

---

# 114. Blender / Engine 的 SOB UI

可以設計三層 gizmo：

```text
S: camera/projection gizmo
O: object/deformation gizmo
B: boundary/interface gizmo
```

任何操作都記錄成：

$$
\Delta S,
\Delta O,
\Delta\partial.
$$

---

# 115. Replay

一條 SOB interaction history：

$$
H
$$

可以保存為：

$$
\boxed{
H
=
\{
(\Delta S_t,
\Delta O_t,
\Delta\partial_t)
\}_{t}.
}
$$

所以同一實驗可完全重播。

---

# 116. AI 觀察者也能被放進 Subject

未來 AI 可以作為：

$$
S_{\rm AI}.
$$

它的 observation policy：

$$
\pi_{\rm obs}
$$

也成為 subject state 的一部分。

---

# 117. 人類與 AI Subject 不必相同

人類：

$$
S_H
$$

可能使用：

- visual projection；
- semantic labels。

AI：

$$
S_A
$$

可能直接讀：

- exact coordinates；
- graph；
- interval certificate。

兩者可以對同一：

$$
O,\partial
$$

產生不同 observation representation。

---

# 118. Multi-Representation Consistency

如果不同 Subject 表示法都聲稱描述同一狀態，

需要 mapping：

$$
\boxed{
\phi_{HA}:
Y_H
\leftrightarrow
Y_A.
}
$$

這可用於 cross-observer audit。

---

# 119. Subject 不應污染 Canonical Truth

Subject 的 representation：

$$
Y_S
$$

不是 canonical object truth。

因此：

$$
\boxed{
\text{Observation}
\neq
\text{Object}.
}
$$

---

# 120. Boundary 也不應被誤認成 Object

例如 silhouette boundary：

$$
\partial_{\rm sil}
$$

不是實體 object boundary。

因此 canonical ontology 必須區分。

---

# 121. SOB Ontology

建議至少有：

```text
SUBJECT
OBJECT
BOUNDARY
OBSERVATION
PROJECTION
CONTACT
VISIBILITY
RESPONSIBILITY
EVENT
CERTIFICATE
```

---

# 122. Triadic Error Taxonomy

錯誤可分類：

```text
SUBJECT_ERROR
OBJECT_ERROR
BOUNDARY_ERROR
COUPLING_ERROR
PROJECTION_ERROR
OBSERVATION_ERROR
GAUGE_ERROR
LABEL_ERROR
```

這比：

```text
geometry wrong
```

更可診斷。

---

# 123. Closure Status

每個研究節點可以保存：

```text
SUBJECT_CLOSURE
OBJECT_CLOSURE
BOUNDARY_CLOSURE
COUPLING_CLOSURE
PROJECTION_CLOSURE
```

只有全部足夠時才允許：

```text
TRIADIC_CLOSURE
```

---

# 124. Triadic Closure 條件

形式上：

$$
\boxed{
\forall
(S,O,\partial)
\in
\mathcal X_{\rm adm},
\quad
P(S,O,\partial).
}
$$

如果 theorem 本身對：

$$
S
$$

或：

$$
\partial
$$

invariant，

可以先證 invariant 再 quotient 掉。

---

# 125. Closure 的更好策略

不是暴力遍歷：

$$
\mathcal S
\times
\mathcal O
\times
\mathcal B.
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{prove invariance}
\rightarrow
\text{quotient gauges}
\rightarrow
\text{classify events}
\rightarrow
\text{attack coupled residuals}.
}
$$

---

# 126. 反例優先策略

如果 closure 快完成，

優先找：

$$
\boxed{
E_{SOB}
}
$$

而不是繼續重複已知 object-only perturbation。

因為 coupled event 最可能是原模型漏掉的地方。

---

# 127. 與下一篇的關係

Paper 03 建立：

$$
\Gamma
=
\langle
S,O,\partial
\rangle.
$$

但目前：

$$
O
$$

仍是一般客體。

下一篇將專門放寬：

$$
O
$$

的內部自由度：

$$
\boxed{
\text{Rigid}
\rightarrow
\text{Articulated}
\rightarrow
\text{Deformable}
\rightarrow
\text{Locally Bendable}
\rightarrow
\text{Worm-like}.
}
$$

因此下一篇：

$$
\boxed{
\textbf{Paper 04 — Perturbation Objects Beyond Rigidity}.
}
$$

---

# 128. 本文主要命題

## 命題 A

$$
\boxed{
\text{Geometric conclusions can depend jointly on Subject, Object, and Boundary.}
}
$$

## 命題 B

$$
\boxed{
\text{Object-only perturbation does not establish triadic closure.}
}
$$

## 命題 C

$$
\boxed{
\text{Boundary is an active geometry-generating component, not merely background.}
}
$$

## 命題 D

$$
\boxed{
\text{Observer configuration must be auditable whenever projection or visibility matters.}
}
$$

## 命題 E

$$
\boxed{
\text{A complete counterexample must preserve }(S,O,\partial)\text{ provenance.}
}
$$

## 命題 F

$$
\boxed{
\text{The true projected possibility space is the image of the triadic admissible state space.}
}
$$

---

# 129. 非主張範圍

本文不主張：

1. 所有數學幾何問題都需要 Subject；
2. 所有邊界都必須獨立建模；
3. observer relativity 等同物理相對論；
4. Subject 必須具有意識；
5. Boundary 必須是實體物理界面；
6. 只要加入主客邊就能證明全域 closure；
7. 三元模型一定比所有二元模型有效；
8. 所有 subject differences 都是實質差異；
9. 所有 object / boundary roles 都不能交換；
10. 目前任何未解幾何問題已因 SOB framework 被解決。

---

# 130. 結論

本文提出：

$$
\boxed{
\Gamma
=
\langle
S,O,\partial
\rangle
}
$$

作為幾何實驗的基本狀態。

這個模型修正一個常見但隱蔽的假設：

> 幾何結果只由客體決定。

實際上，當問題涉及：

- projection；
- visibility；
- contact；
- containment；
- support；
- observation；

則結果可能依賴：

$$
\boxed{
\text{who observes}
+
\text{what is observed}
+
\text{which boundary mediates the relation}.
}
$$

因此完整擾動必須是：

$$
\boxed{
(\Delta S,\Delta O,\Delta\partial),
}
$$

而不是：

$$
(0,\Delta O,0).
$$

這使最後壓力測試從：

> 我們把物體變了很多次。

提升成：

> 我們是否真的攻擊了觀察模型、客體自由度與邊界條件三者的耦合空間？

這也是後續柔性擾動、蟲式客體、投影隱藏幾何與 adversarial closure 能成立的共同基礎。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `PPS-SOBG-03-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文嚴格區分：

- Subject；
- Object；
- Boundary；
- Observation；
- Projection；
- Responsibility；
- Gauge；
- Triadic Closure。

===END===