> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。 # 完美長方體 Radical-FDRS R1 ## 平方類遷移代數、有理球面移動、Cayley 缺陷比與 C2 的統合 **系列：** 完美長方體全域閉合 **分支：** Radical-FDRS / 幾何耦合分支 R **階段：** R1 — 遷移代數與 Cayley 根約化 **日期：** 2026-10-03 **狀態：** 精確重述與結構分析——不是完美長方體存在或不存在的證明 --- # 0. 核心陳述 R0 顯示，算術平方類缺陷可以在展平後的 Boolean 立方體狀態中遷移。 R1 區分兩個不能混淆的狀態空間： 1. **環境有理平方態單純形**，其中 $$ A+B+C=1 $$ 而基本格本身不必是有理數平方； 2. **古典有理邊長殼層**，其中 $$ A=x^2, \qquad B=y^2, \qquad C=z^2, $$ 其中 $$ x,y,z\in\mathbb Q_{>0}, $$ 且 $$ x^2+y^2+z^2=1. $$ 只有第二個空間直接對應正規化的有理邊長長方體。 在這個殼層上，六通道算術問題由六個平方類縮減為三個互補面的缺陷。 R1 的核心結果是，每個互補缺陷都有一個正典 Cayley 比。 對於： $$ 00} $$ 滿足： $$ A+B+C=1. $$ 定義： $$ D=A+B=1-C, $$ $$ E=A+C=1-B, $$ $$ F=B+C=1-A. $$ 環境平方類狀態是： $$ K = ( [A], [B], [C], [D], [E], [F] ). $$ 這個空間適合研究一般的平方類遷移。 然而，古典有理邊長長方體要求： $$ A=x^2, $$ $$ B=y^2, $$ $$ C=z^2 $$ 其中下列數值為有理數： $$ x,y,z. $$ 因此，定義古典殼層： $$ \boxed{ \mathcal S_{\mathbb Q} = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb Q_{>0}^3: x^2+y^2+z^2=1 \right\}. } $$ 在這個殼層上： $$ [A]=[B]=[C]=1. $$ 因此，只有面通道可能失敗。 古典殼層狀態是： $$ \boxed{ K_{\rm shell} = ( [D], [E], [F] ). } $$ 其中： $$ D=1-z^2, $$ $$ E=1-y^2, $$ $$ F=1-x^2. $$ 完美長方體閉合變成： $$ \boxed{ [D]=[E]=[F]=1. } $$ --- # 2. 為何 R0 的線性移動不足以解決古典問題 環境守恆移動： $$ (A,B,C) \mapsto (A+\delta_A,B+\delta_B,C+\delta_C) $$ 其中： $$ \delta_A+\delta_B+\delta_C=0 $$ 保持： $$ A+B+C=1. $$ 但它一般不保持： $$ A,B,C\in\mathbb Q^2. $$ 因此，它可以在合法的 Radical-FDRS 狀態間移動，同時離開古典有理邊長殼層。 這個區分至關重要。 R0 的缺陷遷移仍然是成立的環境算術現象。 針對實際的完美長方體修補，R1 以保持殼層的有理旋轉取代單純形中的線性移動。 --- # 3. 保持殼層的有理旋轉 對於有理數： $$ t, $$ 定義有理平面旋轉： $$ \boxed{ R(t) = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} 1-t^2 & -2t\\ 2t & 1-t^2 \end{pmatrix}. } $$ 只要滿足下式，其矩陣項就是有理數： $$ t\in\mathbb Q. $$ 此外： $$ R(t)^\top R(t)=I. $$ 因此，它保持： $$ u^2+v^2. $$ 將這個旋轉嵌入各座標平面，得到基本移動： $$ R_{xy}(t), $$ $$ R_{xz}(t), $$ $$ R_{yz}(t). $$ 每個移動都保持： $$ x^2+y^2+z^2=1. $$ 故： $$ \boxed{ R_{ij}(t): \mathcal S_{\mathbb Q} \rightarrow \mathcal S_{\mathbb Q}. } $$ 這些都是合法的有理邊長殼層移動。 --- # 4. 同軸移動的合成 對同一個平面： $$ R(t)R(s) = R(t\oplus s), $$ 其中： $$ \boxed{ t\oplus s = \frac{t+s}{1-ts} } $$ 只要： $$ 1-ts\ne0. $$ 這是正切半角的群律。 其逆為： $$ \boxed{ R(t)^{-1}=R(-t). } $$ 從射影觀點看，參數自然屬於： $$ \mathbb P^1(\mathbb Q). $$ 不同座標平面中的旋轉一般不交換。 因此，保持殼層的移動代數在性質上比環境加法平移代數更接近原本的 Magic-Cube 直覺。 --- # 5. 錨定對移動 考慮固定下式的移動： $$ y=\frac bg. $$ 則： $$ E=1-y^2 $$ 保持固定。 假設： $$ E = \left(\frac eg\right)^2. $$ 因此： $$ b^2+e^2=g^2. $$ 其餘座標滿足： $$ x^2+z^2 = \left(\frac eg\right)^2. $$ 使用未正規化的有理長度： $$ a^2+c^2=e^2. $$ 以下式參數化整個有理圓： $$ \boxed{ a(t) = e \frac{1-t^2}{1+t^2}, } $$ $$ \boxed{ c(t) = e \frac{2t}{1+t^2}. } $$ 這精確保持： $$ a(t)^2+c(t)^2=e^2 $$ 如上式所示。 所以： $$ b, \quad e, \quad g $$ 保持固定。 只有以下兩個面通道需要重新測試： $$ d(t)^2=a(t)^2+b^2, $$ 以及： $$ f(t)^2=b^2+c(t)^2. $$ 因此，單缺陷修補已變成單參數的雙閘門問題。 --- # 6. 第一個錨定平方閘門 定義： $$ N_D(t) = e^2(1-t^2)^2 + b^2(1+t^2)^2. $$ 由於： $$ b^2+e^2=g^2, $$ 精確因數分解得到： $$ \boxed{ N_D(t) = Q_-(t)Q_+(t), } $$ 其中： $$ \boxed{ Q_-(t) = g(1+t^2)-2et, } $$ $$ \boxed{ Q_+(t) = g(1+t^2)+2et. } $$ 因為： $$ (1+t^2)^2 $$ 已經是有理數平方的分母， $$ d(t) $$ 是有理數，若且唯若： $$ N_D(t) $$ 是有理數平方。 對於正有理數： $$ U,V, $$ 有： $$ UV\in\mathbb Q^2 \iff \frac UV\in\mathbb Q^2. $$ 因此： $$ \boxed{ d(t)\in\mathbb Q \iff \frac{Q_-(t)}{Q_+(t)} \in \mathbb Q^2. } $$ 平方閘門已變成共軛因子比的閘門。 --- # 7. 第二個錨定平方閘門 同樣地定義： $$ N_F(t) = 4e^2t^2 + b^2(1+t^2)^2. $$ 精確因數分解得到： $$ \boxed{ N_F(t) = S_-(t)S_+(t), } $$ 其中： $$ \boxed{ S_-(t) = (g+e)t^2+(g-e), } $$ $$ \boxed{ S_+(t) = (g-e)t^2+(g+e). } $$ 故： $$ \boxed{ f(t)\in\mathbb Q \iff \frac{S_-(t)}{S_+(t)} \in \mathbb Q^2. } $$ 因此，錨定殼層修補問題恰好是： $$ \boxed{ \frac{Q_-(t)}{Q_+(t)} \in\mathbb Q^2, \qquad \frac{S_-(t)}{S_+(t)} \in\mathbb Q^2. } $$ --- # 8. 第一個錨定纖維上的目前種子 使用： $$ b=495, $$ $$ e=952, $$ $$ g=1073. $$ 變動的數值對初始為： $$ (a,c)=(448,840). $$ 由於： $$ 448^2+840^2=952^2, $$ 有理圓的參數是： $$ t_0 = \frac{c}{e+a} = \frac{840}{952+448} = \boxed{ \frac35. } $$ 失敗閘門的因子是： $$ Q_-(t) = 1073t^2-1904t+1073, $$ $$ Q_+(t) = 1073t^2+1904t+1073. $$ 當： $$ t_0=\frac35, $$ 得到： $$ Q_-(t_0) = \frac{7922}{25} = \boxed{ \frac{2\cdot17\cdot233}{5^2}, } $$ 以及： $$ Q_+(t_0) = \frac{65042}{25} = \boxed{ \frac{2\cdot17\cdot1913}{5^2}. } $$ 因此： $$ \boxed{ \frac{Q_-(t_0)}{Q_+(t_0)} = \frac{233}{1913}. } $$ 兩個缺陷質數不再隱藏於同一個平方自由核中。 它們被分離到兩個共軛因子中。 --- # 9. 同一纖維上的成功閘門 成功閘門的因子是： $$ S_-(t) = 2025t^2+121, $$ $$ S_+(t) = 121t^2+2025. $$ 當： $$ t_0=\frac35, $$ 它們的比為： $$ \boxed{ \frac{S_-(t_0)}{S_+(t_0)} = \frac{625}{1521} = \left(\frac{25}{39}\right)^2. } $$ 因此，閉合的通道自動還原先前的 C2 參數： $$ \boxed{ r_0=\frac{25}{39}. } $$ 這不是額外的數值巧合。 它是以錨定 FDRS 因數分解表示的同一個半角座標。 --- # 10. 第二個獨立的錨定纖維 現在改為固定： $$ a=448 $$ 以及： $$ f=975. $$ 由於： $$ 448^2+975^2=1073^2, $$ 這個互補對保持閉合。 變動的數值對是： $$ (b,c)=(495,840), $$ 以及： $$ 495^2+840^2=975^2. $$ 對應的有理圓參數是： $$ s_0 = \frac{c}{f+b} = \frac{840}{975+495} = \boxed{ \frac47. } $$ 失敗閘門的因子變成： $$ Q_-^{(2)}(s) = 1073s^2-1950s+1073, $$ $$ Q_+^{(2)}(s) = 1073s^2+1950s+1073. $$ 當： $$ s_0=\frac47, $$ 得到： $$ Q_-^{(2)}(s_0) = \frac{15145}{49} = \boxed{ \frac{5\cdot13\cdot233}{7^2}, } $$ 以及： $$ Q_+^{(2)}(s_0) = \frac{124345}{49} = \boxed{ \frac{5\cdot13\cdot1913}{7^2}. } $$ 因此再次得到： $$ \boxed{ \frac{Q_-^{(2)}(s_0)} {Q_+^{(2)}(s_0)} = \frac{233}{1913}. } $$ 同一個正典缺陷比出現在不同的有理殼層展平中。 --- # 11. 第二個纖維上的成功閘門 對已經閉合的： $$ E $$ 通道，對應的因子比為： $$ \boxed{ \frac{289}{784} = \left(\frac{17}{28}\right)^2. } $$ 因此，還原出第二個 C2 參數： $$ \boxed{ s_{\rm C2} = \frac{17}{28}. } $$ 於是，先前發現的兩個 C2 有理參數直接由 FDRS 的共軛因子比得到。 --- # 12. 為何必須出現同一個缺陷比 反覆出現的比： $$ \frac{233}{1913} $$ 具有簡單而精確的來源。 對第一個錨定纖維： $$ t_0 = \frac{c}{e+a}. $$ 利用： $$ a^2+c^2=e^2, $$ 得到： $$ 1+t_0^2 = \frac{2e}{e+a}. $$ 因此： $$ Q_-(t_0) = \frac{2e(g-c)}{e+a}, $$ 以及： $$ Q_+(t_0) = \frac{2e(g+c)}{e+a}. $$ 所以： $$ \boxed{ \frac{Q_-(t_0)}{Q_+(t_0)} = \frac{g-c}{g+c}. } $$ 錨定量： $$ b,e $$ 已從最後的比中完全消失。 因此，任何針對下列數值所對應互補對的合法錨定展平： $$ c $$ 都必須還原出同一個正典比： $$ \boxed{ \omega_c = \frac{g-c}{g+c}. } $$ 這說明了為何兩個獨立纖維都恰好得到： $$ \frac{233}{1913}. $$ --- # 13. Cayley 缺陷比定理 令： $$ x\in\mathbb Q, \qquad 00}. $$ 定義： $$ x(r) = \frac{1-r^2}{1+r^2}, $$ $$ y(s) = \frac{1-s^2}{1+s^2}, $$ $$ z(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}. $$ 每個座標都自動具有一個有理互補座標： $$ \sqrt{1-x(r)^2} = \frac{2r}{1+r^2}, $$ 以下參數也同樣如此： $$ s,t. $$ 因此，非退化完美長方體存在，若且唯若存在正有理數： $$ r,s,t $$ 使得： $$ \boxed{ \left( \frac{1-r^2}{1+r^2} \right)^2 + \left( \frac{1-s^2}{1+s^2} \right)^2 + \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 = 1. } $$ 這是對稱的三重 Cayley 根表述。 於是，古典的七長度問題被約化為三個半角變數上的同一個對稱有理曲面。 --- # 19. Cayley 曲面上具有單一座標有理性缺陷的種子 目前的種子在以下數域上滿足三重 Cayley 根方程： $$ \mathbb Q \left( \sqrt{\frac{233}{1913}} \right). $$ 明確地： $$ r=\frac{25}{39}, $$ $$ s=\frac{17}{28}, $$ $$ t= \sqrt{\frac{233}{1913}}. $$ 前兩個座標是有理數。 只有第三個不是。 因此，原先的 G2 種子可重新解讀為： $$ \boxed{ \text{Cayley 根曲面上一個恰有一個無理座標的點}. } $$ 修補問題變成： > 能否沿有理殼層曲面移動這個點，使三個 Cayley 根座標同時成為有理數？ --- # 20. Möbius 補集算子 定義： $$ \boxed{ \mu(t) = \frac{1-t}{1+t}. } $$ 則： $$ \mu(\mu(t))=t. $$ 所以： $$ \mu $$ 是一個對合。 定義： $$ \chi(t) = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2. $$ 直接代入得到： $$ \boxed{ \chi(\mu(t)) = 1-\chi(t). } $$ 因此，平方態空間中的 Boolean 補集對偶，對應 Cayley 根參數空間中的 Möbius 對合。 這是 Radical-FDRS 根表述與先前 C2 對偶平方表述之間的精確代數橋接。 --- # 21. 還原 C2 三重 Cayley 根方程為： $$ \chi(r)+\chi(s)+\chi(t)=1. $$ 因此： $$ \chi(r)+\chi(s) = 1-\chi(t). $$ 利用補集恆等式： $$ 1-\chi(t) = \chi(\mu(t)), $$ 得到： $$ \boxed{ \chi(r)+\chi(s) = \chi(\mu(t)). } $$ 這恰好就是 C2 使用的結構形式： $$ \boxed{ \chi(r)+\chi(s)=\chi(u). } $$ 其中： $$ \boxed{ u=\mu(t). } $$ 因此： $$ \boxed{ \text{C2 對偶平方加法閉合} } $$ 以及： $$ \boxed{ \text{R1 三重 Cayley 根閉合} } $$ 是以互補座標表示的同一個全域曲面。 --- # 22. C2 參數的解讀 對這個種子： $$ r_0=\frac{25}{39} $$ 不是任意的參數。 它是： $$ \boxed{ r_0 = \sqrt{ \frac{g-a}{g+a} }. } $$ 同樣地： $$ s_0=\frac{17}{28} $$ 是： $$ \boxed{ s_0 = \sqrt{ \frac{g-b}{g+b} }. } $$ 缺失的第三個有理參數應為： $$ \boxed{ t_0 = \sqrt{ \frac{g-c}{g+c} } = \sqrt{ \frac{233}{1913} }. } $$ 因此，現在可直接將先前的 C2 狀態讀成： $$ \boxed{ (r_0,s_0,t_0) = (\mathbb Q,\mathbb Q,\mathbb Q(\sqrt{\Delta})\setminus\mathbb Q). } $$ --- # 23. 共軛壁之間的缺陷分離 第一個錨定纖維得到： $$ Q_-(t_0) = \frac{2\cdot17\cdot233}{5^2}, $$ $$ Q_+(t_0) = \frac{2\cdot17\cdot1913}{5^2}. $$ 第二個錨定纖維得到： $$ Q_-^{(2)}(s_0) = \frac{5\cdot13\cdot233}{7^2}, $$ $$ Q_+^{(2)}(s_0) = \frac{5\cdot13\cdot1913}{7^2}. $$ 因此，在兩個展平中： - 一個共軛壁承載因子： $$ 233; $$ - 另一個承載： $$ 1913; $$ - 依切片而異的共同平方類會在比值中消去。 這是 R0 缺陷因子分離構想的一個明確實現。 缺陷： $$ 233\cdot1913 $$ 不僅表現為單一原子標籤。 在共軛壁表示中，它自然分離成兩個壁因子。 --- # 24. 正典資料與依切片而異的資料 以下資料依切片而異： $$ t_0=\frac35, $$ $$ s_0=\frac47, $$ 以及共同因子： $$ 2\cdot17, $$ $$ 5\cdot13. $$ 以下資料與切片無關： $$ g-c=233, $$ $$ g+c=1913, $$ $$ \omega_c=\frac{233}{1913}, $$ 以及平方類： $$ 233\cdot1913. $$ 因此，R1 將： $$ \boxed{ \text{表示所引入的附帶產物} } $$ 與： $$ \boxed{ \text{正典算術缺陷資料}. } $$ 這是 FDRS 的重要要求：展平可以改變表示，但重建的障礙必須保持不變。 --- # 25. 三個正典缺陷比 對任何有理殼層狀態： $$ (x,y,z)\in\mathcal S_{\mathbb Q}, $$ 定義： $$ \boxed{ \Omega = (\omega_x,\omega_y,\omega_z), } $$ 其中： $$ \omega_x = \frac{1-x}{1+x}, $$ $$ \omega_y = \frac{1-y}{1+y}, $$ $$ \omega_z = \frac{1-z}{1+z}. $$ 則： $$ [F]=[\omega_x], $$ $$ [E]=[\omega_y], $$ $$ [D]=[\omega_z]. $$ 完美長方體閉合恰好是： $$ \boxed{ \omega_x,\omega_y,\omega_z \in \mathbb Q^2. } $$ 因此，三個面平方閘門同時由三個一維比值閘門表示。 --- # 26. 新的正典狀態描述子 對古典有理邊長殼層而言，六分量平方類向量包含冗餘。 因此，R1 提出縮減後的狀態： $$ \boxed{ \mathfrak C = (x,y,z;\omega_x,\omega_y,\omega_z). } $$ 因為： $$ x^2+y^2+z^2=1, $$ 幾何位於有理球面上。 算術閉合取決於以下數值是否為平方： $$ \omega_x,\omega_y,\omega_z. $$ 也可以使用根座標： $$ \boxed{ \mathfrak R = (r_x,r_y,r_z), } $$ 其中： $$ r_i^2=\omega_i. $$ 完美長方體恰好是一個有理點： $$ \boxed{ (r_x,r_y,r_z)\in\mathbb Q^3 } $$ 位於三重 Cayley 根曲面上。 --- # 27. 修訂後的遷移問題 R0 的遷移問題是： $$ K\longrightarrow K'. $$ R1 將它進一步精確化。 在古典殼層上，實際的移動是： $$ (x,y,z) \overset{R_{ij}(t)}{\longrightarrow} (x',y',z'), $$ 並誘導： $$ (\omega_x,\omega_y,\omega_z) \longrightarrow (\omega_x',\omega_y',\omega_z'). $$ 精確的目標是： $$ \boxed{ (\omega_x',\omega_y',\omega_z') \in (\mathbb Q^2)^3. } $$ 因此，應將平方類動力學研究為有理正交移動在非線性 Cayley 映射下的像。 --- # 28. 為何這更接近 Magic-Cube 移動系統 環境中的線性移動交換。 保持殼層的有理旋轉，在不同座標平面間一般不交換。 因此，序列： $$ R_{xy}(u) R_{xz}(v) $$ 不一定等於： $$ R_{xz}(v) R_{xy}(u). $$ 所以，中間移動後的算術狀態可以高度依賴移動順序。 這形成真正的移動字問題： $$ \boxed{ W = R_{i_1j_1}(t_1) R_{i_2j_2}(t_2) \cdots R_{i_nj_n}(t_n). } $$ 幾何精確保持在： $$ \mathcal S_{\mathbb Q}, $$ 而平方類閉合可以改變。 這正是先前 Magic-Cube 直覺在殼層層級上的實現。 --- # 29. R1 的主要結構結果 R1 給出以下鏈： $$ \boxed{ \text{完美長方體} } $$ $$ \Longleftrightarrow $$ $$ \boxed{ \text{位於下式上的有理點：}S^2 + \text{三個有理互補根} } $$ $$ \Longleftrightarrow $$ $$ \boxed{ \omega_x,\omega_y,\omega_z \text{全部都是有理數平方} } $$ $$ \Longleftrightarrow $$ $$ \boxed{ r_x,r_y,r_z\in\mathbb Q } $$ 滿足： $$ \boxed{ \left( \frac{1-r_x^2}{1+r_x^2} \right)^2 + \left( \frac{1-r_y^2}{1+r_y^2} \right)^2 + \left( \frac{1-r_z^2}{1+r_z^2} \right)^2 = 1. } $$ 這個表述保留原有幾何，但將全部算術障礙移至三個一維 Cayley 根的有理性。 --- # 30. R2 的目標 下一階段不應重回盲目的整數高度搜尋。 R2 應研究**三重 Cayley 根曲面**： $$ \boxed{ \mathcal C: \chi(r)+\chi(s)+\chi(t)=1, } $$ 其中： $$ \chi(u) = \left( \frac{1-u^2}{1+u^2} \right)^2. $$ 主要問題是： 1. 能否將此曲面雙有理約化為較簡單的族？ 2. 它有哪些自然纖維化？ 3. 若先有理參數化兩個座標，會發生什麼？ 4. 固定： $$ r=\frac{25}{39} $$ 或： $$ s=\frac{17}{28} $$ 是否會產生可處理的曲線？ 5. 無理座標： $$ \sqrt{\frac{233}{1913}} $$ 能否透過有理殼層旋轉變成有理座標？ 6. 是否存在阻礙三個 Cayley 比同時成為平方的有理不變量？ 7. Möbius 補集對合： $$ \mu(t)=\frac{1-t}{1+t} $$ 能否揭示 C2 曲面的一個較低虧格表示？ 8. 共軛壁比是否在以下群中容許有用的下降？ $$ \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times2}? $$ --- # 31. 建議的 R2 分解 R2 應分為三個子研究計畫。 ## R2-A — Cayley 曲面代數 研究： $$ \chi(r)+\chi(s)+\chi(t)=1 $$ 作為一個代數曲面。 目標： $$ \boxed{ \text{尋找有理纖維化／雙有理約化}. } $$ ## R2-B — 殼層移動動力學 以下列算子生成短字： $$ R_{xy}, \quad R_{xz}, \quad R_{yz} $$ 其中半角參數為有理數。 追蹤： $$ \Omega = (\omega_x,\omega_y,\omega_z). $$ 目標： $$ \boxed{ \text{尋找精確的平方類縮減軌跡}. } $$ ## R2-C — 缺陷比下降 從下式出發： $$ \omega_z = \frac{233}{1913}. $$ 研究共軛壁因數分解是否容許下降至： $$ \omega_z'=q^2. $$ 目標： $$ \boxed{ \text{以比值平方下降取代乘積核搜尋}. } $$ --- # 32. 最終結論 R1 的主要進展不是新的大型數值近似解。 而是座標的縮減。 原先的種子： $$ (448,495,840;1073) $$ 現在可以表示為： $$ \boxed{ \left( \frac{25}{39}, \frac{17}{28}, \sqrt{\frac{233}{1913}} \right). } $$ 前兩個座標恰好就是先前觀察到的 C2 有理參數。 第三個座標恰好就是剩餘的算術缺陷。 此外： $$ 233=g-c, $$ $$ 1913=g+c. $$ 平方自由核： $$ 233\cdot1913 $$ 與 Cayley 比： $$ \frac{233}{1913} $$ 是同一個平方類障礙的兩種表示。 兩個獨立的 FDRS 錨定纖維還原同一個比，而已經閉合的通道還原： $$ \left(\frac{25}{39}\right)^2 $$ 以及： $$ \left(\frac{17}{28}\right)^2. $$ 因此，Radical-FDRS、X-Diagonal 耦合、六通道守恆框架與 C2 對偶平方表述，不再是分離的方法。 它們現在由共同的 Cayley 根座標系統聯繫起來： $$ \boxed{ x \longleftrightarrow \omega(x) = \frac{1-x}{1+x} \longleftrightarrow r_x = \sqrt{\omega(x)}. } $$ 因此，下一個研究對象是： $$ \boxed{ \mathcal C: \chi(r)+\chi(s)+\chi(t)=1 } $$ 以及其幾何重建上的有理正交移動動力學。 這成為 R2 的正典起點。