> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 Radical-FDRS R14

## 正準橢圓 Chabauty 覆蓋、精確剩餘類轉移與撓歧義的消除

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**分支：** Radical-FDRS / 幾何耦合分支 R  
**階段：** R14 — 正準覆蓋選擇與 Mordell-Weil 轉移  
**日期：** 2026-10-05  
**狀態：** 精確結構與算術轉移定理 — 並非完美長方體存在性或不存在性的證明

---

# 0. 執行摘要

R13 證明，R12 商閘與歷史 G2E.5 平方值覆蓋，經歷史 $2$-同源映射拉回後，是同一障礙的兩個撓／Kummer 圖表。

R14 選擇一個正準圖表，並將最強的 R9–R12 Mordell-Weil 資訊轉移至其中。

正準橢圓曲線就是歷史正規化秩一曲線

$$
\boxed{
E_0:
\qquad
y^2
=
x^3
-
2x^2
+
\lambda^2x,
}
$$

其中

$$
\boxed{
\lambda
=
\frac{1352033}{950625}.
}
$$

正準平方值覆蓋為

$$
\boxed{
r^2=2-x.
}
$$

具有全 $2$-撓的同源來源曲線為

$$
\boxed{
E_0':
\qquad
Y^2
=
X(X-448^2)(X+1073^2).
}
$$

令

$$
\boxed{
G_0=(480704,-468686400)\in E_0'(\mathbb Q).
}
$$

在正規化的 $2$ 次同源映射下：

$$
\phi:E_0'\to E_0,
$$

得到精確點

$$
\boxed{
Q
=
\phi(G_0)
=
\left(
1,
\frac{961408}{950625}
\right).
}
$$

因此，歷史邊界錨點

$$
x=1
$$

恰為已知奇指數 Mordell-Weil 替代點的像。

R9–R11 兩個存活的有理 $2$-撓陪集，在 $E_0'$ 上為

$$
T_A=(448^2,0),
$$

且

$$
T_{-B}=(-1073^2,0).
$$

兩者皆映至同一非平凡有理 $2$-撓點

$$
\boxed{
T=(0,0)\in E_0(\mathbb Q).
}
$$

因此，每個 R11 存活點

$$
[c]G_0+T_A
$$

或

$$
[c]G_0+T_{-B}
$$

具有相同的像

$$
[c]Q+T.
$$

施加 R13 撓平移

$$
\tau_T
$$

會消去這最後的撓項，得到

$$
\boxed{
[c]Q.
}
$$

故兩個存活的 $E_0'$ 撓陪集，在正準歷史覆蓋上收縮為**一個不帶撓項的 Mordell-Weil 軌道**。

此外，$Q$ 本身就是 $E_0(\mathbb Q)$ 本原自由生成元的奇指數替代點。

這不必假設飽和即可認證。

模 $17$，

$$
E_0:
\qquad
y^2=x^3-2x^2+9x.
$$

約化曲線具有

$$
\boxed{
\#E_0(\mathbb F_{17})=24.
}
$$

倍點映射的像為

$$
\boxed{
2E_0(\mathbb F_{17})
=
\{
O,
(0,0),
(2,\pm1),
(13,\pm2)
\}.
}
$$

但

$$
\boxed{
Q\bmod17=(1,12),
}
$$

且

$$
\boxed{
(Q+T)\bmod17=(9,11)
}
$$

兩者皆位於此集合之外。

因此，$Q$ 的自由係數為奇數。

所以，R9–R12 所使用的相同 $2$-進正規化 Mordell-Weil 係數，可直接轉移至正準歷史軌道

$$
[c]Q.
$$

R11 必要條件成為

$$
\boxed{
c\bmod2^{18}
\in
\mathcal C_{18},
}
$$

其中

$$
\boxed{
\mathcal C_{18}
=
\pm
\{
1,
16385,
114687,
131071
\}.
}
$$

不再有撓歧義。

由於舊平方值函數只依賴 $x$，橢圓取負會在第一覆蓋層級，將符號成對的類視為相同。

因此，正準平方值階段只有模 $2^{18}$ 的四個係數符號軌道。

最後，歷史虧格-$2$ 覆蓋具有一個比舊的大係數形式短得多的正準六次模型。

其中

$$
M=950625,
\qquad
L=1352033,
$$

令

$$
\boxed{
\mathcal H_{\rm can}:
\qquad
\mathcal Y^2
=
(2-r^2)
\left(
M^2r^4
-
2M^2r^2
+
L^2
\right).
}
$$

至 $E_0$ 的映射僅為

$$
\boxed{
x=2-r^2,
\qquad
y=\frac{\mathcal Y}{M}.
}
$$

歷史 G2E.5 偶六次曲線，可由此模型經下式得到：

$$
\boxed{
r=\frac{L}{M}s.
}
$$

因此，R14 正式為所有未來橢圓 Chabauty 工作，選定一個正準覆蓋、一個正準秩一軌道，以及一個轉移後的剩餘類封包。

---

# 1. 來源橢圓曲線

取

$$
\boxed{
E_0':
\qquad
Y^2
=
X(X-A)(X+B),
}
$$

其中

$$
\boxed{
A=448^2=200704,
}
$$

且

$$
\boxed{
B=1073^2=1151329.
}
$$

定義

$$
\boxed{
M=B-A=950625=975^2,
}
$$

且

$$
\boxed{
L=A+B=1352033.
}
$$

則

$$
E_0':
\qquad
Y^2
=
X^3
+
MX^2
-
ABX.
$$

---

# 2. 正規化目標橢圓曲線

標準的 $2$-同源目標曲線為

$$
\widehat E:
\qquad
V^2
=
U^3
-
2MU^2
+
L^2U.
$$

以下式正規化：

$$
\boxed{
U=Mx,
}
$$

且

$$
\boxed{
V=975^3y.
}
$$

因為

$$
M=975^2,
$$

目標曲線成為

$$
\boxed{
E_0:
\qquad
y^2
=
x^3
-
2x^2
+
\lambda^2x,
}
$$

其中

$$
\boxed{
\lambda
=
\frac{L}{M}
=
\frac{1352033}{950625}.
}
$$

---

# 3. 明確的正規化同源映射

對一個有限點

$$
P=(X,Y)\in E_0',
$$

其中

$$
X\ne0,
$$

定義

$$
\boxed{
U
=
\frac{Y^2}{X^2}.
}
$$

相應的未正規化 $y$-座標為

$$
\boxed{
V
=
-
\frac{
Y(X^2+AB)
}{
X^2
}.
}
$$

因此，正規化映射為

$$
\boxed{
x
=
\frac{
Y^2
}{
MX^2
},
}
$$

且

$$
\boxed{
y
=
-
\frac{
Y(X^2+AB)
}{
975^3X^2
}.
}
$$

核為

$$
\boxed{
\{O,(0,0)\}.
}
$$

---

# 4. 已知 Mordell-Weil 替代點的像

取

$$
\boxed{
G_0
=
(480704,-468686400).
}
$$

由於

$$
\frac{
468686400^2
}{
480704^2
}
=
950625,
$$

得到

$$
\boxed{
x(\phi(G_0))=1.
}
$$

正規化 $y$-座標為

$$
\boxed{
\frac{961408}{950625}.
}
$$

因此

$$
\boxed{
Q
=
\phi(G_0)
=
\left(
1,
\frac{961408}{950625}
\right).
}
$$

這正是歷史邊界錨點。

---

# 5. 邊界錨點驗證

在

$$
x=1,
$$

橢圓方程給出

$$
y^2
=
\lambda^2-1.
$$

現在

$$
\boxed{
L^2-M^2
=
961408^2.
}
$$

故

$$
\lambda^2-1
=
\left(
\frac{961408}{950625}
\right)^2.
$$

因此，點

$$
Q
$$

確實位於

$$
E_0(\mathbb Q)
$$

如上式。

正準舊平方函數滿足

$$
\boxed{
2-x(Q)=1.
}
$$

因此，$Q$ 是正準虧格-$2$ 覆蓋上的有理點。

---

# 6. 目標曲線上的有理 $2$-撓

正規化目標曲線具有一個非平凡有理 $2$-撓點：

$$
\boxed{
T=(0,0).
}
$$

沿此點平移為

$$
\boxed{
\tau_T(x,y)
=
\left(
\frac{\lambda^2}{x},
-
\frac{\lambda^2y}{x^2}
\right).
}
$$

特別地，

$$
\boxed{
x(Q+T)=\lambda^2.
}
$$

這是 R13 撓對偶邊界圖表。

---

# 7. 存活來源撓點的像

在

$$
E_0',
$$

三個非零有理 $2$-撓點為

$$
T_0=(0,0),
$$

$$
T_A=(A,0),
$$

且

$$
T_{-B}=(-B,0).
$$

同源核為

$$
\boxed{
\{O,T_0\}.
}
$$

因此

$$
T_A
$$

且

$$
T_{-B}
$$

具有相同的像。

直接由同源公式，

$$
\boxed{
\phi(T_A)=T,
}
$$

且

$$
\boxed{
\phi(T_{-B})=T.
}
$$

這亦由以下關係所迫：

$$
T_A+T_{-B}=T_0.
$$

---

# 8. R11 存活陪集的轉移

R11 證明，每個假設存在的完整固定纖維有理點，都必須位於兩個有效來源陪集之一：

$$
[c]G_0+T_A,
$$

或

$$
[c]G_0+T_{-B},
$$

其中

$$
c\bmod2^{18}
\in
\mathcal C_{18}.
$$

施加同源映射。

兩種情形均給出

$$
\boxed{
[c]Q+T.
}
$$

因此，兩個來源撓陪集成為一個目標撓陪集。

現在施加 R13 撓平移：

$$
\boxed{
\tau_T([c]Q+T)=[c]Q.
}
$$

因此，所有存活的算術資料，均可轉移至單一軌道

$$
\boxed{
\{[c]Q\}.
}
$$

---

# 9. 精確消除撓歧義定理

## 定理

兩個 R11 來源撓陪集

$$
T_A,
\qquad
T_{-B}
$$

經以下操作後，在歷史平方值圖表上產生相同的正準點：

1. $2$ 次同源映射；
2. 沿非平凡的目標 $2$-撓點平移。

明確地：

$$
\boxed{
\tau_T
\phi
\left(
[c]G_0+T_A
\right)
=
[c]Q,
}
$$

且

$$
\boxed{
\tau_T
\phi
\left(
[c]G_0+T_{-B}
\right)
=
[c]Q.
}
$$

因此，正準歷史覆蓋中不再保留任何撓標記。

---

# 10. $E_0$ 上的奇指數問題

若要使用

$$
Q
$$

作為證明安全的 $2$-初級 Mordell-Weil 替代點，必須驗證其自由格係數為奇數。

此事必須獨立於任何未驗證的飽和假設而證明。

R14 使用模以下數值的約化：

$$
17.
$$

---

# 11. 模 $17$ 約化

由於

$$
M\equiv2\pmod{17},
$$

且

$$
L\equiv6\pmod{17},
$$

有

$$
\lambda
\equiv3\pmod{17}.
$$

故

$$
\lambda^2
\equiv9\pmod{17}.
$$

約化曲線為

$$
\boxed{
E_0/\mathbb F_{17}:
\qquad
y^2
=
x^3
-
2x^2
+
9x.
}
$$

直接精確點計數給出

$$
\boxed{
\#E_0(\mathbb F_{17})=24.
}
$$

---

# 12. 模 $17$ 的倍點像

精確枚舉給出

$$
\boxed{
2E_0(\mathbb F_{17})
=
\{
O,
(0,0),
(2,1),
(2,16),
(13,2),
(13,15)
\}.
}
$$

另一方面

$$
\boxed{
Q\bmod17=(1,12).
}
$$

此外

$$
\boxed{
(Q+T)\bmod17=(9,11).
}
$$

兩點都不位於

$$
2E_0(\mathbb F_{17}).
$$

---

# 13. $Q$ 的奇指數定理

寫成

$$
E_0(\mathbb Q)
\cong
\mathbb Z H
\oplus
\langle T\rangle,
$$

其中

$$
H
$$

在自由部分中為本原。

寫成

$$
Q=kH+\epsilon T.
$$

假設

$$
k
$$

為偶數。

若

$$
\epsilon=0,
$$

則

$$
Q\in2E_0(\mathbb Q).
$$

若

$$
\epsilon=1,
$$

則

$$
Q+T\in2E_0(\mathbb Q).
$$

任一結論在模以下數值作好約化後仍會成立：

$$
17.
$$

但兩個約化點均不位於

$$
2E_0(\mathbb F_{17}).
$$

矛盾。

因此

$$
\boxed{
k\text{ 為奇數}.
}
$$

因此，$Q$ 在模去撓部分的本原自由子群中具有奇指數。

---

# 14. 對正規化係數的推論

R9 定義了正規化的 $2$-進係數

$$
c
$$

利用以下事實：

$$
G_0
$$

具有奇自由指數。

R14 證明

$$
Q
$$

也具有奇自由指數。

因此，同一正規化係數經同源映射轉移，不會隱藏一個二的因子。

R11 同餘資料可直接用於軌道

$$
[c]Q.
$$

這是證明安全的轉移。

---

# 15. 轉移後的 R11 係數封包

R11 係數集合為

$$
\boxed{
\mathcal C_{18}
=
\{
1,
16385,
114687,
131071,
131073,
147457,
245759,
262143
\}.
}
$$

等價地，

$$
\boxed{
\mathcal C_{18}
=
\pm
\{
1,
16385,
114687,
131071
\}
\pmod{2^{18}}.
}
$$

R14 將此集合原封轉移至正準歷史軌道：

$$
\boxed{
P_c=[c]Q.
}
$$

因此，每個假設存在的非邊界固定切片解，都必須位於滿足以下條件的係數上方：

$$
\boxed{
c\bmod2^{18}
\in
\mathcal C_{18}.
}
$$

---

# 16. 取負對稱性

正準舊平方函數為

$$
f_{\rm old}=2-x.
$$

橢圓取負將

$$
(x,y)\mapsto(x,-y).
$$

因此

$$
\boxed{
f_{\rm old}(-P)=f_{\rm old}(P).
}
$$

在第一個虧格-$2$ 平方值層級，係數類

$$
c
$$

且

$$
-c
$$

因此具有相同的 $x$-座標與相同的平方條件。

故八個 R11 係數剩餘類形成四個符號軌道：

$$
\boxed{
\{1,-1\},
}
$$

$$
\boxed{
\{16385,-16385\},
}
$$

$$
\boxed{
\{114687,-114687\},
}
$$

且

$$
\boxed{
\{131071,-131071\}
}
$$

模

$$
2^{18}.
$$

這使第一覆蓋的記帳，在模去橢圓符號後，減至四個係數類。

更高提升仍可能區分 $y$ 的符號，因此不可在平方值階段以外盲目套用符號商。

---

# 17. 正準歷史平方值覆蓋

歷史覆蓋為

$$
\boxed{
r^2=2-x.
}
$$

消去

$$
x
$$

使用

$$
\boxed{
x=2-r^2.
}
$$

代入

$$
E_0:
\qquad
y^2
=
x
\left(
x^2-2x+\lambda^2
\right).
$$

第二個因子成為

$$
\boxed{
x^2-2x+\lambda^2
=
r^4-2r^2+\lambda^2.
}
$$

因此

$$
\boxed{
y^2
=
(2-r^2)
\left(
r^4-2r^2+\lambda^2
\right).
}
$$

---

# 18. 整數縮放的正準六次曲線

將平方根乘以

$$
M.
$$

定義

$$
\boxed{
\mathcal Y=My.
}
$$

則

$$
\boxed{
\mathcal H_{\rm can}:
\qquad
\mathcal Y^2
=
(2-r^2)
\left(
M^2r^4
-
2M^2r^2
+
L^2
\right).
}
$$

這是一個偶六次虧格-$2$ 模型。

它是未來橢圓 Chabauty 工作的首選正準模型。

---

# 19. 直接商映射

從正準六次曲線至

$$
E_0
$$

的映射僅為

$$
\boxed{
x=2-r^2,
}
$$

且

$$
\boxed{
y=\frac{\mathcal Y}{M}.
}
$$

對合

$$
r\mapsto-r
$$

是至橢圓基底的 $2$ 次商映射。

因此，可直接看見舊平方值座標。

---

# 20. 正準座標中的邊界錨點

在

$$
Q,
$$

有

$$
x=1.
$$

因此

$$
r^2=1.
$$

兩個邊界提升為

$$
\boxed{
r=1,
}
$$

且

$$
\boxed{
r=-1.
}
$$

因此，歷史邊界錨點成為正準六次曲線上最簡單的一對有理點。

這是首選舊圖表的另一個理由。

---

# 21. 與歷史 G2E.5 偶模型的關係

歷史偶虧格-$2$ 模型為

$$
\boxed{
\bar Y^2
=
-
\left(
L^2s^2
-
2M^2
\right)
}
$$

$$
\boxed{
\qquad\cdot
\left(
L^2s^4
-
2M^2s^2
+
M^2
\right).
}
$$

令

$$
\boxed{
r=\frac{L}{M}s.
}
$$

則

$$
2-r^2
=
-
\frac{
L^2s^2-2M^2
}{
M^2
}.
$$

此外

$$
M^2r^4-2M^2r^2+L^2
=
\frac{
L^2
}{
M^2
}
\left(
L^2s^4
-
2M^2s^2
+
M^2
\right).
$$

因此

$$
\boxed{
\mathcal Y
=
\frac{L}{M^2}\bar Y
}
$$

將歷史模型映至 R14 正準六次曲線。

因此，兩個虧格-$2$ 方程恰為同一條曲線。

---

# 22. 為何 R14 模型較佳

正準模型

$$
\mathcal Y^2
=
(2-r^2)
\left(
M^2r^4-2M^2r^2+L^2
\right)
$$

有數項優勢。

1. 橢圓商映射為：
   $$
   x=2-r^2.
   $$

2. 邊界錨點為：
   $$
   r=\pm1.
   $$

3. 平方值條件已內建於座標本身。

4. 與 R13 的連結是直接的。

5. 係數增長低於歷史 Möbius 共軛的六次曲線。

6. 模型是偶的，直接呈現雙橢圓對合。

因此，此模型應成為未來實作的正準模型。

---

# 23. 舊撓圖表與新撓圖表

R13 新圖表使用

$$
s^2=2x-\lambda^2.
$$

舊圖表使用

$$
r^2=2-x.
$$

它們在同源／Kummer 拉回後等價。

然而，經 R14 轉移後，舊圖表有較清楚的邊界結構：

$$
Q
\longleftrightarrow
r=\pm1.
$$

新圖表將同一邊界狀態放在撓平移後的點

$$
Q+T,
$$

其中

$$
x=\lambda^2.
$$

因此，舊圖表是算術枚舉的首選正準圖表。

新圖表仍可作為有用的對偶局部座標。

---

# 24. R11 邊界中心的像

R9/R11 來源中心為

$$
\pm G_0+T_A
$$

且

$$
\pm G_0+T_{-B}.
$$

經同源映射與目標撓平移後，它們成為

$$
\boxed{
\pm Q.
}
$$

因此，四個來源邊界中心收縮為一個目標邊界錨點的兩個橢圓符號。

對平方值座標取商後，

$$
r^2=2-x,
$$

它們成為兩個點

$$
\boxed{
r=\pm1.
}
$$

這是完整的邊界壓縮：

$$
4
\longrightarrow
2
\longrightarrow
1
$$

在以下層級：

- 來源橢圓點；
- 虧格-$2$ 提升；
- 橢圓 $x$-座標。

---

# 25. 狀態數壓縮

R11 結束時：

- 仍有八個係數剩餘類；
- 仍有兩個來源撓陪集。

這給出：

$$
16
$$

個有限係數／撓狀態，其精度為

$$
2^{18}.
$$

R12 辨識出，兩個來源撓陪集形成一個閘對稱軌道。

R14 在正準歷史目標上，完全消除此歧義。

因此，狀態封包現在僅為

$$
\boxed{
8
\text{ 個係數剩餘類}.
}
$$

在第一個平方值階段，橢圓取負將它們配對，留下

$$
\boxed{
4
\text{ 個係數符號軌道}.
}
$$

這是目前得到的最小證明安全有限狀態描述。

---

# 26. 為何奇階乾淨素數須謹慎處理

係數

$$
c
$$

本質上是正規化的 $2$-進 Mordell-Weil 係數。

如下的剩餘類：

$$
c\equiv c_0\pmod{2^{18}}
$$

並不決定

$$
c
$$

模一個有限約化階的奇因子時的值。

因此，不可取一個整數代表

$$
c_0
$$

並將其模任意混合階 Mordell-Weil 階約化。

這樣做會隱含假設，已知那個未知的奇飽和指數。

這是無效的。

R14 保留證明安全規則：

$$
\boxed{
\text{在混合階素數處使用 Sylow-}2\text{ 投影}.
}
$$

---

# 27. $E_0$ 上正確的乾淨素數工作流程

對一個好素數

$$
p,
$$

寫成

$$
\#E_0(\mathbb F_p)=2^sm,
$$

其中

$$
m
$$

為奇數。

正確工作流程為：

1. 在原始約化候選上檢驗平方值覆蓋；

2. 將候選以下列倍乘映射投影：
   $$
   [m];
   $$

3. 將：
   $$
   Q
   $$
   與目標撓部分以同一映射投影；

4. 將投影候選與投影 Mordell-Weil 像比較。

這與 G2E.5 及 R11-R12 中已建立的證明安全規則相同。

---

# 28. 正準曲線上的奇指數替代點

因為以下點的自由係數：

$$
Q
$$

為奇數，乘以未知全域指數，在每個 Sylow-$2$ 約化子群上皆可逆。

因此

$$
Q
$$

可在每個 $2$-初級 Mordell-Weil 篩中替代本原生成元。

這正是以下點之舊陳述在目標曲線上的對應：

$$
G_0.
$$

繼續篩選前，不須新的飽和計算。

---

# 29. R11 剩餘類轉移定理

## 定理

令

$$
c\in\mathbb Z_2
$$

是與一個假設存在的固定纖維有理點相關聯的正規化係數。

若該點通過 R11 雙閘篩，則經 R13/R14 正準轉移後，其歷史橢圓像為

$$
\boxed{
[c]Q
}
$$

其中

$$
\boxed{
c\bmod2^{18}
\in
\mathcal C_{18}.
}
$$

沒有殘餘的有理 $2$-撓歧義。

這是未來橢圓 Chabauty 計算的正準算術輸入。

---

# 30. 正準實作資料

未來局部或外部計算，只須以下套件。

## 橢圓基底

$$
\boxed{
E_0:
\quad
y^2
=
x^3-2x^2+\lambda^2x.
}
$$

## 參數

$$
\boxed{
\lambda=\frac{1352033}{950625}.
}
$$

## 奇指數 Mordell-Weil 替代點

$$
\boxed{
Q=
\left(
1,
\frac{961408}{950625}
\right).
}
$$

## 撓

$$
\boxed{
T=(0,0).
}
$$

## 正準平方函數

$$
\boxed{
f=2-x.
}
$$

## 係數封包

$$
\boxed{
c\bmod2^{18}
\in
\pm
\{
1,
16385,
114687,
131071
\}.
}
$$

## 正準虧格-$2$ 模型

$$
\boxed{
\mathcal Y^2
=
(2-r^2)
\left(
950625^2r^4
-
2\cdot950625^2r^2
+
1352033^2
\right).
}
$$

---

# 31. R14 沒有證明什麼

R14 沒有分類正準虧格-$2$ 覆蓋上的所有有理點。

它沒有證明四個非邊界係數符號軌道為空。

它沒有證明

$$
Q
$$

是本原生成元。

它只證明其自由指數為奇數，這已足以用於所有 $2$-初級篩。

它也不取代完整完美長方體點所需的其餘更高提升相容性。

橢圓 Chabauty 覆蓋仍是一個必要的中間層。

---

# 32. 策略推論

研究架構不應再為以下項目維持分開的算術實作：

- R12 新商閘；
- 歷史 G2E.5 舊閘。

R13 證明它們是撓／Kummer 對偶。

R14 正準地選擇舊圖表，並將目前所有剩餘類資訊轉移至其中。

因此，下一個精確算術階段，可以聚焦於一條曲線：

$$
\boxed{
\mathcal H_{\rm can}.
}
$$

這可避免重複下降、重複局部篩，以及重複邊界記帳。

---

# 33. 擬議的 R15 計畫

R15 現在應直接在正準虧格-$2$ 覆蓋上進行算術。

## R15-A — 正準覆蓋上的有限素數 Mordell-Weil 篩

對每個好素數：

1. 枚舉以下曲線上的約化點：
   $$
   E_0;
   $$

2. 保留使以下值：
   $$
   2-x
   $$
   為平方的點；

3. 施加證明安全的 Sylow-$2$ 投影；

4. 與以下項所生成的子群比較：
   $$
   Q
   $$
   以及撓部分；

5. 與已轉移的：
   $$
   \mathcal C_{18}
   $$
   係數封包取交集。

## R15-B — 先使用歷史乾淨素數

重新評估：

$$
11,
59,
181,
197,
1669
$$

直接在正準覆蓋模型上進行。

由於座標與邊界錨點現已簡化，應記錄實際存活的係數圓盤，而非只記錄舊的 $h$-剩餘類陳述。

## R15-C — 橢圓 Chabauty 交接

準備以下項目的精確 Sage/Magma 相容規格：

- $E_0$;
- $Q$;
- $2$ 次覆蓋：
  $$
  r^2=2-x;
  $$
- 已知剩餘類封包；
- 邊界點：
  $$
  r=\pm1.
  $$

目標是直接分類有理提升。

## R15-D — 更高提升檢查

正準虧格-$2$ 覆蓋上的任何非邊界有理點，仍須通過剩餘的完美長方體提升。

經以下曲線轉移回去：

$$
E_0'
$$

並施加第二個 R8 閘。

這可維持證明安全。

## R15-E — 固定切片定理目標

首選定理仍是：

> 完整固定切片覆蓋上，所有與 Mordell-Weil 剩餘類封包相容的有理點，都是邊界。

若得證，則

$$
\boxed{
n=\frac7{32}
}
$$

不含非退化完美長方體點。

---

# 34. 最終結論

R14 完成了 R13 所啟動的實務合併。

已知的來源 Mordell-Weil 替代點

$$
G_0
$$

映至歷史邊界點

$$
\boxed{
Q=
\left(
1,
\frac{961408}{950625}
\right)
}
$$

在

$$
E_0.
$$

兩個存活的來源有理 $2$-撓陪集，皆映至同一目標撓點，並由 R13 撓平移消去。

因此，所有存活算術資料均由單一軌道表示：

$$
\boxed{
[c]Q.
}
$$

模 $17$ 的倍點證書證明，$Q$ 具有奇自由格指數，因此是所有未來 $2$-初級篩的證明安全替代點。

R11 係數封包原封轉移：

$$
\boxed{
c\bmod2^{18}
\in
\pm
\{
1,
16385,
114687,
131071
\}.
}
$$

歷史虧格-$2$ 覆蓋，最適合以下短正準六次曲線表示：

$$
\boxed{
\mathcal Y^2
=
(2-r^2)
\left(
M^2r^4-2M^2r^2+L^2
\right).
}
$$

其邊界錨點僅為

$$
\boxed{
r=\pm1.
}
$$

因此，完整 R0–R13 結構計畫，現在回到一個正準秩一橢圓 Chabauty 問題，帶有嚴格受限的 Mordell-Weil 剩餘類封包。

這是 R15 的正準起點。