# Perfect Cuboid Radical-FDRS R0 第一輪實驗紀錄

## Squareclass Defect Migration, Compatibility Graph, and Gaussian-Norm Constraints

**Series:** Perfect Cuboid Global Closure  
**Branch:** Radical-FDRS / Geometry-Coupling Branch R  
**Phase:** R0 Experimental Pass 1  
**Date:** 2026-10-03  
**Status:** Experimental / Methodological Result — Not a proof of Perfect Cuboid existence or nonexistence

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# 1. 實驗目的

本輪不再直接枚舉大型整數邊長，而改用 Radical-FDRS 的一維 squareclass state。

第一階段限制 squarefree alphabet：

$$
\mathcal K_6
=
\{1,2,3,5,6\}.
$$

對 normalized square-state：

$$
A+B+C=1,
$$

定義六個 arithmetic channels：

$$
K
=
(\kappa_A,\kappa_B,\kappa_C,\kappa_D,\kappa_E,\kappa_F),
$$

其中：

$$
D=A+B,
$$

$$
E=A+C,
$$

$$
F=B+C.
$$

每個正有理數通道寫成：

$$
X=q^2\kappa,
$$

其中：

$$
q\in\mathbb Q_{>0},
$$

且：

$$
\kappa
$$

為正 squarefree kernel。

Perfect Cuboid 的終態為：

$$
\boxed{
K_{\rm goal}
=
(1,1,1,1,1,1).
}
$$

本輪主要問題為：

> squareclass defect 是否能在保持全域守恆的情況下搬移、分裂、融合或消失？

---

# 2. 第一個精確 defect migration 例子

取：

$$
(A,B,C)
=
\left(
\frac19,\frac49,\frac49
\right).
$$

前三個 basic channels 都是 rational squares：

$$
A=\left(\frac13\right)^2,
$$

$$
B=C=\left(\frac23\right)^2.
$$

因此：

$$
(\kappa_A,\kappa_B,\kappa_C)
=
(1,1,1).
$$

三個 face channels：

$$
D=A+B=\frac59
=
5\left(\frac13\right)^2,
$$

$$
E=A+C=\frac59
=
5\left(\frac13\right)^2,
$$

$$
F=B+C=\frac89
=
2\left(\frac23\right)^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
K
=
(1,1,1,5,5,2).
}
$$

現在做一個守恆 move：

$$
A'=A,
$$

$$
B'=B-\frac19,
$$

$$
C'=C+\frac19.
$$

因此：

$$
(A',B',C')
=
\left(
\frac19,\frac13,\frac59
\right),
$$

且：

$$
A'+B'+C'=1.
$$

新的 basic squareclasses：

$$
A'=\frac19
\Rightarrow
\kappa_A'=1,
$$

$$
B'=\frac13
=
3\left(\frac13\right)^2
\Rightarrow
\kappa_B'=3,
$$

$$
C'=\frac59
=
5\left(\frac13\right)^2
\Rightarrow
\kappa_C'=5.
$$

新的 face channels：

$$
D'=A'+B'=\frac49
\Rightarrow
\kappa_D'=1,
$$

$$
E'=A'+C'=\frac23
=
6\left(\frac13\right)^2
\Rightarrow
\kappa_E'=6,
$$

$$
F'=B'+C'=\frac89
\Rightarrow
\kappa_F'=2.
$$

因此：

$$
\boxed{
(1,1,1,5,5,2)
\longrightarrow
(1,3,5,1,6,2).
}
$$

其中：

$$
\boxed{
\kappa_D:5\rightarrow1.
}
$$

也就是原本位於：

$$
D
$$

通道的 defect 被修復，但 defect 同時重新分配到其他通道。

因此得到第一個實驗結論：

$$
\boxed{
\text{Arithmetic defect can migrate.}
}
$$

但 defect 數量並不守恆：

$$
\boxed{
\text{defect count is not a conservation invariant.}
}
$$

defect 可以：

- 搬移；
- 分裂；
- 融合；
- 重新分配到不同 Boolean layer。

---

# 3. 小 squareclass alphabet 的低高度原型

在：

$$
\mathcal K_6
=
\{1,2,3,5,6\}
$$

的 bounded exact rational scan 中，可得到若干低高度 prototype。

其中包括：

| $A,B,C$ | $K=(\kappa_A,\kappa_B,\kappa_C,\kappa_D,\kappa_E,\kappa_F)$ |
|---|---|
| $\left(\frac19,\frac49,\frac49\right)$ | $(1,1,1,5,5,2)$ |
| $\left(\frac14,\frac14,\frac12\right)$ | $(1,1,2,2,3,3)$ |
| $\left(\frac19,\frac13,\frac59\right)$ | $(1,3,5,1,6,2)$ |
| $\left(\frac1{49},\frac{24}{49},\frac{24}{49}\right)$ | $(1,6,6,1,1,3)$ |
| $\left(\frac1{50},\frac1{50},\frac{24}{25}\right)$ | $(2,2,6,1,2,2)$ |
| $\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)$ | $(3,3,3,6,6,6)$ |

這表示 squarehood 並不是固定附著於某一層。

例如：

$$
(1,1,1,5,5,2)
$$

代表 basic layer 全部閉合，但 face layer 全部帶 defect。

而：

$$
(1,6,6,1,1,3)
$$

則有兩個 basic defects，但兩個 face channels 已回到 trivial squareclass。

因此：

$$
\boxed{
\text{squareclass defects can move across Boolean layers.}
}
$$

---

# 4. Dual-Squareclass Compatibility

考慮 complementary pair：

$$
X+Y=1.
$$

若：

$$
X=\kappa u^2,
$$

$$
Y=\lambda v^2,
$$

其中：

$$
u,v\in\mathbb Q,
$$

則：

$$
\boxed{
\kappa u^2+\lambda v^2=1.
}
$$

因此定義：

$$
\kappa\sim\lambda
$$

若且唯若：

$$
\kappa u^2+\lambda v^2=1
$$

存在非退化 rational solution。

在：

$$
\{1,2,3,5,6\}
$$

中，可得到以下 compatibility pattern：

$$
\boxed{
1\sim1,
}
$$

$$
\boxed{
1\sim2,
\quad
1\sim3,
\quad
1\sim5,
\quad
1\sim6,
}
$$

$$
\boxed{
2\sim2,
}
$$

$$
\boxed{
3\sim6,
}
$$

$$
\boxed{
5\sim5.
}
$$

而以下 pairs 不相容：

$$
2\not\sim3,
$$

$$
2\not\sim5,
$$

$$
2\not\sim6,
$$

$$
3\not\sim3,
$$

$$
3\not\sim5,
$$

$$
5\not\sim6,
$$

$$
6\not\sim6.
$$

這意味著 Radical-FDRS state graph 不是完整圖。

squareclass transition 受到局部二次型條件限制。

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# 5. 一個局部排除例

假設：

$$
2x^2+3y^2=z^2
$$

存在 primitive integer solution。

模：

$$
3
$$

得到：

$$
2x^2\equiv z^2\pmod3.
$$

但：

$$
2
$$

是 modulo：

$$
3
$$

的 quadratic nonresidue。

因此必須：

$$
3\mid x,
$$

且：

$$
3\mid z.
$$

代回原方程又迫使：

$$
3\mid y.
$$

這與 primitive assumption 矛盾。

所以：

$$
\boxed{
2\not\sim3.
}
$$

類似的 modular descent 可用來排除其他小 squareclass pairs。

因此 squareclass graph 是具有 arithmetic walls 的 constrained transition graph。

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# 6. Isolated face defect 的平方和限制

考慮 single face defect：

$$
A=x^2,
$$

$$
B=y^2,
$$

但：

$$
D=A+B
$$

不是 rational square。

若：

$$
D=\kappa z^2,
$$

則：

$$
x^2+y^2=\kappa z^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\kappa
=
\left(\frac{x}{z}\right)^2
+
\left(\frac{y}{z}\right)^2.
}
$$

也就是：

$$
\kappa
$$

必須是兩個 rational squares 的和。

對 positive squarefree：

$$
\kappa,
$$

因此其 odd prime factors 必須滿足 sum-of-two-squares theorem 的條件。

形式上：

$$
\boxed{
\kappa
=
2^\epsilon
\prod_i p_i,
}
$$

其中：

$$
\epsilon\in\{0,1\},
$$

且：

$$
p_i\equiv1\pmod4.
$$

所以任何：

$$
p\equiv3\pmod4
$$

的 prime factor 都不能以奇數次出現在 isolated face-defect 的 squarefree kernel 中。

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# 7. 對小 alphabet 的立即修正

原本：

$$
\mathcal K_6
=
\{1,2,3,5,6\}.
$$

但若研究的是 isolated face defect，則：

$$
3
$$

與：

$$
6
$$

都含有：

$$
3\equiv3\pmod4.
$$

因此：

$$
\boxed{
\kappa=3
}
$$

與：

$$
\boxed{
\kappa=6
}
$$

都不能作為 isolated face-defect squareclass。

所以小 alphabet 裡真正值得追的非平凡候選只剩：

$$
\boxed{
\kappa=2,
\quad
\kappa=5.
}
$$

這不是 bounded scan 的經驗結論，而是由平方和結構直接得到的局部必要條件。

---

# 8. G2 seed 的 arithmetic signature

目前 seed：

$$
(a,b,c;g)
=
(448,495,840;1073).
$$

唯一失敗 face channel：

$$
D=A+B.
$$

其 numerator：

$$
445729
=
233\cdot1913.
$$

所以：

$$
\boxed{
\kappa_{\rm G2}
=
233\cdot1913.
}
$$

注意：

$$
233\equiv1\pmod4,
$$

以及：

$$
1913\equiv1\pmod4.
$$

因此：

$$
\boxed{
233\cdot1913
}
$$

完全符合 isolated face-defect 的 sum-of-two-squares admissibility condition。

這表示目前 G2 seed 的 arithmetic defect 並不是任意 squareclass。

它位於 Gaussian sum-of-two-squares admissible sector。

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# 9. Gaussian norm interpretation

因為：

$$
x^2+y^2
=
N_{\mathbb Q(i)/\mathbb Q}(x+iy),
$$

所以 isolated face defect：

$$
x^2+y^2=\kappa z^2
$$

可以改寫為：

$$
N(x+iy)=\kappa z^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{face-defect squareclass}
\leftrightarrow
\text{Gaussian norm squareclass}.
}
$$

這表示 Radical-FDRS 的 face-defect dynamics 可能可進一步放入：

$$
\mathbb Q(i)
$$

中的 norm、factorization、squareclass transport 與 ideal structure 研究。

---

# 10. 新的 admissible squareclass alphabet

因此如果下一階段專門研究 isolated face defects，較自然的 alphabet 不再是：

$$
\{1,2,3,5,6\},
$$

而是：

$$
\boxed{
\mathcal K_{\rm Gauss}
=
\{
1,2,5,10,13,17,26,29,34,37,41,\ldots
\}.
}
$$

亦即 positive squarefree integers whose odd prime factors all satisfy：

$$
p\equiv1\pmod4.
$$

更抽象地：

$$
\boxed{
\mathcal K_{\rm Gauss}
=
\left\{
2^\epsilon
\prod_i p_i
:
\epsilon\in\{0,1\},
\;
p_i\equiv1\pmod4
\right\}.
}
$$

因此研究方向應由：

$$
\text{small radical values}
$$

升級成：

$$
\boxed{
\text{admissible squareclass alphabet}.
}
$$

---

# 11. Bounded one-defect test

針對：

$$
\kappa=2
$$

與：

$$
\kappa=5
$$

做 bounded integer search。

要求：

$$
a^2+c^2=e^2,
$$

$$
b^2+c^2=f^2,
$$

$$
a^2+b^2+c^2=g^2,
$$

並要求：

$$
a^2+b^2=\kappa h^2.
$$

在測試範圍：

$$
1\le a,b,c\le30000
$$

內：

$$
\boxed{
\kappa=2:
\quad
0\text{ hits},
}
$$

$$
\boxed{
\kappa=5:
\quad
0\text{ hits}.
}
$$

這只是 bounded negative evidence，不構成不存在證明。

作為 scanner sanity check，指定：

$$
\kappa
=
233\cdot1913
=
445729
$$

時，可重新抓到已知 seed：

$$
\boxed{
(a,b,c)
=
(448,495,840),
}
$$

以及：

$$
\boxed{
(e,f,g)
=
(952,975,1073).
}
$$

所以 scanner 至少能重現已知 one-defect state。

---

# 12. 本輪形成的四層結構

Radical-FDRS 展平後，Perfect Cuboid 可以初步分成四層：

## Layer 1 — Conservation

$$
\boxed{
A+B+C=1.
}
$$

控制全域總量。

## Layer 2 — Boolean incidence

$$
D=A+B,
$$

$$
E=A+C,
$$

$$
F=B+C.
$$

控制 subset-sum structure。

## Layer 3 — Squareclass compatibility

控制哪些：

$$
\kappa_i
$$

能共同出現在 complement pairs 或 face couplings 中。

## Layer 4 — Norm arithmetic

例如 face defects 受到：

$$
\mathbb Q(i)
$$

的 Gaussian norm structure 約束。

因此：

$$
\boxed{
\text{Perfect Cuboid}
}
$$

不再只是大型整數搜尋問題，而可以視為：

$$
\boxed{
\text{Conservation}
+
\text{Boolean incidence}
+
\text{Squareclass compatibility}
+
\text{Norm closure}.
}
$$

---

# 13. 對 defect dynamics 的修正理解

本輪實驗顯示：

$$
\boxed{
\text{defect location is dynamic},
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{defect squareclass is constrained}.
}
$$

因此不能只研究：

$$
\text{defect count}.
$$

更適合的 state descriptor 應該是：

$$
\boxed{
\mathfrak S
=
(K,\Gamma,\Pi).
}
$$

其中：

$$
K
=
(\kappa_1,\ldots,\kappa_6)
$$

記錄 squareclass；

$$
\Gamma
$$

記錄 Boolean / complementary compatibility graph；

$$
\Pi
$$

記錄 prime-support data。

例如：

$$
\Pi(\kappa)
=
\{p:p\mid\kappa\}.
$$

這樣才能研究 defect：

- migration；
- splitting；
- fusion；
- annihilation；
- prime-support exchange；
- norm-class transport。

---

# 14. R1 建議

下一階段不優先擴大 integer scan。

更自然的是建立：

$$
\boxed{
\text{Squareclass Compatibility / Transition Algebra}.
}
$$

核心研究：

$$
\kappa
\overset{\mathcal M}{\longrightarrow}
\kappa'.
$$

研究 conservation move：

$$
(A,B,C)
\rightarrow
(A',B',C')
$$

如何誘導：

$$
K\rightarrow K'.
$$

尤其對目前 seed：

$$
\boxed{
K_{\rm G2}
=
(1,1,1,233\cdot1913,1,1),
}
$$

研究是否存在 admissible trajectory：

$$
\boxed{
(1,1,1,233\cdot1913,1,1)
\longrightarrow
\cdots
\longrightarrow
(1,1,1,1,1,1).
}
$$

問題可以更細分為：

1. defect 是否能從 $D$ 搬移到其他 channel；
2. $233$ 與 $1913$ 是否能分離到不同 channels；
3. prime-support 是否存在守恆量；
4. Gaussian norm class 是否能在 move 下改變；
5. defect annihilation 是否要求兩個特定 squareclasses 相遇；
6. 是否存在全域 obstruction invariant。

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# 15. 本輪結論

第一輪 Radical-FDRS 實驗支持：

$$
\boxed{
\text{Arithmetic defects can migrate across the flattened Boolean cube.}
}
$$

但同時顯示：

$$
\boxed{
\text{their motion is constrained by quadratic-form and norm arithmetic.}
}
$$

尤其 isolated face defect 必須屬於 sum-of-two-squares admissible squareclass。

目前 G2 的：

$$
\boxed{
233\cdot1913
}
$$

恰好完全符合這個必要結構。

因此下一個研究問題不應只是：

$$
\text{能否找到另一個更大的 near-solution？}
$$

而應轉為：

$$
\boxed{
\text{what is the transition algebra of arithmetic defects?}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{can the defect }233\cdot1913\text{ be transported, factor-separated, and annihilated?}
}
$$

這將作為：

$$
\boxed{
\text{Radical-FDRS R1}
}
$$

的正式起點。