# X4-DMSD P4：Multiscale Block Semantics and Sound Hyperblock Pruning

**Decimal Multiscale Blocks, Compositional Signatures, and Sound Hyperblock Elimination**

版本：v0.1  
系列：X4-DMSD  
階段：P4  
性質：DMSD block semantics／exact summary merge／sound hyperblock pruning／bounded multiscale validation  
Canonical source：UTF-8 Markdown

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## 摘要

P4 第一次將 X4 搜尋提升到 DMSD block 層。搜尋不先問單一三 joint tuple 能不能接，而先問整個

$$
B_{ab}\times B_{ac}\times B_{bc}
$$

是否可能包含任何 exact compatible triple。

對正 rational $R$ 與 prime $p$，定義 prime-local homomorphic signature

$$
\sigma_p(R)=(v_p(R),u_p(R)),
$$

其中 $u_p(R)$ 是移除 $p$-power 後的 unit residue in $\mathbb F_p^\times$。此 signature 滿足

$$
\sigma_p(R_1/R_2)=\sigma_p(R_1)\ominus\sigma_p(R_2).
$$

因 P2 的 required ratio 為

$$
R_{req}=R_{ac}/R_{ab},
$$

兩個 blocks 可直接從 signature supports 合成 required support，而不必保留 element-pair identity。

若

$$
\Sigma_{req}(B_{ab},B_{ac})\cap\Sigma(B_{bc})=\varnothing,
$$

則整個 hyperblock 可以 exact 標記

$$
\boxed{\mathrm{IMPOSSIBLE}}.
$$

在 $m\le80$、$2628$ 個 oriented X4 joints 的 bounded validation 中，decimal tens level 的 $729$ 個 hyperblocks只剩 $88$ 個 POSSIBLE，sound-prune $87.928669\%$。refine 到 single-$m$ level後，$493039$ 個 hyperblocks只剩 $150$ 個，sound-prune $99.969576\%$。按 element triple mass 計算，single-$m$ 層在 materialization前排除 $99.962722\%$ 的原始 Cartesian triple slots。

所有 P2 已知的 $288$ 個 exact compatible oriented constructions均完整保留，bounded validation false negative為 $0$。

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# 1. DMSD Block

定義

$$
B=(\operatorname{Coverage}(B),\Sigma(B),\operatorname{State}(B)).
$$

其中 $\operatorname{Coverage}(B)$ 必須明確描述 block 所代表的 seed / joint domain。

# 2. Decimal Hierarchy

P4 使用三級 hierarchy：

$$
B_{root}:m\in[2,80].
$$

第一層為 decimal tens blocks：

$$
[2,9],[10,19],\ldots,[70,79],\{80\}.
$$

第二層為 single-$m$ blocks：

$$
m=2,3,\ldots,80.
$$

coverage 必須滿足

$$
\operatorname{Coverage}(B)=\bigsqcup_i\operatorname{Coverage}(B_i).
$$

# 3. Homomorphic Signature

對 $R=n/d>0$，在 prime $p$ 下寫

$$
R=p^e u,
$$

其中

$$
e=v_p(R)
$$

且 $u$ 是 $p$-adic unit。保存

$$
\boxed{\sigma_p(R)=(e,\bar u)}.
$$

它滿足

$$
\sigma_p(R_1R_2)=(e_1+e_2,u_1u_2),
$$

以及

$$
\sigma_p(R_1/R_2)=(e_1-e_2,u_1u_2^{-1}).
$$

本輪使用

$$
\mathcal P=\{2,3,5,7,11,13\}.
$$

# 4. Block Support

對 block $B$：

$$
\Sigma(B)=\{\sigma(R(J)):J\in B\}.
$$

若 $B$ 由 children partition，則

$$
\boxed{\Sigma(B)=\bigcup_i\Sigma(B_i)}.
$$

P4 對 root→tens 與 tens→single-$m$ 全部 exact 驗證。

# 5. Required Support

P2 已有

$$
R_{req}=R_{ac}/R_{ab}.
$$

因此

$$
\boxed{
\Sigma_{req}(B_{ab},B_{ac})
=
\{\sigma_c\ominus\sigma_a:\sigma_a\in\Sigma(B_{ab}),\sigma_c\in\Sigma(B_{ac})\}.
}
$$

這個 operator只使用 block summaries。

# 6. Pair-Summary Merge

若 parents由 children partition，則

$$
\boxed{
\Sigma_{req}(B_a,B_c)
=
\bigcup_{i,j}\Sigma_{req}(B_{a,i},B_{c,j}).
}
$$

P4 對所有 tens-block pairs exact 驗證成立。

# 7. Sound Hyperblock Pruning Theorem

若

$$
\Sigma_{req}(B_{ab},B_{ac})\cap\Sigma(B_{bc})=\varnothing,
$$

則

$$
\boxed{B_{ab}\bowtie B_{ac}\bowtie B_{bc}=\varnothing}.
$$

證明很直接：若存在 compatible triple，P2 要求 $R_{bc}=R_{ac}/R_{ab}$；signature homomorphism使其 signature 必同時出現在 required support與 target support，與 empty intersection矛盾。

# 8. IMPOSSIBLE / POSSIBLE

empty intersection 可標記 `IMPOSSIBLE`。nonempty intersection只能標記 `POSSIBLE`，因有限 signature仍可能 collision；final exact ratio gate不變。

# 9. Root Summary

root包含

$$
2628
$$

個 oriented joints，但只有

$$
2624
$$

distinct signatures。這顯示 summary 已開始自然壓合 signature-equivalent states，但在此低尺度壓縮仍很小。

# 10. Tens-Level Result

共有

$$
9^3=729
$$

hyperblocks，其中

$$
\boxed{88\ \mathrm{POSSIBLE}},
$$

$$
\boxed{641\ \mathrm{IMPOSSIBLE}}.
$$

所以

$$
\boxed{87.928669\%}
$$

的 hyperblocks被 sound-prune。

# 11. Tens-Level Triple Mass

原始 Cartesian triple mass：

$$
2628^3=18,149,977,152.
$$

surviving hyperblocks覆蓋

$$
2,948,671,440.
$$

因此 block summary先排除

$$
\boxed{83.753856\%}
$$

的 element-triple mass。

# 12. Tens-Level Signature Precision

P2 的 exact constructions分布在 $79$ 個 tens hyperblocks；signature保留 $88$ 個。所以只有 $9$ 個 POSSIBLE hyperblocks是 signature collision，沒有 exact-match hyperblock被錯 prune。

# 13. Single-$m$ Refinement

第二層有

$$
79^3=493,039
$$

hyperblocks，只剩

$$
\boxed{150}
$$

POSSIBLE。

因此

$$
\boxed{99.969576\%}
$$

的 hyperblocks被排除。

# 14. Single-$m$ Triple Mass

surviving hyperblocks只覆蓋

$$
\boxed{6,766,032}
$$

個 triple slots，相對 $18,149,977,152$，等於 materialization前排除

$$
\boxed{99.962722\%}.
$$

# 15. Exact Match Preservation

288 個 exact oriented constructions分布在 $138$ 個 single-$m$ hyperblocks；signature保留 $150$ 個，因此只有 $12$ 個 collision hyperblocks，而 false-negative hyperblocks為

$$
\boxed{0}.
$$

# 16. 第一個 Lazy-Refinement 閉環

P4 已形成

$$
\boxed{\text{coarse summary}\rightarrow\text{prune}\rightarrow\text{refine survivors}}.
$$

root本身無法排除；tens resolution大量剪枝；只對 survivors做 finer refinement。

# 17. Parent/Child Merge

已 exact 驗證

$$
\Sigma(B_{root})=\bigcup_{tens}\Sigma(B_{tens}),
$$

以及每個 tens block等於其 single-$m$ children support union。

required-support operator也與 refinement commute：

$$
\boxed{
\operatorname{Refine}\circ\operatorname{ReqSummary}
=
\operatorname{ReqSummary}\circ\operatorname{Refine}.
}
$$

# 18. Arithmetic LOD

X4-DMSD 現在有兩個 refinement axes：

$$
\boxed{\text{domain resolution}\times\text{signature resolution}}.
$$

summary collision太多時可增加 primes；block太混合時可切 domain children。兩者最後都必須回到 exact ratio gate。

# 19. 目前最重要的限制

本 P4 summaries 是從 bounded、materialized child corpus exact 導出。因此 P4 已證明 block algebra與 sound pruning可行，但尚未證明可以對 $10^k$ 未展開 seed domain直接產生 summary。

如果 summary本身仍需遍歷每個 seed，那只是更好的 indexing，不是數量級突破。

所以真正瓶頸已轉成

$$
\boxed{
\text{如何對未 materialize 的巨大 decimal block直接生成 sound signature support？}
}
$$

# 20. P4 核心結果

- 建立 compositional prime-local rational signature。
- parent/child support exact merge。
- required-support operator與 refinement commute。
- empty support intersection給 sound hyperblock rejection。
- tens-level prune $87.928669\%$ hyperblocks。
- single-$m$ prune $99.969576\%$ hyperblocks。
- single-$m$ triple-mass prune $99.962722\%$。
- 全部 288 exact constructions保留，bounded validation false negative $0$。

# 21. Claim Boundary

P4 不宣稱：已能直接 summary $10^{100}$ block；current signature support size必然 sublinear；上述 pruning ratios可外推至任意尺度；Perfect Cuboid已找到。

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## 下一階段

**X4-DMSD P5 — Symbolic Block Operators and First True Scale Jump**

P5 必須讓 summary 本身脫離 element enumeration：

1. Euclid seed formula 的 block residue image；
2. parity / gcd feasibility operator；
3. valuation-range operator；
4. modular ratio image；
5. sound over-approximate support；
6. symbolic parent/child merge；
7. `UNKNOWN / IMPOSSIBLE` semantics；
8. materialized small-block cross-check；
9. soundness certificate；
10. 第一次真正跨未 materialize 十進制尺度的 block evaluation。