# GERES P5：Perfect Cuboid 世界編碼與候補匯入

**Perfect Cuboid World Encoding and Candidate Ingestion**

版本：v0.1  
系列：GERES — Global Equivalence Reconstruction and Scaling  
階段：P5  
性質：Canonical World Encoding／Candidate Ingestion／資料契約  
主要資料：G2 Seed、Exact-Sphere Two-Face Near-Hits、Numerical Gap Candidates  
Canonical source：UTF-8 Markdown

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## 摘要

GERES P0–P4 已建立：

$$
\text{world semantics}
\rightarrow
\text{global scale engine}
\rightarrow
\text{synthetic rational recovery}
\rightarrow
\text{false-positive firewall}.
$$

P5 第一次把真正的 Perfect Cuboid 研究資料接入 GERES。

這一階段不嘗試證明候補是 Perfect Cuboid，也不嘗試立刻將浮點值「整數化」。P5 的任務更基礎：

> 把每一個候補完整、無歧義、可重播地轉換成 canonical world object，使幾何事實、算術事實、浮點 observation、derived quantities、closure vector、source provenance 與 claim boundary 全部分離。

P5 特別區分兩類容易混淆的「接近」：

$$
\boxed{
\text{Structural Near-Hit}
\neq
\text{Numerical Gap Candidate}
}
$$

Structural near-hit 指某些 exact channels 已閉合，而剩餘 channel 未閉合。

Numerical gap candidate 則可能只是平方值、對角線或某些表示量在浮點／整數空間中具有小 gap。

這兩種資料在後續 GERES 中扮演完全不同角色，不能被同一個「score」壓平。

本文同時建立：

1. Perfect Cuboid canonical world schema；
2. quantity provenance；
3. exact / observed dual representation；
4. closure vector；
5. candidate class taxonomy；
6. normalized scale fingerprint；
7. G2 seed 的 canonical ingestion；
8. exact-sphere two-face near-hit corpus；
9. candidate bundle；
10. P6 Reconstruction Experiment 的輸入契約。

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# 1. P5 的基本原則

P5 不回答：

$$
\text{Does this candidate prove Perfect Cuboid?}
$$

P5 只回答：

$$
\boxed{
\text{What exactly is this candidate?}
}
$$

因此 P5 是：

$$
\text{data semantics stage},
$$

而不是：

$$
\text{proof stage}.
$$

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# 2. Canonical Perfect Cuboid World

定義：

$$
W_{\mathrm{PC}}
=
(
\mathcal C,
\mathfrak c,
\mathcal O,
\mathcal R,
\mathcal M,
\Phi,
\Gamma,
\mathcal P
),
$$

其中 $\mathcal P$ 是 provenance layer。

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# 3. Quantity Set

核心 quantities：

$$
\mathcal Q_{\mathrm{PC}}
=
\{
a,b,c,
d_{ab},d_{ac},d_{bc},
g
\}.
$$

每個 quantity 不是單純 value，而是一筆：

$$
Q_i
=
(
\mathrm{id},
\mathrm{role},
\mathrm{exact},
\mathrm{observed},
\mathrm{domain},
\mathrm{provenance},
\mathrm{status}
).
$$

---

# 4. Exact Value 與 Observed Value 分離

例如 G2 seed：

$$
d_{ab}
=
\sqrt{445729}
$$

是 exact symbolic value。

而：

$$
667.6293882087576
$$

只是 observation / rendering value。

因此 canonical object 必須寫成：

```text
exact = sqrt(445729)
observed_float = 667.6293882087576
arithmetic_status = algebraic_irrational
```

而不是：

```text
d_ab = 667.6293882087576
```

後者會丟失 theorem-relevant semantics。

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# 5. Source Arithmetic 與 Storage Arithmetic 分離

如果：

$$
\tilde x
$$

以 IEEE float 儲存，

storage value 本身是 dyadic rational。

但 source quantity 可能是：

$$
\sqrt n.
$$

因此 P5 使用：

$$
\boxed{
\mathrm{StorageDomain}
\neq
\mathrm{SourceArithmeticDomain}.
}
$$

---

# 6. Perfect Cuboid Constraint Registry

canonical constraints：

$$
\phi_{ab}
=
a^2+b^2-d_{ab}^2,
$$

$$
\phi_{ac}
=
a^2+c^2-d_{ac}^2,
$$

$$
\phi_{bc}
=
b^2+c^2-d_{bc}^2,
$$

$$
\phi_g
=
a^2+b^2+c^2-g^2.
$$

world geometric validity requires：

$$
\phi_{ab}
=
\phi_{ac}
=
\phi_{bc}
=
\phi_g
=
0.
$$

但 Perfect Cuboid arithmetic validity additionally requires：

$$
a,b,c,d_{ab},d_{ac},d_{bc},g
\in
\mathbb Z_{>0}.
$$

這兩層必須分開。

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# 7. Geometric Closure 與 Arithmetic Closure

對某些 candidate，可以有：

$$
\phi_i=0
$$

exactly，

但對應 quantity 不屬於：

$$
\mathbb Z.
$$

因此定義：

$$
G_i
=
\text{geometric constraint closure},
$$

以及：

$$
A_i
=
\text{arithmetic target closure}.
$$

G2 seed 的四條幾何 identity 全部 exact：

$$
G=(1,1,1,1).
$$

但 face-diagonal arithmetic closure：

$$
A=(0,1,1,1)
$$

若 order 為：

$$
(d_{ab},d_{ac},d_{bc},g).
$$

這個區分非常重要。

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# 8. Closure Vector

P5 canonical closure vector 固定使用：

$$
C_A(W)
=
(c_{ab},c_{ac},c_{bc},c_g),
$$

其中：

$$
c_{ab}
=
1
\iff
d_{ab}\in\mathbb Z,
$$

其餘類似。

Perfect Cuboid：

$$
C_A(W)
=
(1,1,1,1).
$$

G2 seed：

$$
C_A(W)
=
(0,1,1,1).
$$

---

# 9. 為何不用「三個 channel 成功率」

不能把：

$$
(0,1,1,1)
$$

壓成：

$$
75\%.
$$

Perfect Cuboid theorem gate 是 conjunction：

$$
c_{ab}
\land
c_{ac}
\land
c_{bc}
\land
c_g.
$$

任何一 bit 為 $0$ 就尚未閉合。

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# 10. Candidate Class Taxonomy

P5 定義至少六類 candidate。

## Class A — Certified Exact Perfect Cuboid

只有完整 exact integer certificate 通過才能進此類。

目前 corpus 中：

$$
N_A=0.
$$

## Class B — Exact-Sphere Two-Face Near-Hit

滿足：

$$
a^2+b^2+c^2=g^2
$$

exactly，

且三個 face diagonals 中恰有兩個 integer。

closure vector 為某個 permutation：

$$
(0,1,1,1).
$$

## Class C — Exact-Sphere One-Face Near-Hit

space diagonal exact，只有一個 face diagonal integer。

## Class D — Exact Real Cuboid with Mixed Arithmetic

幾何 identities 可 exact symbolic closure，但 arithmetic domains 混合。

G2 seed 同時屬於 B 與此語義類。

## Class E — Numerical Gap Candidate

主要依 residual / square-gap / score 選出，但不具 B 類 exact structural closure。

## Class F — Negative / Adversarial Control

已知用於 P4 false-positive rejection 的案例。

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# 11. Structural Near-Hit 與 Numerical Gap Candidate

如果 candidate：

$$
(a,b,c,g)
$$

exact 滿足 sphere equation，

而且兩個 face diagonals exact integer，

則其「接近」是 structural：

$$
\boxed{
\text{three exact arithmetic channels closed, one exact arithmetic channel open}.
}
$$

反之，如果三個 face diagonals 都不是 squares，但 square gaps 很小，

它只是 numerical gap candidate。

因此：

$$
\boxed{
\text{small metric gap}
\neq
\text{partial exact closure}.
}
$$

---

# 12. Primary G2 Seed

P5 的主要 Geometry Branch seed：

$$
(a,b,c)
=
(448,495,840),
$$

$$
g=1073.
$$

face diagonals：

$$
d_{ab}
=
\sqrt{445729},
$$

$$
d_{ac}=952,
$$

$$
d_{bc}=975.
$$

---

# 13. G2 Seed Exact Identities

$$
448^2+495^2
=
445729
=
d_{ab}^2,
$$

$$
448^2+840^2
=
952^2,
$$

$$
495^2+840^2
=
975^2,
$$

$$
448^2+495^2+840^2
=
1073^2.
$$

所以這不是 approximate cuboid。

它是 exact real cuboid。

問題只在：

$$
d_{ab}\notin\mathbb Z.
$$

---

# 14. G2 Arithmetic Defect

$$
445729
=
233\cdot1913.
$$

因為：

$$
445729
$$

不是 perfect square，

所以：

$$
\sqrt{445729}
\notin\mathbb Z.
$$

事實上因為它是非平方整數：

$$
\sqrt{445729}
\notin\mathbb Q.
$$

因此 G2 seed 的 open channel 是 exact algebraic irrational channel，不是 floating uncertainty。

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# 15. G2 Closure State

以：

$$
(d_{ab},d_{ac},d_{bc},g)
$$

為固定順序：

$$
C_A(W_{\mathrm{G2}})
=
(0,1,1,1).
$$

world state：

```text
GEOMETRIC_EXACT
ARITHMETIC_PARTIAL_CLOSURE
NOT_PERFECT_CUBOID
```

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# 16. G2 Normalized Fingerprint

以：

$$
g=1
$$

作 gauge：

$$
x
=
\frac{448}{1073},
$$

$$
y
=
\frac{495}{1073},
$$

$$
z
=
\frac{840}{1073}.
$$

exactly：

$$
x^2+y^2+z^2=1.
$$

因此 scale fingerprint 可以 canonical 保存為 rational strings：

```text
448/1073
495/1073
840/1073
```

不應只保存 decimal。

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# 17. G2 Normalized Derived Quantities

$$
u
=
\frac{\sqrt{445729}}{1073},
$$

$$
v
=
\frac{952}{1073},
$$

$$
w
=
\frac{975}{1073}.
$$

其中：

$$
v,w\in\mathbb Q,
$$

而：

$$
u\notin\mathbb Q.
$$

因此 normalized gauge 不會消除 arithmetic defect。

這正好符合 P2/P4：

$$
\text{global scaling does not repair irrational shape arithmetic}.
$$

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# 18. X-Face Metadata

對 G2：

face $ac$ 具有：

$$
\left(
\frac8{17},
\frac{15}{17}
\right),
$$

face $bc$ 具有：

$$
\left(
\frac{33}{65},
\frac{56}{65}
\right).
$$

這些 exact rational coupling 可以作為 Geometry Branch metadata。

但 $ab$ face 的 observed $\kappa$ 只能作 observation，除非另有 exact symbolic construction。

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# 19. Primary Candidate Bundle

P5 bundle 將 G2 seed 標記：

```text
role = primary_geometry_branch_seed
class = exact_sphere_two_face_near_hit
claim_status = NOT_PERFECT_CUBOID
```

這個 `claim_status` 必須存在。

避免未來其他 Agent 只看到數字漂亮，就把 seed 誤當 theorem witness。

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# 20. Fixed-$g$ Near-Hit Corpus

現有 exact search 留下多組：

$$
a^2+b^2+c^2=g^2
$$

且恰好兩個 face diagonals integer 的 candidates。

前幾組包括：

$$
(104,153,672;697),
$$

$$
(117,520,756;925),
$$

$$
(448,495,840;1073),
$$

$$
(264,495,952;1105),
$$

$$
(264,448,975;1105).
$$

這些都比單純 numerical gap 更適合 GERES structural experiments。

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# 21. Near-Hit 的 Canonical Ingestion

對任意：

$$
(a,b,c;g),
$$

先 exact 計算：

$$
s_{ab}=a^2+b^2,
$$

$$
s_{ac}=a^2+c^2,
$$

$$
s_{bc}=b^2+c^2,
$$

$$
s_g=a^2+b^2+c^2.
$$

然後執行 integer square test。

不能讀入原 CSV 的 boolean 就直接相信。

P5 canonicalizer 應重新導出 closure vector。

---

# 22. Derived-Not-Trusted Principle

輸入檔中的：

```text
ab_square = True
```

只能當 source metadata。

canonical world 中的：

$$
c_{ab}
$$

必須由：

$$
a^2+b^2
$$

重新 exact 計算。

因此：

$$
\boxed{
\text{imported derived field}
\neq
\text{canonical truth}.
}
$$

---

# 23. Canonicalization 順序

Perfect Cuboid candidate ingestion：

$$
\boxed{
\text{Parse}
\rightarrow
\text{Type}
\rightarrow
\text{Exact Recompute}
\rightarrow
\text{Normalize}
\rightarrow
\text{Classify}
\rightarrow
\text{Hash}
}
$$

不能先 classify 再驗證。

---

# 24. Candidate Identity

candidate ID 不應只使用 row number。

建議 canonical ID：

```text
PC-NH-a-b-c-g
```

例如：

```text
PC-NH-448-495-840-1073
```

特殊研究角色可另有 alias：

```text
G2-seed-448-495-840
```

---

# 25. Candidate Hash

canonical serialization 後可計算：

$$
H_c
=
\operatorname{SHA256}(
\operatorname{CanonicalJSON}(W)
).
$$

hash 不負責數學證明，

只負責：

- provenance；
- replay；
- deduplication；
- version tracking。

---

# 26. Edge Ordering

為去除：

$$
S_3
$$

重複，

canonical ingestion 可取：

$$
a\le b\le c.
$$

但 original ordering 應保存：

```text
source_order
```

方便回溯原始實驗。

---

# 27. Candidate Bundle 的 Arithmetic Encoding

P5 禁止在 canonical exact 欄位使用 binary float。

整數：

```text
"448"
```

有理數：

```text
"448/1073"
```

代數量：

```text
"sqrt(445729)"
```

浮點 projection：

```text
"667.6293882087576"
```

只能出現在：

```text
observed_float_projection
```

---

# 28. 為什麼數字用 String

JSON number 對大型 integer / 高精度 decimal 的語義依 runtime 而異。

因此 theorem-relevant exact value 使用 string：

$$
\boxed{
\text{exact arithmetic is serialized symbolically, not approximately}.
}
$$

---

# 29. Candidate Observation Layer

一筆 observation 可以包含：

```text
representation = float64
value = 667.6293882087576
source = derived_from_exact_symbolic
```

或：

```text
representation = decimal128
interval = [...]
```

但 observation layer 永遠不能覆寫 exact layer。

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# 30. Candidate Provenance

每個 candidate 至少保存：

- source bundle；
- source file；
- source experiment；
- source rank；
- ingestion version；
- recomputation version。

因此任何後續證書都能追到原始實驗。

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# 31. Source Claim Boundary

如果來源檔說：

**near hit**

P5 不直接繼承語義。

它重新分類：

$$
\operatorname{Classify}(W)
$$

之後才給 canonical class。

---

# 32. Numerical Gap Candidate

早期 Phase 1 還存在以 score 排序的：

$$
\text{top gap candidates}.
$$

其中某些 candidates：

- face square count 為 $0$；
- 某些只有 $1$；
- 但 numerical score 極小。

這些資料仍值得保存。

但必須 class：

```text
numerical_gap_candidate
```

而不能和：

```text
exact_sphere_two_face_near_hit
```

混在同一 leaderboard。

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# 33. Two Separate Leaderboards

GERES 建議建立：

## Structural Board

排序依據：

1. exact sphere closure；
2. exact face closure count；
3. arithmetic structure；
4. canonical complexity。

## Numerical Board

排序依據：

- normalized gap；
- residual；
- representation score。

兩者不互相換算。

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# 34. Structural Priority

對 theorem-directed research，

P5 預設：

$$
\text{Structural Near-Hit}
>
\text{Numerical Gap Candidate}
$$

這不是說後者沒有價值，

而是前者含更多 exact information。

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# 35. Closure Vector 與 Open Channel

對 closure vector：

$$
(0,1,1,1),
$$

open channel 是：

$$
d_{ab}.
$$

對：

$$
(1,0,1,1),
$$

open channel 是：

$$
d_{ac}.
$$

對：

$$
(1,1,0,1),
$$

open channel 是：

$$
d_{bc}.
$$

P5 可自動產生：

```text
open_channels
```

---

# 36. Channel-Canonicalization

由於 edge permutation 會改變 open channel 名稱，

可以同時保存：

```text
physical_open_channel
canonical_open_channel
```

若 canonical ordering 已固定，

後續 statistical analysis 才不會混亂。

---

# 37. Perfect Cuboid Candidate State Machine

候補從：

$$
\mathrm{Imported}
$$

進入：

$$
\mathrm{Recomputed},
$$

再：

$$
\mathrm{Normalized},
$$

再：

$$
\mathrm{Classified},
$$

最後：

$$
\mathrm{CandidateReady}.
$$

只有 P6 後才可能進：

$$
\mathrm{RecoveryProposed}
$$

或：

$$
\mathrm{Rejected}.
$$

---

# 38. Imported 不等於 Trusted

任何外部 / 舊實驗資料一開始：

$$
\sigma=\mathrm{Imported}.
$$

必須重新計算 theorem-relevant fields 後才能：

$$
\sigma=\mathrm{Recomputed}.
$$

---

# 39. CandidateReady 的最低條件

必須已有：

1. exact edges；
2. exact derived squares；
3. exact $g$ check；
4. closure vector；
5. normalized fingerprint；
6. arithmetic provenance；
7. claim boundary；
8. canonical ordering；
9. source provenance。

---

# 40. Candidate Schema

P5 附帶：

`geres_pc_candidate_schema_v0.1.json`

它描述 canonical ingestion object。

schema 的目的不是形式證明，

而是阻止不同 Agent / runtime 隨意更改欄位語義。

---

# 41. Candidate Bundle

P5 同時附帶：

`geres_pc_candidates_v0.1.json`

初版收入：

$$
25
$$

組 exact-sphere near-hits，

其中包含 G2 seed。

每筆都由 edges 重新計算：

- face squared lengths；
- integer-square closure；
- sphere closure；
- normalized rational edge fingerprint。

---

# 42. G2 Candidate Record 的關鍵欄位

G2 record 包含：

```text
candidate_id
role
class
edges
face_diagonals
space_diagonal
closure_vector
normalized_by_g
observed_float_projection
x_face_metadata
world_status
claim_status
```

---

# 43. Claim Status

P5 初版只允許保守 enum：

```text
NOT_PERFECT_CUBOID
REQUIRES_INDEPENDENT_CERTIFICATION
UNRESOLVED
```

現有 structural near-hits 因 closure vector 缺一 bit：

```text
NOT_PERFECT_CUBOID
```

這是對當前 tuple 的精確描述，

不是對 Perfect Cuboid theorem 的否定。

---

# 44. Candidate Bundle 不應偷偷「修補」

P5 ingestion 絕不做：

$$
d_{ab}
\mapsto
\operatorname{round}(d_{ab}).
$$

也不做：

$$
(a,b,c)
\mapsto
(a',b',c')
$$

以改善 arithmetic score。

P5 是 observer / encoder。

不是 optimizer。

---

# 45. World Mutation Boundary

P5 若需要生成 modified candidate，

必須建立新 world：

$$
W'
$$

並保存 parent：

$$
\operatorname{parent}(W')=W.
$$

禁止 in-place 改寫 original candidate。

---

# 46. Candidate Family

可以定義：

$$
\mathcal F(W)
=
\{
W,W_1',W_2',\ldots
\}
$$

作後續 P6 reconstruction / perturbation family。

original seed 永遠 immutable。

---

# 47. GSE Preflight

每個 CandidateReady world 先執行 P2：

$$
S_\lambda.
$$

檢查：

$$
N(S_\lambda W)=N(W).
$$

如果失敗，

candidate 不得進 P6。

因為那代表 world encoding 或 scale engine 有 bug。

---

# 48. Rational Scale Closure Test

對 structural near-hit：

$$
C_A(W)
$$

在：

$$
\lambda\in\mathbb Q^\times
$$

下必須保持。

例如 G2：

$$
C_A(S_\lambda W)
=
(0,1,1,1).
$$

如果變成：

$$
(1,1,1,1),
$$

就是 false-positive firewall failure。

---

# 49. Extreme-Scale Preflight

至少測：

$$
\lambda
\in
\{
10^{-6},
10^{-3},
1,
10^3,
10^6
\}
$$

在 exact / symbolic layer closure 不變。

floating layer可以出現 precision drift，

但不得改 canonical arithmetic status。

---

# 50. Normalized Fingerprint

P5 對每個 candidate 保存：

$$
F(W)
=
\left(
\frac ag,
\frac bg,
\frac cg
\right).
$$

對需要的研究可延伸：

$$
F_6(W)
=
\left(
\frac ag,
\frac bg,
\frac cg,
\frac{d_{ab}}g,
\frac{d_{ac}}g,
\frac{d_{bc}}g
\right).
$$

若 derived diagonal irrational，

後三項應保存 symbolic expression。

---

# 51. Shape Fingerprint 不等於 Arithmetic Fingerprint

$$
F(W)
$$

描述 normalized geometry。

arithmetic fingerprint 可另外記：

$$
A(W)
=
(
C_A(W),
H,
D,
P
),
$$

其中可含：

- closure vector；
- denominator structure；
- squarefree kernels；
- prime structure。

這兩種 fingerprint 不應合併。

---

# 52. Squarefree Kernel

對 open channel：

$$
d^2=n,
$$

若：

$$
n=s^2k
$$

且 $k$ squarefree，

則：

$$
d=s\sqrt k.
$$

P5 後續可保存：

```text
squarefree_kernel
```

作 arithmetic class metadata。

G2：

$$
445729=233\cdot1913
$$

本身無平方因子，因此 kernel：

$$
233\cdot1913.
$$

---

# 53. Arithmetic Defect Object

open channel 可以表示成：

$$
D_{\mathrm{arith}}
=
(
\mathrm{channel},
n,
\operatorname{isSquare}(n),
\operatorname{kernel}(n),
\operatorname{nearestSquares},
\operatorname{provenance}
).
$$

這比只保存：

$$
|d-\operatorname{round}(d)|
$$

資訊完整得多。

---

# 54. Nearest Square 只是 Diagnostic

可以保存：

$$
\lfloor\sqrt n\rfloor^2,
$$

$$
\lceil\sqrt n\rceil^2
$$

及 gaps。

但：

$$
\mathrm{NearestSquareGap}
$$

不得改變 closure bit。

---

# 55. Exact Sphere Structural Corpus

現有 exact-sphere two-face near-hits 很適合做：

- open-channel classification；
- normalized shape clustering；
- GSE regression；
- candidate family comparison；
- P6 reconstruction test；
- world perturbation seed。

它們不是「25 個可能已經差一點成功的證明」。

---

# 56. Corpus-Level Statistics

P5 後續可以統計：

$$
\#(0,1,1,1),
$$

$$
\#(1,0,1,1),
$$

$$
\#(1,1,0,1).
$$

並觀察不同 open-channel position 在 canonical ordering 後是否有結構偏差。

這是研究問題，

不是 theorem evidence。

---

# 57. Common-$g$ Families

例如：

$$
g=1105
$$

同時出現：

$$
(264,495,952),
$$

$$
(264,448,975).
$$

這種 shared-$g$ family 應保存 family ID。

因為它們可能共享同一：

$$
L(g)
$$

與 factorization structure。

---

# 58. Family Metadata

可以加入：

```text
family = fixed_g_1105
```

以及：

```text
shared_global_diagonal = 1105
```

後續 P6 可以在 family 內做 global reconstruction / branch comparison。

---

# 59. Candidate Relation Graph

P5 不只需要 candidate list，

還可以建立 candidate relation：

$$
W_i
\sim_g
W_j
$$

若：

$$
g_i=g_j.
$$

或：

$$
W_i
\sim_{\mathrm{scale}}
W_j
$$

若 primitive-reduced normalized shape 相同。

---

# 60. Duplicate Detection

例如某 tuple 只是另一 tuple 的整數倍：

$$
W_2=kW_1.
$$

P5 應在 canonical primitive fingerprint 後 deduplicate。

不能把 scale duplicates 當成獨立 structural discoveries。

---

# 61. Primitive Scale Reduction

對 integer tuple：

$$
(a,b,c,g),
$$

可先取：

$$
G=\gcd(a,b,c,g).
$$

再：

$$
(a',b',c',g')
=
\frac1G(a,b,c,g).
$$

但 face diagonal exactness 必須重新計算或同步 exact 除以 $G$。

---

# 62. Candidate Complexity

可以定義簡單 complexity：

$$
K(W)
=
\log g
$$

或：

$$
K(W)
=
\log\max(a,b,c,g).
$$

以及 arithmetic complexity。

但 complexity 只用於 ordering / benchmark，

不代表 candidate likelihood。

---

# 63. Numerical Score 的地位

早期 gap score 可以保留：

```text
legacy_score
```

但 P5 明確標：

```text
proof_semantics = none
```

也就是：

$$
\boxed{
\text{score ranks observations, not truth}.
}
$$

---

# 64. P5 Data Validation Rules

每筆 candidate：

### V1

$$
a,b,c,g\in\mathbb Z_{>0}.
$$

### V2

canonical ordering：

$$
a\le b\le c.
$$

### V3

重新計算：

$$
a^2+b^2,
a^2+c^2,
b^2+c^2.
$$

### V4

重新 square-test。

### V5

重新檢查 sphere identity。

### V6

產生 closure vector。

### V7

產生 normalized rational fingerprint。

### V8

claim status 與 closure vector 一致。

---

# 65. Claim Consistency Gate

如果：

```text
claim_status = CERTIFIED_PERFECT_CUBOID
```

但：

$$
C_A(W)\neq(1,1,1,1),
$$

ingestion 必須 hard fail。

不能只是 warning。

---

# 66. Exact Symbolic Recompute

對非-square derived value，

保存：

$$
\sqrt n
$$

而不是 decimal approximation。

這使後續 P6 可以直接使用 symbolic algebra / squarefree analysis。

---

# 67. Interval Semantics

如果 candidate 真的來自 floating numerical search，

P5 可保存：

$$
I(q)
$$

而不是假裝 source exact。

但目前 fixed-$g$ structural near-hits的：

$$
a,b,c,g
$$

本來就是 exact integers。

因此它們的 source interval 退化成：

$$
[n,n].
$$

---

# 68. G2 的 $d_{ab}$ Interval

即使 UI 顯示：

$$
667.6293882087576,
$$

canonical source 是：

$$
\sqrt{445729}.
$$

所以 theorem layer其實不需要用 float interval 決定其 irrationality。

浮點 value 只用於 rendering / comparison。

---

# 69. Candidate Import Modes

定義：

### Mode E — Exact Source Import

輸入本來就有 exact integer / symbolic semantics。

### Mode F — Floating Observation Import

只有 finite-precision observation。

### Mode M — Mixed Import

部分 exact、部分 floating。

G2 seed 為：

$$
\mathrm{Mode\ E}
$$

在核心 quantities 上，

外加 observed float projection。

---

# 70. Mode F 的要求

若未來匯入真正純 floating candidate，

必須提供：

- precision；
- rounding mode；
- source computation；
- interval / error bound；
- unit / scale；
- gauge。

否則：

$$
\mathrm{CandidateReady}
$$

不得成立。

---

# 71. Candidate Bundle Versioning

bundle：

```text
GERES-PC-CANDIDATE-BUNDLE
version = 0.1
```

後續任何 schema 變更：

$$
v0.2,
v0.3,\ldots
$$

不能 silently overwrite semantic meaning。

---

# 72. Canonical Arithmetic Policy

P5 bundle 明確寫：

```text
integers = decimal strings
rationals = p/q strings
algebraic = symbolic strings
floating = observation-only decimal strings
```

這是跨 AI / runtime 傳遞時的重要防線。

---

# 73. Canonical Source 與 Rendering

MD、JSON 是 source artifacts。

UI / chart / 3D scene 只是：

$$
\rho(W).
$$

因此未來 WESL 任何互動後，

正式結果必須重新 export canonical source。

---

# 74. P5 與 WESL 的新介面

WESL 應新增 Candidate Inspector：

顯示：

### Exact Layer

$$
a,b,c,g
$$

與 symbolic diagonals。

### Observation Layer

decimal / float projection。

### Closure Layer

$$
C_A(W).
$$

### Provenance Layer

source experiment。

### Claim Layer

NOT PERFECT CUBOID / UNRESOLVED / CERTIFIED。

---

# 75. Candidate Compare

選兩個 candidates：

$$
W_i,W_j
$$

可比較：

- normalized fingerprints；
- open channels；
- common $g$ family；
- arithmetic kernels；
- legacy gaps；
- geometry/X-face metadata。

---

# 76. Candidate Scale Orbit View

對選中的 candidate，

WESL 可展示：

$$
S_\lambda(W).
$$

但 closure panel固定顯示：

$$
C_A(S_\lambda W)
=
C_A(W)
$$

對 rational scale。

如果 visual decimals 越來越像 integers，

closure panel仍不得改變。

---

# 77. Candidate Family View

對 fixed-$g$ family，

WESL 可顯示：

$$
L(g)
$$

以及不同三-edge subsets。

這能把傳統 arithmetic branch 與 world-model branch放在同一個介面中。

---

# 78. P5 的第一個實際資料成果

目前 primary seed：

$$
(448,495,840;1073)
$$

已可以 canonical 表示成：

$$
W_{\mathrm{G2}}
=
\left(
448,
495,
840,
\sqrt{445729},
952,
975,
1073
\right).
$$

它不是：

$$
\widetilde W
$$

式的未知浮點世界。

它其實是一個 exact mixed-arithmetic world，

只額外擁有 floating rendering。

這個語義比「浮點候補」更精確。

---

# 79. 這對後續方法的影響

因為 G2 的 open channel 已知：

$$
\sqrt{445729}\notin\mathbb Q,
$$

所以 P6 不能把任務錯寫成：

> recover G2 本身為 Perfect Cuboid。

G2 本身已知不是。

正確問題應是：

> 以 G2 的 world shape / geometry branch 作 seed，是否存在附近但不同的 exact rational world class，可由全域合法 reconstruction 找到？

也就是：

$$
W_{\mathrm{G2}}
\neq
W^\ast_{\mathrm{PC}},
$$

但可能研究：

$$
D_{\mathrm{shape}}
(
W_{\mathrm{G2}},
W^\ast_{\mathrm{PC}}
)
$$

以及 structured deformation / reconstruction。

---

# 80. 重要轉向：Source Recovery vs Neighbor World Search

P3 主要研究：

$$
\widetilde W
\rightarrow
W^\ast
$$

的 source recovery。

但 G2 這種 exact mixed-arithmetic seed 需要另一模式：

$$
W_0
\rightarrow
W^\ast
$$

其中 $W^\ast$ 不是 source truth，而是滿足更強 arithmetic constraints 的鄰近 world。

因此 P6 必須區分：

### Source Recovery Mode

觀測是 exact source 的有限精度投影。

### Neighbor World Search Mode

seed 是已知 exact world，但目標是另一個 arithmetic class。

這兩種不能混稱 recovery。

---

# 81. Neighbor World Search

可形式化：

$$
\min_{W\in\mathcal V(\mathbb Q)}
D_{\mathrm{shape}}(W,W_0)
$$

但最後仍要求：

$$
W\in\mathcal V(\mathbb Q)
$$

exactly。

objective 只決定搜尋順序，

不決定 truth。

---

# 82. G2 的正確角色

因此 G2 的 role 應明確標：

```text
primary_geometry_branch_seed
```

不是：

```text
floating_source_observation
```

這是 P5 最重要的資料語義修正之一。

---

# 83. Numerical Gap Corpus 的角色

那些 gap score 很低、但 structural closure 少的 candidates，

可用於：

- stress test；
- adversarial false-positive；
- geometry-distance calibration；
- neighbor search heuristic。

但不能和 G2 這種 exact mixed-arithmetic seed同義處理。

---

# 84. P6 Input Contract

P6 接收：

$$
B
=
(
W,
\mathrm{mode},
\Phi_{\mathrm{target}},
\mathbb A_{\mathrm{target}},
D,
\mathcal B
).
$$

其中：

- $W$：canonical seed / observation；
- mode：SourceRecovery 或 NeighborWorldSearch；
- $\Phi_{\mathrm{target}}$：target constraints；
- $\mathbb A_{\mathrm{target}}$：target arithmetic domain；
- $D$：distance / search ordering；
- $\mathcal B$：bounds。

---

# 85. G2 的 P6 Contract

對 G2：

```text
mode = NeighborWorldSearch
target = Perfect Cuboid rational/integer closure
seed_claim = NOT_PERFECT_CUBOID
open_channel = d_ab
```

而不是：

```text
mode = SourceRecovery
```

---

# 86. Source Recovery Corpus

真正要驗證 P3 source recovery，

仍應使用人工從 exact rational worlds 投影出的 observations。

不要拿 G2 取代那些 controls。

因此 P3 synthetic corpus 與 P5 real research corpus保持分離。

---

# 87. P5 的資料分層

正式資料庫可以分：

```text
controls/
structural_seeds/
numerical_seeds/
negative_controls/
recovered_worlds/
certified_worlds/
```

現有 G2：

```text
structural_seeds/
```

---

# 88. Certified Worlds 目前為空

現階段：

```text
certified_worlds/perfect_cuboid/
```

應該是空集合。

這個空集合本身比放一個「差一點」的 candidate 更誠實。

---

# 89. 世界模型方法的資料優勢

一旦候補全部轉成 canonical world，

之後可以讓：

- Python；
- Rust；
- Lean；
- symbolic algebra；
- WESL；
- AI Agent；

讀同一份語義。

而不是每個工具重新猜 CSV 欄位代表什麼。

---

# 90. 跨語言一致性

如果 Rust 與 Python都 ingest：

$$
W,
$$

應得到相同：

$$
C_A(W),
$$

相同 normalized fingerprint，

相同 canonical hash。

這可以成為後續 clean-room interoperability test。

---

# 91. Candidate Ledger

每筆 candidate 從 import 到 canonicalization 保存：

$$
\mathcal L_C.
$$

例如：

```text
IMPORT
RECOMPUTE
ORDER_CANONICALIZE
NORMALIZE
CLASSIFY
HASH
READY
```

---

# 92. Mutation Ledger

若 P6 對 seed 做 structured deformation，

每個 child world 保存：

$$
W_0
\rightarrow
W_1.
$$

這對之後追蹤「全域等價算法如何走到 arithmetic closure」非常重要。

---

# 93. Exact Parent vs Hypothesis Child

parent：

$$
W_0
$$

可能 exact mixed-arithmetic。

child：

$$
W_1
$$

可能只是 hypothesis。

所以 child 一開始 state：

$$
\mathrm{Proposed}.
$$

不能繼承 parent 的 exact certificate。

---

# 94. P5 驗收條件

P5 完成需滿足：

1. schema 存在；
2. candidate bundle 可 parse；
3. exact fields 不使用 float；
4. G2 seed exact recompute 通過；
5. G2 closure vector為：
   $$
   (0,1,1,1);
   $$
6. structural near-hits重新 square-test；
7. normalized fingerprints可 deterministic 重建；
8. claim status與 closure一致；
9. source provenance保存；
10. P6 mode 可明確區分 SourceRecovery / NeighborWorldSearch。

---

# 95. P5 主要命題

### 命題 P5-A：Representation Separation

有限精度 observation 不改變 canonical exact arithmetic semantics。

### 命題 P5-B：Derived Recompute Authority

canonical derived field 應由 primitive exact data 與 constraint rules重新計算，而不是信任 imported label。

### 命題 P5-C：Closure-Vector Determinism

對 exact integer edge tuple，face arithmetic closure vector 可由 exact square test deterministic 決定。

### 命題 P5-D：Scale-Invariant Closure Class

對 rational nonzero global scaling，rational/integer closure pattern在適當 normalized semantics 下不會因 decimal appearance 改變。

---

# 96. P5 新猜想

### 猜想 P5-C1：Structural Seed Superiority

對 Perfect-Cuboid neighbor search，具有較高 exact closure rank 的 structural seeds，比只具有極小 numerical gap 的 seeds 更可能提供可解釋的 arithmetic deformation path。

這只是搜索猜想，不是存在性命題。

### 猜想 P5-C2：Shared-$g$ Family Structure

相同 global diagonal $g$ 下的多個 near-hits，可能共享可被 world-model deformation 利用的 constraint structure。

### 猜想 P5-C3：Arithmetic Defect Class Transfer

具有相同 open-channel squarefree kernel / local arithmetic obstruction 類型的 seeds，可能在 reconstruction dynamics 中形成可重用的 defect class。

---

# 97. Claim Boundary

截至 P5：

已完成概念與 canonical artifact：

- Perfect Cuboid candidate schema；
- exact / observed separation；
- G2 canonical semantics；
- closure vector；
- structural / numerical candidate taxonomy；
- candidate provenance；
- P6 mode split；
- initial exact-sphere near-hit candidate bundle。

尚未宣稱：

- P6 已找到任何 Perfect Cuboid；
- G2 能被單純縮放成 Perfect Cuboid；
- 任何 numerical gap candidate 具有 theorem significance；
- structural near-hit 必然存在 nearby Perfect Cuboid；
- neighbor world search 必然收斂。

---

# 98. 結論

GERES P5 第一次讓真正研究資料進入 world-model pipeline。

最重要的結果不是新增一個搜尋公式，而是把研究對象重新命名正確。

G2 seed 不是模糊的：

$$
\text{floating almost-perfect cuboid}.
$$

更精確地說，它是：

$$
\boxed{
\text{exact real cuboid with one algebraic-irrational arithmetic channel}.
}
$$

其 canonical world：

$$
W_{\mathrm{G2}}
=
(
448,
495,
840,
\sqrt{445729},
952,
975,
1073
).
$$

closure：

$$
C_A(W_{\mathrm{G2}})
=
(0,1,1,1).
$$

因此後續真正要研究的，不是如何「把 G2 四捨五入成答案」，

而是：

$$
\boxed{
\text{能否以 G2 為世界種子，找到另一個合法且 exact arithmetic-closed world class？}
}
$$

也就是從：

$$
\text{source recovery}
$$

進一步擴張到：

$$
\boxed{
\text{neighbor world arithmetic search}.
}
$$

這正是 P6 可以開始真正實驗的地方。

---

## 下一階段

**GERES P6 — Perfect Cuboid Reconstruction and Neighbor-World Search**

P6 將第一次執行真正的 world-model search。

至少分兩條：

### P6-A — Source-Recovery Calibration

繼續用 synthetic rational worlds 驗證 GER。

### P6-B — G2 Neighbor-World Search

以：

$$
W_{\mathrm{G2}}
$$

作 structural seed，

探索保持指定 global geometry / world-equivalence constraints的 deformation：

$$
W_{\mathrm{G2}}
\rightarrow
W'
$$

並只在：

$$
W'\in\mathcal V(\mathbb Q)
$$

exact closure 時接受。

P6 的核心問題將是：

$$
\boxed{
\text{What transformations are allowed to change the world while preserving the right notion of global equivalence?}
}
$$

也就是我們最初提出的「全域等價演算法」開始真正面對 Perfect Cuboid arithmetic closure 的階段。