# GERES P4：無理性與假陽性閘門

**Irrational and False-Positive Gate for Global Equivalence Reconstruction and Scaling**

版本：v0.1  
系列：GERES — Global Equivalence Reconstruction and Scaling  
階段：P4  
性質：負控制方法論／拒絕證書／假陽性防護規格  
主要 benchmark：Irrational Worlds、Near-Rational Traps、Euler Brick、Perfect-Cuboid-like Partial Closure  
Canonical source：UTF-8 Markdown

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## 摘要

GERES P3 已建立 synthetic rational recovery 的正向驗證框架：

$$
\widetilde W
\longrightarrow
W^\ast
$$

並要求 exact constraint、observation compatibility、height bound 與 quotient-aware uniqueness。

P4 專門處理另一半，而且在數學研究中更危險的一半：

> 當 observation 看起來極度接近某個漂亮的 arithmetic object，但其實不存在足以支持 exactification 的證據時，系統必須如何拒絕？

P4 將「拒絕錯誤 exactification」定義為第一級能力，而不是 recovery failure 的附屬狀態。

核心原則：

$$
\boxed{
\text{Approximate coincidence}
\not\Rightarrow
\text{Exact arithmetic identity}
}
$$

並進一步要求：

$$
\boxed{
\text{No exact certificate}
\neq
\text{Evidence of exactness}
}
$$

P4 建立五類主要防線：

1. irrationality / non-rationality witness；
2. bounded-domain exclusion；
3. false uniqueness detection；
4. precision insufficiency detection；
5. partial-closure preservation。

對 Perfect Cuboid 類問題，P4 的核心目標不是證明不存在 Perfect Cuboid，而是保證：

> 任何只靠浮點接近、局部取整、近平方、近有理、縮放後視覺對齊或單通道成功而產生的「完美閉合」都無法穿過 exact gate。

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# 1. P4 的核心問題

給定 observation：

$$
\widetilde W,
$$

以及 target arithmetic domain：

$$
\mathbb A,
$$

我們希望回答：

$$
\boxed{
\text{Can this observation be certified as originating from an exact }W^\ast\in\mathcal V(\mathbb A)?
}
$$

但 P4 更關心反方向：

$$
\boxed{
\text{Can we certify that a proposed exactification is invalid, ambiguous, or unsupported?}
}
$$

因此 P4 不是「找不到就算失敗」，而是建立 formal rejection semantics。

---

# 2. 四種不同的「不成功」

必須區分：

## 2.1 No Candidate

在指定 scope 中沒有 exact candidate：

$$
\mathcal S=\varnothing.
$$

## 2.2 Ambiguous

存在多個 admissible candidates：

$$
|\mathcal S/\!\sim|>1.
$$

## 2.3 Insufficient Precision

observation interval 太寬，無法支撐 uniqueness。

## 2.4 Proven Incompatibility

某個 proposed exact world 與 exact constraints、arithmetic domain 或 observation model 明確矛盾。

這四種狀態不能混成：

**FAIL**。

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# 3. Rejection Certificate

定義拒絕證書：

$$
\mathcal C_{\mathrm{rej}}
=
(
\widetilde W,
\Phi,
\mathbb A,
\mathcal B,
R,
\Pi_R
).
$$

其中：

- $\widetilde W$：observation；
- $\Phi$：constraint system；
- $\mathbb A$：target arithmetic domain；
- $\mathcal B$：declared bounds；
- $R$：rejection reason；
- $\Pi_R$：exact or bounded proof data。

可能的 reason：

$$
R
\in
\{
\mathrm{ConstraintContradiction},
\mathrm{ArithmeticContradiction},
\mathrm{BoundedDomainEmpty},
\mathrm{Ambiguous},
\mathrm{PrecisionInsufficient},
\mathrm{ObservationIncompatible},
\mathrm{FalseClosure},
\mathrm{FalseUniqueness}
\}.
$$

---

# 4. False Positive 的正式定義

若真實狀態：

$$
W^\ast\notin\mathcal V(\mathbb A)
$$

或在 declared scope 中沒有可證 exact source，

但系統輸出：

$$
\mathrm{CertifiedExact},
$$

則稱：

$$
\mathrm{FalsePositive}.
$$

在 Perfect Cuboid 類研究中，更嚴重的特例是：

$$
\mathrm{FalseClosure}.
$$

也就是：

$$
c_i=0
$$

卻被宣稱：

$$
\hat c_i=1.
$$

---

# 5. False Negative 與 False Positive 的不對稱性

若 true exact world 存在但系統暫時 recover 不到，這是：

$$
\mathrm{FalseNegative}.
$$

它會降低 recall。

但若 irrational / invalid world 被錯誤宣稱 exact，則是：

$$
\mathrm{FalsePositive}.
$$

它會直接污染 theorem claim。

因此數學研究版本 GERES 採：

$$
\boxed{
\mathrm{Cost}(\mathrm{FalsePositive})
\gg
\mathrm{Cost}(\mathrm{FalseNegative})
}
$$

這不是統計上的普遍法則，而是本研究工具的設計優先級。

---

# 6. 第一防線：Exact Constraint Gate

若 candidate：

$$
W_c
$$

被 proposed 為 exact source，

則必須：

$$
\forall\phi_i\in\Phi,
\qquad
\phi_i(W_c)=0
$$

使用 exact arithmetic。

若任一：

$$
\phi_i(W_c)\neq0,
$$

立即：

$$
\mathrm{Reject}.
$$

沒有：

$$
|\phi_i(W_c)|<\epsilon
$$

這種 theorem mode。

---

# 7. 第二防線：Arithmetic Domain Gate

如果 target 要求：

$$
q_i\in\mathbb Q,
$$

則 candidate 必須能以 exact reduced rational：

$$
q_i=\frac{p_i}{r_i}
$$

表示。

不能把：

$$
1.41421356237
$$

因為 decimal 很穩定就標示成 Rational。

Arithmetic status 必須來自：

- exact construction；
- exact symbolic reduction；
- valid rational reconstruction certificate；
- exact number-field proof；
- formal theorem。

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# 8. 第三防線：Observation Compatibility

即使 candidate：

$$
W_c
$$

是漂亮的 exact world，

若：

$$
W_c
$$

不落在 observation interval / model 允許範圍內，

也必須 reject 作為 source explanation。

形式：

$$
\neg\operatorname{Compatible}(W_c,\widetilde W)
\Rightarrow
\mathrm{RejectSourceHypothesis}.
$$

---

# 9. 第四防線：Uniqueness Gate

若：

$$
W_1,W_2
$$

都通過：

- arithmetic；
- constraints；
- observation；
- bounds；

且：

$$
[W_1]\neq[W_2],
$$

則輸出必須：

$$
\mathrm{Ambiguous}.
$$

禁止選 score 比較高的一個就宣稱：

$$
\mathrm{Unique}.
$$

---

# 10. False Uniqueness

定義：

若系統輸出：

$$
\mathrm{Unique}(W^\ast)
$$

但 declared scope 中實際存在：

$$
W'\not\sim W^\ast
$$

同樣通過全部 gates，

則稱：

$$
\mathrm{FalseUniqueness}.
$$

這是另一種 theorem-threatening false positive。

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# 11. Precision 不足不是支持證據

假設 observation：

$$
\tilde x
$$

只精確到：

$$
10^{-6}.
$$

若 height bound：

$$
H_{\max}
$$

大到 rational spacing 已遠小於：

$$
10^{-6},
$$

則可能存在大量 candidate rationals。

此時正確結果是：

$$
\mathrm{InsufficientPrecision}.
$$

不是：

> 找到一個最漂亮的 fraction，所以大概就是它。

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# 12. Rational Density Trap

有理數：

$$
\mathbb Q
$$

在：

$$
\mathbb R
$$

中稠密。

因此對任意：

$$
x\in\mathbb R
$$

與任意：

$$
\epsilon>0,
$$

都存在：

$$
r\in\mathbb Q
$$

使：

$$
|x-r|<\epsilon.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{arbitrarily good rational approximation}
}
$$

本身完全不能推出：

$$
x\in\mathbb Q.
$$

這是 P4 的基本反近似原則。

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# 13. Near-Integer Trap

對任意 irrational：

$$
\alpha,
$$

存在很多 scale：

$$
\lambda
$$

使：

$$
\lambda\alpha
$$

非常接近 integer。

因此：

$$
\operatorname{dist}(\lambda\alpha,\mathbb Z)\ll1
$$

不能推出：

$$
\lambda\alpha\in\mathbb Z.
$$

尤其如果 $\lambda$ 可自由搜尋，near-integer phenomenon 幾乎必然大量出現。

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# 14. Scale-Search Multiple Testing Trap

若掃描：

$$
\lambda_1,\ldots,\lambda_N,
$$

尋找：

$$
\lambda_i q_j
$$

最接近整數的狀態，

那麼隨：

$$
N\uparrow,
$$

偶然近整數 pattern 會越來越多。

因此 scale sweep 中任何「突然非常接近整數」都必須視為：

$$
\text{search-selected numerical coincidence}
$$

直到 exact gate 通過。

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# 15. 命題 P4-A：Rational Scaling Does Not Create Rationality

若：

$$
x\notin\mathbb Q
$$

且：

$$
\lambda\in\mathbb Q^\times,
$$

則：

$$
\lambda x\notin\mathbb Q.
$$

證明：

假設：

$$
\lambda x\in\mathbb Q.
$$

則：

$$
x
=
\frac{\lambda x}{\lambda}
\in\mathbb Q,
$$

矛盾。

因此 rational global scaling 不會修復 irrational quantity。

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# 16. 命題 P4-B：Rational Ratio Invariance

若：

$$
\frac{x}{y}\notin\mathbb Q,
$$

則任何共同非零 scale：

$$
x'=\lambda x,
$$

$$
y'=\lambda y
$$

滿足：

$$
\frac{x'}{y'}
=
\frac{x}{y}
\notin\mathbb Q.
$$

因此 shape-level irrationality 是 global scaling 無法改變的。

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# 17. Near-Square Trap

若：

$$
n^2<r<(n+1)^2,
$$

即使：

$$
r-n^2
$$

或：

$$
(n+1)^2-r
$$

非常小，

只要：

$$
r
$$

不是 exact square，

則：

$$
\sqrt r
$$

不是 integer。

對 integer：

$$
r\in\mathbb Z_{\ge0},
$$

判斷是否 integer square 可以 exact 完成：

$$
\lfloor\sqrt r\rfloor^2
\stackrel{?}{=}r.
$$

因此這一 gate 不需要 floating tolerance。

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# 18. Euler Brick Near-Square Control

取：

$$
(a,b,c)=(44,117,240).
$$

則：

$$
g^2=73225.
$$

檢查：

$$
270^2=72900,
$$

$$
271^2=73441.
$$

所以：

$$
73225
$$

不是 square。

因此：

$$
g=\sqrt{73225}
$$

不是 integer。

不論 decimal display 多接近：

$$
270
$$

或：

$$
271,
$$

closure bit：

$$
c_g=0.
$$

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# 19. Rational-Square Gate

若：

$$
r=\frac pq>0
$$

且：

$$
\gcd(p,q)=1,
$$

則：

$$
r
$$

是 rational square iff：

$$
p
$$

與：

$$
q
$$

皆為 integer squares。

因此：

$$
\sqrt r\in\mathbb Q
$$

可以 exact 決定。

這是 Perfect-Cuboid-like reconstruction 的主要 rejection gate。

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# 20. Perfect-Cuboid-like False Closure

normalized world：

$$
x,y,z\in\mathbb Q.
$$

若：

$$
x^2+y^2
$$

不是 rational square，

則：

$$
u=\sqrt{x^2+y^2}\notin\mathbb Q.
$$

即使：

$$
u
$$

decimal 非常接近：

$$
\frac pq,
$$

該 channel 仍：

$$
c_{ab}=0.
$$

這提供 exact false-closure rejection。

---

# 21. Partial Closure Preservation

對 closure vector：

$$
C(W)
=
(c_1,\ldots,c_m),
$$

若執行 rational global scaling：

$$
S_\lambda,
\qquad
\lambda\in\mathbb Q^\times,
$$

則 rationality-based closure bits 不應改變：

$$
C(S_\lambda W)=C(W).
$$

如果 UI 顯示 closure bit 隨 scale 變成 $1$，表示只是 representation artifact 或 bug。

---

# 22. Adversarial Decimal Trap

考慮 irrational：

$$
x
$$

的 decimal expansion。

可截斷成：

$$
\tilde x_N
=
\frac{\lfloor10^Nx\rfloor}{10^N}.
$$

注意：

$$
\tilde x_N\in\mathbb Q.
$$

但：

$$
\tilde x_N
$$

只是 representation，不等於 source：

$$
x.
$$

因此：

$$
\text{stored decimal is rational}
$$

不能推出：

$$
\text{represented quantity is rational}.
$$

這再次體現：

$$
W
\neq
\rho(W).
$$

---

# 23. Representation Rationality Trap

任何 finite decimal：

$$
d_0.d_1\ldots d_N
$$

本身都是 rational number。

因此如果系統把「有限 decimal representation」直接標註成：

$$
\mathrm{RationalSource},
$$

那麼所有浮點數都會被錯誤 rationalize。

P4 明確禁止這種 inference。

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# 24. Binary Float Trap

IEEE-754 finite float 本質上可寫成：

$$
m2^e
$$

的 dyadic rational。

因此每一個 finite binary float 都是 rational representation。

但其語義可能是對 irrational / transcendental quantity 的近似。

所以：

$$
\mathrm{FloatValue}\in\mathbb Q
$$

不代表：

$$
\mathrm{SourceQuantity}\in\mathbb Q.
$$

---

# 25. Arithmetic Provenance

每個 arithmetic annotation 必須附 provenance：

$$
P_\alpha
=
(
\mathrm{source},
\mathrm{method},
\mathrm{certificate},
\mathrm{scope}
).
$$

例如：

```text
RATIONAL
source = exact symbolic construction
certificate = numerator/denominator
```

或：

```text
UNRESOLVED
source = float observation
```

不能只有 enum 而沒有來源。

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# 26. Unknown 不等於 Irrational

如果：

$$
\alpha(q)=\mathrm{Unresolved},
$$

不能推出：

$$
q\notin\mathbb Q.
$$

同樣：

$$
\text{no rational recovery found}
$$

也不能推出：

$$
q\notin\mathbb Q.
$$

P4 必須區分：

$$
\mathrm{NotProvenRational}
$$

與：

$$
\mathrm{ProvenIrrational}.
$$

---

# 27. Irrationality Witness

若要標記：

$$
\mathrm{ProvenIrrational},
$$

需要具體 witness。

例如：

$$
q=\sqrt n
$$

其中：

$$
n\in\mathbb Z_{>0}
$$

且 $n$ 不是 perfect square。

則：

$$
q\notin\mathbb Q.
$$

這是 elementary irrationality witness。

---

# 28. Algebraic Irrationality Gate

若：

$$
q
$$

是某 irreducible polynomial：

$$
f(x)\in\mathbb Z[x]
$$

的 root，

且：

$$
\deg f>1,
$$

則：

$$
q\notin\mathbb Q
$$

如果 rational-root test 已排除 rational roots 並能證明該 root identity。

因此 P4 未來可把 irrationality proof 擴展到 algebraic numbers。

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# 29. Irrationality Claim Scope

系統不能從：

$$
q\approx\sqrt2
$$

直接宣稱：

$$
q=\sqrt2.
$$

必須先有 source identity：

$$
q^2=2
$$

exactly，

以及：

$$
q>0.
$$

才能引用：

$$
\sqrt2\notin\mathbb Q.
$$

---

# 30. Bounded-Domain Exclusion

有時無法證明 quantity 全域 irrational，

但可以證明：

> 在 denominator / height 不超過 $H$ 的範圍內不存在 compatible rational candidate。

形式：

$$
\mathcal S_H
=
\varnothing.
$$

這是：

$$
\mathrm{BoundedDomainEmpty}.
$$

它比全域 irrationality 弱，但對 reconstruction 足夠有用。

---

# 31. Bounded Exclusion 不是 Global Impossibility

若：

$$
\mathcal S_H=\varnothing,
$$

不能推出：

$$
\mathcal S=\varnothing
$$

對所有高度。

因此 report 必須寫：

$$
H\le H_{\max}.
$$

不能只寫：

**No rational solution exists**。

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# 32. Interval Exclusion

若 observation interval：

$$
I
$$

與所有 bounded-height rational candidates 不相交，

則：

$$
\mathcal S_H=\varnothing.
$$

可以產生 finite exclusion certificate：

- interval；
- bound；
- enumeration policy；
- zero survivor count。

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# 33. Modular Exclusion

對 integer / rational reconstruction，可使用 modular constraints。

如果 exact candidate 必須滿足：

$$
F(x_1,\ldots,x_n)=0
$$

且某 residue class mod $p$ 不可能，

則可安全排除整族 candidates。

形式：

$$
F(\bar x_1,\ldots,\bar x_n)
\neq0
\pmod p
$$

對所有 admissible residues，

則該 branch 無 exact integer lift。

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# 34. Local Obstruction

如果某 prime：

$$
p
$$

下沒有 local solution，

則 global integer / rational solution 可能被排除，視問題結構而定。

P4 可以將：

$$
p\text{-adic / modular obstruction}
$$

作為 rejection witness。

但不能把「某個 heuristic 搜不到」誤稱 local obstruction。

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# 35. Sign Obstruction

若 exact constraints 推出：

$$
q^2<0
$$

在 real domain，

則 branch 立即不合法。

這種簡單 analytic gate 也應早期執行。

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# 36. Order Obstruction

若 canonical domain 要求：

$$
0<x\le y\le z<1,
$$

而 candidate 不滿足，

可以 reject 該 canonical branch。

但要注意：

若只是 symmetry permutation 未 canonicalize，不應誤判為幾何不合法。

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# 37. Constraint Contradiction Core

當 candidate 被 reject，最好輸出最小 contradiction subset：

$$
\Phi_{\mathrm{core}}
\subseteq
\Phi.
$$

使得：

$$
\Phi_{\mathrm{core}}
$$

已足以推出矛盾。

這類 unsat core 有助於之後 algorithm-to-theorem extraction。

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# 38. Arithmetic Contradiction Core

例如 Perfect-Cuboid-like world：

$$
x,y\in\mathbb Q,
$$

$$
u\in\mathbb Q
$$

且：

$$
u^2=x^2+y^2.
$$

若：

$$
x^2+y^2
$$

不是 rational square，

則 contradiction core 只需要：

$$
\{
x,
y,
u^2=x^2+y^2,
u\in\mathbb Q
\}.
$$

不需要整個 world 才能拒絕。

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# 39. P4 的核心資料結構

```text
RejectionReport
├── status
├── scope
├── target_domain
├── observation
├── candidate
├── rejection_reason
├── contradiction_core
├── exact_witness
├── bound
├── precision
├── arithmetic_provenance
└── replay_data
```

---

# 40. Canonical Rejection Status

```text
REJECT_EXACT_CONSTRAINT
REJECT_ARITHMETIC_DOMAIN
REJECT_OBSERVATION_MISMATCH
REJECT_BOUNDED_DOMAIN_EMPTY
REJECT_FALSE_CLOSURE
AMBIGUOUS
INSUFFICIENT_PRECISION
UNRESOLVED_ARITHMETIC_STATUS
PROVEN_IRRATIONAL
```

這些狀態互相不能隨意升降級。

---

# 41. Precision Monotonicity 的理想行為

當 observation precision 增加：

$$
p_1<p_2,
$$

若 source model 一致，

理想上 uncertainty set 應：

$$
\mathcal S_{p_2}
\subseteq
\mathcal S_{p_1}.
$$

若反而候選集無故擴大，可能表示：

- candidate generator 不 deterministic；
- interval model 錯；
- rounding policy 不一致。

---

# 42. Height Monotonicity

當：

$$
H_1<H_2,
$$

bounded candidate set 理論上：

$$
\mathcal S_{H_1}
\subseteq
\mathcal S_{H_2}.
$$

因此：

$$
\mathrm{NoCandidate}
$$

在低 bound 下，不代表高 bound 下仍然無 candidate。

這是 UI 必須明確顯示的 scope dependency。

---

# 43. Precision-Height Consistency Grid

P4 建議建立：

$$
(p,H)
$$

grid。

每格輸出：

- zero candidates；
- one equivalence class；
- multiple classes；
- unresolved。

如果結果在鄰近 grid 中大幅不穩，表示 candidate 尚未進入 robust recovery regime。

---

# 44. False Positive Stress Test

建立大量 known-negative worlds：

$$
W^-_1,\ldots,W^-_N.
$$

要求：

$$
\forall i,
\qquad
\mathrm{GER}(W^-_i)
\neq
\mathrm{CertifiedExact}.
$$

初期 acceptance 標準應偏嚴。

---

# 45. Adversarial Near-Rational Generator

生成：

$$
x
=
\frac pq+\eta,
$$

其中：

$$
|\eta|
$$

極小但：

$$
\eta\neq0.
$$

如果只存 decimal，系統很容易 recover：

$$
\frac pq.
$$

所以必須提供 interval / source model，測試系統是否知道：

$$
\text{approximation}
\neq
\text{identity}.
$$

---

# 46. Adversarial Near-Square Generator

取：

$$
n^2+k
$$

其中：

$$
|k|\ll n^2
$$

但：

$$
k\neq0.
$$

例如：

$$
r=n^2+1.
$$

則：

$$
\sqrt r
$$

相對上非常接近 $n$，

但永遠不是 integer。

這可以測試 large-scale visual alignment 是否誤導 arithmetic gate。

---

# 47. Large-Scale Illusion

對：

$$
\sqrt{n^2+1},
$$

有：

$$
\sqrt{n^2+1}
=
n\sqrt{1+\frac1{n^2}}
\approx
n+\frac1{2n}.
$$

當：

$$
n\to\infty,
$$

它與 integer $n$ 的距離：

$$
\frac1{2n}
$$

趨近 $0$。

但：

$$
\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb Z.
$$

所以「放大後越來越像整數」完全可能是系統性數學現象，而不是 exactification。

---

# 48. Relative Error Trap

有時 absolute difference：

$$
|x-n|
$$

很大，

但 relative error：

$$
\frac{|x-n|}{|x|}
$$

很小。

反之亦然。

P4 不允許只用 relative error 或 absolute error 作 exact gate。

兩者都只是 diagnostics。

---

# 49. Residual Compression Trap

constraint residual：

$$
r(W)
$$

可能因 normalization / scaling 在數值上縮小。

例如 homogeneous constraint degree：

$$
d>0
$$

時：

$$
r(S_\lambda W)
=
\lambda^dr(W).
$$

若：

$$
0<\lambda\ll1,
$$

residual 可以變得非常小，

但 constraint 並沒有變成 exact。

因此 residual 大小不能跨 scale 直接比較，必須 normalized。

---

# 50. Normalized Residual

可定義：

$$
\widehat r_i(W)
=
\frac{
|\phi_i(W)|
}{
M_i(W)
}
$$

其中：

$$
M_i(W)
$$

具有相同 scale degree。

這可以減少 scale illusion。

但即使：

$$
\widehat r_i\ll1,
$$

仍然不是 exact truth。

---

# 51. Zero Testing

在 exact backend：

$$
x=0
$$

必須 exact 判斷。

在 floating backend：

$$
|x|<\epsilon
$$

只能標記：

$$
\mathrm{NumericallySmall}.
$$

不能直接標：

$$
\mathrm{ExactZero}.
$$

這個 distinction 必須貫穿 constraint engine。

---

# 52. Symbolic Zero

如果 expression：

$$
E
$$

可 symbolic simplify 到：

$$
0,
$$

才可以標記：

$$
\mathrm{SymbolicallyZero}.
$$

若 simplifier 無法判定，狀態應：

$$
\mathrm{Unknown},
$$

不是 false，也不是 true。

---

# 53. Interval Zero

若 interval evaluation 得：

$$
I(E)
$$

且：

$$
0\notin I(E),
$$

則可以證明：

$$
E\neq0.
$$

這是一個強 rejection gate。

反之：

$$
0\in I(E)
$$

只能表示未排除 zero，

不能證明：

$$
E=0.
$$

---

# 54. Interval Rejection Principle

若：

$$
0\notin I(\phi_i(W)),
$$

則：

$$
\phi_i(W)\neq0
$$

對所有與 observation interval 相容的 worlds。

因此整個 local observation box 可被排除。

這使 P4 不一定要逐點搜索。

---

# 55. Box Exclusion

對：

$$
B
=
I_1\times\cdots\times I_n,
$$

若 interval arithmetic 能證明：

$$
0\notin \phi_i(B),
$$

則：

$$
B\cap\mathcal V=\varnothing.
$$

這是一種幾何區域級 rejection certificate。

---

# 56. Subdivision Rejection

若大 box 無法直接排除，可細分：

$$
B
=
\bigcup_jB_j.
$$

若所有：

$$
B_j
$$

都被排除，

則原始 box 也被排除。

這提供一條從 floating neighborhood 到 rigorous exclusion 的計算路線。

---

# 57. Interval Newton / Krawczyk 類思路

P4 後續可引入 validated numerics，例如：

- interval Newton；
- Krawczyk operator；
- certified root exclusion；
- uniqueness certification。

這些工具可在 real solution level 回答：

> observation neighborhood 是否包含任何 exact real root？

再與 arithmetic gate 分離。

---

# 58. Real Root 與 Rational Root 必須分開

即使證明 box 內存在唯一：

$$
W^\ast\in\mathbb R^n
$$

root，

也不能推出：

$$
W^\ast\in\mathbb Q^n.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{real geometric closure}
\neq
\text{rational arithmetic closure}.
}
$$

這是 Perfect Cuboid 路線的關鍵分界。

---

# 59. Unique Real Root Trap

如果 virtual world solver 找到唯一 real fixed point，

那只表示幾何 constraints 可能有唯一實數解。

仍需：

$$
\alpha(W^\ast)
$$

判斷 arithmetic domain。

所以世界模型不能把「唯一形狀」直接等同「完美長方體」。

---

# 60. Visual Snap Trap

UI 如果提供 snapping：

$$
x\mapsto \operatorname{snap}(x),
$$

則 snap 必須只屬：

$$
\mathrm{ViewLayer}
$$

或：

$$
\mathrm{ProposalLayer}.
$$

不能直接改 canonical exact world state。

---

# 61. Exact Lock Protocol

UI 只有在：

1. exact candidate constructed；
2. exact constraints pass；
3. arithmetic domain pass；
4. observation compatibility pass；
5. uniqueness scope pass；

全部成立時，才可顯示：

**EXACT LOCK**

否則最多：

- NEAR LOCK；
- CANDIDATE；
- AMBIGUOUS；
- UNRESOLVED。

---

# 62. Soundness Priority

P4 把 GERES 的 theorem-mode soundness 寫成：

$$
\mathrm{CertifiedExact}
\Rightarrow
\mathrm{AllExactGatesPassed}.
$$

這是一個單向要求。

反過來：

$$
\mathrm{NotCertified}
$$

不代表：

$$
\mathrm{NotExact}.
$$

這避免把系統能力限制誤當成數學不存在證明。

---

# 63. No-Recovery 不是 Nonexistence

若：

$$
\mathrm{GER}(\widetilde W)
=
\mathrm{NoCertifiedRecovery},
$$

只能說：

> 在目前 observation、bounds、algorithm completeness 與 scope 下沒有 certified recovery。

不能說：

$$
\text{Perfect Cuboid does not exist}.
$$

除非另有完整 global proof。

---

# 64. Candidate Rejection 不是 Theorem Rejection

如果某一個 floating candidate 被排除，

只代表：

$$
\widetilde W_i
$$

不能支撐該 exact source hypothesis。

不能推出所有其他 candidates 或整個 theorem impossible。

---

# 65. Local Impossibility vs Global Impossibility

定義：

$$
\mathrm{LocalNoSolution}(B)
$$

與：

$$
\mathrm{GlobalNoSolution}(\mathcal D).
$$

P4 多數計算只能安全做到前者。

後者需要覆蓋：

$$
\mathcal D
$$

的完整證書或其他一般理論。

---

# 66. Perfect Cuboid 專用 False-Positive Gates

對 normalized candidate：

$$
(x,y,z,u,v,w)
$$

至少執行：

### Gate 1

$$
x^2+y^2+z^2=1.
$$

### Gate 2

$$
u^2=x^2+y^2.
$$

### Gate 3

$$
v^2=x^2+z^2.
$$

### Gate 4

$$
w^2=y^2+z^2.
$$

### Gate 5

$$
x,y,z,u,v,w\in\mathbb Q.
$$

### Gate 6

positive domain。

### Gate 7

canonical symmetry。

只有全部 exact 通過，才進 rational closure。

---

# 67. Integer Representative Gate

就算 normalized world rational closure 成功，

還需要 denominator clearing。

如果：

$$
Q
$$

是共同 denominator，

則：

$$
Qx,Qy,Qz,Qu,Qv,Qw,Q
$$

應全部 integer。

再 exact 驗證原始七量 constraints。

因此：

$$
\text{normalized rational certificate}
$$

與：

$$
\text{integral representative certificate}
$$

應分成兩張證書。

---

# 68. Primitive Reduction Gate

若 integer representative 有：

$$
G
=
\gcd(a,b,c,d_{ab},d_{ac},d_{bc},g)>1,
$$

可除以：

$$
G.
$$

但 primitive reduction 不影響 existence。

因此：

$$
G=1
$$

是 canonicalization condition，不是 Perfect Cuboid existence condition。

---

# 69. Scale-Induced Overflow False Positive

在 floating arithmetic 中，大：

$$
\lambda
$$

可能造成：

- overflow；
- loss of low bits；
- catastrophic cancellation；
- values printing as integers。

因此如果某 arithmetic closure 只在極大 scale 出現，第一反應應是 precision audit，不是 theorem claim。

---

# 70. Scale-Induced Underflow False Zero

小：

$$
\lambda
$$

可能使 residual underflow 成：

$$
0.0.
$$

這是典型：

$$
\mathrm{FalseExactZero}.
$$

所以 P4 stress test 必須涵蓋 extreme scale。

---

# 71. Mixed Precision Trap

如果不同 quantity 使用：

- float32；
- float64；
- decimal；
- arbitrary precision；

可能造成 closure asymmetry。

因此 world 必須有 precision map：

$$
p:
\mathcal Q\to\mathbb N.
$$

混合 precision 的 exact claim 必須升級到共同足夠 precision 或 exact backend 重驗。

---

# 72. Rounding-Mode Trap

不同 rounding mode：

- nearest；
- floor；
- ceil；
- toward zero；

可能讓 near-integer pattern 出現或消失。

所以 arithmetic claim 不得依賴 display rounding mode。

---

# 73. Formatting Trap

例如：

$$
1.9999999997
$$

顯示成：

$$
2.000000
$$

只是 formatter 行為。

P4 要求 UI 同時保留：

- raw representation；
- display representation；
- exact status。

---

# 74. Human Pattern Trap

人類與模型都容易對：

- 重複數字；
- 整數；
- 小 denominator；
- 對稱；
- 近平方；

給予過高信心。

因此 P4 將：

$$
\mathrm{AestheticSimplicity}
$$

明確排除在 exact acceptance conditions 外。

它最多可以作：

$$
\mathrm{SearchPrior}.
$$

---

# 75. AI Proposal Trap

AI 可能根據 pattern 提出：

$$
q=\frac pq
$$

或某 transformation。

這是允許的。

但 AI proposal 必須進：

$$
\mathrm{ProposalLayer}.
$$

只有 exact engine 能把它升級成：

$$
\mathrm{CertifiedLayer}.
$$

---

# 76. Search Prior 與 Proof Gate 分離

定義：

$$
P(W)
$$

為 heuristic prior，

以及：

$$
G(W)
$$

為 exact proof gate。

可以：

$$
P(W_1)>P(W_2)
$$

表示優先搜尋 $W_1$。

但 final acceptance 只看：

$$
G(W)=\mathrm{True}.
$$

---

# 77. Adversarial AI Benchmark

可以讓 AI 故意產生「看起來最像 Perfect Cuboid」的假 candidates。

P4 的任務是：

$$
\boxed{
\text{讓 Exact Gate 把最有迷惑性的漂亮假解也拒絕掉。}
}
$$

這其實比只測 random noise 更有價值。

---

# 78. False Positive Corpus

建立 corpus：

$$
\mathcal D_{\mathrm{FP}}
$$

包含：

- near integer；
- near rational；
- near square；
- near Pythagorean；
- scaled irrational；
- decimal truncation；
- mixed precision；
- adversarial symmetry；
- Euler-brick-like partial closures；
- fake Perfect Cuboid tuples。

每個案例都附 exact rejection witness。

---

# 79. Fake Perfect Cuboid Generator

可以生成：

$$
(a,b,c)
$$

後把三個 diagonals 各自 round 到附近 integer：

$$
\hat d_{ab},
\hat d_{ac},
\hat d_{bc},
\hat g.
$$

這種 tuple 在低精度下可能「非常漂亮」。

但 exact residual：

$$
a^2+b^2-\hat d_{ab}^2
$$

等只要非零，就必須 reject。

---

# 80. One-Bit Failure

Perfect Cuboid closure 可以表示：

$$
C=(1,1,1,1).
$$

只要任何一 bit：

$$
c_i=0,
$$

整個 Perfect Cuboid claim 即失敗。

因此 theorem gate 是：

$$
\bigwedge_{i=1}^4 c_i=1.
$$

不是平均 closure score。

---

# 81. Closure Score Trap

禁止用：

$$
\frac{c_1+c_2+c_3+c_4}{4}
$$

或 residual-based score 當 theorem truth。

即使：

$$
99.999999\%
$$

closed，

也不是：

$$
100\%
$$

exact closure。

---

# 82. World Similarity Trap

兩個 world shape distance：

$$
D_{\mathrm{shape}}(W_1,W_2)
$$

很小，

只能表示 geometric similarity。

不代表：

$$
[W_1]_{\mathrm{arith}}
=
[W_2]_{\mathrm{arith}}.
$$

幾何鄰近與算術等價是不同關係。

---

# 83. Arithmetic Discontinuity

Arithmetic property：

$$
q\in\mathbb Q
$$

對 real topology 並不是由「足夠接近」決定。

任意 rational neighborhood 內有 irrational，

任意 irrational neighborhood 內也有 rational。

因此：

$$
\boxed{
\text{arithmetic type is not continuous under ordinary real distance.}
}
$$

這是 P4 的哲學與數學核心之一。

---

# 84. 命題 P4-C：No Topological Threshold for Rationality

不存在：

$$
\epsilon>0
$$

使得對任意：

$$
x,y\in\mathbb R,
$$

若：

$$
|x-y|<\epsilon
$$

且：

$$
x\in\mathbb Q,
$$

就必然：

$$
y\in\mathbb Q.
$$

因為：

$$
\mathbb Q
$$

與：

$$
\mathbb R\setminus\mathbb Q
$$

都在：

$$
\mathbb R
$$

中稠密。

因此任何純距離式 rationality classifier 必然不完備或不可靠。

---

# 85. 這對世界模型的直接含義

即使：

$$
D_{\mathrm{shape}}(
\widetilde W,
W^\ast
)
\to0,
$$

也不能由極限距離單獨推出：

$$
\widetilde W
$$

具有與：

$$
W^\ast
$$

相同 arithmetic type。

所以 GERES 必須使用：

$$
\text{distance}
+
\text{constraint}
+
\text{arithmetic certificate}.
$$

---

# 86. Perfect Cuboid Near-World 的正確語義

若目前有：

$$
C(W)=(1,1,1,0),
$$

而最後一 channel residual 很小，

正確語義是：

$$
\boxed{
\text{exact real geometry with partial arithmetic closure}
}
$$

或依具體資料描述。

不是：

$$
\text{almost a proof}.
$$

這種語義約束可以避免後續研究被自己的 visualization 誤導。

---

# 87. Rejection is Useful Data

如果某 floating candidate 被嚴格排除，

這不是「沒有成果」。

它至少告訴我們：

- 某 recovery basin 不存在；
- 某 denominator region 不可行；
- 某 arithmetic branch 被封閉；
- 某 world-model heuristic 不可靠。

因此 rejection trace 也應進研究資料庫。

---

# 88. Negative Knowledge

定義：

$$
\mathcal K^-
$$

為已證排除的 candidate regions / arithmetic branches。

後續搜尋不應重複探索：

$$
\mathcal K^-.
$$

這可以逐步把 search space 壓縮。

---

# 89. P4 與傳統數論的橋樑

P4 的 rejection witnesses 可以來自：

- modular obstruction；
- parity；
- valuation；
- rational-square test；
- gcd；
- factorization；
- algebraic irrationality；
- descent；
- local solvability。

因此世界模型線並沒有排斥傳統算術。

它把這些工具變成：

$$
\text{world-level rejection operators}.
$$

---

# 90. P4 與 validated numerics 的橋樑

另一方面，P4 也可以使用：

- interval arithmetic；
- root exclusion；
- interval Newton；
- certified optimization bounds。

這些工具回答的是：

$$
\text{real solution geometry}
$$

再與：

$$
\text{arithmetic closure}
$$

結合。

---

# 91. Dual Rejection

最理想的 rejection 有兩層：

### Geometric Rejection

$$
B\cap\mathcal V(\mathbb R)=\varnothing.
$$

### Arithmetic Rejection

即使：

$$
B\cap\mathcal V(\mathbb R)\neq\varnothing,
$$

仍證：

$$
B\cap\mathcal V(\mathbb Q)=\varnothing
$$

在 declared scope。

這正對應 GERES 的「世界」與「算術」雙層。

---

# 92. P4 的演算法草案

```text
function reject_false_exactification(observation, proposal, model, bounds):
    validate observation model

    if proposal violates exact constraints:
        return REJECT_EXACT_CONSTRAINT

    if proposal violates target arithmetic domain:
        return REJECT_ARITHMETIC_DOMAIN

    if proposal not compatible with observation:
        return REJECT_OBSERVATION_MISMATCH

    survivors = enumerate_or_certify_candidates(bounds)

    quotient survivors by declared equivalence

    if survivors is empty:
        return REJECT_BOUNDED_DOMAIN_EMPTY

    if more than one class survives:
        return AMBIGUOUS

    if precision is insufficient to certify uniqueness:
        return INSUFFICIENT_PRECISION

    return NOT_REJECTED
```

注意：

$$
\mathrm{NOT\_REJECTED}
$$

不等於：

$$
\mathrm{CERTIFIED\_EXACT}.
$$

後者仍需 P3/P5 的完整 recovery certificate。

---

# 93. 三值邏輯

P4 推薦至少使用：

$$
\{
\mathrm{True},
\mathrm{False},
\mathrm{Unknown}
\}
$$

而不是強迫所有 arithmetic propositions 都二值化。

例如：

$$
\operatorname{IsRational}(q)
=
\mathrm{Unknown}.
$$

這比錯誤猜測更安全。

---

# 94. 四值工程狀態

實作上甚至可使用：

$$
\{
\mathrm{ProvenTrue},
\mathrm{ProvenFalse},
\mathrm{Unresolved},
\mathrm{Inapplicable}
\}.
$$

例如某 angle quantity 不需要 Rationality gate，就屬：

$$
\mathrm{Inapplicable}.
$$

---

# 95. Proof Obligation Registry

每個 theorem claim 都展開成 obligations：

$$
\mathcal O
=
\{
O_1,\ldots,O_n
\}.
$$

Perfect Cuboid 可有：

- edge positivity；
- four exact metric constraints；
- seven integer quantities；
- optional primitiveness；
- canonical ordering。

只有：

$$
\forall i,\ O_i=\mathrm{ProvenTrue}
$$

才可 claim。

---

# 96. Missing Obligation

如果：

$$
O_k=\mathrm{Unresolved},
$$

整體 theorem state 只能：

$$
\mathrm{Unresolved}.
$$

不能用其他 obligations 的成功率補償。

---

# 97. Proof Obligation DAG

obligations 之間可以有依賴：

$$
O_i\rightarrow O_j.
$$

例如 normalized rational closure 成功後，才有必要做 denominator clearing。

這讓 engine 不必一開始同時檢查所有層。

---

# 98. WESL P4 UI

P4 後 WESL 應新增：

## Rejection Panel

顯示 exact rejection reason。

## Arithmetic Provenance Panel

顯示每個 quantity 的 status 與來源。

## Precision / Height Grid

顯示：

$$
(p,H)
$$

phase。

## False-Lock Warning

如果 visual near-lock 但 exact gate fail，明確顯示：

**VISUAL MATCH ONLY**

## Contradiction Core

顯示最小失敗 constraints。

---

# 99. UI 禁止事項

禁止：

- 把綠色近似當 exact；
- 把 rounding 後 integer 當 source integer；
- 把 residual 顯示為 $0$ 若只是 formatter 截斷；
- 把 unique optimizer minimum 當 unique exact solution；
- 把 scale-selected near integer 當 arithmetic closure。

---

# 100. Exact Lock 的聲音語義

如果未來真的保留「喀一聲」，

那聲音應只綁定：

$$
\mathrm{CertifiedExactTransition}
$$

而不是：

$$
\mathrm{NumericalThresholdCrossing}.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{The click should mean certificate, not appearance.}
}
$$

---

# 101. P4 Benchmark Matrix

建議至少包含：

| 類型 | 真實狀態 | 預期輸出 |
|---|---|---|
| Exact rational triangle | exact rational | 不拒絕 |
| Scaled rational triangle | exact rational | 不拒絕 |
| Irrational hypotenuse | irrational | irrational / reject |
| Euler brick body diagonal | noninteger | false closure reject |
| Near square | non-square | reject integer closure |
| Decimal truncation | unresolved source | unresolved |
| Wide interval | ambiguous | ambiguous |
| Height too low | source excluded | bound excludes source |
| Extreme scale underflow | numeric artifact | precision error |
| Fake Perfect Cuboid | constraint fail | exact constraint reject |

---

# 102. P4 驗收條件

P4 完成至少要求：

1. zero false exact claims on known irrational controls；
2. zero false body-diagonal closure on Euler-brick controls；
3. near-square traps 全部被 exact square gate 擋下；
4. rational-density traps 不被 distance heuristic 誤升級；
5. wide interval 正確輸出 ambiguity / insufficient precision；
6. bounded exclusion 明確帶 scope；
7. exact zero 與 numerical small 分離；
8. representation rationality 與 source rationality 分離；
9. closure vector 不隨 rational scale 假性改變；
10. rejection certificate 可 replay。

---

# 103. P4 核心命題整理

### 命題 P4-A

Rational nonzero scaling 不創造 rationality。

### 命題 P4-B

共同 scaling 不改變 dimensionless rationality structure。

### 命題 P4-C

不存在純實數距離 threshold 可以判定 rationality。

### 命題 P4-D

Exact square / rational-square tests 可作 Perfect-Cuboid-like channel closure 的 proof-safe gate。

### 命題 P4-E

Interval residual 不包含 zero 時，可 rigorously 排除該 observation box 中的 exact real solution。

### 命題 P4-F

No recovery within bounded scope 不等於 global nonexistence。

---

# 104. P4 核心猜想

### 猜想 P4-C1：Constraint-Core Rejection Compression

對高耦合世界，多數 false candidates 可由小型 contradiction core 排除，而不需要完整 world evaluation。

### 猜想 P4-C2：World-Level Adversarial Robustness

加入 arithmetic provenance、interval semantics、exact gates 與 quotient-aware uniqueness 後，world-level false-positive rate 可顯著低於 coordinate-wise rational fitting。

### 猜想 P4-C3：Negative Knowledge Accumulation

若 rejection certificates 可被 canonicalized 並索引，則長期搜索可藉由累積：

$$
\mathcal K^-
$$

形成可重用的排除結構，降低後續搜索成本。

---

# 105. 從 P3 到 P4 的閉環

P3 問：

$$
\boxed{
\text{Can we recover the known exact source?}
}
$$

P4 問：

$$
\boxed{
\text{Can we refuse the seductive false source?}
}
$$

只有兩者同時成功，GER 才能被拿來處理未知 Perfect Cuboid floating candidates。

---

# 106. P4 與未來 P5 的關係

P5 將正式建立：

$$
W_{\mathrm{PC}}
$$

的 Perfect Cuboid world encoding / candidate ingestion layer。

P4 提供的所有 gates 將變成 P5 的底層安全系統。

也就是任何未知 candidate 在進入真正 reconstruction 前，都先經：

$$
\boxed{
\text{False-Positive Firewall}
}
$$

---

# 107. Claim Boundary

截至 P4：

已建立：

- formal rejection semantics；
- false positive / false closure / false uniqueness 定義；
- rational-density trap；
- scale-search trap；
- near-square trap；
- exact square gate；
- rational-square gate；
- arithmetic provenance；
- unknown vs irrational 分離；
- bounded-domain exclusion；
- interval exclusion；
- representation rationality trap；
- zero-testing semantics；
- partial closure preservation；
- rejection certificate；
- contradiction core；
- Perfect Cuboid false-positive gate set。

尚未宣稱：

- 任一未知 Perfect Cuboid candidate 已被證明 exact 或被全域排除；
- Perfect Cuboid 不存在；
- 所有 irrationality 都可由 P4 自動證明；
- bounded exclusion 等同 global impossibility；
- validated numerics 已完成實作。

---

# 108. 結論

GERES P4 把「不被漂亮數字騙到」從直覺提升成正式研究層。

核心可以濃縮為：

$$
\boxed{
\text{Near}
\neq
\text{Equal}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Represented Rational}
\neq
\text{Source Rational}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Unique Numerical Fit}
\neq
\text{Unique Exact World}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{No Recovery}
\neq
\text{Nonexistence Proof}.
}
$$

對 Perfect Cuboid 類問題而言，P4 最重要的任務是保護最後一步：

即使三個 channel 已 exact 閉合，第四個 channel 再接近 integer / rational，只要 exact arithmetic gate 沒有通過，就必須維持：

$$
C(W)=(1,1,1,0).
$$

不能因為視覺、縮放、低精度、格式化、近平方或 AI pattern matching 而變成：

$$
(1,1,1,1).
$$

因此 P4 真正建立的是：

$$
\boxed{
\text{Arithmetic False-Positive Firewall}.
}
$$

---

## 下一階段

**GERES P5 — Perfect Cuboid World Encoding and Candidate Ingestion**

P5 將開始把真正的 Perfect Cuboid 研究資料接進 GERES。

主要工作：

1. 定義 canonical Perfect Cuboid world schema；
2. 匯入目前已有 floating candidates；
3. 分離 observed / derived / exact quantities；
4. 為每個 candidate 建立 interval semantics；
5. 建立 closure vector；
6. 建立 scale-normalized fingerprint；
7. 執行 P2 GSE consistency；
8. 執行 P4 false-positive firewall；
9. 產生可以交給 P6 reconstruction engine 的 canonical candidate bundle。

到 P5 為止，我們仍然不會要求 candidate「證明自己」。

我們先要求它：

$$
\boxed{
\text{在世界模型中被正確、完整、無歧義地表示。}
}
$$