# GERES P1：形式世界語義學 **Formal World Semantics for Global Equivalence Reconstruction and Scaling** 版本：v0.1 系列：GERES — Global Equivalence Reconstruction and Scaling 階段：P1 性質：形式語義／方法論基礎／可實作規格 主要 benchmark：Perfect Cuboid Canonical source：UTF-8 Markdown --- ## 摘要 GERES P0 提出一個基本轉向：幾何問題不應只被視為一組彼此獨立的數值，而應被視為一個具有容器、中心、物件、關係、度量、約束、表示與算術狀態的完整世界。 P1 的目標，是把這個直覺轉換成一套可計算、可比較、可驗證、可進一步數學化的形式語義。 本文區分三個彼此不可混同的層： $$ \boxed{ \text{World State} \neq \text{Representation State} \neq \text{Arithmetic State} } $$ 其中： - **World State** 描述幾何世界本身的結構； - **Representation State** 描述同一世界如何被座標、浮點數、符號或圖形表示； - **Arithmetic State** 描述該表示是否具有 exact rational、integer、algebraic 或其他算術性質。 因此，一個浮點候補不能只因為視覺上接近某個整數形狀，就被視為 exact arithmetic object。反過來，同一個 exact world 也可能有許多不同 representation，而仍屬於同一個世界等價類。 P1 將正式定義： 1. finite geometric world； 2. container 與 center； 3. object graph 與 relation graph； 4. metric field； 5. constraint system； 6. scale action； 7. gauge； 8. representation map； 9. arithmetic annotation； 10. world equivalence； 11. world homomorphism / isomorphism； 12. canonical world state； 13. reconstruction target； 14. verification semantics。 最後本文將 Perfect Cuboid 編碼成 GERES world object，作為後續 P2 Global Scale Engine 與 P3 Synthetic Rational Recovery 的形式輸入。 --- # 1. 世界作為基本研究物件 ## 1.1 基本定義 定義一個有限幾何世界： $$ W = (\mathcal C, \mathfrak c, \mathcal O, \mathcal R, \mathcal A, \mathcal M, \Phi, \Gamma). $$ 各部分含義如下。 ### Container $$ \mathcal C $$ 是承載世界狀態的 ambient container。 它可以是： $$ \mathbb R^n, $$ 也可以是某個更一般的 metric space、manifold、affine space、projective space 或離散嵌入空間。 ### Center $$ \mathfrak c $$ 是指定的中心、參考點或 transformation origin。 它不必永遠是幾何質心，也不必是 intrinsic invariant。它是一個可以由 gauge policy 指定的 reference object。 ### Object Set $$ \mathcal O = \{o_1,\ldots,o_N\} $$ 是世界中被追蹤的基本物件集合。 例如： - vertices； - edges； - faces； - diagonals； - planes； - centers； - auxiliary points； - derived metric objects。 ### Relation Set $$ \mathcal R $$ 描述物件間的關係。 例如： $$ o_i\;\mathsf{incident}\;o_j, $$ $$ o_i\;\mathsf{parallel}\;o_j, $$ $$ o_i\;\mathsf{orthogonal}\;o_j, $$ $$ o_i\;\mathsf{contains}\;o_j. $$ ### Attribute Field $$ \mathcal A $$ 描述非純度量屬性。 例如： - type； - orientation； - layer； - role； - dependency； - symbolic name； - scale weight。 ### Metric Field $$ \mathcal M $$ 描述可測量的幾何量，例如： $$ L, \qquad A, \qquad V, \qquad \theta, \qquad d, \qquad \kappa. $$ ### Constraint System $$ \Phi = \{\phi_1,\ldots,\phi_m\} $$ 是世界合法性的約束集合。 ### Gauge Policy $$ \Gamma $$ 指定哪些自由度被視為 representation redundancy，以及如何選擇 canonical representative。 --- # 2. 世界不是座標 ## 2.1 抽象世界與其表示 定義一個 representation map： $$ \rho: W \longrightarrow \widetilde W. $$ 其中： $$ \widetilde W $$ 不是世界本身，而是世界的一個具體表示。 例如： - Cartesian coordinates； - homogeneous coordinates； - floating-point arrays； - symbolic expressions； - graph serialization； - JSON； - SVG； - 3D mesh。 因此： $$ W \neq \rho(W). $$ 同一個 $W$ 可以有多個表示： $$ \rho_1(W), \qquad \rho_2(W), \qquad \ldots $$ 它們在數值、格式甚至維度上可能不同，但仍指向同一抽象世界。 --- ## 2.2 Representation State 定義： $$ R_W = (\rho,\mathbb D,p,\eta), $$ 其中： - $\rho$：representation map； - $\mathbb D$：representation domain； - $p$：precision policy； - $\eta$：encoding / serialization metadata。 例如一個浮點表示可以寫成： $$ R_W^{\mathrm{float64}}. $$ 而 exact rational 表示可以寫成： $$ R_W^{\mathbb Q}. $$ 兩者可能表示同一個 world state。 --- # 3. 算術狀態獨立於世界狀態 ## 3.1 Arithmetic Annotation 定義算術註記函數： $$ \alpha: \mathcal M \longrightarrow \mathfrak A, $$ 其中： $$ \mathfrak A = \{ \mathrm{Float}, \mathrm{Interval}, \mathrm{Rational}, \mathrm{Integer}, \mathrm{Algebraic}, \mathrm{TranscendentalUnknown}, \mathrm{Symbolic}, \mathrm{Unresolved} \}. $$ 例如： $$ \alpha(L_i) = \mathrm{Rational}. $$ 或： $$ \alpha(L_j) = \mathrm{Float}. $$ --- ## 3.2 三層分離原則 GERES 採用： $$ \boxed{ \text{Geometry} \perp \text{Representation} \perp \text{Arithmetic Annotation} } $$ 這裡的 $\perp$ 不是指嚴格的數學正交，而是表示三種語義不能被互相替代。 例如： $$ \text{a visually rectangular box} $$ 不能推出： $$ \text{all seven lengths are rational}. $$ 而： $$ \text{all coordinates stored as integers} $$ 也不能單獨推出： $$ \text{the intended geometric constraints hold}. $$ --- # 4. Object Graph ## 4.1 世界圖 定義 object graph： $$ G_O = (V_O,E_O), $$ 其中： $$ V_O \equiv \mathcal O. $$ 邊： $$ E_O $$ 代表物件間的語義關係。 若 relation 有類型，則： $$ E_O \subseteq \mathcal O \times \mathcal T_R \times \mathcal O. $$ 其中 $\mathcal T_R$ 是 relation type set。 --- ## 4.2 Constraint Graph 除了 object graph，還需要 constraint graph： $$ G_\Phi = (V_\Phi,E_\Phi). $$ 一個方便的設計是 bipartite graph： $$ V_\Phi = \mathcal Q \cup \Phi, $$ 其中 $\mathcal Q$ 是所有被 constraints 使用的 quantities。 若某 quantity $q_i$ 出現在 constraint $\phi_j$，則： $$ (q_i,\phi_j)\in E_\Phi. $$ 這使我們可以直接看到： - 哪些量彼此耦合； - 哪些 constraint 是局部的； - 哪些 constraint 具有高 dependency degree； - 哪個 arithmetic channel 尚未閉合。 --- # 5. Dependency Semantics ## 5.1 Primitive 與 Derived Quantities 將 metric quantities 分成： $$ \mathcal Q = \mathcal Q_{\mathrm{primitive}} \cup \mathcal Q_{\mathrm{derived}}. $$ Primitive quantity 是 world definition 的自由參數。 Derived quantity 則由： $$ q_j = f_j(q_{i_1},\ldots,q_{i_k}) $$ 決定。 例如長方體中可以選： $$ a,b,c $$ 為 primitive quantities， 而： $$ d_{ab}, d_{ac}, d_{bc}, g $$ 作為 derived quantities。 但在 arithmetic reconstruction 階段，也可以暫時把全部七個 quantity 都提升為 joint unknowns，再由 constraint system enforce consistency。 這兩種模式必須在語義中分開： $$ \mathrm{GenerativeMode} $$ 與： $$ \mathrm{ConstraintMode}. $$ --- # 6. Scale Weight ## 6.1 尺度權重函數 定義： $$ \omega: \mathcal Q \longrightarrow \mathbb Z. $$ 例如： $$ \omega(L)=1, $$ $$ \omega(A)=2, $$ $$ \omega(V)=3, $$ $$ \omega(\theta)=0. $$ 全域尺度作用： $$ S_\lambda(q) = \lambda^{\omega(q)}q. $$ 若： $$ \omega(q)=0, $$ 則 $q$ 為 scale invariant。 --- ## 6.2 Dimensionless Invariants 定義： $$ \mathcal I(W) $$ 為所有在 scale action 下不變的 quantities。 例如： $$ \frac{L_i}{L_j}, $$ $$ \theta, $$ $$ \frac{A_i}{L_j^2}, $$ $$ \frac{V_i}{L_j^3}. $$ 若： $$ W' = S_\lambda(W), $$ 則應有： $$ \mathcal I(W') = \mathcal I(W). $$ 這是世界等價檢驗的重要必要條件。 --- # 7. Container 與 Center ## 7.1 Container Semantics Container 不只是畫布。 對 GERES 而言，container 至少包含： $$ \mathcal C = (X,\mathsf d,\mathsf B,\mathsf F), $$ 其中： - $X$：ambient set； - $\mathsf d$：metric 或 distance rule； - $\mathsf B$：boundary policy； - $\mathsf F$：reference frame。 若 world transformation 改變 container 本身，必須明確區分： $$ T_W $$ 與： $$ T_{\mathcal C}. $$ --- ## 7.2 Center Semantics 中心： $$ \mathfrak c $$ 可以是： - geometric center； - centroid； - circumcenter； - origin； - user-selected anchor； - canonical gauge point。 全域縮放： $$ T_{\lambda,\mathfrak c}(x) = \mathfrak c+\lambda(x-\mathfrak c). $$ 若同時讓 container 也縮放，則： $$ T_{\lambda,\mathfrak c}(\mathcal C) $$ 與： $$ T_{\lambda,\mathfrak c}(W) $$ 必須共享同一 transformation parameter。 這正是「從中心與容器開始」的全域一致性要求。 --- # 8. Global Transformation ## 8.1 世界轉換算子 定義： $$ T: W \longrightarrow W'. $$ 一個合法 GERES world transformation 必須指定： $$ T = (T_{\mathcal C}, T_{\mathfrak c}, T_{\mathcal O}, T_{\mathcal R}, T_{\mathcal A}, T_{\mathcal M}, T_{\Phi}, T_{\Gamma}). $$ 實作中某些分量可能是 identity map，但不可省略其語義。 --- ## 8.2 Transformation Consistency 若 object $o_i$ 的 metric quantity $q_i$ 是由其他物件推導得到，則 transformation 必須滿足： $$ T(q_i) = T(f_i(q_{j_1},\ldots,q_{j_k})) $$ 與： $$ f_i(T(q_{j_1}),\ldots,T(q_{j_k})) $$ 一致。 理想情況要求 commute： $$ T\circ f_i = f_i\circ T. $$ 這是 transformation legitimacy 的核心條件。 --- # 9. 世界等價關係 ## 9.1 Scale Equivalence 定義： $$ W_1 \sim_s W_2 $$ 若存在 $\lambda>0$ 與合法 center，使： $$ W_2 = S_\lambda(W_1) $$ 並保持指定 invariants。 --- ## 9.2 Rigid Equivalence 定義： $$ W_1 \sim_r W_2 $$ 若可由 rigid transformation： $$ x \mapsto Rx+t $$ 互相取得，其中： $$ R^\top R = I. $$ --- ## 9.3 Similarity Equivalence 定義： $$ W_1 \sim_{\mathrm{sim}} W_2 $$ 若存在： $$ x \mapsto \lambda Rx+t. $$ GERES 的第一版主要處理： $$ \sim_{\mathrm{sim}} $$ 中的 scale subaction。 --- ## 9.4 Representation Equivalence 若： $$ \rho_1(W) $$ 與： $$ \rho_2(W) $$ 只是 encoding 不同，則記： $$ \rho_1(W) \sim_{\mathrm{repr}} \rho_2(W). $$ --- ## 9.5 Arithmetic Equivalence 若兩個 exact representations 代表同一 normalized rational world，但只是 common denominator 不同，則可以定義： $$ W_1 \sim_{\mathrm{arith}} W_2. $$ 例如： $$ (3,4,5) \sim_{\mathrm{arith}} (6,8,10). $$ --- # 10. Equivalence Class Stack 同一個 world 可以同時落在多層 quotient 中： $$ W \rightarrow [W]_{\mathrm{repr}} \rightarrow [W]_{\mathrm{rigid}} \rightarrow [W]_{\mathrm{scale}} \rightarrow [W]_{\mathrm{sim}}. $$ GERES 不應在一開始把所有 quotient 混成一個。 不同問題需要不同的等價層。 例如 Perfect Cuboid 的 arithmetic existence，主要關心： $$ [W]_{\mathrm{scale}}, $$ 因為 common scaling 不改變其「是否存在有理形狀」的本質。 --- # 11. Gauge ## 11.1 Gauge Freedom 若： $$ W \sim_s S_\lambda(W), $$ 則 $\lambda$ 是 redundancy。 不 quotient 這個自由度，搜索空間會多一個無意義維度。 --- ## 11.2 Gauge Fixing 定義 gauge condition： $$ \gamma(W)=0. $$ 例如： $$ g-1=0. $$ 因此： $$ g=1. $$ 也可以使用： $$ a+b+c=1, $$ 或： $$ \|L\|_2=1. $$ 但 gauge 必須滿足： 1. 在 admissible orbit 上存在； 2. 儘可能唯一； 3. 不引入奇異點； 4. 對 arithmetic reconstruction 友善。 --- ## 11.3 Gauge Singularity 若 gauge denominator 為零，或某 orbit 多次穿越 gauge surface，則 gauge 可能失效。 因此每個 gauge 都必須附帶 domain： $$ \operatorname{Dom}(\Gamma). $$ --- # 12. Canonical Representative 定義 canonicalization map： $$ \kappa: [W] \longrightarrow W_{\mathrm{can}}. $$ 理想上： $$ \kappa(W_1) = \kappa(W_2) $$ 只要： $$ W_1\sim W_2. $$ 對 rational metric world，一個可能的 canonicalization pipeline 是： $$ W \rightarrow W_{\mathrm{norm}} \rightarrow W_{\mathbb Q} \rightarrow W_{\mathbb Z} \rightarrow W_{\mathrm{primitive}}. $$ 最後再加 ordering convention： $$ a\le b\le c $$ 或其他 symmetry-breaking rule。 --- # 13. Arithmetic Domain ## 13.1 Arithmetic Universe GERES 不應把 arithmetic domain 固定成 $\mathbb Q$。 定義： $$ \mathbb A \in \{ \mathbb Z, \mathbb Q, \overline{\mathbb Q}, K, R \}. $$ 其中 $K$ 可為 number field，$R$ 可為指定 ring。 因此 reconstruction target 可以寫成： $$ W^\ast \in \mathcal V(\mathbb A). $$ Perfect Cuboid 第一階段選： $$ \mathbb A = \mathbb Q. $$ --- # 14. Exact 與 Approximate Constraint 每個 constraint 必須有 mode： $$ \mu(\phi_i) \in \{ \mathrm{Exact}, \mathrm{Approximate}, \mathrm{Observed} \}. $$ 例如： $$ a^2+b^2-d_{ab}^2=0 $$ 若是 Perfect Cuboid theorem constraint，必須標示： $$ \mathrm{Exact}. $$ 若只是浮點 sensor observation，才可以有： $$ |a^2+b^2-d_{ab}^2| < \epsilon. $$ 這兩種語義不可交換。 --- # 15. Residual 不是 Truth Value 定義 numerical residual： $$ r_i(\widetilde W) = |\phi_i(\widetilde W)|. $$ 若： $$ r_i \ll1, $$ 只能表示： $$ \widetilde W $$ 在目前 representation precision 下接近 constraint locus。 不能推出： $$ \phi_i(W^\ast)=0. $$ 因此 GERES 將： $$ \mathrm{ResidualScore} $$ 與： $$ \mathrm{ExactTruth} $$ 完全分開。 --- # 16. Interval World 對 floating observations，建議不直接儲存單一數： $$ \tilde q. $$ 而使用 interval： $$ I(q) = [\tilde q-\delta_q,\tilde q+\delta_q]. $$ 因此 observed world 可以寫成： $$ W_I. $$ Exact candidate $W^\ast$ 若要與 observation 相容，至少要求： $$ q^\ast \in I(q) $$ 或滿足明確指定的 likelihood / tolerance semantics。 --- # 17. World Homomorphism 定義世界映射： $$ F: W_1 \longrightarrow W_2. $$ 若 $F$ 保持指定的 object types、relations 與 constraints，稱為 world homomorphism。 若存在 inverse： $$ F^{-1}, $$ 且： $$ F^{-1}\circ F = \mathrm{id}, $$ $$ F\circ F^{-1} = \mathrm{id}, $$ 則稱為 world isomorphism。 如果只在 quotient 後可逆，則稱： $$ \text{equivalence isomorphism}. $$ 這個概念後續會用於： - cross-geometry transfer； - normalized world 對 integer world； - floating projection 對 exact source world。 --- # 18. Reconstruction 不是任意 Best Fit 定義 reconstruction operator： $$ \mathcal R: (\widetilde W,\Phi,\mathbb A,\mathcal B) \longrightarrow \mathcal P, $$ 其中 $\mathcal B$ 是 search / height / precision bounds。 輸出： $$ \mathcal P $$ 必須是以下之一： $$ \mathrm{Unique}(W^\ast), $$ $$ \mathrm{Ambiguous}(\{W_1^\ast,\ldots,W_k^\ast\}), $$ $$ \mathrm{NoCertifiedRecovery}, $$ $$ \mathrm{InsufficientPrecision}. $$ 禁止把 optimization 的 best-fit 結果直接等同： $$ \mathrm{Unique}(W^\ast). $$ --- # 19. Unique Recovery 的形式條件 若要宣稱 unique recovery，至少需要： $$ W^\ast \in \mathcal V(\mathbb A), $$ 並且在 admissible region $\Omega$ 與 complexity bound $H$ 下： $$ \forall W'\in\mathcal V(\mathbb A)\cap\Omega, $$ 若： $$ H(W')\le H_{\max}, $$ 且 $W'$ 與 observation 相容，則： $$ W'=W^\ast $$ 在指定 equivalence relation 下成立。 更準確地： $$ [W']=[W^\ast]. $$ --- # 20. World Certificate GERES certificate 定義為： $$ \mathcal C_W = ( W^\ast, \Phi^\ast, \Pi, \Sigma, \Gamma, \mathcal T, \mathcal H ). $$ 其中： - $W^\ast$：exact world； - $\Phi^\ast$：exact constraints； - $\Pi$：proof / verification data； - $\Sigma$：symmetry data； - $\Gamma$：gauge data； - $\mathcal T$：transformation trace； - $\mathcal H$：hash / provenance。 --- # 21. Certificate 最小要求 一個 Perfect Cuboid exact certificate 至少需要輸出： $$ a,b,c,d_{ab},d_{ac},d_{bc},g\in\mathbb Z_{>0}, $$ 以及： $$ a^2+b^2=d_{ab}^2, $$ $$ a^2+c^2=d_{ac}^2, $$ $$ b^2+c^2=d_{bc}^2, $$ $$ a^2+b^2+c^2=g^2. $$ 此外若要求 primitive： $$ \gcd(a,b,c,d_{ab},d_{ac},d_{bc},g)=1. $$ 這些必須由 exact integer arithmetic 驗證。 --- # 22. Perfect Cuboid 世界編碼 現在將 Perfect Cuboid 編碼成： $$ W_{\mathrm{PC}}. $$ --- ## 22.1 Container $$ \mathcal C = \mathbb R^3. $$ --- ## 22.2 Center 若使用軸對稱中心式表示，可取： $$ \mathfrak c = (0,0,0). $$ --- ## 22.3 Vertices 令： $$ V = \left\{ \left( \pm\frac a2, \pm\frac b2, \pm\frac c2 \right) \right\}. $$ 共八個頂點。 --- ## 22.4 Edge Classes 三個 edge classes： $$ E_a, \qquad E_b, \qquad E_c. $$ 長度： $$ |E_a|=a, $$ $$ |E_b|=b, $$ $$ |E_c|=c. $$ --- ## 22.5 Face Diagonal Classes $$ D_{ab}, \qquad D_{ac}, \qquad D_{bc}. $$ 長度： $$ d_{ab}, \qquad d_{ac}, \qquad d_{bc}. $$ --- ## 22.6 Body Diagonal $$ D_g $$ 長度： $$ g. $$ --- ## 22.7 Constraint System $$ \Phi_{\mathrm{PC}} = \{ \phi_{ab}, \phi_{ac}, \phi_{bc}, \phi_g \}, $$ 其中： $$ \phi_{ab} = a^2+b^2-d_{ab}^2, $$ $$ \phi_{ac} = a^2+c^2-d_{ac}^2, $$ $$ \phi_{bc} = b^2+c^2-d_{bc}^2, $$ $$ \phi_g = a^2+b^2+c^2-g^2. $$ Perfect Cuboid exact condition 為： $$ \phi_{ab} = \phi_{ac} = \phi_{bc} = \phi_g = 0. $$ --- # 23. Perfect Cuboid 的 Scale Action 所有長度的尺度權重均為： $$ \omega=1. $$ 因此： $$ a' = \lambda a, $$ $$ b' = \lambda b, $$ $$ c' = \lambda c, $$ $$ d'_{ab} = \lambda d_{ab}, $$ $$ d'_{ac} = \lambda d_{ac}, $$ $$ d'_{bc} = \lambda d_{bc}, $$ $$ g' = \lambda g. $$ 所以： $$ \phi'_{ab} = \lambda^2\phi_{ab}, $$ 其餘同理。 因此若原世界 exact： $$ \Phi_{\mathrm{PC}}=0, $$ 則縮放後仍 exact。 --- # 24. Perfect Cuboid Gauge 取： $$ g=1. $$ 定義： $$ x=\frac ag, $$ $$ y=\frac bg, $$ $$ z=\frac cg, $$ $$ u=\frac{d_{ab}}g, $$ $$ v=\frac{d_{ac}}g, $$ $$ w=\frac{d_{bc}}g. $$ 得到 normalized world： $$ \widehat W_{\mathrm{PC}} = (x,y,z,u,v,w). $$ constraints： $$ x^2+y^2-u^2=0, $$ $$ x^2+z^2-v^2=0, $$ $$ y^2+z^2-w^2=0, $$ $$ x^2+y^2+z^2-1=0. $$ --- # 25. Perfect Cuboid 的 Arithmetic Target Exact rational target： $$ \widehat W_{\mathrm{PC}}^\ast \in \mathbb Q_{>0}^6. $$ 若存在： $$ \widehat W_{\mathrm{PC}}^\ast, $$ 則可取共同 denominator： $$ Q = \operatorname{lcm} ( \operatorname{den}(x), \operatorname{den}(y), \operatorname{den}(z), \operatorname{den}(u), \operatorname{den}(v), \operatorname{den}(w) ). $$ 恢復： $$ a=Qx, $$ $$ b=Qy, $$ $$ c=Qz, $$ $$ d_{ab}=Qu, $$ $$ d_{ac}=Qv, $$ $$ d_{bc}=Qw, $$ $$ g=Q. $$ 之後再 primitive reduction。 --- # 26. Symmetry Perfect Cuboid 在 edge permutation 下具有： $$ S_3 $$ 對稱性。 也就是： $$ (a,b,c) $$ 可被置換。 因此 canonical ordering 可取： $$ a\le b\le c. $$ 在 normalized world： $$ x\le y\le z. $$ 這可以排除六倍重複搜索。 --- # 27. Orientation 與 Arithmetic 不應混淆 在純長度問題中，orientation： $$ \operatorname{sgn}(\det R) $$ 通常不是 Perfect Cuboid arithmetic existence 的核心 invariant。 因此可以在 geometry rendering 保留 orientation，但在 arithmetic quotient 中忽略 mirror equivalence。 這表示： $$ \text{rendering equivalence} $$ 與： $$ \text{arithmetic equivalence} $$ 不必完全相同。 --- # 28. 世界狀態機 為方便實作，定義 GERES world state： $$ \sigma(W) \in \{ \mathrm{Observed}, \mathrm{Normalized}, \mathrm{Proposed}, \mathrm{ConstraintChecked}, \mathrm{ExactRecovered}, \mathrm{Integralized}, \mathrm{Canonicalized}, \mathrm{Certified}, \mathrm{Rejected} \}. $$ 合法 transition 例如： $$ \mathrm{Observed} \rightarrow \mathrm{Normalized}, $$ $$ \mathrm{Normalized} \rightarrow \mathrm{Proposed}, $$ $$ \mathrm{Proposed} \rightarrow \mathrm{ConstraintChecked}. $$ 但禁止： $$ \mathrm{Observed} \rightarrow \mathrm{Certified} $$ 直接跳躍。 --- # 29. World Ledger 每一步 transition 都必須寫入 ledger： $$ \mathcal L = \{ \ell_1,\ldots,\ell_T \}. $$ 每筆至少包含： $$ \ell_t = ( t, \sigma_{\mathrm{in}}, T_t, \sigma_{\mathrm{out}}, \mathrm{params}, \mathrm{verification} ). $$ 這是日後 algorithm-to-theorem compilation 的原始材料。 --- # 30. Formal Invariants GERES 第一版至少追蹤以下 invariant classes。 ## 30.1 Structural Invariants $$ I_{\mathrm{struct}} $$ 例如 object count、incidence、adjacency。 ## 30.2 Geometric Invariants $$ I_{\mathrm{geom}} $$ 例如 angle、parallelism、orthogonality。 ## 30.3 Scale Invariants $$ I_{\mathrm{scale}} $$ 例如： $$ \frac ab, \qquad \frac ac, \qquad \frac{d_{ab}}g. $$ ## 30.4 Arithmetic Invariants $$ I_{\mathrm{arith}} $$ 例如 reduced rational ratios、denominator structure、primitive gcd。 不同 transformation 可以保持不同 invariant subset。 --- # 31. Transformation Contract 任何 transformation 必須附 contract： $$ \mathfrak T = ( \mathrm{Pre}, \mathrm{Action}, \mathrm{Preserve}, \mathrm{Post}, \mathrm{Proof} ). $$ 例如 scale transformation： ### Pre $$ \lambda>0. $$ ### Action $$ q\mapsto\lambda^{\omega(q)}q. $$ ### Preserve $$ I_{\mathrm{struct}}, I_{\mathrm{geom}}, I_{\mathrm{scale}}. $$ ### Post world remains in same scale equivalence class。 ### Proof 加權齊次 preservation。 --- # 32. Reconstruction Contract Reconstruction 與 transformation 不同。 Transformation 已知 source world，改變 representation / scale。 Reconstruction 則由 observation 推測 source world。 因此： $$ \mathrm{Transform} \neq \mathrm{Recover}. $$ Reconstruction contract： $$ \mathfrak R = ( \mathrm{Observation}, \mathrm{Domain}, \mathrm{Bounds}, \mathrm{CandidateGenerator}, \mathrm{ExactGate}, \mathrm{UniquenessGate} ). $$ --- # 33. 可視化與 Canonical State WESL 可視化軟體應同時顯示四個 state： $$ W_{\mathrm{obs}}, $$ $$ W_{\mathrm{norm}}, $$ $$ W_{\mathrm{exact}}, $$ $$ W_{\mathrm{can}}. $$ 如果某 state 尚不存在，不應偽造。 例如尚未 exact recover 時： $$ W_{\mathrm{exact}} = \varnothing. $$ UI 應標記： **UNRESOLVED** 而不是畫出一個看似精確的整數長方體。 --- # 34. 世界差異函數 可定義多種 distance。 ## Representation Distance $$ D_{\mathrm{repr}} ( \widetilde W_1, \widetilde W_2 ). $$ ## Shape Distance 在 quotient scale 後： $$ D_{\mathrm{shape}} ( [W_1], [W_2] ). $$ ## Constraint Distance $$ D_\Phi(W) = \sum_i w_i|\phi_i(W)|^2. $$ ## Arithmetic Complexity Distance 例如： $$ D_{\mathrm{arith}}(W) = \log H(W). $$ 但這些 distance 都只是 search aids，不是 exact equivalence proof。 --- # 35. Arithmetic Height 對： $$ r=\frac pq $$ 且： $$ \gcd(p,q)=1, $$ 可定義： $$ H(r) = \max(|p|,|q|). $$ 對 world： $$ W=(r_1,\ldots,r_n), $$ 可定義： $$ H(W) = \max_iH(r_i). $$ 或 multiplicative height。 GERES P3 之後應固定一套 canonical height convention，避免不同實驗不可比較。 --- # 36. Local Proposal 與 Global Acceptance 局部工具可以提出： $$ q_i \approx \frac{p_i}{q_i'}. $$ 但 acceptance 只能在 world 層發生： $$ \mathrm{Accept}(W^\ast) \iff \left[ W^\ast\in\mathcal V(\mathbb A) \right] \land \left[ \mathrm{ObsCompatible}(W^\ast) \right] \land \left[ \mathrm{UniquenessOrDeclaredAmbiguity} \right]. $$ 這條規則是 GERES 的核心安全閘。 --- # 37. 世界閉合 定義 arithmetic closure predicate： $$ \operatorname{Closed}_{\mathbb A}(W). $$ 若所有 theorem-required quantities 均位於 arithmetic domain $\mathbb A$，且全部 exact constraints 成立，則： $$ \operatorname{Closed}_{\mathbb A}(W) = \mathrm{True}. $$ Perfect Cuboid 要求： $$ \operatorname{Closed}_{\mathbb Q} ( \widehat W_{\mathrm{PC}} ). $$ 再透過 global scaling 得到： $$ \operatorname{Closed}_{\mathbb Z} ( W_{\mathrm{PC}} ). $$ --- # 38. Partial Closure 允許定義： $$ \operatorname{ClosureVector}(W) = (c_1,\ldots,c_m), $$ 其中： $$ c_i\in\{0,1\} $$ 代表第 $i$ 個 arithmetic channel 是否閉合。 這對目前已有的 Perfect Cuboid near-world 特別有用。 例如可以表成： $$ (1,1,1,0) $$ 而不是模糊說： 「幾乎完美」。 這種表示能避免心理或視覺上的近似誤導。 --- # 39. World Semantics 的最小公理集 P1 暫定以下公理作為 GERES 實作核心。 ### Axiom W1 — Object Integrity 世界物件具有穩定 identity。 ### Axiom W2 — Relation Explicitness 所有 theorem-relevant relation 必須顯式記錄。 ### Axiom W3 — Constraint Separation Exact constraint 與 observed tolerance 不得混用。 ### Axiom W4 — Transformation Globality 若 operation 被標為 global transformation，則所有被 transformation contract 覆蓋的 quantities 必須由同一 transformation parameter set 作用。 ### Axiom W5 — Representation Non-Identity representation 不等同 world。 ### Axiom W6 — Arithmetic Non-Inference 浮點接近不自動推出 exact arithmetic property。 ### Axiom W7 — Gauge Transparency 所有 gauge fixing 必須可追蹤、可反轉或明確聲明 quotient。 ### Axiom W8 — Certificate Finality 只有 exact verification 通過後，world 才能進入 Certified state。 --- # 40. P1 的核心命題 ### 命題 P1-A：Representation Independence 若兩個 representation： $$ \rho_1(W), \qquad \rho_2(W) $$ 都忠實表示同一 abstract world，則 theorem-relevant property 應由 $W$ 決定，而不應由 serialization format 決定。 ### 命題 P1-B：Scale Quotient Reduction 若研究命題對 uniform scaling invariant，則可先研究： $$ W/\mathbb R_{>0}. $$ ### 命題 P1-C：Exact Closure Invariance 若 $W$ 在某 arithmetic domain 中 exact closed，且 transformation 是該 domain 上的合法 exact equivalence map，則 transformed world 仍 exact closed。 ### 命題 P1-D：Approximation Non-Closure 任意有限小 residual： $$ D_\Phi(\widetilde W)>0 $$ 不能單獨推出存在 exact source world。 --- # 41. 實作資料結構草案 未來程式可以用以下抽象 schema： ```text World ├── world_id ├── container ├── center ├── objects[] ├── relations[] ├── attributes{} ├── quantities[] ├── constraints[] ├── gauge ├── representation_state ├── arithmetic_state ├── invariants[] ├── transformations[] ├── ledger[] └── certificate ``` Quantity： ```text Quantity ├── quantity_id ├── semantic_role ├── value ├── domain ├── precision ├── interval ├── scale_weight ├── primitive_or_derived └── dependencies[] ``` Constraint： ```text Constraint ├── constraint_id ├── expression ├── mode ├── variables[] ├── scale_degree ├── exact_status └── verification_record ``` --- # 42. Machine-Oriented Canonical Form 為了讓多 AI、多程式語言與 proof system 互通，建議每個 world 同時保留： 1. human-readable Markdown； 2. canonical JSON / ISQL-like structure； 3. exact symbolic expressions； 4. deterministic ordering； 5. hashable certificate bundle。 Canonical serialization 必須避免： - 隨機 object ordering； - locale-dependent number format； - float-only exact data； - 隱性 unit conversion。 --- # 43. Units scale 與 unit conversion 不應混為一談。 若： $$ 1\mathrm m = 100\mathrm{ cm}, $$ 這是 representation / unit conversion。 而： $$ W \mapsto 2W $$ 是幾何 world scaling。 兩者數值上可能相似，但語義不同。 因此： $$ T_{\mathrm{unit}} \neq T_{\mathrm{world}}. $$ --- # 44. Dimensional Consistency 每個 quantity 除了 scale weight 外，還應具有 dimension signature： $$ \dim(q). $$ 例如： $$ \dim(L)=L, $$ $$ \dim(A)=L^2, $$ $$ \dim(V)=L^3. $$ constraints 必須 dimensionally consistent。 例如： $$ a^2+b^2=d^2 $$ 三項 dimension 都是： $$ L^2. $$ --- # 45. Degenerate Worlds GERES 不應假定所有 world 都 nondegenerate。 Perfect Cuboid admissibility 必須加入： $$ a>0, $$ $$ b>0, $$ $$ c>0. $$ 必要時還可加入： $$ a