# GERES P10：有效 Covering Reduction、局部 Squareclass Sieve 與 Elliptic-Chabauty Bridge

**Effective Covering Reduction, Local Squareclass Sieve, and the Elliptic-Chabauty Bridge**

版本：v0.1  
系列：GERES — Global Equivalence Reconstruction and Scaling  
階段：P10  
性質：Covering collection／height-independent local sieve／effective-computation bridge  
主要 fibers：$r=3/5$、$s=4/7$  
Canonical source：UTF-8 Markdown

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## 摘要

P9 將 G2 的 fixed-$r$ 與 fixed-$s$ Perfect gates化成 genus-$5$ curves，並將其 Jacobians分解為五個 elliptic factors。

Faltings theorem只給：

$$
|\mathcal C(\mathbb Q)|<\infty,
$$

但不提供有效 height bound。

P10 的目標，是把「有限但不知道在哪裡」再往 effective arithmetic 推進。

本輪完成三件事。

第一，利用 structural quartic 的特殊 factorization，把每條 fiber分成有限 squareclass covering classes。

對 fixed：

$$
r=\frac35,
$$

structural numerator exact factorization為：

$$
\boxed{
225x^4+706x^2+225
=
(9x^2+25)(25x^2+9).
}
$$

對 fixed：

$$
s=\frac47,
$$

則：

$$
\boxed{
784x^4+2657x^2+784
=
(16x^2+49)(49x^2+16).
}
$$

第二，利用 gcd bound 與 finite-field local obstructions，得到與 height 無關的 cover sieve。

fixed-$r$ 原本只有四個可能 squarefree classes：

$$
\delta\in\{1,2,17,34\}.
$$

mod $3$ exact obstruction排除：

$$
2,17.
$$

因此任何 Perfect point只能來自：

$$
\boxed{
\delta\in\{1,34\}.
}
$$

fixed-$s$ 原本有：

$$
16
$$

個 squarefree classes。

mod $7$ structural sieve先降到：

$$
\{1,11,15,39,65,165,429,715\},
$$

再由 twin-gate mod $29$ obstruction排除：

$$
11,15,39,715.
$$

因此任何 Perfect point只能來自：

$$
\boxed{
\delta\in\{1,65,165,429\}.
}
$$

第三，open quartics所需的 factor fields只有 quadratic degree：

fixed-$r$：

$$
\boxed{
\mathbb Q(\sqrt{161}),
}
$$

fixed-$s$：

$$
\boxed{
\mathbb Q(\sqrt{2047}).
}
$$

這把 P9 的 genus-$5$ problem放進 finite covering collections + quadratic-field elliptic-Chabauty 的標準 effective framework。

本輪尚未完成 full Mordell-Weil ranks / Selmer groups，也沒有宣稱兩條 G2 fibers globally 無 Perfect point。P10 的成果是把 effective computation problem從一條 genus-$5$ curve壓成少量 explicit covering classes與 quadratic-field genus-$1$ tasks。

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# 1. Fixed-$r$ Structural Factorization

取：

$$
x=\frac pq,
$$

其中：

$$
\gcd(p,q)=1.
$$

fixed：

$$
r=\frac35
$$

的 structural equation清分母後為：

$$
Z^2
=
225(p^4+q^4)+706p^2q^2.
$$

exact factorization：

$$
\boxed{
Z^2
=
(9p^2+25q^2)
(25p^2+9q^2).
}
$$

令：

$$
A_1=9p^2+25q^2,
$$

$$
A_2=25p^2+9q^2.
$$

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# 2. Fixed-$r$ GCD Bound

$$
25A_1-9A_2
=
544q^2,
$$

$$
25A_2-9A_1
=
544p^2.
$$

因此：

$$
\gcd(A_1,A_2)
\mid544.
$$

而：

$$
544=2^5\cdot17.
$$

若：

$$
A_1A_2
$$

為 square，

則 $A_1,A_2$ 的 squarefree kernels必須相同，且只可能由：

$$
2,17
$$

組成。

所以：

$$
\boxed{
\delta\in\{1,2,17,34\}.
}
$$

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# 3. Fixed-$r$ Mod-$3$ Obstruction

對：

$$
\delta=2
$$

或：

$$
17\equiv2\pmod3,
$$

covering equations在：

$$
\mathbb P^1(\mathbb F_3)
$$

沒有 projective local point。

等價地，若從 equations直接看：

$$
9p^2+25q^2
=
\delta u^2
$$

mod $3$ 強迫：

$$
3\mid q,
$$

另一式再強迫：

$$
3\mid p,
$$

與：

$$
\gcd(p,q)=1
$$

矛盾。

所以：

$$
\boxed{
\delta=2,17
\text{ globally impossible}.
}
$$

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# 4. Fixed-$r$ Surviving Covers

$$
\boxed{
\delta=1
\quad\text{or}\quad
34.
}
$$

這個 reduction與任何 height bound 無關。

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# 5. Fixed-$r$ Perfect Local Fingerprints

### $\delta=1$

mod：

$$
59
$$

同時通過兩個 structural cover equations與 open square gate的 projective classes只有：

$$
x=0,
\qquad
x=\infty.
$$

所以任何 rational Perfect point必須：

$$
\boxed{
59\mid p
\quad\text{or}\quad
59\mid q.
}
$$

### $\delta=34$

mod：

$$
43
$$

只有：

$$
x=\pm1.
$$

所以：

$$
\boxed{
p\equiv\pm q\pmod{43}.
}
$$

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# 6. Fixed-$s$ Structural Factorization

fixed：

$$
s=\frac47
$$

時：

$$
Z^2
=
784(p^4+q^4)+2657p^2q^2
$$

factor為：

$$
\boxed{
Z^2
=
(16p^2+49q^2)
(49p^2+16q^2).
}
$$

令：

$$
B_1=16p^2+49q^2,
$$

$$
B_2=49p^2+16q^2.
$$

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# 7. Fixed-$s$ GCD Bound

$$
49B_1-16B_2
=
2145q^2,
$$

$$
49B_2-16B_1
=
2145p^2.
$$

因此：

$$
\gcd(B_1,B_2)
\mid2145,
$$

而：

$$
2145
=
3\cdot5\cdot11\cdot13.
$$

initial squarefree classes共有：

$$
2^4=16.
$$

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# 8. Fixed-$s$ Mod-$7$ Structural Sieve

exact projective mod-$7$ enumeration留下：

$$
\boxed{
\delta
\in
\{
1,11,15,39,65,165,429,715
\}.
}
$$

其他八類沒有 local structural point，所以 global impossible。

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# 9. Fixed-$s$ Mod-$29$ Twin-Gate Sieve

再加入 open-face square condition。

對：

$$
\delta
=
11,15,39,715
$$

在：

$$
\mathbb P^1(\mathbb F_{29})
$$

沒有任何 twin-gate local point。

因此：

$$
\boxed{
\delta
\in
\{
1,65,165,429
\}
}
$$

是唯一仍可支撐 hypothetical Perfect point 的 structural squareclasses。

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# 10. Fixed-$s$ Strong Local Fingerprints

### $\delta=1$

mod $43$：

$$
x=0
\text{ or }
\infty,
$$

所以：

$$
43\mid p
\text{ or }
43\mid q.
$$

### $\delta=65$

mod $53$：

$$
x=\pm1,
$$

所以：

$$
p\equiv\pm q\pmod{53}.
$$

### $\delta=165$

mod $43$：

$$
x=0
\text{ or }
\infty.
$$

### $\delta=429$

mod $53$：

$$
x=\pm1.
$$

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# 11. Height-Independent vs Bounded Information

P9 的：

$$
H\le10000
$$

no-hit只能排除有限 search domain。

P10 的 squareclass exclusions：

$$
\delta=2,17
$$

以及：

$$
3,5,13,33,55,143,195,2145,
$$

再加：

$$
11,15,39,715
$$

則是 local arithmetic obstruction。

因此它們作用於：

$$
\boxed{
\text{all rational heights}.
}
$$

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# 12. Open Quartic：Fixed-$r$

$$
225x^4-194x^2+225
=
225(x^2+1)^2-644x^2.
$$

而：

$$
644=4\cdot161.
$$

所以在：

$$
K_r=\mathbb Q(\sqrt{161})
$$

中：

$$
\boxed{
225x^4-194x^2+225
=
(15x^2+2\sqrt{161}\,x+15)
(15x^2-2\sqrt{161}\,x+15).
}
$$

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# 13. Open Quartic：Fixed-$s$

$$
784x^4-479x^2+784
=
784(x^2+1)^2-2047x^2.
$$

所以在：

$$
K_s=\mathbb Q(\sqrt{2047})
$$

中：

$$
\boxed{
784x^4-479x^2+784
=
(28x^2+\sqrt{2047}\,x+28)
(28x^2-\sqrt{2047}\,x+28).
}
$$

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# 14. Covering Collection Template

P9 curve：

$$
y_1^2=p_1(x),
$$

$$
y_2^2=p_2(x).
$$

P10 將：

$$
p_1=p_{1,+}p_{1,-},
$$

$$
p_2=p_{2,+}p_{2,-}.
$$

對 finite twist classes：

$$
\delta_1,
\delta_2
$$

建立：

$$
\delta_1u_+^2=p_{1,+}(x),
$$

$$
\delta_1u_-^2=p_{1,-}(x),
$$

$$
\delta_2v_+^2=p_{2,+}(x),
$$

$$
\delta_2v_-^2=p_{2,-}(x).
$$

然後取 genus-$1$ quotient：

$$
\boxed{
\delta_1\delta_2Y^2
=
p_{1,\pm}(x)p_{2,\pm}(x).
}
$$

並只接受：

$$
x\in\mathbb Q.
$$

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# 15. Fixed-$r$ Quadratics

$$
p_{1,+}=9x^2+25,
$$

$$
p_{1,-}=25x^2+9,
$$

$$
p_{2,+}=15x^2+2\sqrt{161}\,x+15,
$$

$$
p_{2,-}=15x^2-2\sqrt{161}\,x+15.
$$

structural：

$$
\delta_1\in\{1,34\}.
$$

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# 16. Fixed-$s$ Quadratics

$$
p_{1,+}=16x^2+49,
$$

$$
p_{1,-}=49x^2+16,
$$

$$
p_{2,+}=28x^2+\sqrt{2047}\,x+28,
$$

$$
p_{2,-}=28x^2-\sqrt{2047}\,x+28.
$$

structural Perfect-compatible classes：

$$
\delta_1
\in
\{1,65,165,429\}.
$$

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# 17. 為什麼 Elliptic Chabauty 適合

每個 quotient curve在：

$$
K_r
$$

或：

$$
K_s
$$

上是 genus-$1$ curve。

而我們真正要找的不是所有：

$$
K
$$

-rational points，

而是那些 first coordinate：

$$
x\in\mathbb Q.
$$

這正是 elliptic curve Chabauty 可處理的典型 restriction。

尤其本例 extension degree只有：

$$
[K:\mathbb Q]=2.
$$

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# 18. 與既有方法的吻合

文獻中處理 genus-$5$ curves、且其 Jacobians由 positive-rank elliptic curves構成時，classical Chabauty可能無法直接使用。

一條已實作過的路線是：

- quartic factorization；
- degree-$2$ unramified coverings；
- Selmer twist reduction；
- genus-$1$ quotient；
- quadratic-field elliptic curve Chabauty；
- base coordinate rationality condition。

P10 的 G2 fibers與此結構高度相符。

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# 19. Open Elliptic Factors

P9 open elliptic factors可改寫為 Pythagorean-associated plus curves。

fixed-$r$ 經平移與尺度化：

$$
\boxed{
Y^2=X(X+8^2)(X+15^2),
}
$$

且：

$$
8^2+15^2=17^2.
$$

fixed-$s$：

$$
\boxed{
Y^2=X(X+33^2)(X+56^2),
}
$$

且：

$$
33^2+56^2=65^2.
$$

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# 20. Root Number Diagnostic

對這個 plus-sign family，可使用 explicit root-number formula。

代入：

$$
(8,15)
$$

以及：

$$
(33,56)
$$

兩者都得到：

$$
\boxed{
W(E)=+1.
}
$$

這是 exact root-number diagnostic。

但 rank parity仍需 Parity Conjecture才可由：

$$
W(E)
$$

推出，所以 P10 不把它當 rank proof。

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# 21. Runtime Capability Boundary

目前可用 runtime 沒有：

- Sage；
- PARI/GP；
- mwrank；
- Magma。

因此 P10 本輪 exact執行的是：

- factorization；
- gcd/squareclass reduction；
- projective finite-field local sieve；
- explicit covering equations。

沒有執行：

- rigorous rank upper bounds；
- Selmer groups；
- Mordell-Weil basis；
- elliptic Chabauty。

bundle中的 Sage / Magma scripts是：

$$
\boxed{
\text{ready bridge, not executed evidence}.
}
$$

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# 22. Corrected Open-$s$ Expansion

$$
E_{\mathrm{open},s}:
Y^2
=
(X-479)(X^2-2458624)
$$

展開為：

$$
\boxed{
Y^2
=
X^3-479X^2-2458624X+1177680896.
}
$$

後續 CAS 必須使用這個 constant term。

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# 23. Effective Task Matrix

下一步只剩三種真正計算。

### Task A — Selmer

完成 structural / open $2$-isogeny Selmer sets，得到 finite twist set：

$$
S.
$$

### Task B — Mordell-Weil

對 surviving genus-$1$ quotient求：

- rank upper/lower bounds；
- finite-index generators。

### Task C — Elliptic Chabauty

對每個 surviving quotient求：

$$
\{x\in\mathbb Q:
(x,y)\in H_\delta(K)\}.
$$

再 lift回原 genus-$5$ curve exact verify。

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# 24. P10 的縮減量

fixed-$r$：

$$
\boxed{
4
\rightarrow
2
}
$$

structural squareclasses。

fixed-$s$：

$$
\boxed{
16
\rightarrow
8
\rightarrow
4
}
$$

Perfect-compatible squareclasses。

這不是 heuristic ranking，而是 exact cover elimination。

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# 25. P10 Claim Boundary

已證／已 exact 計算：

- structural quartic factorization；
- gcd bounds；
- squareclass candidate sets；
- mod-$3$、mod-$7$、mod-$29$ global local obstructions；
- surviving class congruence fingerprints；
- quadratic factor fields；
- covering templates。

尚未證：

- Selmer twist set完整；
- two G2 fibers rational points完整；
- two G2 fibers無 nondegenerate Perfect points；
- Perfect Cuboid不存在；
- full Jacobian ranks。

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# 26. 結論

P9：

$$
\text{genus }5
\Rightarrow
\text{finite rational points}.
$$

P10：

$$
\boxed{
\text{finite rational points}
\rightarrow
\text{finite arithmetic cover classes}
\rightarrow
\text{quadratic-field genus-1 problems}.
}
$$

也就是把：

$$
\text{ineffective finiteness}
$$

往：

$$
\text{effective classification}
$$

推進了一層。

對 fixed-$r$，全高度只剩：

$$
2
$$

個 structural squareclass channels。

對 fixed-$s$，全高度只剩：

$$
4
$$

個 Perfect-compatible structural channels。

而最終 covering fields只有 degree $2$。

因此下一步不應再增加 brute-force height。

真正該做的是：

$$
\boxed{
\text{Selmer}
\rightarrow
\text{Mordell-Weil}
\rightarrow
\text{Elliptic Chabauty}.
}
$$

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## 下一階段

**GERES P11 — Selmer Cover Completion and Elliptic-Chabauty Execution**

P11 的完成條件：

$$
\boxed{
\text{finite twist set certified}
}
$$

$$
\boxed{
\text{rank / finite-index MW subgroup certified}
}
$$

$$
\boxed{
\text{all rational base parameters }x\text{ returned}
}
$$

若這三關可以對任一 G2 fixed fiber全部完成，我們就能第一次把：

$$
H\le10000\text{ no-hit}
$$

提升成：

$$
\boxed{
\text{entire fiber rational-point classification}.
}
$$

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## References

- Enrique González-Jiménez and Xavier Xarles, *On a Conjecture of Rudin on Squares in Arithmetic Progressions*.
- Nils Bruin, elliptic curve Chabauty methods cited therein.
- Coombes–Grant, Flynn–Wetherell, Wetherell, covering-collection methods cited therein.