# FORC-P7：Frontier-Only Height-Bounded Enumeration and Coverage Bridge

版本：v0.1  
系列：FORC — Fraction-Ontological Ratio Calculus  
階段：P7  
性質：arithmetic-height completeness／P6 region bridge／exact indexed coupling／bounded nonexistence certificate

---

## 摘要

P6 已建立 finite-depth region completeness，但 Stern–Brocot depth 不等於 arithmetic height。

P7 第一次把這兩種完整性接起來。

定義 primitive Euclid fraction：

$$
t=\frac nm,
\qquad
0<n<m,
$$

$$
\gcd(m,n)=1,
$$

$$
m-n\equiv1\pmod2,
$$

以及 arithmetic height：

$$
\boxed{
H_E(t)=m^2+n^2.
}
$$

本輪取：

$$
\boxed{
H_{\max}=5000.
}
$$

共有：

$$
\boxed{
792
}
$$

個 admissible primitive fractions。

每個 fraction 有兩個 orientation，因此 local oriented joint states：

$$
\boxed{
1584.
}
$$

若四個 joints 都限制在此 local state set，完整 Cartesian state count 為：

$$
\boxed{
1584^4=6,295,362,011,136.
}
$$

P7 不逐點 materialize 這 6.295 兆 states，而是把每個 bounded fraction 唯一映射到 P6 depth-4 Stern–Brocot ownership path，再用 terminal-cell product mass做 exact accounting。

結果：

$$
\boxed{
5,638,520,631,149
}
$$

個 states 由 P6 `PRUNED` theorem ancestors覆蓋；

$$
\boxed{
656,841,379,987
}
$$

個 states 落入 P6 `FRONTIER`。

而：

$$
\boxed{
5,638,520,631,149+
656,841,379,987=
6,295,362,011,136.
}
$$

所以 bounded product domain沒有 coverage gap。

對 FRONTIER arithmetic possibility，P7 不展開 Cartesian product，而使用 exact ratio index：

$$
r_{ab}r_{bc}=r_{ac}.
$$

完整 indexed enumeration 得到：

$$
\boxed{
204
}
$$

個 ordered exact three-face couplings。

去除 axis permutations後：

$$
\boxed{
34
}
$$

個 unique Euler-brick edge worlds。

這 34 個 worlds 的：

$$
S=a^2+b^2+c^2
$$

全部有 small-prime quadratic-nonresidue witness：

- mod $7$：18 個；
- mod $17$：9 個；
- mod $19$：6 個；
- mod $23$：1 個。

因此全部無 integer body diagonal。

所以得到 bounded arithmetic certificate：

$$
\boxed{
\text{不存在三個 primitive face-joint Euclid heights 全部 }\le5000
\text{ 的 Perfect Cuboid。}
}
$$

body-joint height甚至不需要限制，因為 exact face worlds已先被 modular body obstruction封死。

這不是 global Perfect Cuboid nonexistence proof。

---

# 1. Primitive Euclid Domain

primitive seed：

$$
m>n>0,\qquad
\gcd(m,n)=1,\qquad
m\not\equiv n\pmod2.
$$

生成：

$$
m^2-n^2,\qquad
2mn,\qquad
m^2+n^2.
$$

---

# 2. Height

$$
\boxed{
H_E=m^2+n^2.
}
$$

它直接是 primitive face hypotenuse，不是 digit length。

---

# 3. Full Finite State Space

$H_E\le5000$：

$$
N=792.
$$

orientation加倍：

$$
J=1584.
$$

四 joints：

$$
\boxed{
J^4=6,295,362,011,136.
}
$$

---

# 4. Unique Point Ownership

P7 對 P6 共享 mediant boundary加入 canonical tie-break：

$$
t\le M\Rightarrow\text{left},
$$

$$
t>M\Rightarrow\text{right}.
$$

因此每個 bounded fraction都有唯一 depth-4 owner path。

---

# 5. Tie-Break 不改 Soundness

P6 interval theorem使用 closed over-approx。

P7 只是在 boundary points中選 canonical owner，因此 whole-cell exclusion仍保持 sound。

---

# 6. Terminal-Cell Product Mass

對 terminal cell：

$$
C=(p_1,p_2,p_3,p_4,\sigma)
$$

定義 bounded arithmetic mass：

$$
\boxed{
M(C)=N(p_1)N(p_2)N(p_3)N(p_4).
}
$$

不需列出 cell內所有 tuples。

---

# 7. P6-Pruned Bounded Mass

$$
\boxed{
5,638,520,631,149
}
$$

即：

$$
\boxed{
89.566265152\%.
}
$$

---

# 8. P6-Frontier Bounded Mass

$$
\boxed{
656,841,379,987
}
$$

即：

$$
\boxed{
10.433734848\%.
}
$$

---

# 9. Exact Coverage Equality

$$
M_{\mathrm{PRUNED}}+
M_{\mathrm{FRONTIER}}
=
M_{\mathrm{ALL}}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{BOUNDED\ STATE\ COVERAGE\ COMPLETE}.
}
$$

---

# 10. 為什麼 FRONTIER 仍不能逐點展開

FRONTIER bounded states仍有：

$$
656,841,379,987.
$$

因此 P7 使用 indexed arithmetic closure，而不是 Cartesian materialization。

---

# 11. Exact Face Ratio Index

每個 local joint保存：

$$
r=\frac{\mathrm{first}}{\mathrm{second}}.
$$

exact coupling：

$$
r_{ab}r_{bc}=r_{ac}.
$$

對每個：

$$
(r_{ab},r_{ac})
$$

lookup：

$$
\boxed{
r_{bc}=\frac{r_{ac}}{r_{ab}}.
}
$$

---

# 12. Indexed Result

oriented exact face triples：

$$
\boxed{
204.
}
$$

---

# 13. Axis-Symmetry Quotient

將 edge triple排序後只剩：

$$
\boxed{
34
}
$$

個 distinct Euler-brick edge worlds。

因此 204 是 labelled/oriented representation count，不是 204 個不同幾何形狀。

---

# 14. Body Modular Gate

對每個 unique Euler world：

$$
S=a^2+b^2+c^2.
$$

若存在 prime：

$$
p
$$

使：

$$
S\bmod p
$$

不是 quadratic residue，就不可能有 integer：

$$
g^2=S.
$$

---

# 15. Witness Distribution

34 worlds：

$$
18
$$

個首先被 mod $7$ 排除；

$$
9
$$

個首先被 mod $17$ 排除；

$$
6
$$

個首先被 mod $19$ 排除；

$$
1
$$

個首先被 mod $23$ 排除。

總計：

$$
18+9+6+1=34.
$$

---

# 16. QR Survivors

$$
\boxed{
0.
}
$$

因此本高度範圍不需要進 root-lattice refinement。

---

# 17. Body Height 不需限制

body modular obstruction只依賴 exact edge world：

$$
(a,b,c).
$$

所以 once face world被 nonresidue witness封死，任何 body rational seed高度都無法救回。

---

# 18. Stronger Bounded Statement

因此 P7 的結論是：

$$
\boxed{
H_E(t_{ab}),H_E(t_{ac}),H_E(t_{bc})\le5000
\Longrightarrow
\text{no Perfect Cuboid}.
}
$$

而不要求：

$$
H_E(t_g)\le5000.
$$

---

# 19. Bounded Body-Joint Lookup

如果仍把 body seed也限制在同一 local set，exact body-joint ratio hits：

$$
\boxed{
0.
}
$$

---

# 20. 為什麼這叫 Completeness Certificate

不是「搜尋很多但沒找到」。

而是：

1. admissible primitive fractions完整生成；
2. orientation完整；
3. finite product cardinality exact；
4. 每個 bounded state由 P6 terminal cell唯一 accounting；
5. PRUNED ancestor不必生成 descendants；
6. 所有 exact face couplings由 ratio index完整列出；
7. 每個 unique exact face world都有 body impossibility witness。

---

# 21. Claim Scope

本輪證明的是 bounded computational statement：

$$
\boxed{
\text{No Perfect Cuboid with all three primitive face Euclid heights }\le5000.
}
$$

不是：

$$
\boxed{
\text{No Perfect Cuboid globally}.
}
$$

---

# 22. Artifacts

`fraction_ownership_depth4.csv`

保存全部 792 fractions 與唯一 owner path。

`coverage_bridge_certificate.json`

保存 bounded mass accounting。

`exact_face_worlds_H5000.csv`

保存 34 unique Euler worlds 與 modular witnesses。

`height_bounded_manifest.json`

固定 arithmetic domain 與 claim scope。

---

# 23. P7 核心結果

### P7-R1
正式建立 primitive Euclid height domain。

### P7-R2
$H_E\le5000$ 有 792 個 admissible fractions。

### P7-R3
四-joint finite state cardinality：
$$
6,295,362,011,136.
$$

### P7-R4
point-to-P6-cell unique ownership完成。

### P7-R5
P6-pruned bounded mass：
$$
5,638,520,631,149.
$$

### P7-R6
P6-frontier bounded mass：
$$
656,841,379,987.
$$

### P7-R7
bounded coverage equality PASS。

### P7-R8
exact indexed face triples：204。

### P7-R9
unique Euler worlds：34。

### P7-R10
34/34 body-modular rejected。

### P7-R11
bounded body-joint exact hits：0。

### P7-R12
bounded face-height nonexistence certificate成立。

---

# 24. 下一階段

**FORC-P8 — Incremental Height Ladder and Local Long-Run Bounded-Proof Package**

下一步不重算 $0\rightarrow H$ 全域。

建立：

$$
5000\rightarrow10000\rightarrow20000\rightarrow\cdots
$$

的增量 ladder：

1. 只加入新 primitive fractions；
2. 更新 owner-path counts；
3. 更新 exact ratio index；
4. 只生成至少含一個新 joint 的 face couplings；
5. body modular gate；
6. modular survivor才進 root lattice；
7. 每個 height checkpoint輸出獨立 certificate；
8. 支援 checkpoint/resume。

這樣本地端才能把 bounded theorem逐級往更大 arithmetic height推進。