> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。 # Phase 1J — $2$-進賦值下的 $g=p^2q$ 七態系統之商 ## 結果 從 Phase 1I 的商出發： $$ 105 \text{ 條原始關係} \rightarrow 57 \text{ 個共軛軌道}, $$ 七個整數偶數股狀態的精確 $2$-進賦值結構，另外排除了 $$ \boxed{20} $$ 個先前存活的軌道。 結合 P1I 的 15 項不破壞證明可靠性的排除： $$ \boxed{ 57 \rightarrow 22 } $$ 個商軌道仍存活。 以原先的 105 條關係來看： $$ \boxed{ 105 \rightarrow 44 } $$ 條原始關係仍存活。 此歸約未使用任何曲線理論。 --- ## 1. 整數偶數股狀態 令 $$ p=m^2+n^2, \qquad q=u^2+v^2, $$ 其中每對皆為本原且奇偶性相反。 寫成 $$ \Delta_p=n^2-m^2, \qquad \Delta_q=v^2-u^2. $$ 兩者皆為奇數。 對於 $$ g=p^2q, $$ 七個實際整數偶數股狀態可寫為 $$ A_g=2mnpq, $$ $$ B_g=4mn\Delta_p q, $$ $$ C_g=2uvp^2, $$ $$ D_g=2p\left(mn\Delta_q+uv\Delta_p\right), $$ $$ E_g=2p\left(mn\Delta_q-uv\Delta_p\right), $$ 以及 $$ F_g= 2\left( 2mn\Delta_p\Delta_q + uvC_p \right), $$ $$ G_g= 2\left( 2mn\Delta_p\Delta_q - uvC_p \right), $$ 其中 $$ C_p=n^4-6m^2n^2+m^4 $$ 是奇數。 定義 $$ a=v_2(mn)\ge1, $$ $$ b=v_2(uv)\ge1. $$ 則 $$ v_2(A_g)=a+1, $$ $$ v_2(B_g)=a+2, $$ $$ v_2(C_g)=b+1. $$ --- ## 2. $D/E$ 消去配對 在 $D_g,E_g$ 內，兩個加數具有賦值 $a$ 與 $b$。 若 $$ ab, $$ 則 $$ v_2(D_g)=v_2(E_g)=b+1. $$ 若 $$ a=b, $$ 將兩個約化後的加數寫為奇整數 $X,Y$。 則以下兩者之一 $$ X+Y, \qquad X-Y $$ 具有 $2$-進賦值且恰為 $1$，而另一個的賦值至少為 $2$。 因此，無序配對為 $$ \boxed{ \left\{ v_2(D_g), v_2(E_g) \right\} = \left\{ a+2,\ \ge a+3 \right\}. } $$ --- ## 3. $F/G$ 消去配對 在 $F_g,G_g$ 內，外部因子 $2$ 之前的兩個加數具有以下賦值 $$ a+1 $$ 與 $$ b. $$ 因此： 若 $$ a+1b, $$ 則 $$ v_2(F_g)=v_2(G_g)=b+1. $$ 當 $$ b=a+1, $$ 同一個奇數和／奇數差引理給出 $$ \boxed{ \left\{ v_2(F_g), v_2(G_g) \right\} = \left\{ a+3,\ \ge a+4 \right\}. } $$ 因此，整個七態賦值模式只依賴以下差值的相對類 $$ b-a $$ 以及兩個消去配對的方向。 --- ## 4. 內部畢氏三元組的必要賦值模式 假設 $$ x^2+y^2=z^2. $$ 令 $$ r=v_2(x), \qquad s=v_2(y), $$ 並假設 $$ r\le s. $$ 若 $$ r=s, $$ 則除去共同的 $2$ 冪次後，兩股皆為奇數，且 $$ x_0^2+y_0^2\equiv2\pmod4, $$ 這不可能是平方數。 因此 $$ r