> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# Phase 1I — $g=p^2q$：七態閉合系統的商

## 狀態

第一個存活的共同斜邊因數分解類型為

$$
g=p^2q,
\qquad
p\ne q,
\qquad
p,q\equiv1\pmod4.
$$

其表示重數為

$$
R(g)=7.
$$

寫成

$$
t=\tan\theta=\frac mn,
\qquad
s=\tan\phi=\frac uv,
$$

作為 $p$ 與 $q$ 的本原 Gaussian 斜率。

定義

$$
\alpha=2\theta,
\qquad
\beta=2\phi.
$$

七個正規化的偶數股狀態為

$$
A=\sin\alpha,
$$

$$
B=\sin2\alpha,
$$

$$
C=\sin\beta,
$$

$$
D=\sin(\alpha+\beta),
$$

$$
E=\sin(\alpha-\beta),
$$

$$
F=\sin(2\alpha+\beta),
$$

$$
G=\sin(2\alpha-\beta),
$$

平方之後，絕對值不影響結果。

完美長方體要求三個相異狀態之間具有內部畢氏關係

$$
X_i^2+X_j^2=X_k^2
$$

。

共有

$$
\binom72\cdot5=105
$$

條指定斜邊的原始有序關係。

---

## 1. 共軛取商

變換

$$
\beta\mapsto-\beta
$$

保持底層共同斜邊狀態，並以下列方式作用

$$
D\leftrightarrow E,
\qquad
F\leftrightarrow G,
$$

而

$$
A,\ B,\ C
$$

平方之後維持不變。

對 105 條關係依此對合取商後，留下恰好

$$
\boxed{57}
$$

個關係軌道。

這是 $p^2q$ 七態系統的第一次精確壓縮。

---

## 2. 質數範數障礙 I

一個反覆出現的因子為

$$
2st+t^2-1=0.
$$

它給出

$$
s=\frac{1-t^2}{2t}.
$$

代入

$$
t=\frac mn
$$

並取既約形式，得到

$$
s=
\frac{n^2-m^2}{2mn}.
$$

對本原且奇偶性相反的 $m,n$，

$$
\gcd(n^2-m^2,2mn)=1.
$$

因此，$s$ 的既約 Gaussian 配對會具有範數

$$
(n^2-m^2)^2+(2mn)^2
=
(m^2+n^2)^2
=
p^2.
$$

但該範數必須是相異質數 $q$。

矛盾。

所以

$$
\boxed{
2st+t^2-1\ne0
}
$$

在整個可容許的 $p^2q$ 質數斜率域中成立。

---

## 3. 質數範數障礙 II

另一個反覆出現的因子為

$$
st^2-2st-s-t^2-2t+1=0.
$$

解出 $s$ 得到

$$
s=
\frac{1-2t-t^2}{1+2t-t^2}.
$$

代入 $t=m/n$ 後，相應的既約分子—分母對，在允許符號與順序變換下為，

$$
n^2-2mn-m^2,
\qquad
n^2+2mn-m^2.
$$

它們的平方範數為

$$
(n^2-2mn-m^2)^2
+
(n^2+2mn-m^2)^2
=
2(m^2+n^2)^2
=
2p^2.
$$

因此，第二個 Gaussian 範數會是

$$
q=2p^2,
$$

這對奇質數不可能成立。

因此，此因子也在全域上被排除。

---

## 4. 其他繼承的不破壞證明可靠性的排除

此商也繼承先前的混合質數障礙：

- 符號：
  $$
  D^2-E^2=\sin(2\alpha)\sin(2\beta)>0;
  $$
- 由以下關係生成的奇偶矛盾
  $$
  st+s+t=1;
  $$
- 以下雙二次配對的 $2$-進障礙
  $$
  D^2+E^2=A^2
  $$
  以及
  $$
  D^2+E^2=C^2;
  $$
- 邊界因子，例如
  $$
  t=1,\ s=1,\ st=1;
  $$
- $s=t$，這會迫使兩個既約本原 Gaussian 斜率相同，從而使範數質數相同；
- 無理的單變數根，例如
  $$
  t^2+2t-1=0.
  $$

只套用這些不破壞證明可靠性的規則，即排除了

$$
\boxed{15}
$$

個軌道，出自 57 個商軌道。

由於多數非不動軌道的大小為二，這對應於

$$
\boxed{27}
$$

條關係，出自原先的 105 條原始關係。

---

## 5. 目前的精確前沿

因此，存活系統具有

$$
\boxed{42}
$$

個商軌道，代表

$$
\boxed{78}
$$

條原始關係。

並未主張這 42 個軌道確實可解。

它們只是尚未被目前不破壞證明可靠性的初等閘門移除的關係。

全部 57 個軌道代表元的完整精確因式分解，儲存在隨附的 JSON／CSV 檔案中。

---

## 6. 下一次歸約

下一個有用步驟不是提高質數掃描界限。

對 42 個存活軌道：

1. 依多項式對稱性與總次數分組；
2. 在本原且奇偶性相反的斜率約束下，測試精確局部可解性；
3. 推導七個實際整數偶數股的 $2$-進賦值簽章；
4. 辨識與必要的內部畢氏賦值模式不相容的關係；
5. 只對最終剩餘曲線作雙有理歸約。

眼前目標是在使用任何橢圓或更高虧格工具之前，縮減這個 42 軌道系統。