> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# Phase 1G — 第一個存活的對角線類型：$g=p^2q$

**狀態：** 精確有界掃描 + 完整七態符號映射  
**質數界限：** $p,q\le 20,000$, $p\ne q$, $p\equiv q\equiv1\pmod4$

## 為何這是下一個前沿

固定 $g$ 框架獨立重新推導了經典限制：本原完美長方體的體對角線既非質數冪，也非兩個質數的乘積。

因此，依表示重數，第一個存活的因數分解類型為

$$
g=p^2q
$$

或交換質數標籤後，

$$
g=pq^2.
$$

對於

$$
g=p^2q,
$$

非平凡畢氏表示的數量為

$$
R(g)
=
\frac12
\left(
(2\cdot2+1)(2\cdot1+1)-1
\right)
=
7.
$$

## 七個精確 Gaussian 狀態

寫成

$$
p=r^2+s^2,
\qquad
q=u^2+v^2,
$$

並定義

$$
\phi=2\arg(r+is),
\qquad
\psi=2\arg(u+iv).
$$

七個偶數股狀態以以下角度格點表示

$$
(1,0),
(2,0),
(0,1),
(1,1),
(1,-1),
(2,1),
(2,-1),
$$

對應於

$$
\phi,\ 2\phi,\ \psi,\ \phi+\psi,\ \phi-\psi,\ 2\phi+\psi,\ 2\phi-\psi.
$$

此實作直接以 Gaussian 整數乘法生成這七個狀態，不搜尋 $g$ 以下的整數。

對滿足以下條件的每個小型測試案例，與窮盡的固定 $g$ 股枚舉直接比較

$$
g\le120{,}000
$$

得到：

**Gaussian 七態公式驗證：PASS**

## 有界精確掃描

- 界限以內的 $1\pmod4$ 質數：**1,125**
- 有序且相異的 $(p,q)$ 狀態：**1,264,500**
- 七個偶數股內找到的精確內部畢氏三元組：**0**
- 精確近似命中，即兩個七態股形成畢氏配對，但所得斜邊不是另一個狀態：**21**
- 有界狀態掃描的執行時間：**9.777 s**

在此有界質數範圍內，沒有找到 $p^2q$ 七態內部閉合。

這僅是探索性證據，**不是**全域排除。

## 符號歸約

令

$$
a=\tan\phi,
\qquad
b=\tan\psi.
$$

由於兩個基礎質數表示皆為有理數，

$$
a,b\in\mathbb Q
$$

且

$$
1+a^2,\quad1+b^2
$$

皆為有理數的平方。

將全部正規化的偶數股平方值乘以以下共同正分母

$$
(1+a^2)^2(1+b^2),
$$

後，七個狀態變為

$$
T_1=a^2(1+a^2)(1+b^2),
$$

$$
T_2=4a^2(1+b^2),
$$

$$
T_3=b^2(1+a^2)^2,
$$

$$
T_4=(a+b)^2(1+a^2),
$$

$$
T_5=(a-b)^2(1+a^2),
$$

$$
T_6=(2a+b(1-a^2))^2,
$$

$$
T_7=(2a-b(1-a^2))^2.
$$

每個可能的內部畢氏閉合，都是以下精確方程式之一

$$
T_i+T_j=T_k
$$

其中索引相異。

共有

$$
105
$$

條有序關係。

全部 105 條皆已精確展開及因式分解。它們的總次數為：

{'4': 39, '6': 66}

完整因子映射儲存在 `phase1g_p2q_factor_map.csv` 中。

## 下一個結構任務

此問題現在已從原本的七個長方體長度，歸約為滿足以下兩個二次曲線條件的有限族二變數有理方程式

$$
1+a^2\in\mathbb Q^2,
$$

$$
1+b^2\in\mathbb Q^2.
$$

下一個目標，是對 105 條關係依角度對稱性取商

$$
b\mapsto-b
$$

以及表示退化情況取商，再辨識其餘哪些代數曲線可由整除性、同餘或有理點論證排除。