> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# Phase 1D — 本原共同斜邊閘門與至 5,000,000 的認證搜尋

**實驗：** `PCGC-P1D-PRIMITIVE-GATE-5M`  
**精確界限：** $g\le 5{,}000{,}000$  
**算術：** 僅使用整數接受與驗證  
**完美長方體命中：** **0**

## 定理閘門 A — 本原 $g$ 只有 $1\pmod4$ 質因數

令 $x$ 為任意長方體邊。若所有完美長方體條件成立，則

$$
x^2+D_x^2=g^2
$$

其中 $D_x$ 是整數面對角線。

假設奇質數

$$
p\equiv3\pmod4
$$

整除 $g$。則

$$
x^2+D_x^2\equiv0\pmod p.
$$

由於 $-1$ 不是模這類質數的二次剩餘，這迫使

$$
p\mid x
$$

以及

$$
p\mid D_x.
$$

同樣的論證適用於三條長方體邊，因此 $p$ 整除
$a,b,c$，與本原性矛盾。

若 $2\mid g$，則

$$
x^2+D_x^2\equiv0\pmod4
$$

在每個通道中迫使 $x$ 與 $D_x$ 皆為偶數，再次迫使全部三條
邊皆為偶數。

因此，任何本原完美長方體都必須滿足

$$
\boxed{
g=\prod_i p_i^{e_i},
\qquad
p_i\equiv1\pmod4.
}
$$

## 定理閘門 B — 三個表示是必要的

定義

$$
L(g)=
\left\{
x>0:
g^2-x^2\text{ 是整數平方}
\right\}.
$$

完美長方體等價於選取

$$
a,b,c\in L(g)
$$

使得

$$
a^2+b^2+c^2=g^2.
$$

任意兩條選定的長方體邊，都不能是同一個
斜邊為 $g$ 的直角三角形的互補兩股，否則第三條邊就必須
為零。

因此，至少需要 $g^2$ 的三個相異畢氏表示，
等價地

$$
|L(g)|\ge6.
$$

對於

$$
g=\prod_{p\equiv1\pmod4}p^{e_p},
$$

這等價於

$$
\frac12
\left(
\prod_p(2e_p+1)-1
\right)
\ge3.
$$

## 定理閘門 C — 本原邊的奇偶性

對每對長方體邊，其平方和都必須為平方數。
模 $4$ 的平方數顯示，任意兩條邊不能同為奇數。

本原解不可能三條邊皆為偶數，因此恰有
一條邊為奇數。

現在將奇數邊與任一偶數邊配對。模 $8$，若該偶數邊
同餘於 $2\pmod4$，則

$$
1+4\equiv5\pmod8,
$$

這不是模 $8$ 的平方剩餘。

因此，兩條偶數邊都必須被 $4$ 整除：

$$
\boxed{
\text{本原邊的奇偶性}
=
(\text{奇數},\,0\pmod4,\,0\pmod4)
}
$$

允許置換。

## 精確計算

此實作利用 Euclid 定理，生成斜邊不超過
搜尋界限的每個本原畢氏三元組，將每個
三元組縮放至所有可容許共同斜邊，並只保留
通過閘門 A 的本原 $g$ 候選。

對每個存活的 $g$，它建構完整的有限集合 $L(g)$，並搜尋
所有候選配對，尋找滿足球面
方程式的整數第三條邊。

統計：

- 通過質數支撐閘門的本原 $g$ 值：**416,096**
- 至少有一個畢氏表示的存活 $g$ 值：**416,095**
- 至少有三個表示的 $g$ 值：**241,741**
- 枚舉的本原三元組：**795,763**
- 儲存的股插入次數：**3,961,992**
- 精確候選配對檢查：**24,813,268**
- 精確雙通道球面近似命中：**7,817**
- 完美長方體命中：**0**

## 受測範圍內的認證結果

沒有找到滿足以下範圍的精確完美長方體

$$
g\le5{,}000{,}000.
$$

由於搜尋在此範圍內對共同斜邊變數是
窮盡的，且以上所有剪枝閘門都是必要條件，因此
可將結果記錄為以下有界敘述

$$
\boxed{
\text{不存在本原完美長方體滿足 }
g\le5{,}000{,}000.
}
$$

這只是一項有限範圍排除，**不是**全域不存在性
證明。

## 保留的最小雙通道近似命中

- $(104,153,672;697)$, $R(g)=4$, 股成員資格 = $(0,1,1)$
- $(117,520,756;925)$, $R(g)=7$, 股成員資格 = $(0,1,1)$
- $(448,495,840;1073)$, $R(g)=4$, 股成員資格 = $(1,1,0)$
- $(264,495,952;1105)$, $R(g)=13$, 股成員資格 = $(1,0,1)$
- $(264,448,975;1105)$, $R(g)=13$, 股成員資格 = $(1,0,1)$
- $(333,644,2040;2165)$, $R(g)=4$, 股成員資格 = $(0,1,1)$
- $(1092,1540,1881;2665)$, $R(g)=13$, 股成員資格 = $(1,1,0)$
- $(1680,1925,2052;3277)$, $R(g)=4$, 股成員資格 = $(0,1,1)$
- $(533,756,3360;3485)$, $R(g)=13$, 股成員資格 = $(1,0,1)$
- $(520,765,3360;3485)$, $R(g)=13$, 股成員資格 = $(0,1,1)$

## 目前的計算瓶頸

經過本原 $g$ 閘門之後，昂貴的部分不再是盲目生成
整數值，而是各有限集合內的子集同步問題：
$L(g)$。

在目前界限以下遇到的最大狀態為

$$
g=1185665,
$$

其中

$$
|L(g)|=242
$$

或

$$
R(g)=121
$$

個相異無序畢氏表示。

這提示下一步最佳化應針對內部結構，
也就是 $L(g)$ 與三股和條件，而非原始整數枚舉。

## 下一個問題

下一個有用步驟，是在完整配對搜尋之前，對 $L(g)$ 內的候選三元組
依模簽章與共享核心簽章分類。

主要目標是不破壞證明可靠性的同步不變量，能夠一次排除
$L(g)$ 的整個子集。