> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# Phase 1C — 固定斜邊的全域同步

**實驗：** `PCGC-P1C-GSYNC-300K`  
**界限：** $g\le 300,000$  
**算術：** 精確整數算術  
**完美長方體命中：** **0**

## 等價的固定 $g$ 表述

定義

$$
L(g)=\left\{x\in\mathbb Z_{>0}:g^2-x^2\in\mathbb Z^2\right\}.
$$

因此，$x\in L(g)$ 若且唯若 $x$ 可作為斜邊為 $g$ 的整數直角三角形的一股。

邊為 $(a,b,c)$、空間對角線為 $g$ 的完美長方體滿足

$$
a^2+b^2+c^2=g^2,
$$

以及

$$
g^2-a^2=b^2+c^2,
$$

$$
g^2-b^2=a^2+c^2,
$$

$$
g^2-c^2=a^2+b^2.
$$

因此

$$
\text{完美長方體}
\iff
a,b,c\in L(g)
\quad\text{且}\quad
a^2+b^2+c^2=g^2.
$$

這是精確的重新表述。它將問題轉換為同一個共同斜邊狀態內的三股閉合問題。

## 表示數量閘門

令

$$
g=2^\alpha
\prod_{p\equiv1\pmod4}p^{e_p}
\prod_{q\equiv3\pmod4}q^{f_q}.
$$

以下無序正表示的數量

$$
x^2+y^2=g^2
$$

為

$$
R(g)=\frac12
\left(
\prod_{p\equiv1\pmod4}(2e_p+1)-1
\right).
$$

生成的股集合滿足

$$
|L(g)|=2R(g).
$$

以獨立枚舉與此因數分解公式比較：

**PASS**

非退化的完美長方體需要三條作為股的邊，且其中不得含互補對，因此至少需要三個相異的畢氏表示：

$$
R(g)\ge3.
$$

所以，一道必要閘門為

$$
\prod_{p\equiv1\pmod4}(2e_p+1)\ge7.
$$

這表示，共同空間對角線必須帶有足夠的 $1\pmod4$ 質數結構，完美長方體才可能符合資格。

## 掃描至目前界限的精確搜尋結果

- 至少有一個畢氏表示的 $g$ 值：**211,898**
- $g$ 值且滿足 $R(g)\ge3$：**70,482**
- 固定 $g$ 的候選配對檢查：**2,776,968**
- 完美長方體命中：**0**
- 精確的雙通道球面近似命中：**3,508**

沒有找到滿足以下範圍的完美長方體

$$
g\le 300,000.
$$

由於固定 $g$ 表述在此界限內是窮盡的，且股生成器已與獨立的表示數量公式交叉檢查，所以在所述的精確實作下，這是**此 $g$ 範圍的認證排除**。

## 最小的符合資格之共同斜邊

- $g=65$: $R(g)=4$, $L(g)=[16, 25, 33, 39, 52, 56, 60, 63]$
- $g=85$: $R(g)=4$, $L(g)=[13, 36, 40, 51, 68, 75, 77, 84]$
- $g=125$: $R(g)=3$, $L(g)=[35, 44, 75, 100, 117, 120]$
- $g=130$: $R(g)=4$, $L(g)=[32, 50, 66, 78, 104, 112, 120, 126]$
- $g=145$: $R(g)=4$, $L(g)=[17, 24, 87, 100, 105, 116, 143, 144]$
- $g=170$: $R(g)=4$, $L(g)=[26, 72, 80, 102, 136, 150, 154, 168]$
- $g=185$: $R(g)=4$, $L(g)=[57, 60, 104, 111, 148, 153, 175, 176]$
- $g=195$: $R(g)=4$, $L(g)=[48, 75, 99, 117, 156, 168, 180, 189]$
- $g=205$: $R(g)=4$, $L(g)=[45, 84, 123, 133, 156, 164, 187, 200]$
- $g=221$: $R(g)=4$, $L(g)=[21, 85, 104, 140, 171, 195, 204, 220]$

## 最小的精確雙通道近似命中

- $(104,153,672;697)$, $R(g)=4$
- $(117,520,756;925)$, $R(g)=7$
- $(448,495,840;1073)$, $R(g)=4$
- $(264,448,975;1105)$, $R(g)=13$
- $(264,495,952;1105)$, $R(g)=13$
- $(208,306,1344;1394)$, $R(g)=4$
- $(234,1040,1512;1850)$, $R(g)=7$
- $(312,459,2016;2091)$, $R(g)=4$
- $(896,990,1680;2146)$, $R(g)=4$
- $(333,644,2040;2165)$, $R(g)=4$

這些近似命中精確滿足空間對角線球面方程式，且恰有兩個邊值位於 $L(g)$ 中。第三條邊未通過共同斜邊股測試，因此恰有一個面仍未閉合。

## 結構上的推論

搜尋問題現在已從七個耦合的未知整數轉變為：

1. 選擇通過表示數量閘門的共同 $g$；
2. 生成有限的精確集合 $L(g)$；
3. 搜尋平方和為 $g^2$ 的三元素子集；
4. 排除互補對退化；
5. 約化為本原形式並標準化。

這既是精確的，也以共享空間對角線為中心全域同步。