> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體全域閉合 — Phase 1 基線

## 實驗

**識別碼：** `PCGC-P1-RS60`  
**方法：** 精確的有理球面掃描  
**參數界限：** 分母至多為 `60` 的既約球極投影參數  
**算術：** 僅使用精確整數／有理數算術  
**獨立驗證：** PASS

## 搜尋域

對既約有理參數 $u,v$，滿足 $0<u\le v<1$ 且 $u^2+v^2<1$，生成

$$
x=\frac{2u}{1+u^2+v^2},
$$

$$
y=\frac{2v}{1+u^2+v^2},
$$

$$
z=\frac{1-u^2-v^2}{1+u^2+v^2}.
$$

接著將 $(x,y,z)$ 排序，並約去共同尺度，得到標準的本原整數四元組

$$
(a,b,c,g)
$$

且滿足

$$
a^2+b^2+c^2=g^2.
$$

其餘精確的完美長方體條件，是以下各項是否

$$
a^2+b^2,\qquad a^2+c^2,\qquad b^2+c^2
$$

皆為整數平方。

## 基線結果

- 既約參數分數：**1,101**
- 形狀去重前的可容許有序參數對：**479,086**
- 移除的重複形狀：**321**
- 唯一的標準有理球面形狀：**478,765**
- 恰有 0 個面平方閉合：**475,302**
- 恰有 1 個面平方閉合：**3,462**
- 恰有 2 個面平方閉合：**1**
- 恰有 3 個面平方閉合：**0**

在此有界參數域中，沒有找到完美長方體。這**不是**不存在性結果。

## 首個關鍵平方缺陷樣本

此次掃描中唯一的雙面閉合為

$$
(a,b,c;g)=(448,495,840;1073).
$$

它滿足

$$
448^2+840^2=952^2,
$$

$$
495^2+840^2=975^2,
$$

以及

$$
448^2+495^2+840^2=1073^2.
$$

唯一缺少的面為

$$
448^2+495^2=445729.
$$

利用全域恆等式，

$$
a^2+b^2=g^2-c^2=(g-c)(g+c),
$$

我們得到

$$
445729=(1073-840)(1073+840)=233\cdot1913.
$$

因此，缺少的面平方條件，由以下存活的奇質數奇偶性缺陷精確表示

$$
\{233,1913\}.
$$

其他兩個面條件的平方缺陷為零。

## 結構上的推論

對任意精確的有理數／整數球面狀態，

$$
a^2+b^2=g^2-c^2,
$$

$$
a^2+c^2=g^2-b^2,
$$

$$
b^2+c^2=g^2-a^2.
$$

因此，三個面平方要求可視為以下乘積的奇偶閉合來研究

$$
(g-c)(g+c),\qquad
(g-b)(g+b),\qquad
(g-a)(g+a).
$$

這給出一個精確的平方缺陷表示，不依賴與平方數之間的浮點距離。

## 驗證

此掃描實作了兩次：

1. 純整數的球極投影引擎；
2. 獨立且以 `Fraction` 為基礎的有理數引擎。

兩者產生完全相同的 **478,765** 個標準形狀集合、相同的閉合計數分布，以及相同的雙面樣本。

**雙引擎驗證：** PASS

## 下一道閘門

Phase 1B 應將精確狀態表示，從 `face-square PASS/FAIL`（面平方通過／未通過）擴充為以下三個因子各自的質數奇偶性平方缺陷簽章

$$
(g-a)(g+a),\quad
(g-b)(g+b),\quad
(g-c)(g+c),
$$

再跨質數／進位制通道比較這些簽章。

下一個目標不只是提高分母界限，而是確定缺陷奇偶性是否呈現反覆出現的全域結構，能用作約束算子或不破壞證明可靠性的障礙。