# 進位制是觀察算子：Radix–Carry Global Closure

## Radix as an Observation Operator: A Global Closure Theory of Digits, Carries, and Cross-Base Structure

**系列：完美長方體的全域閉合理論（Global Closure Theory of the Perfect Cuboid）**  
**篇次：04 / 08**  
**狀態：研究前導稿 / Phase 0 — Conceptual Closure**  
**日期：2026-09-28**

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## 摘要

前一篇將 Perfect Cuboid 的共同初態與約束誘導分化形式化，並把研究流程拆成連續幾何生成、尺度商空間、算術導引與精確有理閉合。本文進一步引入進位制作為觀察算子。

核心觀點是：數值本身與其表示並不相同。對同一個底層數值

$$
x\in\mathbb R,
$$

選擇不同 radix

$$
B\ge2
$$

會得到不同 digit expansion、carry propagation、有限表示性、局部 congruence structure 與 lifting tree。Perfect Cuboid 的四個二次約束因此可以從單一整體方程，重新展開為一組跨位階同步的局部閉合規則。

本文定義 radix observation operator

$$
\mathcal O_B,
$$

將底層數值狀態投影為 base-$B$ 表示；再將平方運算表示為 digit convolution 與 carry recursion。若

$$
x=\sum_{k\in\mathbb Z}x_kB^k,
$$

則平方項在第 $n$ 位的原始卷積係數為

$$
\sum_{i+j=n}x_ix_j,
$$

而真正的 base-$B$ digit 必須與前後 carry 共同決定。於是：

$$
a^2+b^2=d^2
$$

不再只是一個全域整數等式，而是一條在所有位階上同步成立的 carry constraint。Perfect Cuboid 的四條方程則形成共享

$$
a,b,c
$$

digit streams 的全域耦合網路。

本文同時區分有限 radix 表示、無限循環有理表示與無理表示。對整數 base

$$
B,
$$

一個有理數具有有限 base-$B$ 展開，當且僅當其最簡分母的所有質因數都整除

$$
B.
$$

因此有限小數不是數值本身的絕對性質，而是數值與 radix 之間的關係。這一點使「改變進位制」成為一個有意義的算術觀察操作，而非單純記號替換。

本文進一步建立

$$
\bmod B^n
$$

closure tree、cross-base compatibility、prime-factor decomposition、carry-state graph 與 radix-invariant / radix-dependent feature 的區分。本文不宣稱任一進位制會直接證明 Perfect Cuboid 存在；其目的，是建立一個可計算的新觀察層，用來發現傳統實數座標或單次模運算中不容易顯現的全域閉合模式。

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## 1. 世界與表示不是同一件事

令：

$$
x\in\mathbb R.
$$

數值：

$$
x
$$

本身並不依賴十進位、二進位或其他 base。

但是它的表示：

$$
\mathcal O_B(x)
$$

依賴 radix：

$$
B.
$$

例如同一個數：

$$
\frac12
$$

在二進位表示為：

$$
0.1_2,
$$

在十進位表示為：

$$
0.5_{10},
$$

在三進位則為：

$$
0.11111\ldots_3.
$$

底層數值沒有改變：

$$
\frac12=\frac12=\frac12.
$$

改變的是：

$$
\boxed{
\text{representation structure}
}
$$

因此本文採用：

$$
\boxed{
\text{world}
\neq
\text{representation}
}
$$

作為基本原則。

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## 2. Radix observation operator

對任意整數：

$$
B\ge2,
$$

定義觀察算子：

$$
\mathcal O_B:
\mathbb R_{\ge0}
\rightarrow
\mathcal D_B,
$$

其中：

$$
\mathcal D_B
$$

代表合法 base-$B$ digit streams 的集合。

一個非負實數可形式表示為：

$$
x
=
\sum_{k=-\infty}^{N}
x_kB^k,
$$

其中：

$$
x_k\in\{0,1,\ldots,B-1\}.
$$

因此：

$$
\mathcal O_B(x)
=
(\ldots,x_2,x_1,x_0.x_{-1},x_{-2},\ldots)_B.
$$

對 Perfect Cuboid 狀態：

$$
X=(a,b,c,d,e,f,g),
$$

定義：

$$
\mathcal O_B(X)
=
\left(
\mathcal O_B(a),
\mathcal O_B(b),
\mathcal O_B(c),
\mathcal O_B(d),
\mathcal O_B(e),
\mathcal O_B(f),
\mathcal O_B(g)
\right).
$$

此時：

$$
X
$$

是 underlying world state，

而：

$$
\mathcal O_B(X)
$$

是 base-$B$ observation。

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## 3. Canonical digit representation

radix expansion 存在一個經典二義性。

例如：

$$
1.0000\ldots_{10}
=
0.9999\ldots_{10}.
$$

一般而言，對：

$$
B\ge2,
$$

會出現：

$$
0.(B-1)(B-1)(B-1)\ldots_B
=
1.0000\ldots_B.
$$

為了避免同一數值出現兩個 observation states，本文採用 canonical convention：

> 若某數存在有限 base-$B$ 展開，優先使用 terminating representation。

因此不使用 eventually-all-$(B-1)$ 的替代表示。

這使：

$$
\mathcal O_B
$$

在本文的工作域中具有單值 canonical output。

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## 4. 小數點兩側都是狀態

傳統整數模運算主要觀察：

$$
B^0,B^1,B^2,\ldots
$$

對應小數點左側。

但本文明確保留：

$$
B^{-1},B^{-2},B^{-3},\ldots
$$

因為研究流程並不先要求：

$$
X\in\mathbb Z^7.
$$

因此：

$$
x=
\sum_{k=-m}^{n}x_kB^k
$$

可以是一個有限 radix rational，

也可以：

$$
x=
\sum_{k=-\infty}^{n}x_kB^k
$$

具有無限小數部分。

這使觀察空間同時包含：

$$
\text{integer digits}
+
\text{fractional digits}.
$$

因此 Perfect Cuboid 的 arithmetic manifestation 可以沿著：

$$
\text{infinite fractional stream}
\rightarrow
\text{finite fractional stream}
\rightarrow
\text{zero fractional stream}
$$

來觀察。

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## 5. 有限 base-$B$ 表示的精確條件

定義：

$$
\mathbb Z[B^{-1}]
=
\left\{
\frac{m}{B^n}
:
m\in\mathbb Z,
\;
n\in\mathbb Z_{\ge0}
\right\}.
$$

這正是所有具有有限 base-$B$ 展開的有理數集合。

所以：

$$
x
$$

在 base-$B$ 中有限，當且僅當：

$$
x\in\mathbb Z[B^{-1}].
$$

更具體地，令：

$$
x=\frac pq,
$$

其中：

$$
\gcd(p,q)=1.
$$

則：

$$
x
$$

具有有限 base-$B$ 展開，當且僅當：

$$
q\mid B^n
$$

對某個：

$$
n\ge0.
$$

等價地：

> 分母 $q$ 的所有質因數都必須出現在 $B$ 的質因數分解中。

如果：

$$
B=\prod_{i=1}^{r}p_i^{\alpha_i},
$$

則要求：

$$
q=\prod_{i=1}^{r}p_i^{\beta_i}
$$

對某些：

$$
\beta_i\ge0.
$$

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## 6. 為什麼「有限小數」是 observation-dependent

例如：

$$
\frac18.
$$

在：

$$
B=10=2\cdot5
$$

中：

$$
\frac18=0.125_{10}.
$$

在：

$$
B=2
$$

中：

$$
\frac18=0.001_2.
$$

但在：

$$
B=3
$$

中不具有有限展開。

相反地：

$$
\frac13
$$

在十進位是：

$$
0.3333\ldots_{10},
$$

但在三進位是：

$$
0.1_3.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{finite representation}
}
$$

不是純粹屬於：

$$
x,
$$

而是屬於：

$$
(x,B).
$$

這也是本文所說：

$$
\boxed{
\text{radix is an observation parameter}
}
$$

的第一個精確含義。

---

## 7. 有理性與有限表示不是同一件事

需要嚴格區分：

$$
x\in\mathbb Q
$$

與：

$$
x\in\mathbb Z[B^{-1}].
$$

前者表示：

$$
x
$$

是有理數。

後者表示：

$$
x
$$

在特定 base：

$$
B
$$

中具有有限表示。

顯然：

$$
\mathbb Z[B^{-1}]
\subset
\mathbb Q.
$$

但一般是嚴格包含：

$$
\mathbb Z[B^{-1}]
\subsetneq
\mathbb Q.
$$

因此如果某個 Perfect Cuboid rational shape 在 base-$10$ 中不是有限小數，不能因此排除它。

同樣地，如果某個 shape 在某個 radix 中變成有限，也不代表該 radix 創造了新解。

radix 只改變：

$$
\text{visibility},
$$

不改變：

$$
\text{truth value}.
$$

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## 8. Base scaling 與小數點平移

如果：

$$
x=
\sum_kx_kB^k,
$$

則乘以：

$$
B^m
$$

得到：

$$
B^mx
=
\sum_kx_kB^{k+m}.
$$

也就是 radix point 平移：

$$
\boxed{
x\mapsto B^mx
}
$$

只改變 digit index。

這件事與 Perfect Cuboid 的尺度自由度高度相容。

若：

$$
X
$$

是解，則：

$$
B^mX
$$

仍然是解。

所以在固定 base：

$$
B
$$

下，

$$
X
sim
B^mX
$$

可被理解成同一 digit pattern 的 radix shift。

這提供一個自然連接：

$$
\text{scale quotient}
\leftrightarrow
\text{radix-point shift equivalence}.
$$

因此，在觀察 digit structure 時，可以進一步把純粹的 radix-point 平移視為非本質自由度。

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## 9. 平方不是逐位平方，而是卷積

若：

$$
x=
\sum_{i}x_iB^i,
$$

則：

$$
x^2
=
\left(
\sum_ix_iB^i
\right)
\left(
\sum_jx_jB^j
\right).
$$

展開：

$$
x^2
=
\sum_{i,j}x_ix_jB^{i+j}.
$$

令：

$$
n=i+j,
$$

則：

$$
x^2
=
\sum_n
\left(
\sum_{i+j=n}x_ix_j
\right)
B^n.
$$

定義 raw convolution coefficient：

$$
s_n(x)
=
\sum_{i+j=n}x_ix_j.
$$

則：

$$
x^2
=
\sum_ns_n(x)B^n.
$$

但：

$$
s_n(x)
$$

一般不在：

$$
\{0,\ldots,B-1\}
$$

中。

所以必須透過 carry 將 raw coefficient 正規化成 digit stream。

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## 10. Carry recursion

設某個 arithmetic expression 在第：

$$
n
$$

位的 raw coefficient 為：

$$
r_n.
$$

引入 carry：

$$
c_n.
$$

canonical digit：

$$
d_n
$$

滿足：

$$
r_n+c_n
=
d_n
+
Bc_{n+1},
$$

其中：

$$
d_n\in\{0,\ldots,B-1\}.
$$

因此：

$$
d_n
\equiv
r_n+c_n
\pmod B,
$$

以及：

$$
c_{n+1}
=
\frac{r_n+c_n-d_n}{B}.
$$

這就是 radix arithmetic 的局部狀態更新。

所以：

$$
\boxed{
\text{digit}_{n}
+
\text{carry}_{n}
\rightarrow
\text{digit}_{n}
+
\text{carry}_{n+1}
}
$$

構成一個有限或可數狀態傳播系統。

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## 11. 一條 Pythagorean relation 的 digit form

考慮：

$$
a^2+b^2=d^2.
$$

令：

$$
a=\sum_ia_iB^i,
$$

$$
b=\sum_ib_iB^i,
$$

$$
d=\sum_id_iB^i.
$$

定義：

$$
A_n=
\sum_{i+j=n}a_ia_j,
$$

$$
B_n=
\sum_{i+j=n}b_ib_j,
$$

$$
D_n=
\sum_{i+j=n}d_id_j.
$$

則全域等式：

$$
a^2+b^2-d^2=0
$$

等價於所有位階 raw coefficient 在 carry normalization 後同步消失。

可引入 relation carry：

$$
c_n^{(abd)}
$$

使：

$$
A_n+B_n-D_n+c_n^{(abd)}
=
Bc_{n+1}^{(abd)}.
$$

因為右側沒有剩餘 digit，

所以每一位都要求：

$$
A_n+B_n-D_n+c_n^{(abd)}
\equiv0
\pmod B.
$$

因此：

$$
\boxed{
a^2+b^2=d^2
}
$$

可被展開成一條跨所有 digit levels 的 carry recursion。

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## 12. Perfect Cuboid 的四條 carry channels

Perfect Cuboid 包含：

$$
a^2+b^2=d^2,
$$

$$
a^2+c^2=e^2,
$$

$$
b^2+c^2=f^2,
$$

$$
a^2+b^2+c^2=g^2.
$$

因此可以定義四組 carry streams：

$$
c_n^{(abd)},
$$

$$
c_n^{(ace)},
$$

$$
c_n^{(bcf)},
$$

$$
c_n^{(abcg)}.
$$

相應 recursion：

$$
A_n+B_n-D_n+c_n^{(abd)}
=
Bc_{n+1}^{(abd)},
$$

$$
A_n+C_n-E_n+c_n^{(ace)}
=
Bc_{n+1}^{(ace)},
$$

$$
B_n+C_n-F_n+c_n^{(bcf)}
=
Bc_{n+1}^{(bcf)},
$$

$$
A_n+B_n+C_n-G_n+c_n^{(abcg)}
=
Bc_{n+1}^{(abcg)}.
$$

其中：

$$
C_n,E_n,F_n,G_n
$$

分別是对应 digit streams 的平方卷積係數。

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## 13. 全域耦合出現在共享 digit streams

四條 relation 並不是四個獨立問題。

它們共享：

$$
a_i,
$$

$$
b_i,
$$

$$
c_i.
$$

例如：

$$
A_n
$$

同時出現在：

$$
(abd),
$$

$$
(ace),
$$

與：

$$
(abcg)
$$

三條 channel。

所以某一位：

$$
a_i
$$

的選擇，會同步改變多條 carry recursion。

這就是 Perfect Cuboid 在 radix 表示下真正的全域耦合：

$$
\boxed{
\text{one digit decision}
\rightarrow
\text{multiple carry channels}
}
$$

因此不能將三個 Pythagorean face conditions 與 space-diagonal condition 分開獨立求解後再任意拼接。

---

## 14. Radix–Carry Global Closure Network

本文將完整網路記為：

$$
\mathfrak R_B.
$$

其節點包含：

$$
a_i,b_i,c_i,d_i,e_i,f_i,g_i
$$

以及：

$$
c_i^{(abd)},
c_i^{(ace)},
c_i^{(bcf)},
c_i^{(abcg)}.
$$

局部 transition rule 由：

$$
B
$$

與平方 convolution 決定。

因此：

$$
\mathfrak R_B
$$

可以被視為：

$$
\boxed{
\text{digit-state network}
+
\text{carry-state network}
+
\text{cross-equation coupling}
}
$$

Perfect Cuboid 的 exact closure 等價於：

> 存在一組全域一致的 digit streams，使所有 carry channels 從低位到高位都能永久合法延伸。

---

## 15. 從有限小數到雙向有限 window

在實際計算中，不可能一開始處理無限 digit streams。

因此可截取：

$$
-k\le n\le m.
$$

得到 observation window：

$$
W_{k,m}.
$$

例如：

$$
B^{-k}
$$

到：

$$
B^m.
$$

在此 window 內，只要求局部 closure：

$$
\mathfrak R_B^{[-k,m]}.
$$

然後逐步擴張：

$$
[-1,1]
\subset
[-2,2]
\subset
[-3,3]
\subset\cdots.
$$

這與「先低解析度，再逐步增加解析度」的世界生成方法一致。

---

## 16. $\bmod B^n$ 是左側 lifting 的自然形式

如果先只研究整數或已把小數清除，

則：

$$
\bmod B^n
$$

恰好等於觀察最低：

$$
n
$$

個 base-$B$ digits。

例如：

$$
x\equiv r\pmod{B^n}
$$

表示：

$$
x
$$

與：

$$
r
$$

具有相同的最低：

$$
n
$$

位 digits。

所以：

$$
F(X)\equiv0\pmod{B^n}
$$

表示 Perfect Cuboid 方程在最低：

$$
n
$$

位上閉合。

這給出自然 lifting sequence：

$$
X^{(1)}
\rightsquigarrow
X^{(2)}
\rightsquigarrow
X^{(3)}
\rightsquigarrow
\cdots
$$

其中：

$$
F(X^{(n)})
\equiv0
\pmod{B^n}.
$$

---

## 17. Closure tree

對固定：

$$
B,
$$

建立一棵樹：

$$
T_B.
$$

第：

$$
n
$$

層節點代表所有合法 residue states：

$$
X_n
\pmod{B^n}
$$

滿足：

$$
F(X_n)\equiv0\pmod{B^n}.
$$

若：

$$
X_{n+1}
\pmod{B^{n+1}}
$$

滿足：

$$
X_{n+1}
\equiv
X_n
\pmod{B^n},
$$

則從：

$$
X_n
$$

連一條 edge 到：

$$
X_{n+1}.
$$

因此：

$$
\boxed{
T_B
=
\text{radix closure tree}
}
$$

一條無限 branch：

$$
X_1
\leftarrow
X_2
\leftarrow
X_3
\leftarrow
\cdots
$$

表示存在對所有：

$$
n
$$

一致的：

$$
B^n
$$

局部閉合。

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## 18. 無限 lifting 不自動等於普通整數解

這裡必須非常謹慎。

若：

$$
B=p
$$

是質數，

一條兼容的：

$$
\bmod p^n
$$

無限 lifting 通常對應一個：

$$
p
$$

-adic state。

但是：

$$
p
$$

-adic solution 的存在不自動推出普通整數或正有理解存在。

因此：

$$
\boxed{
\text{infinite radix lifting}
\neq
\text{global rational solution}
}
$$

它只能說明某個局部算術 completion 中不存在該類 obstruction。

這個區分對本系列非常重要。

---

## 19. Radix tree 與 $p$-adic observation

如果：

$$
B=p
$$

為質數，

則：

$$
T_p
$$

自然接近：

$$
p
$$

-adic lifting。

如果：

$$
B=p^r,
$$

則仍主要觀察同一質數：

$$
p
$$

的 valuation structure。

若：

$$
B
$$

為合數：

$$
B=\prod_ip_i^{\alpha_i},
$$

則：

$$
\bmod B^n
$$

可經 Chinese Remainder Theorem 分解到：

$$
\bmod p_i^{\alpha_in}.
$$

因此 composite radix observation 可視為多個 prime-power channels 的同步封裝。

所以：

$$
\boxed{
\text{radix}
}
$$

不只是視覺上的 digit system，

也編碼了一組 prime support。

---

## 20. Cross-base observation

對同一 underlying state：

$$
X,
$$

可以同時觀察：

$$
\mathcal O_{B_1}(X),
$$

$$
\mathcal O_{B_2}(X),
$$

$$
\ldots,
$$

$$
\mathcal O_{B_k}(X).
$$

因此定義：

$$
\mathcal O_{\mathbf B}(X)
=
\left(
\mathcal O_{B_1}(X),
\ldots,
\mathcal O_{B_k}(X)
\right).
$$

其中：

$$
\mathbf B
=
(B_1,\ldots,B_k).
$$

這使我們可以區分：

### radix-dependent feature

只在特定：

$$
B
$$

下出現。

例如有限小數性。

### radix-persistent feature

在多個：

$$
B
$$

下以等價形式反覆出現。

### radix-invariant feature

可證明與：

$$
B
$$

無關。

真正值得找的數學 invariant 通常應接近第三類。

但第二類也可能提供強烈 heuristic signal。

---

## 21. 互質 bases 的特殊價值

如果：

$$
\gcd(B_1,B_2)=1,
$$

則兩個 radix 的 prime support 不重疊。

例如：

$$
B_1=2,
$$

$$
B_2=3.
$$

若某個有理數在兩個 base 中都具有有限展開，則其最簡分母：

$$
q
$$

必須同時滿足：

$$
q\mid2^m
$$

以及：

$$
q\mid3^n.
$$

因此：

$$
q=1.
$$

也就是：

$$
x\in\mathbb Z.
$$

所以得到一個非常乾淨的命題：

$$
\boxed{
x\in\mathbb Z[1/B_1]
\cap
\mathbb Z[1/B_2],
\;
\gcd(B_1,B_2)=1
\Rightarrow
x\in\mathbb Z
}
$$

這件事對「整數顯現」非常重要。

---

## 22. Cross-base finite closure criterion

若 Perfect Cuboid 的所有七個數值：

$$
X_i
$$

在 base：

$$
B_1
$$

與 base：

$$
B_2
$$

中都具有有限表示，

且：

$$
\gcd(B_1,B_2)=1,
$$

則每個：

$$
X_i
$$

都是整數。

所以：

$$
\boxed{
X\in
\mathbb Z[1/B_1]^7
\cap
\mathbb Z[1/B_2]^7
\Rightarrow
X\in\mathbb Z^7
}
$$

這給出一個新的 observation-based integer certification route。

注意：

這不會幫我們憑空找到：

$$
X.
$$

但如果某個候選 shape 能在兩個互質 radix 中同時有限 exact closure，

那整數性直接被迫出現。

---

## 23. 更一般的 prime-support intersection

令：

$$
P(B)
$$

表示：

$$
B
$$

的質因數集合。

若：

$$
x
$$

在：

$$
B_1,\ldots,B_k
$$

中皆有限，

則：

$$
x
$$

的分母質因數只能來自：

$$
\bigcap_{j=1}^{k}P(B_j).
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{PrimeSupport}(q)
\subseteq
\bigcap_jP(B_j)
}
$$

如果交集為空：

$$
\bigcap_jP(B_j)=\varnothing,
$$

則：

$$
q=1.
$$

所以 cross-base observation 可以逐步壓縮允許的 denominator support。

---

## 24. 這不是普通的 modulo filtering

傳統 modulo filtering 通常問：

$$
F(X)\equiv0\pmod m
$$

是否可能。

本文的 radix observation 除了 residue 還保留：

- digit ordering；
- carry transitions；
- fractional side；
- finite termination；
- scale shift；
- multi-level lifting；
- cross-base comparison。

因此它不是單純：

$$
\text{modulus test}.
$$

可以把普通 modulo 看成：

$$
\boxed{
\text{radix observation 的有限投影之一}
}
$$

而完整：

$$
\mathfrak R_B
$$

則保留更多 transition structure。

---

## 25. Carry state 比 residue 更豐富

兩個候選數可能在：

$$
\bmod B^n
$$

下相同，

但如果研究的是逐位乘法或平方生成過程，

其 high-level convolution source 與 carry history 可能不同。

對 Perfect Cuboid 而言，square convolution：

$$
\sum_{i+j=n}x_ix_j
$$

會將較低與較高 digit positions 彼此耦合。

因此 carry state 不只是：

$$
x\bmod B^n
$$

的另一種記法。

它也記錄：

$$
\text{how the current local digit was generated}.
$$

這種生成歷史可能提供額外的 pruning information。

---

## 26. Carry-state graph

對固定：

$$
B
$$

和有限 window，

可建立有向圖：

$$
G_B.
$$

節點包含目前：

$$
n
$$

位的：

$$
\text{digit tuple}
+
\text{carry tuple}.
$$

例如：

$$
S_n
=
(
a_n,b_n,c_n,d_n,e_n,f_n,g_n,
c_n^{(abd)},
c_n^{(ace)},
c_n^{(bcf)},
c_n^{(abcg)}
).
$$

edge：

$$
S_n\rightarrow S_{n+1}
$$

存在，當且僅當四條 relation 在該 transition 下同時合法。

因此：

$$
\boxed{
\text{Perfect Cuboid digit closure}
}
$$

可重新表述為：

> 是否存在一條無限合法 path 穿過 carry-state graph？

這和 closure tree 是兩種等價但不同粒度的表示。

---

## 27. 有限狀態化的可能性

在固定：

$$
B
$$

與限制 digit range 時，

digit tuple 是有限的：

$$
B^7.
$$

carry 是否有限，取決於平方卷積與 window boundary。

在只做低位 lifting 或有限 precision 時，

carry 可被明確上界。

因此某些 truncated system 可以轉化為有限 automaton：

$$
\mathcal A_B^{(n)}.
$$

這使下列工具成為可能：

- graph reachability；
- strongly connected components；
- dead-state elimination；
- cycle detection；
- transfer matrix；
- SAT / SMT encoding；
- dynamic programming。

這是 radix formulation 的直接計算優勢。

---

## 28. Fractional carry

如果允許：

$$
k<0
$$

的 digits，

小數點右側也有 carry / borrow coupling。

形式上仍可寫：

$$
r_n+c_n=d_n+Bc_{n+1}
$$

對：

$$
n\in\mathbb Z.
$$

但實際計算時需要選擇掃描方向。

對普通加法，carry 從低位往高位傳。

對無限 fractional expansion，沒有最右端最低位。

因此一般 irrational expansion 不適合直接以「從最末小數位開始」的有限 carry 演算法處理。

所以本文區分：

### finite fractional state

$$
x\in\mathbb Z[B^{-1}].
$$

具有最小 digit index，

可直接做有限 carry recursion。

### infinite fractional state

需要：

- limit formulation；
- truncated window；
- interval enclosure；
- symbolic stream；
- 或其他 completion method。

這也是第 5 篇必須區分 float approximation 與 exact rational state 的原因。

---

## 29. 對有限小數候選，carry network 是 exact 的

若：

$$
X_i\in\mathbb Z[B^{-1}]
$$

對所有七個分量成立，

則存在某個：

$$
m
$$

使：

$$
B^mX_i\in\mathbb Z.
$$

將整體乘：

$$
B^m
$$

只是在 shape 上做尺度變換。

因此可把所有小數點清掉，得到：

$$
Y=B^mX.
$$

此時：

$$
Y\in\mathbb Z^7.
$$

所以對有限 radix candidate：

$$
\boxed{
\text{fractional carry problem}
}
$$

可以完全轉成：

$$
\boxed{
\text{integer carry problem}
}
$$

而不改變 shape。

這是一個很重要的簡化。

---

## 30. Radix normalization 與 shape normalization

在第 2 篇，我們可以令：

$$
g=1.
$$

但：

$$
g=1
$$

後的其他比例通常不是 base-$B$ finite。

另一種計算 gauge 是：

$$
g=B^m.
$$

此時：

$$
g
$$

在 base-$B$ 中只是：

$$
1
$$

後面接：

$$
m
$$

個零。

因此可以同時利用：

$$
\text{shape normalization}
$$

與：

$$
\text{radix-friendly scale}.
$$

例如：

$$
X
\sim
\lambda X
$$

中選擇：

$$
\lambda
$$

使某個參考分量落在：

$$
B^m.
$$

這不改變 shape，

但可能簡化 observation structure。

---

## 31. Representation complexity

定義一個有限表示長度：

$$
L_B(x)
$$

表示：

$$
x
$$

在 canonical base-$B$ representation 中所需的非零 digit span。

若：

$$
x\notin\mathbb Z[B^{-1}],
$$

可令：

$$
L_B(x)=\infty.
$$

對向量：

$$
X
$$

定義：

$$
L_B(X)
=
\sum_{i=1}^{7}L_B(X_i).
$$

這不是一個 invariant，

因為它依賴：

$$
B.
$$

但它可以作為：

$$
\boxed{
\text{representation complexity observable}
}
$$

用於比較不同 base 下同一 rational candidate 的顯現簡潔度。

---

## 32. Radix complexity collapse

如果沿著某條 continuous trajectory：

$$
X(t),
$$

觀察：

$$
L_B(X(t)),
$$

一般點可能具有：

$$
L_B(X(t))=\infty.
$$

若在某個特殊：

$$
t=t^\ast
$$

突然：

$$
L_B(X(t^\ast))<\infty,
$$

表示：

$$
X(t^\ast)\in\mathbb Z[B^{-1}]^7.
$$

若同時：

$$
F(X(t^\ast))=0,
$$

則清分母即可得到整數解。

因此可以將某些 arithmetic manifestation 描述為：

$$
\boxed{
\infty
\rightarrow
\text{finite}
}
$$

的 representation-complexity collapse。

這是「顯現」概念的一個可操作版本。

---

## 33. 但不能用浮點截斷偽造 complexity collapse

任何有限精度浮點數在某個 machine radix 下都具有有限 bit pattern。

例如 IEEE binary floating point 本質上可寫成：

$$
m2^e.
$$

因此：

$$
\operatorname{fl}(x)
$$

天然屬於某個：

$$
\mathbb Z[1/2].
$$

這不代表原始實數：

$$
x
$$

是二進位有限有理數。

所以不能觀察 machine representation：

$$
\operatorname{fl}(x)
$$

後宣稱：

$$
x
$$

發生 finite-radix closure。

正式研究必須區分：

$$
\boxed{
\text{representation of approximation}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{representation of exact value}
}
$$

---

## 34. Exact radix rational

為避免 machine float 污染，本文後續使用 exact radix rational：

$$
x=mB^e,
$$

其中：

$$
m,e\in\mathbb Z.
$$

更一般地：

$$
x=\frac{m}{B^k}.
$$

所有運算使用整數 numerator 與 exponent，

不做 binary-to-decimal 或 decimal-to-binary 的非精確 round trip。

因此：

$$
\boxed{
\text{radix experiment}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{floating-point experiment}
}
$$

必須分開。

---

## 35. Cross-base exactification

假設數值探索得到一個 candidate：

$$
X^\ast.
$$

可以分別嘗試在：

$$
B_1,
B_2,\ldots,B_k
$$

下 exact reconstruction。

例如：

$$
B_1=2,
$$

$$
B_2=3.
$$

如果可以證明：

$$
X^\ast\in\mathbb Z[1/2]^7
$$

以及：

$$
X^\ast\in\mathbb Z[1/3]^7,
$$

則：

$$
X^\ast\in\mathbb Z^7.
$$

所以 cross-base reconstruction 可以被用作：

$$
\boxed{
\text{denominator elimination}
}
$$

而不是單純視覺比較。

---

## 36. Base family 的設計

第一輪不需要測所有：

$$
B.
$$

可以選擇幾類具有不同 prime support 的代表：

### Prime bases

$$
2,3,5,7,11.
$$

適合觀察單一：

$$
p
$$

-adic channel。

### Prime-power bases

$$
4,8,9,16,25.
$$

適合比較同一 prime support 在不同 digit granularity 下的 carry pattern。

### Mixed bases

$$
6,10,12,30.
$$

適合觀察多 prime support 的 finite representation。

### Pairwise coprime bases

例如：

$$
2,3,5,7.
$$

適合 denominator intersection。

---

## 37. 相同 prime support 的 bases 不提供完全獨立資訊

例如：

$$
B=2,
$$

$$
B=4,
$$

$$
B=8
$$

都只有質因數：

$$
2.
$$

所以：

$$
\mathbb Z[1/2]
=
\mathbb Z[1/4]
=
\mathbb Z[1/8].
$$

因此在「哪些有理數具有有限展開」這個問題上，它們是相同的。

但 digit segmentation 與 carry geometry 不同。

所以要區分：

$$
\boxed{
\text{arithmetic support equivalence}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{representation dynamics equivalence}
}
$$

這兩者不是同一件事。

---

## 38. Radix refinement

如果：

$$
B_2=B_1^k,
$$

則一個 base-$B_2$ digit 可以被展開成：

$$
k
$$

個 base-$B_1$ digits。

因此：

$$
B_2
$$

可視為：

$$
B_1
$$

的 block representation。

例如：

$$
16=2^4.
$$

一個 hexadecimal digit 對應四個 binary bits。

因此對：

$$
2,4,8,16
$$

觀察到的 carry pattern，可以研究：

$$
\boxed{
\text{block coarse-graining}
}
$$

是否保留某些 closure invariant。

這很適合後續做多尺度分析。

---

## 39. Cross-radix consistency graph

對同一 candidate：

$$
X,
$$

建立多個 observation nodes：

$$
\mathcal O_2(X),
$$

$$
\mathcal O_3(X),
$$

$$
\mathcal O_5(X),
$$

$$
\mathcal O_{10}(X).
$$

如果它們都來源於同一 exact rational：

$$
X,
$$

則必須彼此可轉換。

因此可建立：

$$
G_{\mathrm{cross}}(X).
$$

edge 表示：

$$
\text{exact radix conversion}.
$$

若某個候選只在浮點截斷下看似閉合，

跨 base exact conversion 往往會暴露不一致。

所以 cross-radix consistency 可作為候選清洗工具。

---

## 40. Carry invariant 的搜尋方向

本文目前不假定已知真正有用的 invariant。

但可以明確搜尋以下類型。

### 40.1 Parity-like invariant

base：

$$
2
$$

下某些 carry parity 是否被全域約束固定。

### 40.2 Valuation invariant

對 prime：

$$
p,
$$

比較：

$$
v_p(a),
v_p(b),
\ldots,
v_p(g).
$$

### 40.3 Carry boundedness

某些 channel 的 carry 是否具有不可跨越上界或 parity class。

### 40.4 Carry synchronization

四條 carry streams 是否必須在某些 levels 同步。

### 40.5 Digit forbidden patterns

某些 local digit tuple 是否永遠不可能延伸。

### 40.6 Cross-base persistent obstruction

若某種 obstruction 在互質 bases 下同時出現，

其全域意義可能比單一 base 更強。

---

## 41. 從局部 forbidden state 到全域不存在

若能證明：

$$
T_B
$$

中所有非退化 branches 都在有限深度終止，

則不存在相應的：

$$
B
$$

-adic compatible state。

如果進一步能將這種終止證明與所有可能的有理解建立必要關係，

才可能推出 global nonexistence。

所以：

$$
\boxed{
\text{finite computation}
}
$$

要升級成：

$$
\boxed{
\text{proof}
}
$$

必須找到一個 uniform argument：

$$
\forall n.
$$

單純搜尋到很深但沒有 branch，

如果沒有證明 tree 已完全封閉，

仍然只是計算證據。

---

## 42. 從無限 branch 到存在也需要橋樑

相反地，

即使：

$$
T_B
$$

存在無限 branch，

也只能得到某種：

$$
B
$$

-adic compatibility。

要得到 rational Perfect Cuboid，

還需要：

$$
\text{local}
\rightarrow
\text{global}
$$

的橋樑。

因此：

$$
\boxed{
\text{local solvability at many bases}
}
$$

也不等於：

$$
\boxed{
\text{global rational solvability}
}
$$

本系列後續若研究 local-global principle，必須另外證明其適用條件。

---

## 43. 進位制觀察最適合扮演的角色

因此 radix method 的定位不應過度誇大。

它最適合做：

1. 結構暴露；
2. 候選壓縮；
3. forbidden pattern 發現；
4. carry invariant 搜尋；
5. denominator support 分析；
6. exact finite representation certification；
7. cross-base consistency verification；
8. lifting structure 探索。

它不應被直接宣稱為：

$$
\text{changing base proves existence}.
$$

真正的存在證明仍需 exact global closure。

---

## 44. 與前一篇 constraint dynamics 的結合

第 3 篇有：

$$
X_{n+1}
=
\Phi(X_n).
$$

本文加入：

$$
Y_n^{(B)}
=
\mathcal O_B(X_n).
$$

所以每一步不只記錄：

$$
X_n,
$$

還記錄：

$$
\mathcal O_2(X_n),
$$

$$
\mathcal O_3(X_n),
$$

$$
\mathcal O_5(X_n),
$$

等等。

因此可以研究：

$$
\text{continuous trajectory}
$$

與：

$$
\text{discrete radix trajectory}
$$

之間的耦合。

例如某個：

$$
X_n
$$

在實數座標中變化非常小，

但：

$$
\mathcal O_B(X_n)
$$

可能因 digit carry 而產生離散跳變。

這些 jump points 可能是值得研究的 arithmetic events。

---

## 45. Radix event surface

對固定 finite precision：

$$
N,
$$

當：

$$
X(t)
$$

跨過某個 digit boundary 時，

$$
\mathcal O_B^{(N)}(X(t))
$$

會跳變。

因此 continuous shape space 被 radix observation 分割成很多 cell：

$$
\mathcal C_{B,N}^{(1)},
\mathcal C_{B,N}^{(2)},
\ldots
$$

在每個 cell 內，

前：

$$
N
$$

位 digits 不變。

所以可以把：

$$
\mathcal S_{\mathbb R}
$$

做成一個 radix-induced partition。

這提供一種新的離散化：

$$
\boxed{
\text{continuous shape world}
\rightarrow
\text{radix cells}
}
$$

而不是任意 rectangular grid。

---

## 46. Multi-radix partition

同時使用：

$$
B_1,\ldots,B_k
$$

可以取 partition refinement：

$$
\mathcal P
=
\bigwedge_{j=1}^{k}
\mathcal P_{B_j,N_j}.
$$

這表示只有在所有 observation 下都等價的點才落在同一 cell。

隨著：

$$
k
$$

與：

$$
N_j
$$

增加，

cell 會逐漸細化。

這提供一個可計算的：

$$
\boxed{
\text{cross-base resolution ladder}
}
$$

用來追蹤 candidate shape。

---

## 47. 第一輪 Radix MVP

本文可直接導出一個最小實驗。

### Step 1：選 shape path

在：

$$
\Sigma_{+++}
$$

中選取：

$$
\gamma(t).
$$

### Step 2：選 bases

例如：

$$
B\in\{2,3,5,10\}.
$$

### Step 3：截斷 precision

例如：

$$
N=8,16,32.
$$

### Step 4：記錄

對每個：

$$
t
$$

計算：

$$
\mathcal O_B^{(N)}(\gamma(t)).
$$

### Step 5：監測

- digit changes；
- carry spikes；
- finite reconstruction；
- denominator estimate；
- cross-base persistence。

### Step 6：候選提升

若某點在多 base 下顯示低 arithmetic complexity，

進入 exact rational reconstruction。

此 MVP 不宣稱直接求解 Perfect Cuboid。

---

## 48. 第二輪：closure tree MVP

固定：

$$
B=p
$$

為小質數。

建立：

$$
T_p^{(N)}
$$

直到深度：

$$
N.
$$

每一層只保留：

$$
F(X)\equiv0\pmod{p^n}
$$

的非退化 residue classes。

記錄：

- node count；
- branching factor；
- dead fraction；
- symmetry classes；
- valuation profile；
- recurring carry states。

如果某些 branch family 顯示穩定 self-similarity，

再嘗試猜測 recurrence 或 invariant。

---

## 49. 第三輪：cross-base intersection

選：

$$
p\in\{2,3,5,7\}.
$$

各自建立：

$$
T_p.
$$

然後比較：

$$
\text{local admissibility signatures}.
$$

目標不是把 residue classes 直接一一對齊，

而是找：

$$
\boxed{
\text{跨 prime 都必須滿足的共同結構}
}
$$

如果存在，

它可能比單一 base obstruction 更接近真正 global arithmetic invariant。

---

## 50. 本文的核心重述

在傳統表示中：

$$
a^2+b^2=d^2
$$

是一個單一代數等式。

在本文表示中，它被展開成：

$$
\boxed{
\text{digit convolution}
+
\text{carry recursion}
+
\text{all-level compatibility}
}
$$

四條 Perfect Cuboid relation 再被耦合成：

$$
\boxed{
\mathfrak R_B
=
\text{Radix–Carry Global Closure Network}
}
$$

因此原問題可以多出一個 observation-level formulation：

> 是否存在一個 underlying exact rational state，其在每個選定 radix observation 下都產生全域一致的 digit–carry closure？

---

## 51. Radix-dependent 與 radix-invariant 的分界

本文最重要的方法論之一是：

不要把 representation artifact 誤認為 underlying truth。

例如：

$$
\frac13
$$

在 base：

$$
3
$$

有限，

在 base：

$$
10
$$

無限。

所以：

$$
\text{termination}
$$

不是 invariant。

但：

$$
x\in\mathbb Q
$$

是 base-independent。

同樣：

$$
F(X)=0
$$

也是 base-independent。

因此任何最終證明都必須回到：

$$
\boxed{
\text{representation-independent statement}
}
$$

radix 只負責：

$$
\boxed{
\text{discover}
+
\text{organize}
+
\text{filter}
+
\text{certify local structure}
}
$$

---

## 52. 與 Perfect Cuboid 第一顯現的關係

假設未來找到：

$$
X^\ast\in\mathbb Q_{>0}^{7}
$$

滿足：

$$
F(X^\ast)=0.
$$

則一定存在某個 base：

$$
B
$$

使：

$$
X^\ast
$$

所有分量具有有限表示。

例如只要取：

$$
B
$$

包含所有分母質因數即可。

若：

$$
q_1,\ldots,q_7
$$

是分母，

可取：

$$
B
=
\prod_{p\mid q_1\cdots q_7}p.
$$

則：

$$
X^\ast\in\mathbb Z[B^{-1}]^7.
$$

所以任何 rational Perfect Cuboid 都能在某個 radix 中「有限顯影」。

這提供：

$$
\boxed{
\text{rational existence}
\Rightarrow
\text{finite manifestation in some radix}
}
$$

---

## 53. 反方向也成立

如果對某個：

$$
B
$$

找到 exact finite state：

$$
X^\ast\in\mathbb Z[B^{-1}]_{>0}^{7}
$$

且：

$$
F(X^\ast)=0,
$$

則：

$$
X^\ast\in\mathbb Q_{>0}^{7}.
$$

清除：

$$
B
$$

的負次方即可得到：

$$
Y\in\mathbb Z_{>0}^{7}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{exact finite radix closure}
\iff
\text{integer Perfect Cuboid up to scale}
}
$$

這是本文最直接連回原問題的等價關係。

---

## 54. 一個新的研究假說族

本文不把它們當定理，只作為後續實驗假說。

### Hypothesis R1：Low-Complexity Radix Exposure

若 Perfect Cuboid rational shape 存在，存在某個小或中等 radix：

$$
B
$$

使其 representation complexity 顯著低於隨機 rational shapes。

### Hypothesis R2：Carry-Synchronization Signature

真正 Perfect Cuboid closure 可能在四條 carry channels 中產生可辨識的同步模式。

### Hypothesis R3：Cross-Base Persistence

某些與全域閉合相關的 signature 會在不同 prime-support bases 下保持可轉換形式。

### Hypothesis R4：Constraint-Trajectory Radix Collapse

沿適當 arithmetic-guided constraint trajectory，候選 state 的 radix complexity 可能出現離散下降事件。

這些都需要實驗，而不能先假定成立。

---

## 55. 與下一篇的接口

本文建立了：

$$
\mathcal O_B,
$$

$$
\mathfrak R_B,
$$

$$
T_B,
$$

以及：

$$
L_B.
$$

但仍有一個關鍵問題：

> 如果電腦給出一個看起來極接近有限 radix closure 的浮點 state，我們如何判斷它是否真的是某個 exact rational point？

這就是下一篇的主題：

# 從浮點近似到精確有理閉合

下一篇將正式處理：

- machine float；
- arbitrary precision float；
- interval arithmetic；
- continued fractions；
- rational reconstruction；
- denominator bounds；
- exact symbolic verification；
- false positive rejection；
- exact certificate。

---

## 56. 結論

本文將進位制從單純表示習慣提升為：

$$
\boxed{
\text{observation operator}
}
$$

對同一 underlying Perfect Cuboid state：

$$
X,
$$

不同：

$$
B
$$

不改變：

$$
F(X)=0
$$

的真假，

但會改變：

- digit structure；
- carry propagation；
- finite termination；
- denominator visibility；
- local lifting；
- representation complexity。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal O_B
:
\text{world}
\rightarrow
\text{radix observation}
}
$$

使 Perfect Cuboid 可以被重新觀察成：

$$
\boxed{
\text{Radix–Carry Global Closure Network}
}
$$

四條二次方程則變成四條共享底層 digit streams 的 carry channels。

本文最重要的幾個結論是：

$$
\boxed{
\text{finite base-}B\text{ expansion}
\iff
x\in\mathbb Z[B^{-1}]
}
$$

以及對互質：

$$
B_1,B_2,
$$

有：

$$
\boxed{
\mathbb Z[1/B_1]
\cap
\mathbb Z[1/B_2]
=
\mathbb Z
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{exact finite radix Perfect Cuboid}
\iff
\text{integer Perfect Cuboid up to common scale}
}
$$

但同時：

$$
\boxed{
\text{local radix compatibility}
\neq
\text{global rational existence}
}
$$

因此 radix method 的真正價值，不是把表示法誤當成證明，而是利用新的 observation layer 暴露：

$$
\text{carry invariant},
$$

$$
\text{forbidden pattern},
$$

$$
\text{lifting structure},
$$

$$
\text{cross-base arithmetic signature}.
$$

至此，本系列已經從：

$$
\text{continuous world}
$$

走到：

$$
\text{constraint generation}
$$

再走到：

$$
\text{discrete representation}.
$$

下一篇將處理如何把 numerical candidate 重新提升為：

$$
\boxed{
\text{exact rational mathematical object}
}
$$

並建立正式的 certification pipeline。

---

## 系列目錄

1. **重新表述完美長方體：它不是首先一個整數搜尋問題**
2. **連續世界與尺度商空間：Perfect Cuboid 的拓樸起點**
3. **共同初態與約束誘導分化**
4. **進位制是觀察算子：Radix–Carry Global Closure**
5. **從浮點近似到精確有理閉合**
6. **第一顯現問題：從有理解到最小 Primitive Cuboid**
7. **第一個解之後：Perfect Cuboid 的算術自由度**
8. **解空間的上下界與第二次展開**

---

**End of Paper 04**