# Perfect Cuboid Center-Axis Rational Closure Theorem

## An Exact Reformulation of the Perfect Cuboid Problem as Rational Closure on a Low-Dimensional Coupling Surface

**系列：Perfect Cuboid Global Closure**  
**主線：Geometry Branch G**  
**驗證支線：Verification Branch A**  
**文件角色：後續主論文 / Canonical Research Anchor**  
**版本：v0.1**  
**日期：2026-09-28**

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# 摘要

本文提出並完整證明一個 Perfect Cuboid 的 exact 等價重述。

經典 Perfect Cuboid 要求存在正整數：

$$
a,b,c,d,e,f,g
$$

滿足：

$$
a^2+b^2=d^2,
$$

$$
a^2+c^2=e^2,
$$

$$
b^2+c^2=f^2,
$$

$$
a^2+b^2+c^2=g^2.
$$

本文不再以七個整數作為 primary variables。

令：

$$
x_a=\frac ag,
\qquad
x_b=\frac bg,
\qquad
x_c=\frac cg.
$$

對每一條 edge 與其 opposite face diagonal 建立一個中心軸直角耦合，並引入 half-angle rational parameter：

$$
t_a,
\qquad
t_b,
\qquad
t_c.
$$

本文證明：

> **Perfect Cuboid 存在，當且僅當存在三個正有理數**
>
> $$
> t_a,t_b,t_c\in\mathbb Q\cap(0,1)
> $$
>
> **滿足**
>
> $$
> \boxed{
> \left(
> \frac{1-t_a^2}{1+t_a^2}
> \right)^2
> +
> \left(
> \frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}
> \right)^2
> +
> \left(
> \frac{1-t_c^2}{1+t_c^2}
> \right)^2
> =
> 1.
> }
> $$

此式稱為：

$$
\boxed{
\text{Center-Axis Rational Closure Equation}
}
$$

或簡寫：

$$
\boxed{
\text{CARCE}.
}
$$

這個定理把：

$$
\text{七個正整數}
+
\text{四個平方關係}
$$

exact 壓縮為：

$$
\boxed{
\text{三個有理 coupling parameters}
+
\text{一條全域閉合方程}.
}
$$

若找到任一 rational triple：

$$
(t_a,t_b,t_c)
$$

滿足 CARCE，

即可機械式生成一個 exact integer Perfect Cuboid witness。

因此後續研究的 canonical existence target 可以改寫為：

$$
\boxed{
\mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing,
}
$$

其中：

$$
\mathcal M
=
\left\{
(t_a,t_b,t_c)\in(0,1)^3:
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0
\right\}.
$$

目前已知 near-arithmetic seed：

$$
(a,b,c;g)
=
(448,495,840;1073)
$$

在此座標中精確對應：

$$
\boxed{
T_0
=
\left(
\frac{25}{39},
\frac{17}{28},
\sqrt{\frac{233}{1913}}
\right),
}
$$

且：

$$
\Phi(T_0)=0
$$

exactly。

因此目前不是缺少 geometric closure。

真正缺少的是：

$$
\boxed{
T^\ast\in\mathbb Q^3\cap\mathcal M.
}
$$

本文亦給出：

- exact equivalence proof；
- exact integer witness generator；
- square-defect formulation；
- symmetric polynomial surface；
- smoothness theorem；
- current seed 的 exact arithmetic decomposition；
- geometry-preserving dynamics；
- arithmetic observer 的定位；
- future proof pipeline；
- formal certificate interface。

---

# 1. 經典問題

Perfect Cuboid 要求：

$$
a,b,c,d,e,f,g\in\mathbb Z_{>0}
$$

且：

$$
a^2+b^2=d^2,
$$

$$
a^2+c^2=e^2,
$$

$$
b^2+c^2=f^2,
$$

$$
a^2+b^2+c^2=g^2.
$$

按照 usual naming：

- $d$ 為 $ab$ face diagonal；
- $e$ 為 $ac$ face diagonal；
- $f$ 為 $bc$ face diagonal；
- $g$ 為 body diagonal。

由最後一式以及前三式，可以重新排列為：

$$
a^2+f^2=g^2,
$$

$$
b^2+e^2=g^2,
$$

$$
c^2+d^2=g^2.
$$

因此 Perfect Cuboid 也可以被視為：

> 三組共享同一個 hypotenuse $g$ 的直角三角形，三個 short-axis projections 又必須共同滿足一個三維 sphere closure。

這是 Center-Axis formulation 的起點。

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# 2. Normalized Center-Axis Coordinates

將所有長度除以：

$$
g.
$$

定義：

$$
x_a=\frac ag,
$$

$$
x_b=\frac bg,
$$

$$
x_c=\frac cg.
$$

以及 opposite face-diagonal ratios：

$$
y_a=\frac fg,
$$

$$
y_b=\frac eg,
$$

$$
y_c=\frac dg.
$$

則：

$$
x_a^2+y_a^2=1,
$$

$$
x_b^2+y_b^2=1,
$$

$$
x_c^2+y_c^2=1.
$$

同時 body closure 為：

$$
\boxed{
x_a^2+x_b^2+x_c^2=1.
}
$$

因為所有長度皆正：

$$
0<x_i<1,
$$

$$
0<y_i<1.
$$

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# 3. Center-Axis Angles

為三組 center-axis right-triangle channels 定義：

$$
\alpha,
\beta,
\gamma
\in
\left(
0,\frac{\pi}{2}
\right).
$$

使：

$$
x_a=\cos\alpha,
$$

$$
y_a=\sin\alpha,
$$

$$
x_b=\cos\beta,
$$

$$
y_b=\sin\beta,
$$

$$
x_c=\cos\gamma,
$$

$$
y_c=\sin\gamma.
$$

因此 body closure 變成：

$$
\boxed{
\cos^2\alpha
+
\cos^2\beta
+
\cos^2\gamma
=
1.
}
$$

這已經把 Perfect Cuboid 的 geometry 轉成三個中心軸角的全域耦合。

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# 4. Half-Angle Rational Parameters

定義：

$$
t_a
=
\tan\frac{\alpha}{2},
$$

$$
t_b
=
\tan\frac{\beta}{2},
$$

$$
t_c
=
\tan\frac{\gamma}{2}.
$$

由 half-angle identities：

$$
\cos\alpha
=
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2},
$$

$$
\sin\alpha
=
\frac{2t_a}{1+t_a^2}.
$$

同理：

$$
\cos\beta
=
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2},
$$

$$
\sin\beta
=
\frac{2t_b}{1+t_b^2},
$$

以及：

$$
\cos\gamma
=
\frac{1-t_c^2}{1+t_c^2},
$$

$$
\sin\gamma
=
\frac{2t_c}{1+t_c^2}.
$$

因為：

$$
0<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2},
$$

所以：

$$
\boxed{
0<t_a,t_b,t_c<1.
}
$$

---

# 5. Rationality Compression

最重要的觀察是：

若：

$$
t_i\in\mathbb Q,
$$

則：

$$
\frac{1-t_i^2}{1+t_i^2}
\in\mathbb Q
$$

且：

$$
\frac{2t_i}{1+t_i^2}
\in\mathbb Q.
$$

因此一個 rational half-angle parameter：

$$
t_i
$$

同時保證：

$$
\boxed{
\text{edge ratio rational}
}
$$

和：

$$
\boxed{
\text{opposite face-diagonal ratio rational}.
}
$$

所以不必分別解：

$$
a/g
$$

與：

$$
f/g.
$$

它們由同一個：

$$
t_a
$$

自動 rationalize。

三組 channel 同理。

---

# 6. Center-Axis Rational Closure Equation

把 half-angle expressions 代入：

$$
x_a^2+x_b^2+x_c^2=1.
$$

得到：

$$
\boxed{
\left(
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_c^2}{1+t_c^2}
\right)^2
=
1.
}
$$

定義：

$$
\Phi(t_a,t_b,t_c)
=
\left(
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_c^2}{1+t_c^2}
\right)^2
-1.
$$

則：

$$
\boxed{
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0
}
$$

即為 CARCE。

---

# 7. 主定理

## Theorem 1 — Center-Axis Rational Closure Theorem

Perfect Cuboid 存在，當且僅當存在：

$$
t_a,t_b,t_c
\in
\mathbb Q\cap(0,1)
$$

使：

$$
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0.
$$

即：

$$
\boxed{
\text{Perfect Cuboid exists}
\iff
\mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing.
}
$$

其中：

$$
\mathcal M
=
\left\{
T\in(0,1)^3:
\Phi(T)=0
\right\}.
$$

---

# 8. Proof — Perfect Cuboid 推出 rational point

假設存在 Perfect Cuboid：

$$
(a,b,c,d,e,f,g)
\in
\mathbb Z_{>0}^7.
$$

由：

$$
a^2+f^2=g^2,
$$

定義：

$$
x_a=\frac ag,
$$

$$
y_a=\frac fg.
$$

則：

$$
x_a^2+y_a^2=1.
$$

定義：

$$
t_a
=
\frac{y_a}{1+x_a}.
$$

因此：

$$
t_a
=
\frac{f/g}{1+a/g}
=
\frac{f}{g+a}.
$$

所以：

$$
t_a\in\mathbb Q.
$$

且因：

$$
0<\alpha<\frac{\pi}{2},
$$

所以：

$$
0<t_a<1.
$$

同理：

$$
t_b
=
\frac{e}{g+b}
\in
\mathbb Q\cap(0,1),
$$

以及：

$$
t_c
=
\frac{d}{g+c}
\in
\mathbb Q\cap(0,1).
$$

另一方面：

$$
\frac ag
=
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2},
$$

$$
\frac bg
=
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2},
$$

$$
\frac cg
=
\frac{1-t_c^2}{1+t_c^2}.
$$

因為：

$$
a^2+b^2+c^2=g^2,
$$

除以：

$$
g^2
$$

得到：

$$
\left(
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_c^2}{1+t_c^2}
\right)^2
=
1.
$$

因此：

$$
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0.
$$

故：

$$
\boxed{
\text{Perfect Cuboid}
\Rightarrow
\mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing.
}
$$

---

# 9. Proof — rational point 推出 Perfect Cuboid

反過來，假設：

$$
t_a,t_b,t_c
\in
\mathbb Q\cap(0,1)
$$

且：

$$
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0.
$$

令每一個：

$$
t_i=\frac{m_i}{n_i}
$$

為 lowest terms，且：

$$
0<m_i<n_i,
$$

$$
\gcd(m_i,n_i)=1.
$$

定義：

$$
P_i=n_i^2-m_i^2,
$$

$$
R_i=2m_in_i,
$$

$$
Q_i=n_i^2+m_i^2.
$$

則：

$$
P_i^2+R_i^2=Q_i^2.
$$

並且：

$$
\frac{P_i}{Q_i}
=
\frac{1-t_i^2}{1+t_i^2},
$$

$$
\frac{R_i}{Q_i}
=
\frac{2t_i}{1+t_i^2}.
$$

CARCE 給：

$$
\frac{P_a^2}{Q_a^2}
+
\frac{P_b^2}{Q_b^2}
+
\frac{P_c^2}{Q_c^2}
=
1.
$$

令：

$$
G=Q_aQ_bQ_c.
$$

定義整數：

$$
A=P_aQ_bQ_c,
$$

$$
B=P_bQ_aQ_c,
$$

$$
C=P_cQ_aQ_b.
$$

並定義：

$$
F=R_aQ_bQ_c,
$$

$$
E=R_bQ_aQ_c,
$$

$$
D=R_cQ_aQ_b.
$$

則：

$$
A,B,C,D,E,F,G
\in
\mathbb Z_{>0}.
$$

由：

$$
P_a^2+R_a^2=Q_a^2
$$

乘上：

$$
Q_b^2Q_c^2
$$

得到：

$$
A^2+F^2=G^2.
$$

同理：

$$
B^2+E^2=G^2,
$$

以及：

$$
C^2+D^2=G^2.
$$

由 CARCE：

$$
A^2+B^2+C^2=G^2.
$$

因此：

$$
B^2+C^2
=
G^2-A^2
=
F^2,
$$

$$
A^2+C^2
=
G^2-B^2
=
E^2,
$$

$$
A^2+B^2
=
G^2-C^2
=
D^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
(A,B,C,D,E,F,G)
}
$$

是一個 Perfect Cuboid。

故：

$$
\boxed{
\mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing
\Rightarrow
\text{Perfect Cuboid exists}.
}
$$

兩方向合併，定理得證。

---

# 10. Exact Witness Generator

因此只要得到：

$$
t_i=\frac{m_i}{n_i},
$$

便可直接生成：

$$
P_i=n_i^2-m_i^2,
$$

$$
R_i=2m_in_i,
$$

$$
Q_i=n_i^2+m_i^2.
$$

再令：

$$
G=Q_aQ_bQ_c.
$$

最終：

$$
A=P_aQ_bQ_c,
$$

$$
B=P_bQ_aQ_c,
$$

$$
C=P_cQ_aQ_b,
$$

$$
D=R_cQ_aQ_b,
$$

$$
E=R_bQ_aQ_c,
$$

$$
F=R_aQ_bQ_c.
$$

所以 rational point 本身就是一個 compact certificate。

後續 verifier 甚至不必相信 Geometry Engine。

只需重新計算：

$$
A^2+B^2-D^2,
$$

$$
A^2+C^2-E^2,
$$

$$
B^2+C^2-F^2,
$$

$$
A^2+B^2+C^2-G^2
$$

是否全部 exact 等於：

$$
0.
$$

---

# 11. Integer Polynomial Certificate

CARCE 還可以直接清除 rational denominators。

由：

$$
\frac{P_a^2}{Q_a^2}
+
\frac{P_b^2}{Q_b^2}
+
\frac{P_c^2}{Q_c^2}
=
1
$$

乘上：

$$
Q_a^2Q_b^2Q_c^2
$$

得到：

$$
\boxed{
P_a^2Q_b^2Q_c^2
+
P_b^2Q_a^2Q_c^2
+
P_c^2Q_a^2Q_b^2
=
Q_a^2Q_b^2Q_c^2.
}
$$

因此 Perfect Cuboid existence 也等價於存在：

$$
m_a,n_a,
m_b,n_b,
m_c,n_c
\in
\mathbb Z_{>0}
$$

滿足：

$$
0<m_i<n_i,
$$

$$
\gcd(m_i,n_i)=1
$$

以及上述單一整數 polynomial identity。

這是一個 six-integer structured Diophantine reformulation。

---

# 12. Square-Defect Map

現在定義：

$$
\Delta(x)
=
\frac{1-x}{1+x}.
$$

若：

$$
x=\cos\alpha,
$$

且：

$$
t=\tan\frac{\alpha}{2},
$$

則：

$$
\boxed{
t^2
=
\frac{1-x}{1+x}
=
\Delta(x).
}
$$

因此：

$$
t\in\mathbb Q
$$

當且僅當：

$$
\Delta(x)
$$

是 rational square。

所以 Perfect Cuboid 也等價於：

存在：

$$
x_a,x_b,x_c\in\mathbb Q\cap(0,1)
$$

滿足：

$$
x_a^2+x_b^2+x_c^2=1
$$

且：

$$
\boxed{
\Delta(x_a),
\Delta(x_b),
\Delta(x_c)
\in
\mathbb Q^2.
}
$$

這是：

$$
\boxed{
\text{Rational Sphere + Three Square-Defect Closures}.
}
$$

---

# 13. 與 Shared-Core 方法的完全對接

對：

$$
x=\frac ag
$$

有：

$$
\Delta(x)
=
\frac{1-a/g}{1+a/g}
=
\frac{g-a}{g+a}.
$$

而：

$$
a^2+f^2=g^2
$$

意味：

$$
f^2
=
(g-a)(g+a).
$$

因此：

$$
\frac{g-a}{g+a}
=
\frac{f^2}{(g+a)^2}
=
\left(
\frac{f}{g+a}
\right)^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
t_a
=
\frac{f}{g+a}.
}
$$

這表明先前 Verification Branch A 的：

$$
(g-a)(g+a)
$$

shared-core square test，

與現在 Geometry Branch G 的 half-angle coupling：

$$
t_a
$$

其實是同一個 arithmetic structure 的兩種投影。

兩條研究線在此 exact 合流。

---

# 14. Current Seed

目前最重要的 exact-real seed 為：

$$
(a,b,c;g)
=
(448,495,840;1073).
$$

兩條 face diagonals：

$$
e=952,
$$

$$
f=975
$$

為 exact integers。

剩餘：

$$
d
=
\sqrt{448^2+495^2}
=
\sqrt{445729}.
$$

而：

$$
445729
=
233\cdot1913.
$$

---

# 15. Seed 的第一個 half-angle parameter

對 edge：

$$
a=448
$$

與 opposite diagonal：

$$
f=975,
$$

得到：

$$
t_a
=
\frac{f}{g+a}.
$$

因此：

$$
t_a
=
\frac{975}{1073+448}
=
\frac{975}{1521}
=
\boxed{
\frac{25}{39}
}.
$$

對應：

$$
t_a^2
=
\frac{625}{1521}.
$$

同時：

$$
\Delta\left(\frac{448}{1073}\right)
=
\frac{1073-448}{1073+448}
=
\frac{625}{1521}.
$$

---

# 16. Seed 的第二個 half-angle parameter

對：

$$
b=495
$$

與：

$$
e=952,
$$

有：

$$
t_b
=
\frac{952}{1073+495}
=
\frac{952}{1568}
=
\boxed{
\frac{17}{28}
}.
$$

因此：

$$
t_b^2
=
\frac{289}{784}.
$$

亦即：

$$
\Delta\left(\frac{495}{1073}\right)
=
\frac{578}{1568}
=
\frac{289}{784}.
$$

---

# 17. Seed 的第三個 half-angle parameter

對：

$$
c=840,
$$

有：

$$
d=\sqrt{445729}.
$$

所以：

$$
t_c
=
\frac{d}{g+c}
=
\frac{\sqrt{445729}}{1913}.
$$

平方：

$$
t_c^2
=
\frac{445729}{1913^2}.
$$

因為：

$$
445729
=
233\cdot1913,
$$

所以：

$$
\boxed{
t_c^2
=
\frac{233}{1913}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
t_c
=
\sqrt{\frac{233}{1913}}.
}
$$

此值不是目前已知的 rational parameter。

---

# 18. Seed 的 canonical form

所以目前 seed 在 CARCE surface 上的位置為：

$$
\boxed{
T_0
=
\left(
\frac{25}{39},
\frac{17}{28},
\sqrt{\frac{233}{1913}}
\right).
}
$$

其 squared coordinates：

$$
\boxed{
S_0
=
\left(
\frac{625}{1521},
\frac{289}{784},
\frac{233}{1913}
\right).
}
$$

而：

$$
\boxed{
\Phi(T_0)=0
}
$$

exactly。

這表示：

> geometric closure 已經完成；三個 half-angle arithmetic channels 中已有兩個 rational closure，僅第三個尚未 rationalize。

---

# 19. CARCE Surface

定義：

$$
\mathcal M
=
\left\{
(t_a,t_b,t_c)\in(0,1)^3:
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0
\right\}.
$$

Perfect Cuboid existence 現在等價於：

$$
\boxed{
\mathcal M\cap\mathbb Q^3\neq\varnothing.
}
$$

因此研究對象不再是無界：

$$
\mathbb Z_{>0}^7.
$$

而是 bounded cube：

$$
(0,1)^3
$$

內的一個 exact algebraic surface。

---

# 20. Smoothness of the Interior Surface

令：

$$
c(t)
=
\frac{1-t^2}{1+t^2}.
$$

則：

$$
\Phi
=
c(t_a)^2
+
c(t_b)^2
+
c(t_c)^2
-1.
$$

有：

$$
c'(t)
=
-\frac{4t}{(1+t^2)^2}.
$$

所以：

$$
\frac{\partial\Phi}{\partial t}
=
2c(t)c'(t)
=
-\frac{
8t(1-t^2)
}{
(1+t^2)^3
}.
$$

對：

$$
0<t<1,
$$

有：

$$
t>0,
$$

$$
1-t^2>0.
$$

所以：

$$
\frac{\partial\Phi}{\partial t}<0.
$$

因此在：

$$
(0,1)^3
$$

內：

$$
\nabla\Phi\neq0.
$$

由 implicit function theorem：

$$
\boxed{
\mathcal M
\text{ 是一個 smooth two-dimensional manifold}.
}
$$

這給 Geometry Dynamics 一個 formal foundation。

---

# 21. 對稱 polynomial surface

因為：

$$
\Phi
$$

只依賴：

$$
t_a^2,
t_b^2,t_c^2,
$$

令：

$$
s_1=t_a^2,
$$

$$
s_2=t_b^2,
$$

$$
s_3=t_c^2.
$$

則：

$$
\left(
\frac{1-s_1}{1+s_1}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-s_2}{1+s_2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-s_3}{1+s_3}
\right)^2
=
1.
$$

清除 denominators 後，得到 symmetric polynomial：

$$
\Psi(s_1,s_2,s_3)=0.
$$

其顯式形式為：

$$
\Psi
=
s_1^2s_2^2s_3^2
+
s_1^2s_2^2
+
s_1^2s_3^2
+
s_2^2s_3^2
+
s_1^2+s_2^2+s_3^2
$$

$$
\quad
-4s_1^2s_2s_3
-4s_1s_2^2s_3
-4s_1s_2s_3^2
-16s_1s_2s_3
$$

$$
\quad
-4s_1s_2
-4s_1s_3
-4s_2s_3
+1.
$$

這是一個完全對稱的 degree-$6$ polynomial in：

$$
(s_1,s_2,s_3).
$$

---

# 22. Elementary-Symmetric Compression

令：

$$
\sigma_1=s_1+s_2+s_3,
$$

$$
\sigma_2=s_1s_2+s_1s_3+s_2s_3,
$$

$$
\sigma_3=s_1s_2s_3.
$$

則上述 polynomial 可以壓成：

$$
\boxed{
\Psi
=
\sigma_1^2
+
\sigma_2^2
+
\sigma_3^2
-
6\sigma_2
-
6\sigma_1\sigma_3
-
16\sigma_3
+
1.
}
$$

因此 CARCE surface 具有明確 permutation symmetry：

$$
S_3.
$$

這個表示未來適合：

- symbolic factorization；
- singularity analysis；
- rational-point search；
- birational classification；
- modular obstruction；
- invariant construction。

---

# 23. Seed 精確落在 polynomial surface

對目前 seed：

$$
s_1=\frac{625}{1521},
$$

$$
s_2=\frac{289}{784},
$$

$$
s_3=\frac{233}{1913}.
$$

exact substitution 得：

$$
\boxed{
\Psi
\left(
\frac{625}{1521},
\frac{289}{784},
\frac{233}{1913}
\right)
=
0.
}
$$

注意：

$$
s_3\in\mathbb Q
$$

但：

$$
s_3
$$

不是 rational square。

因此：

$$
t_c=\sqrt{s_3}\notin\mathbb Q.
$$

這正是目前唯一的 half-angle arithmetic defect。

---

# 24. Geometry Closure 與 Rational Closure 的區別

目前 seed 已滿足：

$$
\Phi(T_0)=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{不需要再尋找 cuboid geometry}.
}
$$

真正需要的是：

$$
\boxed{
\text{在 }\mathcal M\text{ 上尋找 rational point}.
}
$$

也就是：

$$
T_0
\longrightarrow
T^\ast
$$

其中：

$$
T^\ast\in\mathcal M\cap\mathbb Q^3.
$$

這是後續所有 dynamics、visualization 與 arithmetic observer 的核心目標。

---

# 25. Geometry-Preserving Dynamics

因為目前已在：

$$
\Phi=0
$$

上，

不應再讓 dynamics 主要做：

$$
-\nabla\Phi.
$$

那只是在重新解 geometric closure。

新的 dynamics 應該沿：

$$
\mathcal M
$$

的 tangent space 移動。

設 arithmetic heuristic：

$$
A(T)
$$

衡量 rationality complexity。

則 unconstrained arithmetic descent：

$$
-\nabla A
$$

可以投影到 tangent plane。

定義：

$$
P_T
=
I
-
\frac{
\nabla\Phi
\nabla\Phi^{\mathsf T}
}{
\|\nabla\Phi\|^2
}.
$$

則：

$$
\boxed{
\dot T
=
-
P_T\nabla A(T).
}
$$

此 flow 的設計目標為：

$$
\frac{d}{dt}\Phi(T(t))=0
$$

並盡量降低：

$$
A(T).
$$

這就是：

$$
\boxed{
\text{geometry-preserving arithmetic search}.
}
$$

---

# 26. Numerical Constraint Correction

實際 floating-point runtime 中，

即使 tangent flow 理論上滿足：

$$
\dot\Phi=0,
$$

finite precision 仍可能產生 drift。

因此每一步可以加 projection correction：

$$
T'
=
T+\Delta T.
$$

再用：

$$
T_{\mathrm{corr}}
=
T'
-
\frac{
\Phi(T')
}{
\|\nabla\Phi(T')\|^2
}
\nabla\Phi(T')
$$

作一次 Newton-style normal correction。

重複直到：

$$
|\Phi|
<
\varepsilon_G.
$$

但：

$$
\varepsilon_G
$$

只屬於 geometric numerical runtime。

最終 mathematical certificate 仍必須：

$$
\Phi=0
$$

exact。

---

# 27. Two-Coordinate Surface Explorer

由 smoothness：

$$
\frac{\partial\Phi}{\partial t_c}\neq0
$$

在 interior。

因此局部可以寫：

$$
t_c
=
h(t_a,t_b).
$$

所以軟體未必需要在三維內任意移動。

可以直接使用：

$$
(t_a,t_b)
$$

作為控制平面。

每次解：

$$
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0
$$

得到唯一 local branch：

$$
t_c=h(t_a,t_b).
$$

這會把 visualization 直接降成：

$$
\boxed{
\text{2D arithmetic landscape over a geometric closure surface}.
}
$$

---

# 28. Explicit Third-Coordinate Formula

令：

$$
x_a
=
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2},
$$

$$
x_b
=
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}.
$$

定義：

$$
u
=
1-x_a^2-x_b^2.
$$

若：

$$
0<u<1,
$$

則 positive branch：

$$
x_c=\sqrt{u}.
$$

又：

$$
t_c^2
=
\frac{1-x_c}{1+x_c}.
$$

所以：

$$
\boxed{
t_c
=
\sqrt{
\frac{
1-\sqrt{
1-x_a^2-x_b^2
}
}{
1+\sqrt{
1-x_a^2-x_b^2
}
}
}.
}
$$

其中：

$$
x_a
=
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2},
$$

$$
x_b
=
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}.
$$

這個 nested-square form 直接揭露兩層 arithmetic closure：

1. $x_c$ 必須 rational；
2. $t_c^2=\Delta(x_c)$ 必須 rational square。

---

# 29. Current Seed 的兩層 closure 狀態

目前 seed 已有：

$$
x_a=\frac{448}{1073},
$$

$$
x_b=\frac{495}{1073}.
$$

因此：

$$
1-x_a^2-x_b^2
=
\left(
\frac{840}{1073}
\right)^2.
$$

所以第一層：

$$
\boxed{
x_c\in\mathbb Q
}
$$

已經 exact closure。

第二層：

$$
\Delta(x_c)
=
\frac{233}{1913}
$$

不是 rational square。

所以 seed 可以更精確地描述為：

$$
\boxed{
\text{sphere closure PASS}
}
$$

$$
\boxed{
\text{third edge rationality PASS}
}
$$

$$
\boxed{
\text{third opposite-face half-angle square closure FAIL}.
}
$$

這是比單純說「差一條 diagonal」更強的 diagnostics。

---

# 30. Arithmetic Observer 的真正工作

Arithmetic Observer 不需要重新檢查 geometry。

它應該專注在：

$$
t_a,t_b,t_c
$$

的 arithmetic structure。

可包含：

## Rational reconstruction score

對 floating value：

$$
t
$$

尋找低 height：

$$
\frac pq
$$

使：

$$
\left|
t-\frac pq
\right|
$$

極小。

## Continued-fraction depth

觀察某些 convergents 是否異常穩定。

## Denominator height

記錄：

$$
H(t)=\max(|p|,|q|).
$$

## Square-class score

對：

$$
s=t^2
$$

檢查 rational reconstruction 後 numerator / denominator 是否接近 perfect squares。

## Radix profile

觀察多 radix representation 是否同時出現 complexity collapse。

---

# 31. Arithmetic Energy 不應冒充 Proof

可以定義：

$$
A(T)
=
w_1A_{\mathrm{CF}}
+
w_2A_{\mathrm{height}}
+
w_3A_{\mathrm{square}}
+
w_4A_{\mathrm{radix}}.
$$

這只是一個 search heuristic。

即使：

$$
A(T)\rightarrow0
$$

也不能直接宣告 Perfect Cuboid。

只有得到 exact rational triple：

$$
T^\ast
$$

並 exact 驗證：

$$
\Phi(T^\ast)=0
$$

才可進入 certificate stage。

---

# 32. Exactification Pipeline

未來軟體若發現 candidate：

$$
\widetilde T
=
(\widetilde t_a,\widetilde t_b,\widetilde t_c),
$$

則執行：

### Step 1

對每一個：

$$
\widetilde t_i
$$

做 rational reconstruction：

$$
\widetilde t_i
\leadsto
\frac{m_i}{n_i}.
$$

### Step 2

形成 exact：

$$
T^\ast
=
\left(
\frac{m_a}{n_a},
\frac{m_b}{n_b},
\frac{m_c}{n_c}
\right).
$$

### Step 3

以 arbitrary precision rational arithmetic 計算：

$$
\Phi(T^\ast).
$$

只接受：

$$
\boxed{
\Phi(T^\ast)=0.
}
$$

### Step 4

生成：

$$
(A,B,C,D,E,F,G).
$$

### Step 5

獨立重算四條 integer identities。

### Step 6

canonicalize：

$$
\gcd(A,B,C)=1.
$$

必要時除掉共同因子。

### Step 7

輸出 machine-verifiable certificate。

---

# 33. Proof Completion Condition

從此論文之後，

研究線的 formal success condition 可以縮成：

$$
\boxed{
\exists\,
t_a,t_b,t_c
\in
\mathbb Q\cap(0,1)
:
\Phi(t_a,t_b,t_c)=0.
}
$$

一旦這個 statement 有 constructive witness，

Perfect Cuboid existence proof 就完成。

不需要額外 conjectural leap。

---

# 34. 如果最終得到巨大 rational parameters

即使：

$$
m_i,n_i
$$

非常巨大，

也不影響 proof logic。

因為 witness generator 完全代數化。

所以 Geometry Branch 的一個核心優勢仍是：

$$
\boxed{
\text{search 可以在 bounded coupling space 進行，
最終 integer height 可以延後顯現}.
}
$$

---

# 35. 與傳統搜尋的真正差別

傳統搜尋主要問：

$$
\boxed{
\text{integer witness 在多高？}
}
$$

CARCE formulation 改問：

$$
\boxed{
\text{rational point 在 }\mathcal M\text{ 的哪裡？}
}
$$

也就是從：

$$
\text{height expansion}
$$

轉向：

$$
\text{surface navigation}.
$$

如果 arithmetic structure 在：

$$
\mathcal M
$$

上具有可學習或可觀察的方向性，

則可能避免：

$$
H\rightarrow10H\rightarrow100H
$$

式的巨大搜尋外擴。

---

# 36. 但必須保持的理論警告

目前沒有證明：

$$
\boxed{
\text{arithmetic distance}
}
$$

在：

$$
\mathcal M
$$

上形成 smooth gradient。

也沒有證明：

$$
\boxed{
\mathcal M(\mathbb Q)
}
$$

非空。

更沒有證明：

$$
\mathcal M(\mathbb Q)
$$

在 real surface 上 dense。

因此：

- dynamics 是搜尋方法；
- visualization 是觀察方法；
- arithmetic energy 是 heuristic；
- CARCE rational witness 才是 proof。

這四層必須區分。

---

# 37. 後續主研究問題 A：Rational Point Existence

第一核心問題：

$$
\boxed{
\mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing?
}
$$

可以由：

- rational parameterization；
- birational transformation；
- algebraic surface classification；
- elliptic fibration；
- conic bundle；
- local-global tests；
- descent；
- modular obstruction；
- rational curve search；

等方向展開。

---

# 38. 後續主研究問題 B：Seed-Local Rationalization

以：

$$
T_0
=
\left(
\frac{25}{39},
\frac{17}{28},
\sqrt{\frac{233}{1913}}
\right)
$$

為中心，

研究：

$$
\mathcal M
$$

局部 neighborhood。

目標不是證明：

$$
T^\ast
$$

必須接近：

$$
T_0.
$$

而是測試：

- 是否有低-height rational traces；
- rational approximants 是否落在特殊 curvature directions；
- square-defect 是否沿某些 tangent directions下降；
- nearby rational slices 是否形成 algebraic families。

---

# 39. 後續主研究問題 C：Fix Two, Solve One

固定：

$$
t_a,t_b\in\mathbb Q.
$$

把：

$$
\Phi=0
$$

視為：

$$
t_c
$$

的 equation。

由於：

$$
\Phi
$$

只含：

$$
t_c^2,
$$

可以令：

$$
s_c=t_c^2.
$$

這會得到一個 rational algebraic equation。

研究：

$$
s_c
$$

何時為：

$$
\mathbb Q^2.
$$

這條線直接對應：

$$
\boxed{
\text{two rational channels}
\rightarrow
\text{third rational-square closure}.
}
$$

與目前 seed 完全匹配。

---

# 40. 後續主研究問題 D：Fix One Symmetry Class

由：

$$
\Psi
$$

的：

$$
S_3
$$

symmetry，

可考慮：

$$
s_1=s_2,
$$

或：

$$
s_1s_2=\text{constant},
$$

等 invariant slices。

這些 slice 可能降成：

- conic；
- quartic；
- genus-$1$ curve；
- higher-genus curve。

若某 slice 有 rational point，

即可直接生成 Perfect Cuboid。

---

# 41. 後續主研究問題 E：Arithmetic-Preserving Dynamics

不同於一般 floating dynamics，

可以嘗試讓：

$$
t_a,t_b
$$

始終保持 rational：

$$
t_a=\frac{p_a}{q_a},
$$

$$
t_b=\frac{p_b}{q_b}.
$$

每次只做 rational mutation：

$$
\frac pq
\rightarrow
\frac{p+\Delta p}{q+\Delta q}.
$$

然後 exact 求：

$$
s_c.
$$

只要：

$$
s_c
$$

變成 rational square，

就結束。

這是一種：

$$
\boxed{
\text{discrete rational dynamics on a continuous geometric surface}.
}
$$

---

# 42. 後續主研究問題 F：Height vs. Geometric Distance

研究：

$$
H(T)
$$

與：

$$
d_{\mathcal M}(T,T_0)
$$

的關係。

如果低 arithmetic height points 在 surface 上存在某些 clustering，

則 Geometry Branch 可能真正建立：

$$
\boxed{
\text{distance-guided exact search}.
}
$$

如果完全無 clustering，

則需要回到更強的 algebraic invariant。

---

# 43. G2 的重新定義

原本 G2 只預定為：

$$
\text{Three-X Shared-Edge Closure}.
$$

從本文之後，

G2 應升級為：

$$
\boxed{
\text{CARCE Surface Explorer}.
}
$$

核心畫面包括：

- $t_a$；
- $t_b$；
- $t_c$；
- $\Phi$；
- $s_i=t_i^2$；
- square-defect status；
- rational reconstruction；
- denominator height；
- tangent direction；
- surface trajectory。

Three-X cuboid view 則作為 geometry visualization layer。

---

# 44. G3 的重新定義

G3：

$$
\boxed{
\text{Geometry-Preserving Arithmetic Dynamics}.
}
$$

實作：

$$
\dot T
=
-
P_T\nabla A.
$$

並加入：

- tangent projection；
- normal correction；
- trajectory logging；
- rationality diagnostics；
- multiple arithmetic potentials。

---

# 45. G4 的重新定義

G4：

$$
\boxed{
\text{Exact Rational Mutation Engine}.
}
$$

不使用任意 floating step。

而是直接在：

$$
\mathbb Q^2
$$

上變更：

$$
t_a,t_b.
$$

每一步 exact 求：

$$
s_c.
$$

分類：

- irrational $x_c$；
- rational $x_c$ but nonsquare $\Delta(x_c)$；
- rational square closure；
- exact CARCE rational point。

---

# 46. G5 的重新定義

G5：

$$
\boxed{
\text{Symbolic Surface Decomposition}.
}
$$

以：

$$
\Psi(s_1,s_2,s_3)=0
$$

為 canonical symbolic object。

研究：

- factorization under slices；
- rational curves；
- singular compactification；
- fibration；
- symmetry quotient；
- local obstructions；
- birational maps。

---

# 47. G6 的重新定義

G6：

$$
\boxed{
\text{Certificate Escalation}.
}
$$

任何 candidate：

$$
T^\ast\in\mathbb Q^3
$$

若：

$$
\Phi(T^\ast)=0,
$$

立即：

1. generate integer witness；
2. independent big-int verify；
3. primitive normalize；
4. generate JSON certificate；
5. generate Markdown proof；
6. generate Lean / Coq target。

---

# 48. Minimal Machine Certificate

最小 certificate 可只包含：

```text
t_a = m_a / n_a
t_b = m_b / n_b
t_c = m_c / n_c
```

以及：

```text
Phi(t_a,t_b,t_c) == 0
```

Verifier 再自行生成：

```text
P_i = n_i^2 - m_i^2
R_i = 2 m_i n_i
Q_i = n_i^2 + m_i^2
```

以及：

```text
G = Q_a Q_b Q_c
```

最後重建所有七個 integer lengths。

所以 certificate 非常 compact。

---

# 49. Formal Proof Layer

一旦 witness 出現，

形式證明本身很簡單。

Theorem 1 已把抽象部分完成。

剩下只需要 formal checker 驗證某組明確 rational constants：

$$
t_a,t_b,t_c
$$

滿足：

$$
\Phi=0.
$$

或直接驗證生成後的 integer witness。

所以：

$$
\boxed{
\text{難點在 discovery，不在 final verification}.
}
$$

---

# 50. 本論文之後的 canonical research object

從本文起，

Geometry Branch G 不再以：

$$
(a,b,c,d,e,f,g)
$$

作 primary search state。

canonical state 改為：

$$
\boxed{
T=
(t_a,t_b,t_c)
}
$$

與：

$$
\boxed{
S=
(s_1,s_2,s_3)
=
(t_a^2,t_b^2,t_c^2).
}
$$

canonical equations：

$$
\boxed{
\Phi(T)=0
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\Psi(S)=0.
}
$$

經典 Perfect Cuboid existence：

$$
\boxed{
T\in\mathbb Q^3.
}
$$

---

# 51. 主命題重新表述

從此可以把 Perfect Cuboid 猜想重新表述為：

> 在 open cube $(0,1)^3$ 中，CARCE smooth surface 是否包含一個 rational point？

即：

$$
\boxed{
\exists
T\in
\mathbb Q^3\cap(0,1)^3
:
\Phi(T)=0?
}
$$

這個 statement 與 classical Perfect Cuboid existence exact 等價。

---

# 52. 目前已完成與尚未完成

## 已完成

- Center-Axis formulation；
- half-angle rational compression；
- CARCE；
- exact equivalence theorem；
- integer witness generator；
- square-defect bridge；
- shared-core bridge；
- symmetric polynomial surface；
- smoothness proof；
- current seed exact embedding；
- proof completion criterion。

## 尚未完成

- 找到：
  $$
  T^\ast\in\mathbb Q^3\cap\mathcal M;
  $$
- 證明：
  $$
  \mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing;
  $$
- 或反方向證明：
  $$
  \mathcal M(\mathbb Q)=\varnothing.
  $$

所以 classical Perfect Cuboid 仍未被本文解決。

但問題已被 exact 壓縮到一個明確 rational-point existence problem。

---

# 53. 研究哲學

這條研究線現在可以簡化成：

$$
\boxed{
\text{Geometry gives the surface.}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Arithmetic chooses the points.}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Exact verification decides the theorem.}
}
$$

Geometry Engine 不再負責證明。

Arithmetic Observer 不再負責生成世界。

Verifier 不參與 heuristic。

三者分離：

$$
\boxed{
\text{Generate}
\rightarrow
\text{Rationalize}
\rightarrow
\text{Certify}.
}
$$

---

# 54. 最終結論

本文將 Perfect Cuboid existence exact reformulate 為：

$$
\boxed{
\mathcal M(\mathbb Q)\neq\varnothing,
}
$$

其中：

$$
\mathcal M
=
\left\{
(t_a,t_b,t_c)\in(0,1)^3:
\left(
\frac{1-t_a^2}{1+t_a^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_b^2}{1+t_b^2}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-t_c^2}{1+t_c^2}
\right)^2
=
1
\right\}.
$$

目前 seed：

$$
\boxed{
T_0
=
\left(
\frac{25}{39},
\frac{17}{28},
\sqrt{\frac{233}{1913}}
\right)
}
$$

已 exact 落在：

$$
\mathcal M.
$$

三個 arithmetic half-angle channels 中：

$$
t_a\in\mathbb Q,
$$

$$
t_b\in\mathbb Q,
$$

而：

$$
t_c^2\in\mathbb Q
$$

但目前：

$$
t_c\notin\mathbb Q.
$$

因此後續主研究目標非常清楚：

$$
\boxed{
\text{在 CARCE surface 上，把第三個 square-defect closure 推到 rational square，
或找到任一其他 rational point。}
}
$$

一旦找到：

$$
\boxed{
T^\ast\in\mathbb Q^3\cap\mathcal M,
}
$$

便可自動生成：

$$
\boxed{
(A,B,C,D,E,F,G)\in\mathbb Z_{>0}^7
}
$$

並完成 Perfect Cuboid existence 的 exact constructive proof。

---

## Canonical One-Line Target

$$
\boxed{
\exists\,
t_a,t_b,t_c\in\mathbb Q\cap(0,1)
:
\sum_{i\in\{a,b,c\}}
\left(
\frac{1-t_i^2}{1+t_i^2}
\right)^2
=
1.
}
$$

---

**End of Canonical Paper v0.1**