> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 C1 — 守恆移動代數

## 精確移動生成元、有理配對旋轉，以及單軸修復軌道

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**分支：** 守恆—對偶分支 C  
**階段：** C1 — 移動代數  
**日期：** 2026-10-02

---

# 摘要

C0 守恆—對偶方法論將完美長方體幾何改寫為六格守恆狀態

$$
X=(A,B,C,D,E,F)
$$

其滿足

$$
A+B+C=1,
$$

$$
A+F=1,
$$

$$
B+E=1,
$$

$$
C+D=1.
$$

因此，幾何狀態是一個仿射二維守恆流形。

本文建立該流形上的精確移動代數。

主要結論為：

1. 每個無窮小或有限守恆移動都位於二維移動空間中；
2. 三個視覺上自然的配對轉移移動滿足一個線性關係；
3. 修復目前 $D$ 中的缺陷，至少需要移動四格；
4. 從目前的種子出發，恰有兩條有用的單軸修復軌道；
5. 先前研究的 $k=7/32$ 巢狀 X／虧格 $5$ 族，恰為其中一條單軸守恆軌道；
6. 第二條同樣自然的單軸族位於
   $$
   k=\frac{11}{45};
   $$
7. 兩種單軸描述都顯露相同的算術缺陷
   $$
   \frac{233}{1913};
   $$
8. 保持有理平方的對偶配對移動構成有理旋轉群。

因此，先前的算術機制可以重新解讀為：在更簡單的守恆代數內，分析特定的移動軌道。

---

# 1. 六格守恆狀態

使用正規化平方變數

$$
A=\frac{a^2}{g^2},
\qquad
B=\frac{b^2}{g^2},
\qquad
C=\frac{c^2}{g^2},
$$

以及

$$
D=\frac{d^2}{g^2},
\qquad
E=\frac{e^2}{g^2},
\qquad
F=\frac{f^2}{g^2}.
$$

精確的幾何守恆律為

$$
\boxed{
A+B+C=1,
}
$$

$$
\boxed{
A+F=1,
}
$$

$$
\boxed{
B+E=1,
}
$$

$$
\boxed{
C+D=1.
}
$$

所以

$$
D=1-C,
$$

$$
E=1-B,
$$

$$
F=1-A.
$$

因此，幾何狀態只由兩個獨立的實變數決定。

---

# 2. 仿射守恆流形

定義

$$
\mathcal M_C
=
\left\{
(A,B,C,D,E,F):
A+B+C=1,\;
A+F=1,\;
B+E=1,\;
C+D=1
\right\}.
$$

對非退化長方體，施加

$$
0<A,B,C,D,E,F<1.
$$

則

$$
\mathcal M_C
$$

是一個仿射二維流形。

切向位移

$$
\Delta X
=
(\delta_A,\delta_B,\delta_C,\delta_D,\delta_E,\delta_F)
$$

必須滿足

$$
\delta_A+\delta_B+\delta_C=0,
$$

$$
\delta_F=-\delta_A,
$$

$$
\delta_E=-\delta_B,
$$

$$
\delta_D=-\delta_C.
$$

因此

$$
\boxed{
\Delta X
=
(
\delta_A,
\delta_B,
\delta_C,
-\delta_C,
-\delta_B,
-\delta_A
),
}
$$

其中

$$
\delta_A+\delta_B+\delta_C=0.
$$

---

# 3. 三個可見的移動生成元

定義

$$
\boxed{
M_{AB}
=
(1,-1,0,0,1,-1),
}
$$

$$
\boxed{
M_{BC}
=
(0,1,-1,1,-1,0),
}
$$

以及

$$
\boxed{
M_{CA}
=
(-1,0,1,-1,0,1).
}
$$

它們滿足

$$
\boxed{
M_{AB}+M_{BC}+M_{CA}=0.
}
$$

因此，有三個視覺上自然的轉動，但只有兩個獨立的移動方向。

一般守恆移動可寫成

$$
\boxed{
\Delta X
=
\lambda M_{AB}
+
\mu M_{BC}.
}
$$

---

# 4. 顯式有限移動

從

$$
X=(A,B,C,D,E,F),
$$

出發，定義

$$
X'
=
X+\lambda M_{AB}+\mu M_{BC}.
$$

則

$$
A'=A+\lambda,
$$

$$
B'=B-\lambda+\mu,
$$

$$
C'=C-\mu,
$$

$$
D'=D+\mu,
$$

$$
E'=E+\lambda-\mu,
$$

$$
F'=F-\lambda.
$$

直接代入給出

$$
A'+B'+C'=1,
$$

$$
A'+F'=1,
$$

$$
B'+E'=1,
$$

$$
C'+D'=1.
$$

因此，每個這類移動都精確保持所有幾何閉合律。

---

# 5. 移動群

忽略正性邊界時，守恆移動構成下列加法群：

$$
\boxed{
(\mathbb R^2,+).
}
$$

對有理移動，

$$
\lambda,\mu\in\mathbb Q,
$$

有理守恆狀態構成下列群的仿射作用：

$$
\boxed{
(\mathbb Q^2,+).
}
$$

複合就是

$$
T_{\lambda_1,\mu_1}
\circ
T_{\lambda_2,\mu_2}
=
T_{\lambda_1+\lambda_2,\mu_1+\mu_2}.
$$

因此，幾何移動代數本身是線性且阿貝爾的。

完美長方體的非線性只經由算術平方性進入。

---

# 6. 對偶配對平方點集

定義有理的對偶配對平方點集

$$
\boxed{
\mathcal P
=
\left\{
X\in\mathbb Q\cap(0,1):
X\in\mathbb Q^2,\;
1-X\in\mathbb Q^2
\right\}.
}
$$

一個值

$$
X\in\mathcal P
$$

表示對偶配對

$$
(X,1-X)
$$

在算術上閉合。

單位圓上的每個有理點都給出這樣的值。

寫成

$$
r\in\mathbb Q.
$$

則

$$
\boxed{
X(r)
=
\left(
\frac{1-r^2}{1+r^2}
\right)^2,
}
$$

以及

$$
\boxed{
1-X(r)
=
\left(
\frac{2r}{1+r^2}
\right)^2.
}
$$

所以

$$
\mathcal P
$$

具有有理參數化。

---

# 7. 完美長方體的最小守恆形式

完美長方體存在性等價於找出

$$
A,B,C\in\mathcal P
$$

使得

$$
\boxed{
A+B+C=1.
}
$$

事實上，一旦

$$
A,B,C\in\mathcal P,
$$

成立，其補值

$$
F=1-A,
$$

$$
E=1-B,
$$

$$
D=1-C
$$

便自動為有理平方。

因此，完整的六平方問題變為

$$
\boxed{
(A,B,C)\in\mathcal P^3,
\qquad
A+B+C=1.
}
$$

這是守恆—對偶分支的算術核心。

---

# 8. 目前的種子

對於

$$
(a,b,c;g)
=
(448,495,840;1073),
$$

有

$$
A
=
\frac{200704}{1151329}
=
\left(
\frac{448}{1073}
\right)^2,
$$

$$
B
=
\frac{245025}{1151329}
=
\left(
\frac{495}{1073}
\right)^2,
$$

$$
C
=
\frac{705600}{1151329}
=
\left(
\frac{840}{1073}
\right)^2.
$$

對偶格為

$$
F
=
\frac{950625}{1151329}
=
\left(
\frac{975}{1073}
\right)^2,
$$

$$
E
=
\frac{906304}{1151329}
=
\left(
\frac{952}{1073}
\right)^2,
$$

以及

$$
D
=
\frac{445729}{1151329}.
$$

由於

$$
445729
=
233\cdot1913,
$$

$D$ 是有理數，但不是有理平方。

因此：

$$
\boxed{
A,B\in\mathcal P,
}
$$

而

$$
\boxed{
C\notin\mathcal P.
}
$$

更精確地說，$C$ 本身為平方，但其對偶補值 $D$ 不是。

---

# 9. 種子的算術狀態

使用格順序

$$
(A,B,C,D,E,F),
$$

種子的平方狀態向量為

$$
\boxed{
\boldsymbol\Sigma_{\rm seed}
=
(1,1,1,0,1,1).
}
$$

缺陷集合為

$$
\boxed{
\mathcal D_{\rm seed}
=
\{D\}.
}
$$

幾何已經滿足

$$
\boxed{
\mathbf T=\mathbf1_6.
}
$$

所以，只剩算術修復。

---

# 10. 最小支撐修復定理

## 定理

任何改變缺陷格 $D$ 的守恆移動，都必須移動六格中的至少四格。

### 證明

由於

$$
D=1-C,
$$

改變 $D$ 要求

$$
\delta_D\neq0,
$$

所以

$$
\delta_C=-\delta_D\neq0.
$$

但全域守恆要求

$$
\delta_A+\delta_B+\delta_C=0.
$$

因此，下列量中至少一個

$$
\delta_A,
\delta_B
$$

也必須非零。

其對偶補值隨即以相反符號改變。

所以，至少必須移動以下四格：

$$
(C,D)
$$

所示配對，再加上另一個對偶配對。

因此，最小支撐為

$$
\boxed{4}.
$$

---

# 11. 三個可見生成元的推論

移動

$$
M_{AB}
$$

使

$$
C
$$

以及

$$
D
$$

保持不變。

因此：

$$
\boxed{
M_{AB}
\text{ 絕不可能修復目前的缺陷。}
}
$$

唯一有用的單生成元修復方向為：

$$
\boxed{
M_{BC}
}
$$

以及

$$
\boxed{
M_{CA}.
}
$$

因此，目前這個單缺陷種子恰有兩條自然的單軸修復軌道。

---

# 12. 第一條修復軌道：固定 $(A,F)$

在

$$
M_{BC},
$$

作用下，配對

$$
(A,F)
$$

固定不變。

移動的格為

$$
B,\ C,\ D,\ E.
$$

由於

$$
B+C=F
$$

保持守恆，全平方修復要求：

$$
\boxed{
B',C'\in\mathcal P
}
$$

其中

$$
\boxed{
B'+C'=F.
}
$$

這就是固定 $A$ 的精確單軸修復問題。

---

# 13. 固定 $(A,F)$ 軌道上的巢狀有理參數

由於

$$
F
=
\left(
\frac{975}{1073}
\right)^2,
$$

寫成

$$
\sqrt{B'}
=
\frac{975}{1073}
\frac{1-h^2}{1+h^2},
$$

以及

$$
\sqrt{C'}
=
\frac{975}{1073}
\frac{2h}{1+h^2},
$$

其中

$$
h\in\mathbb Q.
$$

則自動有：

$$
B'+C'=F.
$$

剩餘的算術條件只有：

$$
E'=1-B'\in\mathbb Q^2,
$$

以及

$$
D'=1-C'\in\mathbb Q^2.
$$

因此，四格修復已化為雙閘平方問題。

---

# 14. 恢復先前的 $k=7/32$ 理論

固定的對偶配對

$$
(A,F)
$$

具有半角參數

$$
p_A=\frac{25}{39}.
$$

施加 Möbius 座標

$$
k_A
=
\frac{1-p_A}{1+p_A}.
$$

則

$$
\boxed{
k_A=\frac7{32}.
}
$$

種子的分解

$$
(B,C)
=
\left(
\left(\frac{495}{1073}\right)^2,
\left(\frac{840}{1073}\right)^2
\right)
$$

對應於

$$
\boxed{
h_A=\frac47.
}
$$

定義

$$
F_k(h)
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2},
$$

以及

$$
M(h)
=
\frac{1-h}{1+h}.
$$

則兩個修復閘恰為：

$$
\boxed{
F_{7/32}\left(\frac47\right)
=
\left(
\frac{17}{28}
\right)^2,
}
$$

以及

$$
\boxed{
F_{7/32}
\left(
M\left(\frac47\right)
\right)
=
\frac{233}{1913}.
}
$$

因此，先前整個 G2A–G2E 固定切片計畫，恰好是在分析下列生成元產生的單一守恆軌道：

$$
M_{BC}
$$

該軌道通過目前的種子。

這是重要的概念重新詮釋。

---

# 15. 第二條修復軌道：固定 $(B,E)$

移動

$$
M_{CA}
$$

固定

$$
(B,E).
$$

移動的格為

$$
A,\ C,\ D,\ F.
$$

現在

$$
A+C=E
$$

保持守恆。

全平方修復要求：

$$
\boxed{
A',C'\in\mathcal P
}
$$

其中

$$
\boxed{
A'+C'=E.
}
$$

這是第二條單軸修復軌道。

它在代數上與第一條平行，但尚未被探索至相同深度。

---

# 16. 第二條修復軌道的精確參數

固定配對

$$
(B,E)
$$

具有半角參數

$$
p_B=\frac{17}{28}.
$$

其 Möbius 座標為

$$
k_B
=
\frac{1-p_B}{1+p_B}.
$$

所以

$$
\boxed{
k_B=\frac{11}{45}.
}
$$

目前的分解

$$
(A,C)
$$

位於

$$
E=\left(\frac{952}{1073}\right)^2
$$

之內，是正規化的畢氏配對

$$
\frac{448}{952}
=
\frac8{17},
$$

$$
\frac{840}{952}
=
\frac{15}{17}.
$$

因此，巢狀參數為

$$
\boxed{
h_B=\frac35.
}
$$

---

# 17. 相同缺陷再次出現

對第二條修復軌道：

$$
\boxed{
F_{11/45}\left(\frac35\right)
=
\left(
\frac{25}{39}
\right)^2.
}
$$

互補閘為：

$$
\boxed{
F_{11/45}
\left(
M\left(\frac35\right)
\right)
=
\frac{233}{1913}.
}
$$

因此，兩條有用的單軸修復軌道都顯露完全相同的未解算術缺陷：

$$
\boxed{
\frac{233}{1913}.
}
$$

這不是偶然。

它是下列單一缺陷對偶配對的半角形式：

$$
(C,D).
$$

---

# 18. 種子處的中心缺陷不變量

缺陷格為

$$
D
=
1-C
=
\frac{445729}{1073^2}.
$$

其分子分解為

$$
445729
=
233\cdot1913.
$$

半角缺陷為

$$
\boxed{
\Delta_C
=
\frac{g-c}{g+c}
=
\frac{233}{1913}.
}
$$

因此，兩個因子

$$
233
$$

以及

$$
1913
$$

是同一算術平方缺陷的加法對偶分解。

先前的共享核心方法、CARCE 半角方法與目前的守恆方法，都在不同座標中觀察同一個缺陷。

---

# 19. 閉合對偶配對上的有理旋轉算子

線性守恆移動是最簡單的幾何表示。

對算術平方的保持而言，存在更自然的非線性移動。

假設：

$$
X=u^2,
$$

$$
1-X=v^2,
$$

其中

$$
u,v\in\mathbb Q
$$

且

$$
u^2+v^2=1.
$$

選擇：

$$
r\in\mathbb Q.
$$

定義有理旋轉係數

$$
c_r
=
\frac{1-r^2}{1+r^2},
$$

以及

$$
s_r
=
\frac{2r}{1+r^2}.
$$

則：

$$
c_r^2+s_r^2=1.
$$

定義：

$$
\boxed{
u'
=
u c_r-v s_r,
}
$$

$$
\boxed{
v'
=
u s_r+v c_r.
}
$$

由於所有量皆為有理數，

$$
u',v'\in\mathbb Q.
$$

且：

$$
u'^2+v'^2=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
X'=u'^2,
\qquad
1-X'=v'^2
}
$$

仍是完全有理平方的對偶配對。

這就是「轉動」的精確算術版本。

---

# 20. 有理轉動的群律

令：

$$
R(r)
=
\begin{pmatrix}
c_r & -s_r\\
s_r & c_r
\end{pmatrix}.
$$

則：

$$
R(r_1)R(r_2)
=
R(r_1\oplus r_2),
$$

其中：

$$
\boxed{
r_1\oplus r_2
=
\frac{r_1+r_2}{1-r_1r_2}
}
$$

只要分母非零便成立。

因此，保持有理平方的對偶配對轉動，構成有理單位圓旋轉群。

這是可逆魔方轉動的精確代數對應。

---

# 21. 配對旋轉與線性守恆移動

現在有兩種互補描述。

## 線性移動座標

$$
(\lambda,\mu)
$$

直接作用於格的平方質量。

它們使全域守恆清晰可見。

## 有理旋轉座標

$$
(r_A,r_B,r_C)
$$

作用於每個對偶配對內的平方根。

它們使算術平方保持清晰可見。

完整問題要求找出同時滿足這兩種描述的變換。

這個對偶座標系是守恆—對偶分支的主要優點之一。

---

# 22. 雙配對修復策略

在目前的種子處：

$$
(A,F)
$$

以及

$$
(B,E)
$$

已經完全平方閉合。

因此，可獨立施加有理旋轉：

$$
(A,F)\mapsto(A',F'),
$$

$$
(B,E)\mapsto(B',E').
$$

接著由守恆定義第三個配對：

$$
C'
=
1-A'-B',
$$

$$
D'
=
A'+B'.
$$

前四格自動保持為有理平方。

整個完美長方體問題被歸約為最終要求：

$$
\boxed{
C'\in\mathbb Q^2,
\qquad
D'\in\mathbb Q^2.
}
$$

由於：

$$
C'+D'=1,
$$

這就只是：

$$
\boxed{
D'\in\mathcal P.
}
$$

因此，一般的雙轉動修復為：

> 有理地旋轉目前兩個良好的對偶配對，直到其上排格之和本身成為對偶配對平方值。

---

# 23. 雙轉動修復方程

令：

$$
A'=X(r_A),
$$

$$
B'=X(r_B),
$$

其中：

$$
X(r)
=
\left(
\frac{1-r^2}{1+r^2}
\right)^2
$$

已將目前配對的相位吸收到有理旋轉參數中。

則修復條件為：

$$
\boxed{
A'+B'\in\mathcal P.
}
$$

等價地，存在有理數：

$$
r_C
$$

使得：

$$
\boxed{
X(r_A)+X(r_B)+X(r_C)=1.
}
$$

這恰為守恆座標中的 CARCE。

因此，CARCE 曲面就是全域的雙轉動保平方修復空間。

---

# 24. 先前固定切片的意義

先前深入的 $k=7/32$ 分析，將第一個配對

$$
(A,F)
$$

固定。

以新的語言來說，它設定：

$$
r_A=0
$$

並只探索完整雙轉動修復空間的一個一維截面。

因此，該固定切片的失敗或極端算術稀疏性，並不意味完整守恆方法失敗。

新分支顯式呈現額外自由度：

$$
\boxed{
r_A\neq0,
\qquad
r_B\neq0.
}
$$

這恰為固定切片方法所壓抑的自由度。

---

# 25. 種子局部的移動層級

從目前的種子開始，有三個修復層級。

## 第 0 層 — 不移動

算術狀態：

$$
111011.
$$

## 第 1 層 — 單軸移動

可能有用的軸：

$$
M_{BC},
$$

或：

$$
M_{CA}.
$$

每個都給出一維的固定配對族。

## 第 2 層 — 雙軸移動

使用兩個獨立的移動方向。

不需要固定任何對偶配對。

這可抵達完整的二維守恆單純形。

若兩條單軸族都仍受到算術障礙限制，第 2 層搜尋就是自然的下一個目標。

---

# 26. C1 定理摘要

目前種子有一個算術缺陷。

支撐少於四格的移動無法修復此缺陷。

恰有兩條有用的單生成元修復線：

$$
\boxed{
\text{固定 }(A,F):
\quad
k=\frac7{32},
\quad
h_{\rm seed}=\frac47,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{固定 }(B,E):
\quad
k=\frac{11}{45},
\quad
h_{\rm seed}=\frac35.
}
$$

兩者都顯露相同的剩餘半角缺陷：

$$
\boxed{
\frac{233}{1913}.
}
$$

第一條線恰為先前研究的 G2A–G2E 族。

第二條線是它在守恆對偶下的姊妹線。

---

# 27. 下一階段

自然的下一階段為：

$$
\boxed{
\text{C2 — 雙轉動保平方修復}.
}
$$

不再固定一個良好對偶配對，而是旋轉以下兩者：

$$
(A,F)
$$

以及：

$$
(B,E)
$$

透過有理單位圓轉動進行。

接著只要求：

$$
\boxed{
A'+B'\in\mathcal P.
}
$$

研究問題變為：

> 額外的第二個移動方向，能否在不進入高虧格固定切片障礙的情況下，閉合 $233/1913$ 缺陷？

任何大型搜尋之前，都應先從代數上處理此問題。

---

## 典範 C1 結果

$$
\boxed{
\text{先前的固定切片算術}
=
\text{守恆移動代數的單軸軌道}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{完整的新搜尋}
=
\text{守恆單純形上的雙軸有理旋轉}.
}
$$

---

**C1 結束**