> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2E.5 — 雙橢圓虧格 $2$ 歸約

## 精確對合、顯式橢圓商，以及修正後的雙商篩法

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**階段：** G2E.5  
**固定切片：** $k=7/32$  
**狀態：** 精確結構定理 + 實作勘誤  
**日期：** 2026-09-30

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# 1. 有限域 Mordell–Weil 投影的勘誤

G2E.4 引入了不危及證明有效性的投影

$$
E(\mathbb F_p)
\longrightarrow
E(\mathbb F_p)[2^\infty]
$$

其作法是寫成

$$
\#E(\mathbb F_p)=2^s m,
\qquad
m\text{ 為奇數},
$$

並乘以：

$$
[m].
$$

在 G2E.5 重新實作期間，發現其中一條檢查器路徑將：

$$
[m]
$$

套用於 Mordell–Weil 子群，卻未套用於受測候選點。

這不是有效的投影成員資格測試。

正確條件為：

$$
\boxed{
[m]P_{\rm candidate}
\in
\langle
[m]G,\,
[m]E(\mathbb Q)_{\rm tors}
\rangle.
}
$$

兩側必須由同一映射投影。

檢查器已修正。

---

# 2. G2E.4 的重新驗證

修正投影成員資格測試之後，從頭重新計算了 G2E.4 的五個乾淨質數。

它們仍為：

$$
\boxed{
11,\quad59,\quad181,\quad197,\quad1669.
}
$$

在每個質數處，同時與兩個橢圓 Mordell–Weil 像相容的條件，在有限剩餘類中仍只留下：

$$
h\equiv0,\quad1,\quad-1
$$

。

因此，勘誤之後全域整除性定理仍成立：

$$
\boxed{
38622984917
\mid
u\,v\,(u-v)(u+v)
}
$$

對每個既約的非邊界有理點：

$$
h=\frac uv.
$$

獨立且窮盡的虧格 $3$ 整數平方掃描，分母範圍直到：

$$
20000
$$

並未受到影響，因為它不使用此有限域投影機制。

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# 3. 更小的中間商

G2E.2 引入了虧格 $3$ 的纖維積：

$$
Y_1^2=f_4(t),
$$

$$
Y_2^2=f_2(t).
$$

將兩個平方根相乘：

$$
Y=Y_1Y_2.
$$

這給出虧格 $2$ 曲線：

$$
\boxed{
H_2:
\quad
Y^2
=
-(1024t^2+49)
(49t^2-196t+1220)
(20617451839t^2-7997395778678t-779078718161).
}
$$

此六次式是可分的。

因此：

$$
\boxed{
g(H_2)=2.
}
$$

虧格 $3$ 曲線上的每個有理點，都映至 $H_2$ 上的一個有理點。

因此，$H_2$ 是固定切片完美長方體問題的另一個必要中間層。

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# 4. 精確的額外對合

$H_2$ 的分支除子具有一個非超橢圓對合。

定義：

$$
\boxed{
\tau(t)
=
\frac{1171-98t}{975t+98}.
}
$$

直接代入得到：

$$
\boxed{
\tau(\tau(t))=t.
}
$$

此外：

$$
\boxed{
H_2(\tau(t))
(975t+98)^6
=
1073^6H_2(t).
}
$$

因此，Möbius 對合可提升至虧格 $2$ 曲線。

其中一個提升為：

$$
\boxed{
(t,Y)
\longmapsto
\left(
\tau(t),
\frac{1073^3Y}{(975t+98)^3}
\right).
}
$$

與超橢圓對合複合，便得到第二個非平凡的雙橢圓對合。

這是 Jacobian 分裂的幾何來源。

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# 5. 有理不動點

不動點方程式：

$$
t=\tau(t)
$$

歸約為：

$$
975t^2+196t-1171=0.
$$

它的判別式為：

$$
4605316=2146^2.
$$

因此，兩個不動點皆為有理數：

$$
\boxed{
t=1,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
t=-\frac{1171}{975}.
}
$$

這使此對合可透過有理共軛化為符號變換。

---

# 6. 符號座標

定義：

$$
\boxed{
s
=
\frac{975(t-1)}{975t+1171}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
s(\tau(t))=-s(t).
}
$$

反向變換為：

$$
\boxed{
t
=
\frac{1171s+975}{975(1-s)}.
}
$$

將平方根座標乘以自然出現的三次分母，再除以：

$$
2302658
=
2\cdot1073^2,
$$

虧格 $2$ 方程式變為：

$$
\boxed{
\bar Y^2
=
-
\left(
1352033^2s^2
-
2\cdot950625^2
\right)
}
$$

$$
\boxed{
\qquad\cdot
\left(
1352033^2s^4
-
2\cdot950625^2s^2
+
950625^2
\right).
}
$$

右側對以下變數為偶式：

$$
s.
$$

因此，雙橢圓結構已完全顯式化。

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# 7. 第一個橢圓商

令：

$$
z=s^2.
$$

對以下對合取商：

$$
s\mapsto-s
$$

得到：

$$
\boxed{
E_+:
\quad
y^2
=
-
\left(
1352033^2z
-
2\cdot950625^2
\right)
}
$$

$$
\boxed{
\qquad\cdot
\left(
1352033^2z^2
-
2\cdot950625^2z
+
950625^2
\right).
}
$$

現在定義：

$$
\boxed{
x
=
2
-
\frac{1352033^2}{950625^2}z.
}
$$

並將 $y$ 座標縮放以下因子：

$$
\frac{1352033}{950625^3}.
$$

方程式變為：

$$
\boxed{
y_0^2
=
x^3
-
2x^2
+
\left(
\frac{1352033}{950625}
\right)^2x.
}
$$

這正是 G2C–G2D 中記為以下名稱的橢圓因子：

$$
E_0
$$

。

獨立的精確 $j$-不變量計算給出相同結果。

因此：

$$
\boxed{
E_+\cong_{\mathbb Q}E_0.
}
$$

---

# 8. 第二個橢圓商

將符號對合與超橢圓對合複合。

不變座標為：

$$
z=s^2,
$$

以及：

$$
w=s\bar Y.
$$

第二個商為：

$$
\boxed{
E_-^{\rm quot}:
\quad
w^2
=
-z
\left(
1352033^2z
-
2\cdot950625^2
\right)
}
$$

$$
\boxed{
\qquad\cdot
\left(
1352033^2z^2
-
2\cdot950625^2z
+
950625^2
\right).
}
$$

它是一條虧格 $1$ 的四次曲線。

依虧格 $2$ 的 Kani–Rosen 分解：

$$
\boxed{
\operatorname{Jac}(H_2)
\sim_{\mathbb Q}
E_+
\times
E_-^{\rm quot}.
}
$$

G2C 獨立建立了：

$$
\operatorname{Jac}(H_2)
\sim_{\mathbb Q}
E_0\times E_-.
$$

由於：

$$
E_+\cong E_0,
$$

互補的商屬於先前已認證的橢圓因子之同源類：

$$
E_-.
$$

因此，虧格 $2$ 的分裂已在曲線映射層次上顯式化。

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# 9. 秩與 Néron–Severi 資料

G2D 已認證：

$$
\operatorname{rank}E_0(\mathbb Q)=1,
$$

以及：

$$
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}
\operatorname{Jac}(H_2)(\mathbb Q)
=
2.
}
$$

由於：

$$
g(H_2)=2,
$$

一般 Chabauty 再次具有等式：

$$
r=g.
$$

然而，分裂的乘積至少給出：

$$
\boxed{
\rho
\left(
\operatorname{Jac}(H_2)/\mathbb Q
\right)
\ge2.
}
$$

因此：

$$
g+\rho-1
\ge
2+2-1
=
3.
$$

所以：

$$
\boxed{
r=2<3.
}
$$

二次 Chabauty 準則得到滿足。

這是目前可用於深度 $2$ 有理點計算的最低虧格層。

---

# 10. 邊界點成為單一橢圓錨點

兩個已知的有理邊界 $t$ 座標為：

$$
t_A
=
\frac{1246879}{200704},
$$

以及：

$$
t_B
=
\frac{98}{1073}.
$$

此對合交換它們：

$$
\boxed{
\tau(t_A)=t_B,
\qquad
\tau(t_B)=t_A.
}
$$

在符號座標中：

$$
s_A
=
\frac{950625}{1352033},
$$

以及：

$$
s_B
=
-\frac{950625}{1352033}.
$$

因此，兩者具有相同的商座標：

$$
z
=
\left(
\frac{950625}{1352033}
\right)^2.
$$

在顯式 $E_0$ 映射下：

$$
x
=
2
-
\frac{1352033^2}{950625^2}z,
$$

我們得到：

$$
\boxed{
x=1.
}
$$

所以，虧格 $2$ 曲線上的兩個邊界點，在 $E_0$ 上收縮為一個簡單的橢圓錨點。

這有利於橢圓 Chabauty 的實作。

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# 11. 解讀為秩一橢圓曲線上的平方值問題

此商：

$$
H_2\longrightarrow E_0
$$

捨去以下座標的符號：

$$
s.
$$

一個有理橢圓點能提升回 $H_2(\mathbb Q)$，當且僅當其商座標：

$$
z=s^2
$$

本身為有理數的平方。

等價地，使用：

$$
x
=
2
-
\frac{1352033^2}{950625^2}z,
$$

提升條件為：

$$
\boxed{
\frac{
950625^2
}{
1352033^2
}
(2-x)
\in
\mathbb Q^2.
}
$$

由於前面的因子已是有理數的平方，這歸約為：

$$
\boxed{
2-x
\in
\mathbb Q^2.
}
$$

因此，虧格 $2$ 的有理點問題變成：

> 找出所有點 $P\in E_0(\mathbb Q)$，其 $2-x(P)$ 為有理數的平方。

這是秩一橢圓曲線上的精確橢圓 Chabauty／平方值問題。

它嚴格小於直接在虧格 $3$ 或虧格 $5$ 上工作。

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# 12. 為何這是首選的下一層

目前的層級現在為：

$$
C_3
\longrightarrow
C_2
\longrightarrow
H_2
\longrightarrow
E_0.
$$

各虧格為：

$$
5\longrightarrow3\longrightarrow2\longrightarrow1.
$$

最後一個映射：

$$
H_2\to E_0
$$

的次數為 $2$。

因此，任何固定切片的完美長方體點，首先都必須滿足簡單的秩一橢圓平方值條件：

$$
\boxed{
2-x(P)\in\mathbb Q^2.
}
$$

分類這些點之後，只需再檢查更高層的提升。

這現在是首選的計算路線。

---

# 13. 修正後的乾淨質數驗證器

本文附有獨立的 C++ 有限域驗證器。

關鍵的修正规則為：

$$
\boxed{
[m]P_{\rm candidate}
\text{ 必須對以下子群進行測試 }
\langle[m]G,[m]T_{\rm tors}\rangle.
}
$$

使用此規則，會精確重現 G2E.4 在以下範圍內的五個乾淨質數：

$$
p\le5000:
$$

$$
11,\quad59,\quad181,\quad197,\quad1669.
$$

因此，先前的乾淨質數定理得以保留。

不過，仍明確記錄此實作修正，以免後續階段意外使用不對稱的投影。

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# 14. 尚待完成的事項

本階段尚未分類：

$$
H_2(\mathbb Q).
$$

精確的新目標為：

$$
\boxed{
\{P\in E_0(\mathbb Q):
2-x(P)\in\mathbb Q^2\}.
}
$$

由於：

$$
\operatorname{rank}E_0(\mathbb Q)=1,
$$

這是一個一維的 Mordell–Weil 平方值問題。

可能的精確完成方法為：

- 橢圓 Chabauty；
- 平方值雙重覆蓋上的 Mordell–Weil 篩法；
- $p$-進對數分離；
- 次數 $2$ 覆蓋上的第二次下降。

此層次上的任何完整枚舉，都會立即限制所有更高層的完美長方體提升。

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# 15. 典範的下一個目標

下一階段為：

$$
\boxed{
\text{G2E.6 — 分類 }
P\in E_0(\mathbb Q)
\text{ 且滿足 }
2-x(P)\in\mathbb Q^2.
}
$$

已知邊界錨點為：

$$
\boxed{
x=1,
}
$$

其滿足：

$$
2-x=1.
$$

關鍵問題是：是否有任何非邊界的秩一橢圓點，滿足相同平方值條件並通過後續的 $C_2$ 與 $C_3$ 提升。

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**G2E.5 結束**