> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。 # 完美長方體 G2E.4 — 雙商 Mordell–Weil 篩法 ## Sylow-$2$ 投影、乾淨質數的邊界迫定，以及精確的虧格 $3$ 高度排除 **系列：** 完美長方體全域閉合 **階段：** G2E.4 **固定切片：** $k=7/32$ **狀態：** 精確的部分全域篩法 + 精確的有界排除 **日期：** 2026-09-30 --- # 1. 目標 固定切片的完美長方體問題已歸約為虧格 $3$ 的中間曲線 $$ C_2 $$ 再接上一個最終的無分歧二次提升。 先前階段建立了 $$ \operatorname{Jac}(C_2) \sim_{\mathbb Q} E_0^2\times E_-, $$ 其中 $$ \operatorname{rank}E_0(\mathbb Q)=1, $$ 以及 $$ \operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)=1. $$ G2E.3 每次只使用一個秩一商方向。 本階段同時將兩個橢圓商映射顯式化，並運用雙 Mordell–Weil 相容性篩法。 主要的新結果是：數個良約化質數迫使 $C_2$ 的每個有理點落入以下四個幾何邊界剩餘圓盤之一 $$ h=0,\quad h=1,\quad h=-1,\quad h=\infty. $$ 這是對每個假設存在的有理點的全域同餘限制，與高度無關。 --- # 2. 整係數虧格 $3$ 模型 使用原先的巢狀 X 座標 $$ h. $$ 將正規化方程式乘以下列平方數後， $$ 2^{40}, $$ 虧格 $3$ 的商可寫成 $$ \boxed{ Y^2= 57769083904h^8 + 1134764226241h^6 - 1460761277826h^4 + 1134764226241h^2 + 57769083904. } $$ 右側為偶多項式，且具有倒易性。 因此，幾何對合 $$ h\mapsto-h $$ 以及 $$ h\mapsto\frac1h $$ 在整係數模型中仍直接可見。 --- # 3. 第一個顯式商：$C_2\to E_0'$ 令正規化的虧格 $3$ 平方根為 $$ y=\frac{Y}{2^{20}}. $$ 定義 $$ t(h) = \frac{ 105154h^2+1141725h+1246879 }{ 1151329h^2-950625h+200704 }. $$ 令 $$ k=\frac7{32}, $$ 並設 $$ D_1 = 1+k^2h^2, $$ $$ D_2 = (1+k^2)(h^2+1) + 2(1-k^2)h. $$ 則 $$ U = \frac{y}{D_1D_2} $$ 是第一個平方提升座標 $$ U=qr. $$ 定義 $$ Y_1 = U(1024t^2+49). $$ 則 $$ \boxed{ Y_1^2 = (1024t^2+49) (49t^2-196t+1220). } $$ 現在令 $$ u=t-1. $$ 至秩一橢圓曲線的顯式雙有理映射 $$ E_0': \qquad y_0^2 = x_0(x_0-200704)(x_0+1151329) $$ 為 $$ \boxed{ x_0 = \frac{ 2146(Y_1+1073+975u) }{ u^2 }, } $$ 以及 $$ \boxed{ y_0 = x_0 \left( 975+\frac{2146}{u} \right). } $$ 所有公式在 $\mathbb Q$ 上皆為有理的。 --- # 4. 第二個顯式商：$C_2\to E_-$ 定義 $$ W = h-\frac1h, $$ 以及 $$ V = \frac{y}{h^2}. $$ 令 $$ a = k^2(1+k^2)^2, $$ $$ C = (1+k^2)^4+16k^4, $$ $$ q = 4k(1+k^2), $$ 以及 $$ Q=2q. $$ 此四次曲線的商映至 $$ \mathcal E_-: \qquad Y_q^2 = (X_q+C)(X_q-8a)(X_q+8a) $$ 其映射為 $$ \boxed{ X_q = \frac{ Q(V+q) }{ W^2 }, } $$ 以及 $$ \boxed{ Y_q = \frac{ Q^2(V+q)+QCW^2 }{ W^3 }. } $$ G2D 使用的整係數 $E_-$ 模型由以下公式得到 $$ \boxed{ x_- = 3145728^2X_q + 4097521685571, } $$ $$ \boxed{ y_- = 3145728^3Y_q. } $$ 它滿足 $$ y_-^2 = (x_--e_1)(x_--e_2)(x_--e_3), $$ 其中 $$ e_1=-8195043371142, $$ $$ e_2=8256895726659, $$ $$ e_3=-61852355517. $$ 因此，一個有理 $C_2$ 點會在兩條各自獨立認證為秩一的橢圓曲線上產生相容的有理點。 --- # 5. 奇指數替代者 對 $E_0'$ 使用 $$ \boxed{ G_0=(480704,-468686400). } $$ 它的 Kummer 類為 $$ (7511,7,1073), $$ 這是精確的完全 $2$ Selmer 計算中的非平凡自由方向。 因此，模去撓子群後，$G_0$ 在本原的自由秩一子群中的指數為奇數。 對 $E_-$ 使用顯式非撓點 $$ \boxed{ P_-= \left( \frac{5132247118878268203}{606841}, \frac{2520702383000286338446320000}{472729139} \right). } $$ 它的 Kummer 像為 $$ (1,406,406), $$ 在 Cassels 配對計算之後，它張成模 $2$ 的 Mordell–Weil 方向。 所以，$P_-$ 也只與本原秩一生成元相差一個奇數指數及撓點。 這足以支撐以下所有 $2$-準素約化論證。 --- # 6. 任意良約化質數處的 Sylow-$2$ 投影 令 $$ E/\mathbb F_p $$ 為任一商曲線，並寫成 $$ \#E(\mathbb F_p) = 2^s m, $$ 其中 $$ m $$ 為奇數。 乘以 $$ [m] $$ 會消去奇數準素子群，並在 Sylow-$2$ 子群上誘導一個自同構。 因此，投影 $$ \boxed{ E(\mathbb F_p) \longrightarrow E(\mathbb F_p)[2^\infty], \qquad P\mapsto[m]P } $$ 消除了未知的奇數飽和指數。 事實上，若 $$ G_0=nG+T $$ 且 $n$ 為奇數，則乘以 $n$ 在有限 $2$-群上可逆。 所以，每個有理 Mordell–Weil 點的投影約化都位於以下元素生成的子群中 - 已知奇指數替代者的投影； - 有理 $2$-準素撓子群的投影。 這在每個良約化質數處給出一個不危及證明有效性的必要條件。 與 G2E.3 不同，完整約化群本身不必是 $2$-群。 --- # 7. 雙商相容性條件 對每個點 $$ P\in C_2(\mathbb Q), $$ 以及商映射有定義的每個良約化質數，兩個投影像都必須滿足 $$ [m_0]\pi_0(P) \in \langle [m_0]G_0,\, E_0'(\mathbb Q)_{\rm tors} \rangle, $$ 以及 $$ [m_-]\pi_-(P) \in \langle [m_-]P_-,\, E_-(\mathbb Q)_{\rm tors} \rangle. $$ 若其中一個商座標圖具有極點，另一個商條件仍有效，且仍會套用。 只有當相關的商本身在該座標圖中確實未定義時，才會不做成員資格測試而保留該剩餘類。 這強化了較為保守的 G2E.3 有限域篩法。 --- # 8. 乾淨質數 每個良約化質數 $$ p\le5000 $$ 都進行了測試。 五個質數具有最強的可能相容性性質： $$ \boxed{ 11,\quad59,\quad181,\quad197,\quad1669. } $$ 在這些質數的每一處，施加兩個投影 Mordell–Weil 條件後，僅存活的有限 $h$ 座標為 $$ \boxed{ h\equiv0,\quad1,\quad-1\pmod p. } $$ 加上射影點 $$ h=\infty, $$ 這些正是四個幾何邊界圓盤。 商群資料為： | $p$ | $\#E_0'(\mathbb F_p)$ | $\#E_-(\mathbb F_p)$ | 投影的 $E_0'$ MW 子群 | 投影的 $E_-$ MW 子群 | |---:|---:|---:|---:|---:| | $11$ | $16$ | $16$ | $16$ | $8$ | | $59$ | $56$ | $64$ | $8$ | $8$ | | $181$ | $160$ | $160$ | $16$ | $8$ | | $197$ | $176$ | $224$ | $4$ | $8$ | | $1669$ | $1664$ | $1600$ | $8$ | $8$ | 這是一個精確的有限域 Mordell–Weil 相容性結果。 --- # 9. 全域整除性定理 令一個非邊界有理點具有既約座標 $$ h=\frac uv, $$ 其中 $$ \gcd(u,v)=1. $$ 對乾淨質數 $p$，約化必須滿足以下之一 $$ h=0,\quad1,\quad-1,\quad\infty. $$ 因此 $$ p $$ 必須整除以下之一 $$ u,\quad v,\quad u-v,\quad u+v. $$ 所以： $$ \boxed{ p \mid u\,v\,(u-v)(u+v). } $$ 將五個獨立的乾淨質數條件相乘得到： $$ \boxed{ 38622984917 \mid u\,v\,(u-v)(u+v). } $$ 等價地： $$ \boxed{ 11\cdot59\cdot181\cdot197\cdot1669 \mid u\,v\,(u^2-v^2). } $$ 此限制適用於虧格 $3$ 中間曲線的每個假設存在的有理點。 這不是高度有界的敘述。 --- # 10. 虧格 $3$ 層的精確有限高度掃描 整係數的虧格 $3$ 方程式尤其適合精確的有理數掃描。 對於 $$ h=\frac uv $$ 且滿足 $$ 0