> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。 # 完美長方體 G2E.3 — 2-準素 Mordell–Weil 相容性篩法 ## 虧格 $3$ 提升的顯式秩一橢圓參數化 **系列：** 完美長方體全域閉合 **階段：** G2E.3 **固定切片：** $k=7/32$ **狀態：** 精確的部分 Mordell–Weil 篩法 **日期：** 2026-09-30 --- # 1. 目標 G2E.2 將固定切片問題歸約為虧格 $3$ 的中間曲線 $$ C_2 \longrightarrow C_1, $$ 其中 $C_1$ 是秩一橢圓曲線。 剩餘的提升，是對 $C_1$ 上的點之有理函數施加平方條件。 本階段將此敘述完全顯式化，並運用不危及證明有效性的 $2$-準素 Mordell–Weil 篩法。 此輸出尚非 $C_2(\mathbb Q)$ 的完整分類。 它將每個假設存在的有理提升大幅歸約為一個撓陪集及有限多個 $2$-進係數剩餘圓盤。 --- # 2. 第一提升的四次曲線 虧格 $1$ 的第一提升為 $$ Y^2 = (1024t^2+49) (49t^2-196t+1220). $$ 有理點 $$ (t,Y)=(1,1073) $$ 使顯式的四次曲線至 Weierstrass 變換成為可能。 令 $$ u=t-1. $$ 則： $$ Y^2 = 50176u^4 + 950625u^2 + 2092350u + 1073^2. $$ --- # 3. 至 $E_0'$ 的顯式雙有理映射 定義： $$ x = \frac{ 2146(Y+1073+975u) }{ u^2 }, $$ 以及： $$ y = x \left( 975+\frac{2146}{u} \right). $$ 則： $$ \boxed{ E_0': \qquad y^2 = x(x-200704)(x+1151329). } $$ 由於： $$ 200704=448^2, $$ 以及： $$ 1151329=1073^2, $$ 這正是 G2D 已使用的完全 $2$-撓模型。 反過來，在有限例外集合以外： $$ u = \frac{ 2146x }{ y-975x }, $$ 以及： $$ \boxed{ t = 1+ \frac{ 2146x }{ y-975x }. } $$ 因此，第二個平方提升現在成為秩一 Mordell–Weil 群 $E_0'(\mathbb Q)$ 上的顯式有理函數條件。 --- # 4. 第二提升的平方函數 虧格 $3$ 層的第二個方程式為： $$ Z^2 = -20617451839t^2 + 7997395778678t + 779078718161. $$ 定義： $$ \boxed{ \mathcal F(t) = -20617451839t^2 + 7997395778678t + 779078718161. } $$ $E_0'$ 的有理點可提升至 $C_2$，若且唯若： $$ \boxed{ \mathcal F \left( 1+\frac{2146x}{y-975x} \right) \in \mathbb Q^2, } $$ 並另行處理射影例外點。 因此： $$ \boxed{ C_2(\mathbb Q) } $$ 是秩一橢圓 Mordell–Weil 群的一個平方值子集。 --- # 5. 奇指數生成元的替代者 考慮： $$ \boxed{ G_0=(480704,-468686400) \in E_0'(\mathbb Q). } $$ 它的三個 Kummer 平方類為： $$ 480704 = 448\cdot1073, $$ $$ 480704-200704 = 280000 = 7\cdot200^2, $$ 以及： $$ 480704+1151329 = 1632033 = 1073\cdot39^2. $$ 因此： $$ \boxed{ \delta(G_0) = (7511,7,1073). } $$ 此類與有理 $2$-撓子群的像獨立。 由於 G2D 已認證： $$ \operatorname{rank}E_0'=1 $$ 且完整的 $2$-Selmer 群具有對應於秩一加上完全 $2$-撓子群的精確大小，故模去撓子群後，$G_0$ 在自由部分中的指數為奇數。 因此，在每個約化群為 $2$-群的良約化質數處，乘以未知的奇數飽和指數是一個自同構。 所以，在所有這類約化中，$G_0$ 可作為本原 Mordell–Weil 生成元的一個不危及證明有效性的替代者。 --- # 6. 為何群階為二的冪的約化質數有用 將一個假設的本原生成元寫為： $$ G. $$ 由於 $G_0$ 的指數為奇數，存在奇數： $$ m $$ 以及撓點： $$ T_0 $$ 使得： $$ G_0=mG+T_0. $$ 若： $$ E_0'(\mathbb F_p) $$ 是一個有限 $2$-群，則乘以奇數 $m$ 是可逆的。 因此： $$ \langle G_0,E_0'[2]\rangle = \langle G,E_0'[2]\rangle $$ 在約化群內成立。 這消除了 Mordell–Weil 篩法中的奇數飽和不確定性。 不需要假設 $G_0$ 是本原的全域生成元。 --- # 7. 群階為二的冪的精確約化質數 一項精確的 Hasse 區間點數掃描，範圍直到： $$ p\le5{,}000{,}000 $$ 找到了以下良約化質數，使得： $$ \#E_0'(\mathbb F_p) $$ 是二的冪。 所列三元組為： $$ \left( p,\, \#E_0'(\mathbb F_p),\, \operatorname{ord}(G_0\bmod p) \right). $$ $$ (3,4,2), $$ $$ (5,8,2), $$ $$ (11,16,8), $$ $$ (13,8,2), $$ $$ (23,32,16), $$ $$ (61,64,32), $$ $$ (109,128,32), $$ $$ (113,128,32), $$ $$ (233,256,16), $$ $$ (1049,1024,128), $$ $$ (2087,2048,1024), $$ $$ (4027,4096,2048), $$ $$ (4049,4096,512), $$ $$ (4219,4096,2048), $$ $$ (16477,16384,8192), $$ $$ (32647,32768,16384), $$ $$ (33013,32768,16384), $$ $$ (65269,65536,4096), $$ $$ (65657,65536,16384), $$ $$ (523357,524288,65536), $$ 以及： $$ \boxed{ (4195001,4194304,262144). } $$ 最後一個群的階為： $$ 4194304=2^{22}. $$ --- # 8. $2$-進完備化中的 Mordell–Weil 係數 由於本原生成元僅在相差奇數指數的意義下已知，使用以下係數較方便： $$ c\in\mathbb Z_2. $$ 每個有理 Mordell–Weil 點的約化都可表示為以下形式： $$ cG_0+T $$ 在每個群階為二的冪的約化質數處，具有一個全域相容的撓類： $$ T\in E_0'[2]. $$ 提升條件： $$ \mathcal F(t)\in\mathbb Q^2 $$ 在每個這類質數處都必須約化為平方。 這給出以下量的精確同餘限制： $$ (c,T). $$ --- # 9. 唯一存活的撓陪集 結合局部平方條件，會迫使撓分量為： $$ \boxed{ T_- = (-1151329,0). } $$ 其他三個有理 $2$-撓陪集被 $2$-準素 Mordell–Weil 篩法排除。 因此，每個假設存在的 $C_2$ 有理點都必須投影至單一的 $2$-進 Mordell–Weil 陪集： $$ \boxed{ cG_0+T_-. } $$ 這是全域相容性歸約，而非高度有界的搜尋。 --- # 10. 模 $2^{14}$ 的係數剩餘類 使用群階為二的冪的質數，直到： $$ p=65657, $$ 存活的係數類為： $$ \boxed{ c \equiv 1,\, 5441,\, 7153,\, 9231,\, 10943,\, 16383 \pmod{16384}. } $$ 因此，所有有理提升已被限制在以下模數的六個剩餘類中： $$ 2^{14}. $$ --- # 11. 模 $2^{16}$ 的細化 加入良約化質數： $$ p=523357, $$ 其滿足： $$ \#E_0'(\mathbb F_p)=2^{19}, $$ 以及： $$ \operatorname{ord}(G_0\bmod p)=2^{16}, $$ 得到以下模數的十二個剩餘圓盤： $$ 2^{16}. $$ 它們為： $$ \boxed{ c \equiv \pm1,\, \pm7153,\, \pm16383,\, \pm16385,\, \pm25615,\, \pm32767 \pmod{65536}. } $$ 在以下變換下的對稱性： $$ c\mapsto-c $$ 反映了橢圓 Mordell–Weil 方向的符號對稱性。 --- # 12. 模 $2^{18}$ 的細化 精確掃描也找到了： $$ p=4195001 $$ 其滿足： $$ \#E_0'(\mathbb F_p)=2^{22}, $$ 以及： $$ \operatorname{ord}(G_0\bmod p)=2^{18}. $$ 提升十二個模 $2^{16}$ 的圓盤並套用第二個平方條件後，留下二十四個模 $2^{18}$ 的圓盤： $$ \boxed{ \begin{aligned} c\equiv{}& 1,\, 131073,\, 7153,\, 72689,\, 138225,\, 203761,\\ & 81919,\, 212991,\, 16385,\, 81921,\, 147457,\, 212993,\\ & 49151,\, 114687,\, 180223,\, 245759,\, 49153,\, 180225,\\ & 58383,\, 123919,\, 189455,\, 254991,\, 131071,\, 262143 \pmod{262144}. \end{aligned} } $$ 因此，篩法結果仍非空，但可容許集合現在已成為一組極稀薄、顯式的 $2$-進 Mordell–Weil 圓盤。 --- # 13. 兩個圓盤是實際的有理邊界提升 剩餘類： $$ c=1 $$ 對應於精確有理點： $$ G_0+T_-. $$ 在四次曲線的反向映射下： $$ \boxed{ t=\frac{98}{1073}. } $$ 第二個平方根為： $$ \boxed{ Z= \frac{1318232175}{1073}. } $$ 對稱的平方提升座標為： $$ P=\frac{1024}{49}, $$ $$ S=\frac{1073}{49}, $$ $$ V=\frac{975}{49}. $$ 因此： $$ Q=\frac{S+V}{2} = \frac{1024}{49} = \left( \frac{32}{7} \right)^2, $$ 以及： $$ R=\frac{S-V}{2} = 1. $$ 所以，此點一路提升至虧格 $5$ 曲線，但其中一個半角參數等於： $$ 1. $$ 它是一個退化邊界點。 --- # 14. 相反的邊界圓盤 剩餘類： $$ c=-1 $$ 給出： $$ -G_0+T_-. $$ 反向四次曲線座標為： $$ \boxed{ t= \frac{1246879}{200704}. } $$ 第二個平方根為： $$ \boxed{ Z= \frac{1414463123775}{200704}. } $$ 最終的平方座標為： $$ Q=1, $$ 以及： $$ R=\frac{49}{1024} = \left( \frac7{32} \right)^2. $$ 同樣地，完整的平方提升塔通過，但此點是退化的，因為其中一個半角參數等於： $$ 1. $$ 因此： $$ \boxed{ c=\pm1 } $$ 不是候選完美長方體。 它們是可精確辨識的有理邊界提升。 --- # 15. 尚待完成的事項 因此，$2$-準素篩法達成了三件事： 1. 所有假設存在的有理提升都位於一個撓陪集中； 2. 在每個已計算的精度下，其自由 Mordell–Weil 係數都位於有限多個顯式的 $2$-進剩餘圓盤中； 3. 其中兩個分支被精確辨識為退化的有理邊界點。 現在必須排除其餘非邊界剩餘圓盤，或證明它們含有其他有理點。 有限次的分母枚舉無法完成此步驟。 自然的工具為： - $C_2$ 上的二次 Chabauty； - 雙重覆蓋 $C_2\to E_0'$ 的橢圓 Chabauty； - 納入非 $2$-準素飽和的 Mordell–Weil 篩法； - 三個橢圓商映射之間的 $p$-進高度相容性。 --- # 16. 為何這比先前的分母掃描更強 先前的有理數掃描對幾何參數的分母施加了界限。 目前結果未施加任何有理高度界限。 相反地，它適用於 $2$-進完備化後的完整秩一 Mordell–Weil 群。 因此，敘述： $$ T=T_- $$ 以及對以下係數所列出的同餘限制： $$ c $$ 對中間曲線的每個有理點都成立，不論其分子或分母大小。 這是從搜尋轉向算術相容性的質變。 --- # 17. 下一個定理目標 緊接著的 G2E 目標現在更為明確： > 證明在完整橢圓相容性條件下存活的有理 Mordell–Weil 圓盤，只有已知的退化 $c=\pm1$ 邊界圓盤。 等價地，建立： $$ \boxed{ C_2(\mathbb Q) = C_2(\mathbb Q)_{\rm boundary} } $$ 或至少證明每個非邊界 $C_2(\mathbb Q)$ 點都無法通過至 $C_3$ 的最終平方提升。 首選的下一步為： $$ \boxed{ \text{G2E.4 — 剩餘 MW 圓盤的 p-進高度分離}. } $$ --- **G2E.3 結束**