> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2E.2 — 精確平方提升塔

## 虧格 $0\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow5$、秩—虧格鎖定，以及中間層的二次 Chabauty 目標

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**階段：** G2E.2  
**固定切片：** $k=7/32$  
**狀態：** 精確結構定理  
**日期：** 2026-09-30

---

# 1. 主要結果

固定 $k$ 的完美長方體同時閉合，並非表現為單一難以透視的虧格 $5$ 物件。

它自然由三次連續的二次提升構成：

$$
\boxed{
C_0
\longleftarrow
C_1
\longleftarrow
C_2
\longleftarrow
C_3.
}
$$

其虧格為：

$$
\boxed{
0
\longrightarrow
1
\longrightarrow
3
\longrightarrow
5.
}
$$

對目前的切片：

$$
k=\frac7{32},
$$

相應的 Jacobian 秩為：

$$
\boxed{
0
\longrightarrow
1
\longrightarrow
3
\longrightarrow
5.
}
$$

因此，每個非平凡層都滿足秩與虧格相等。

第一個提升恰為已認證的橢圓因子 $E_0$。

第二個提升是虧格 $3$ 的商，其 Jacobian 為：

$$
E_0^2\times E_-.
$$

最後的非分歧提升恢復二維 Prym：

$$
E_f^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Jac}(C_3)
\sim
E_f^2\times E_0^2\times E_-.
}
$$

先前的整個 Jacobian 分解，現在都可由平方提升塔的幾何解釋。

---

# 2. 底層 $C_0$

G2E.1 引入：

$$
Q=q^2,
\qquad
R=r^2,
$$

以及對稱座標：

$$
S=Q+R,
$$

$$
P=QR.
$$

對於：

$$
k=\frac7{32},
$$

對稱商為下列有理二次曲線：

$$
1352033(S^2+P^2+1)
-
1901250S(P+1)
-
15717198P
=
0.
$$

這就是：

$$
\boxed{
C_0.
}
$$

所以：

$$
g(C_0)=0.
$$

有理參數 $t$ 給出：

$$
P(t)
=
\frac{
49(t-2)^2+1024
}{
49+1024t^2
}.
$$

---

# 3. 第一次平方提升：$P=U^2$

第一次算術提升要求：

$$
P=QR=(qr)^2.
$$

引入：

$$
U=qr.
$$

則：

$$
U^2=P(t).
$$

清除平方分母後，得到：

$$
\boxed{
C_1:
\qquad
Y^2
=
(1024t^2+49)
(49t^2-196t+1220).
}
$$

此四次多項式是可分的。

因此：

$$
\boxed{
g(C_1)=1.
}
$$

---

# 4. 第一次提升的 Jacobian

對二元四次式

$$
(1024t^2+49)
(49t^2-196t+1220),
$$

其經典不變量為：

$$
I=1596916897473,
$$

以及：

$$
J=-3695139075955421250.
$$

其 Jacobian 可寫成：

$$
y^2=x^3-27Ix-27J.
$$

三次式精確分解為：

$$
\boxed{
y^2
=
(x-4658211)
(x-2851875)
(x+7510086).
}
$$

作平移：

$$
X=x-2851875.
$$

則：

$$
Y^2
=
X
(X-1806336)
(X+10361961).
$$

但：

$$
1806336=1344^2=9\cdot448^2,
$$

以及：

$$
10361961=3219^2=9\cdot1073^2.
$$

現在縮放：

$$
X=9X_0,
$$

$$
Y=27Y_0.
$$

得到：

$$
\boxed{
Y_0^2
=
X_0
(X_0-448^2)
(X_0+1073^2).
}
$$

這恰為 G2D 使用的完全 $2$-撓群模型 $E_0'$。

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Jac}(C_1)
\cong
E_0'.
}
$$

這將第一次平方提升辨識為先前發現的橢圓因子，而非引入新曲線。

---

# 5. $C_1$ 的獨立局部秩認證

整數 Jacobian 的根為：

$$
4658211,
$$

$$
2851875,
$$

$$
-7510086.
$$

平方類支撐為：

$$
\{
-1,2,3,7,29,37,73,18521
\}.
$$

因此，原始完全 $2$-下降空間包含：

$$
256^2=65536
$$

個覆蓋。

精確局部閘給出：

$$
65536
\xrightarrow{2^6}
8192,
$$

$$
8192
\xrightarrow{3^3}
2048,
$$

$$
2048
\xrightarrow{7^2}
512,
$$

$$
512
\xrightarrow{29^2}
128,
$$

$$
128
\xrightarrow{37^2}
32,
$$

$$
32
\xrightarrow{73^2}
\boxed{8}.
$$

所以：

$$
\#\operatorname{Sel}^{(2)}
\le8.
$$

此曲線具有完全有理 $2$-撓群。

良好約化給出：

$$
\#E(\mathbb F_5)=8,
$$

$$
\#E(\mathbb F_{13})=8,
$$

$$
\#E(\mathbb F_{19})=20.
$$

因此，有理撓群的階整除：

$$
\gcd(8,8,20)=4.
$$

由於完全 $2$-撓群的階已為 $4$：

$$
E(\mathbb Q)_{\rm tors}
\cong
(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2.
$$

精確整數點：

$$
\boxed{
(-5703750,12654532800)
}
$$

不是撓點。

因此：

$$
\operatorname{rank}E(\mathbb Q)\ge1.
$$

$2$-Selmer 界給出：

$$
\operatorname{rank}E(\mathbb Q)\le1.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}\operatorname{Jac}(C_1)=1.
}
$$

因此，第一個非平凡平方提升具有：

$$
\boxed{
g=r=1.
}
$$

---

# 6. 第二次提升：分離 $Q$ 與 $R$

一旦施加：

$$
P=U^2
$$

此條件，兩個平方座標 $Q,R$ 就是下列方程的根：

$$
X^2-SX+P=0.
$$

它們能夠有理分離，若且唯若：

$$
S^2-4P
$$

為有理平方。

設：

$$
V^2=S^2-4P.
$$

使用有理 $t$-參數化的 $C_0$，精確化簡給出：

$$
S(t)
=
\frac{
589309841t^2
+
5165282168t
+
1226953309
}{
1352033(1024t^2+49)
}.
$$

此外：

$$
S(t)^2-4P(t)
$$

等於：

$$
\left[
\frac{
975t+1171
}{
1352033(1024t^2+49)
}
\right]^2
$$

乘以：

$$
-20617451839t^2
+
7997395778678t
+
779078718161.
$$

因此，第二次提升與下列曲線雙有理等價：

$$
\boxed{
C_2:
\begin{cases}
Y_1^2
=
(1024t^2+49)
(49t^2-196t+1220),\\
Y_2^2
=
-20617451839t^2
+
7997395778678t
+
779078718161.
\end{cases}
}
$$

---

# 7. $C_2$ 的虧格

$\mathbb P^1_t$ 的第一個二次覆蓋具有四個分支位置。

第二個具有兩個分支位置。

它們的分支集合互不相交，因為：

$$
\operatorname{Res}(f_4,f_2)
=
29^4
37^4
73^8
18521^8
\neq0.
$$

因此，次數 $4$ 的雙二次覆蓋具有六個分支位置。

每個分支位置的總分歧貢獻為 $2$。

Riemann–Hurwitz 公式給出：

$$
2g(C_2)-2
=
4(-2)+6\cdot2.
$$

所以：

$$
2g(C_2)-2=4,
$$

因此：

$$
\boxed{
g(C_2)=3.
}
$$

---

# 8. $C_2$ 的群論意義

回到真正的半角平方根：

$$
q,
\qquad
r.
$$

定義：

$$
U=qr,
$$

以及：

$$
V=q^2-r^2.
$$

同時改變符號的對合：

$$
(q,r)
\mapsto
(-q,-r)
$$

同時固定 $U$ 與 $V$。

所以，$C_2$ 是對整條虧格 $5$ 曲線的同時符號變換取商。

額外的交換：

$$
q\leftrightarrow r
$$

固定 $U$，並使：

$$
V\mapsto-V.
$$

對 $C_2$ 的此交換取商，可得 $C_1$。

因此：

$$
\boxed{
C_2
\longrightarrow
C_1
\longrightarrow
C_0
}
$$

是前兩次平方提升的精確幾何實現。

---

# 9. 虧格 $3$ 層的 Jacobian

商 $C_2$ 是虧格 $3$ 的曲線，在 G2C 中記作 $H_k$。

G2C 建立了：

$$
\operatorname{Jac}(H_k)
\sim_{\mathbb Q}
E_0\times E_+\times E_-.
$$

對固定切片：

$$
E_+\cong E_0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Jac}(C_2)
\sim_{\mathbb Q}
E_0^2\times E_-.
}
$$

G2D 證明了：

$$
\operatorname{rank}E_0=1,
$$

以及：

$$
\operatorname{rank}E_-=1.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}
\operatorname{Jac}(C_2)(\mathbb Q)
=
3.
}
$$

由於：

$$
g(C_2)=3,
$$

第二次提升再次滿足：

$$
\boxed{
r=g=3.
}
$$

---

# 10. 第三次提升：恢復 $q$ 與 $r$

在虧格 $3$ 層，已知：

$$
S=Q+R,
$$

$$
P=QR=U^2,
$$

以及：

$$
V^2=(Q-R)^2.
$$

因此：

$$
Q
=
\frac{S+V}{2},
$$

$$
R
=
\frac{S-V}{2}.
$$

最後的完美長方體提升要求：

$$
Q=q^2.
$$

選定 $q$ 後，

$$
r=\frac{U}{q}
$$

自動為有理數，且滿足：

$$
r^2=R.
$$

所以，最後的提升為二次擴張：

$$
\boxed{
q^2=\frac{S+V}{2}.
}
$$

這恢復完整的虧格 $5$ 曲線 $C_3=C_{7/32}$。

---

# 11. 最後的雙覆蓋不分歧

覆疊變換為：

$$
(q,r)
\mapsto
(-q,-r).
$$

不動點將要求原本的兩個平方閘同時分支。

但原本的兩個分支除子互不相交。

等價地，同時符號對合在光滑射影正規化上沒有不動點。

因此：

$$
\boxed{
C_3\to C_2
\text{ 是非分歧雙覆蓋}.
}
$$

Riemann–Hurwitz 公式給出：

$$
2g(C_3)-2
=
2\left(
2g(C_2)-2
\right).
$$

由於：

$$
g(C_2)=3,
$$

得到：

$$
2g(C_3)-2=8,
$$

從而：

$$
\boxed{
g(C_3)=5.
}
$$

Prym 的維度為：

$$
g(C_3)-g(C_2)=2.
$$

G2C 在同源意義下將此 Prym 辨識為：

$$
\boxed{
E_f^2.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Jac}(C_3)
\sim
E_f^2
\times
\operatorname{Jac}(C_2).
}
$$

代入給出：

$$
\boxed{
\operatorname{Jac}(C_3)
\sim
E_f^2\times E_0^2\times E_-.
}
$$

這直接從平方提升幾何解釋了 G2C 的分解。

---

# 12. 秩—虧格鎖定

此塔現在具有下列精確形式：

| 層 | 算術提升 | 虧格 | Jacobian 秩 |
|---|---|---:|---:|
| $C_0$ | 對稱商 | $0$ | $0$ |
| $C_1$ | $P=U^2$ | $1$ | $1$ |
| $C_2$ | $S^2-4P=V^2$ | $3$ | $3$ |
| $C_3$ | $Q=q^2$ | $5$ | $5$ |

因此：

$$
\boxed{
r(C_i)=g(C_i)
}
$$

對每個非平凡層成立。

這解釋了為何通常 Chabauty 方法在此自然提升塔的任何層都無法適用。

其失效是結構性的，而非偶然。

---

# 13. 中間層的二次 Chabauty

雖然：

$$
r(C_2)=g(C_2)=3,
$$

Jacobian 分裂仍給出：

$$
\operatorname{Jac}(C_2)
\sim
E_0^2\times E_-.
$$

重複區塊：

$$
E_0^2
$$

至少貢獻三個獨立的 Néron–Severi 類。

剩餘橢圓因子至少貢獻一個。

因此：

$$
\boxed{
\rho(\operatorname{Jac}(C_2)/\mathbb Q)\ge4.
}
$$

所以：

$$
g+\rho-1
\ge
3+4-1
=
6.
$$

由於：

$$
r=3,
$$

有：

$$
\boxed{
3<6.
}
$$

因此，虧格 $3$ 的中間曲線已滿足二次 Chabauty 的秩判準。

這在策略上很重要。

完整虧格 $5$ 曲線上的任何有理點，都映至 $C_2$ 上的有理點。

因此，若能完全分類 $C_2$ 上的有理點，並證明它們只包含退化提升的映像，就能排除完整固定切片，而不必直接在虧格 $5$ 上執行二次 Chabauty。

---

# 14. $C_2$ 的一個有利有限域質數

在良好質數：

$$
p=31,
$$

處，精確枚舉給出：

$$
\boxed{
\#C_2(\mathbb F_{31})=16.
}
$$

因此，虧格 $3$ 的二次 Chabauty 計算可從僅有十六個剩餘圓盤開始。

這是目前中間層優先採用的局部質數。

完整虧格 $5$ 曲線在下列質數處具有更強的只有邊界現象：

$$
p=11,19,31.
$$

因此，兩個層級都提供獨立的 $p$-進一致性檢查。

---

# 15. 新的優先證明路線

先前的 G2E.1 路線提議直接對 $C_3$ 使用二次 Chabauty。

平方提升塔給出一條較低維的替代路線：

## 步驟 1

先處理：

$$
\boxed{
C_2,\quad g=3,\quad r=3,\quad \rho\ge4.
}
$$

## 步驟 2

使用：

- 到 $E_0,E_0,E_-$ 的橢圓商映射；
- 其已認證的秩一 Mordell–Weil 群；
- $p=31$ 的剩餘圓盤；
- 二次 Chabauty 高度函數；
- Mordell–Weil 相容性。

## 步驟 3

確定：

$$
C_2(\mathbb Q).
$$

## 步驟 4

對 $C_2$ 上每個存活有理點，測試最後的非分歧平方提升：

$$
q^2=\frac{S+V}{2}.
$$

只有能有理提升的點，才可能屬於 $C_3(\mathbb Q)$。

因此，完整固定切片的問題被取代為：

$$
\boxed{
\text{虧格 3 的有理點分類}
+
\text{最後一次精確平方測試}.
}
$$

這比直接攻擊虧格 $5$ 嚴格地更小。

---

# 16. 概念詮釋

完美長方體的算術障礙現在被分解為三個連續的幾何問題：

### 第 1 層

兩個缺失半角平方的乘積能否為平方？

$$
QR\in\mathbb Q^2.
$$

這產生橢圓曲線 $E_0$。

### 第 2 層

兩個平方座標能否有理分離？

$$
(Q-R)^2\in\mathbb Q^2.
$$

這產生虧格 $3$ 的中間曲線。

### 第 3 層

其中一個已分離的有理座標，本身是否為平方？

$$
Q\in\mathbb Q^2.
$$

這恢復完整虧格 $5$ 曲線。

所以，算術複雜度並非一次跳升。

它透過受控的平方提升成長：

$$
\boxed{
\text{乘積}
\rightarrow
\text{分離}
\rightarrow
\text{單獨平方}.
}
$$

這是視覺 X 對角線閉合計畫的精確算術對應。

---

# 17. 目前的定理目標

目前優先的下一個定理為：

$$
\boxed{
C_2(\mathbb Q)
=
\text{已知退化／中間點}.
}
$$

若取得該定理，而且沒有任何非退化的存活點通過最後平方提升，則：

$$
\boxed{
C_{7/32}(\mathbb Q)
=
\mathcal B.
}
$$

這將在全域上排除目前整條固定第一通道切片。

---

**G2E.2 結束**