> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2E.1 — 平方提升塔與二次 Chabauty 適用條件

## 從固定 $k$ 的虧格 $5$ 曲線到有理二次曲線及深度 $2$ 的 Chabauty 目標

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**階段：** G2E.1  
**固定切片：** $k=7/32$  
**狀態：** 精確結構化約  
**日期：** 2026-09-30

---

# 1. 起點

G2D 完成了三個相異橢圓因子的 Mordell–Weil 秩認證：

$$
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)=1,
$$

$$
\operatorname{rank}E_0(\mathbb Q)=1,
$$

$$
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)=1.
$$

固定切片的虧格 $5$ 曲線滿足

$$
\operatorname{Jac}(C_k)
\sim_{\mathbb Q}
E_f^2\times E_0^2\times E_-.
$$

所以

$$
\boxed{
\operatorname{rank}\operatorname{Jac}(C_{7/32})(\mathbb Q)=5.
}
$$

由於

$$
g(C_{7/32})=5,
$$

通常 Chabauty–Coleman 方法無法適用，因為其嚴格不等式

$$
r<g
$$

因等號成立而不滿足。

本階段顯示，導致秩相等的同一個分裂，也使該曲線特別適合二次 Chabauty。

在進入 $p$-進高度之前，先盡可能對平方對稱性取商。

---

# 2. 固定的第一通道

令

$$
k\in\mathbb Q\cap(0,1)
$$

固定，並寫成

$$
K=k^2.
$$

令剩餘兩個半角變數為

$$
q,r.
$$

定義它們的平方

$$
Q=q^2,
$$

$$
R=r^2.
$$

相應的正規化邊座標為

$$
x_Q=
\frac{1-Q}{1+Q},
$$

以及

$$
x_R=
\frac{1-R}{1+R}.
$$

對第一個固定通道，

$$
x_a
=
\frac{2k}{1+k^2},
$$

因此，剩餘半徑為

$$
1-x_a^2
=
\left(
\frac{1-k^2}{1+k^2}
\right)^2.
$$

所以，固定切片的 CARCE 方程為

$$
\boxed{
\left(
\frac{1-Q}{1+Q}
\right)^2
+
\left(
\frac{1-R}{1+R}
\right)^2
=
\left(
\frac{1-K}{1+K}
\right)^2.
}
$$

虧格 $5$ 問題來自要求下列兩者

$$
Q
$$

以及

$$
R
$$

均為有理平方。

---

# 3. 對稱商

定義基本對稱座標

$$
S=Q+R,
$$

以及

$$
P=QR.
$$

精確消去給出二次曲線

$$
\boxed{
A(S^2+P^2+1)
-
B\,S(P+1)
-
C\,P
=
0,
}
$$

其中

$$
A=K^2+6K+1,
$$

$$
B=2(K-1)^2,
$$

以及

$$
C=14K^2+20K+14.
$$

因此，對下列對稱性取商後：

- $q$ 與 $r$ 的符號；
- 交換 $q\leftrightarrow r$；

底層固定切片的幾何變為虧格 $0$。

這是同時雙平方問題最低層的有理商。

---

# 4. 投影判別式

把該二次曲線視為關於 $S$ 的二次方程。

其判別式為

$$
\Delta_S
=
64(K+1)^2
\left[
-KP^2
+
(K^2+4K+1)P
-
K
\right].
$$

因此，引入

$$
Z
$$

並令

$$
\boxed{
Z^2
=
-KP^2
+
(K^2+4K+1)P
-
K.
}
$$

則

$$
S
=
\frac{
B(P+1)
\pm
8(K+1)Z
}{
2A
}.
$$

此二次曲線具有明顯的有理邊界點

$$
\boxed{
(P,Z)=(K,2K).
}
$$

---

# 5. 商二次曲線的有理參數化

作一條通過邊界點的有理直線：

$$
Z
=
2K+t(P-K).
$$

與二次曲線的第二個交點為

$$
\boxed{
P(t)
=
\frac{
K(t-2)^2+1
}{
K+t^2
}.
}
$$

則

$$
Z(t)
=
2K+t(P(t)-K).
$$

所以，整個對稱商由單一有理變數有理參數化：

$$
t.
$$

剩餘困難完全在於，如何經平方映射把這個虧格 $0$ 商提升回去。

---

# 6. 平方提升塔

真正的完美長方體點要求

$$
Q=q^2,
\qquad
R=r^2.
$$

對稱商只給出

$$
S=Q+R,
\qquad
P=QR.
$$

完整的有理提升可透過三個精確平方條件重建。

## 提升 1 — 乘積平方

由於

$$
P=QR=(qr)^2,
$$

要求

$$
\boxed{
P=U^2
}
$$

對某個

$$
U\in\mathbb Q.
$$

代入投影二次曲線後：

$$
\boxed{
Z^2
=
-KU^4
+
(K^2+4K+1)U^2
-
K.
}
$$

這是虧格 $1$ 的四次曲線，對非退化的 $K$ 成立。

## 提升 2 — 分離兩個平方座標

由於 $Q,R$ 是下列方程的根：

$$
X^2-SX+P=0,
$$

要求

$$
\boxed{
S^2-4P=V^2
}
$$

其中

$$
V\in\mathbb Q.
$$

則

$$
Q=\frac{S+V}{2},
$$

$$
R=\frac{S-V}{2}.
$$

## 提升 3 — 一個座標本身為平方

最後要求

$$
\boxed{
Q=W^2.
}
$$

由於

$$
QR=P=U^2,
$$

自動得到

$$
R
=
\left(
\frac{U}{W}
\right)^2.
$$

因此，這三次提升已充分：

$$
\boxed{
P=U^2,
}
$$

$$
\boxed{
S^2-4P=V^2,
}
$$

$$
\boxed{
\frac{S+V}{2}=W^2.
}
$$

最後提升得到的曲線，恰為非退化的虧格 $5$ 同時閉合問題。

---

# 7. $k=7/32$ 的特化二次曲線

對

$$
k=\frac7{32},
$$

有

$$
K=\frac{49}{1024}.
$$

將對稱二次曲線乘以

$$
2^{20}=1048576
$$

得到精確整數方程

$$
\boxed{
1352033(S^2+P^2+1)
-
1901250S(P+1)
-
15717198P
=
0.
}
$$

投影判別式變為

$$
\boxed{
W^2
=
-50176P^2
+
1251681P
-
50176,
}
$$

其中

$$
W=1024Z.
$$

有理邊界點為

$$
\boxed{
\left(
P,W
\right)
=
\left(
\frac{49}{1024},
98
\right).
}
$$

等價地，有理參數化可寫成

$$
\boxed{
P(t)
=
\frac{
49(t-2)^2+1024
}{
49+1024t^2
}.
}
$$

---

# 8. 固定切片的精確射影模型

對

$$
k=\frac7{32},
$$

兩個平方閘可寫成不含有理分母的形式：

$$
\boxed{
Y_1^2
=
(1024h^2+49)(49h^2+1024),
}
$$

以及

$$
\boxed{
Y_2^2
=
\left[
1073(h^2+1)+1950h
\right]
\left[
1073(h^2+1)-1950h
\right].
}
$$

第二個方程恰為對第一閘施加幾何對合

$$
M(h)=\frac{1-h}{1+h},
$$

並清除平方分母後的結果。

此雙二次纖維積的正規化，是下列虧格 $5$ 曲線：

$$
C_{7/32}.
$$

---

# 9. 有理邊界除子

存在四個退化的 $h$ 位置：

$$
h=0,
$$

$$
h=1,
$$

$$
h=-1,
$$

以及

$$
h=\infty.
$$

在

$$
h=0,
$$

時，兩個平方值為

$$
Y_1^2=224^2,
$$

$$
Y_2^2=1073^2.
$$

在

$$
h=\pm1,
$$

時，它們為

$$
Y_1^2=1073^2,
$$

$$
Y_2^2=896^2.
$$

在無窮遠處，首項係數再次給出

$$
224^2
$$

以及

$$
1073^2.
$$

因此，每個 $h$ 位置貢獻四種有理符號選擇。

所以，此曲線具有顯式的有理邊界集合

$$
\boxed{
\mathcal B
\subset C_{7/32}(\mathbb Q)
}
$$

且

$$
\boxed{
\#\mathcal B=16.
}
$$

這些點全都對應退化的長方體幾何，並被排除於物理區間

$$
0<h<1.
$$

---

# 10. 良好約化支撐

令

$$
F(h)
=
(1024h^2+49)(49h^2+1024),
$$

以及

$$
G(h)
=
\left[
1073(h^2+1)+1950h
\right]
\left[
1073(h^2+1)-1950h
\right].
$$

精確的判別式與結式分解顯示，每個可能發生壞約化的質數皆位於

$$
\boxed{
\{
2,3,5,7,13,29,37,73,18521
\}.
}
$$

因此

$$
11,\quad19,\quad31
$$

是固定切片曲線的良好約化質數。

---

# 11. $p=11,19,31$ 處只有邊界的約化

精確枚舉給出：

$$
\boxed{
\#C_{7/32}(\mathbb F_{11})=16,
}
$$

$$
\boxed{
\#C_{7/32}(\mathbb F_{19})=16,
}
$$

以及

$$
\boxed{
\#C_{7/32}(\mathbb F_{31})=16.
}
$$

對這三個質數中的每一個，唯一有限的 $h$ 座標為

$$
\boxed{
h\equiv0,\;1,\;-1.
}
$$

再加上位於下列位置之上的四個點：

$$
h=\infty,
$$

它們恰為十六個已知有理邊界點的約化。

因此：

$$
\boxed{
C_{7/32}(\mathbb F_p)
=
\operatorname{red}_p(\mathcal B)
\qquad
\text{對 }
p=11,19,31.
}
$$

這三個良好質數的任何一個，都沒有非邊界剩餘類。

---

# 12. 直接的有理推論

令一個非退化有理候選寫成

$$
h=\frac uv
$$

其中

$$
\gcd(u,v)=1.
$$

對每個

$$
p\in\{11,19,31\},
$$

其約化必為下列之一：

$$
0,\quad1,\quad-1,\quad\infty.
$$

因此：

$$
\boxed{
p
\mid
u\,v\,(u-v)(u+v).
}
$$

所以，每個假設存在的非退化有理點都必須滿足

$$
\boxed{
11\cdot19\cdot31
\mid
u\,v\,(u-v)(u+v).
}
$$

這只是必要條件，不是矛盾。

其重要性在於，每個有理點都被迫在這三個質數處落入某個已知邊界剩餘圓盤。

---

# 13. Néron–Severi 秩下界

G2C 與 G2D 給出下列 $\mathbb Q$-同源：

$$
\operatorname{Jac}(C_{7/32})
\sim_{\mathbb Q}
E_f^2
\times
E_0^2
\times
E_-.
$$

在乘積

$$
E^2,
$$

上，下列除子類：

- $E\times\{0\}$;
- $\{0\}\times E$;
- 對角線；

給出至少三個定義在 $\mathbb Q$ 上的獨立 Néron–Severi 類。

因此，兩個重複橢圓區塊至少貢獻

$$
3+3
$$

個類。

最後的橢圓因子至少再貢獻一個極化類。

所以

$$
\boxed{
\rho
\left(
\operatorname{Jac}(C_{7/32})/\mathbb Q
\right)
\ge7.
}
$$

Néron–Severi 秩在與 $\mathbb Q$ 張量化後，於 $\mathbb Q$-同源下不變，因此該下界可從分裂乘積轉移至 Jacobian。

---

# 14. 二次 Chabauty 不等式

有

$$
g=5,
$$

$$
r=5,
$$

以及

$$
\rho\ge7.
$$

因此

$$
g+\rho-1
\ge
5+7-1
=
11.
$$

所以

$$
\boxed{
r=5<11\le g+\rho-1.
}
$$

因此，Balakrishnan–Dogra 的二次 Chabauty 判準以相當大的裕度成立。

所以，雖然經典 Chabauty 在

$$
r=g,
$$

時失效，固定切片仍位於深度 $2$ 二次 Chabauty 點集為有限的秩範圍內。

這是關於固定切片的結構定理。

它尚未算出那個有限點集。

---

# 15. 為何 $p=11$ 是特別有利的二次 Chabauty 質數

在良好質數

$$
p=11,
$$

處，完整特殊纖維只有

$$
16
$$

個有理點。

每個點都是已知有理邊界點的約化。

因此，在 $p=11$ 處的二次 Chabauty 計算，只需要分析十六個剩餘圓盤，而且每個圓盤都已有已知有理點作為錨點。

沒有來歷不明的非邊界剩餘圓盤。

相同的只有邊界現象，也獨立出現在

$$
p=19
$$

以及

$$
p=31.
$$

這提供三個獨立的良好質數，供後續 Mordell–Weil 篩與 $p$-進高度篩使用。

---

# 16. 與五個秩一橢圓商的關係

Jacobian 分裂不只對秩的會計有用。

下列曲線上的每個有理點：

$$
C_{7/32}
$$

在五個秩一橢圓因子上都具有相容的映像。

單獨看，每個因子都有無限多個有理點。

虧格 $5$ 曲線上的點，只有在五個橢圓映像來自下列幾何參數的同一個共同值時才存在：

$$
h.
$$

因此，G2E 把問題從：

> 每個商是否都有有理點？

改為：

> 五個秩一的商點，能否滿足共同拉回的相容性條件？

這才是正確的 Mordell–Weil 篩／二次 Chabauty 問題。

---

# 17. 建議的深度 $2$ 計算

下一個計算階段應選擇

$$
p=11
$$

並進行：

1. 從三個秩一因子連同其重數，取得五維 Mordell–Weil 空間的一組基底；
2. 由分裂 Jacobian 誘導的 Néron–Severi 對應；
3. 五個全純微分的 Coleman 積分；
4. 與獨立 Néron–Severi 類相關聯的 $p$-進高度配對；
5. 十六個邊界剩餘圓盤各自的二次 Chabauty 函數；
6. 每個圓盤內的零點測試；
7. 在 $p=19$ 或 $p=31$ 處獨立確認。

所希望得到的結果為：

$$
\boxed{
C_{7/32}(\mathbb Q)
=
\mathcal B.
}
$$

若得到此結果，就會證明完整的固定切片

$$
k=\frac7{32}
$$

不含非退化的完美長方體點。

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# 18. 已證明與尚未證明的內容

## 本階段已證明

- 固定平方座標商的虧格為 $0$；
- 其精確二次曲線方程；
- 其精確有理參數化；
- 三階段平方提升塔；
- 十六個有理邊界點；
- 雙二次模型的完整壞質數支撐；
- 在 $11,19,31$ 處只有邊界的良好約化；
- 下界
  $$
  \rho\ge7;
  $$
- 二次 Chabauty 秩不等式。

## 尚未證明

- 十六個邊界點就是 $\mathbb Q$ 上的所有有理點；
- 物理區間
  $$
  0<h<1
  $$
  不含有理的同時雙平方點；
- 整個完美長方體問題無解。

此固定切片剩下的任務，現在是有限的 $p$-進相容性計算，而非再作一次高度枚舉搜尋。

---

# 19. 標準 G2E 目標

下一個定理目標為：

$$
\boxed{
C_{7/32}(\mathbb Q)
=
\mathcal B.
}
$$

等價地：

$$
\boxed{
\text{固定切片 }
k=\frac7{32}
\text{ 不具有非退化的有理雙平方閉合}.
}
$$

現在優先採用的路線為：

$$
\boxed{
\text{二次 Chabauty}
+
\text{橢圓商相容性}
+
\text{Mordell–Weil 篩}.
}
$$

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# 20. 參考文獻

- Jennifer S. Balakrishnan and Netan Dogra, *Quadratic Chabauty and rational points II: Generalised height functions on Selmer varieties*.
- Jennifer S. Balakrishnan and Netan Dogra, *An effective Chabauty–Kim theorem*.
- Jennifer Balakrishnan, Netan Dogra, Jan Steffen Müller, Jan Tuitman, and Jan Vonk, *Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples*.
- Juanita Duque-Rosero, Sachi Hashimoto, and Pim Spelier, *Geometric quadratic Chabauty and $p$-adic heights*.

---

**G2E.1 結束**