> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2D.3 — $E_-$ 的精確秩一定理

## 局部 $2$-Selmer 閉合與非平凡 Cassels 配對

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**階段：** G2D.3  
**固定切片：** $k=7/32$  
**狀態：** 精確秩定理  
**日期：** 2026-09-30

---

# 1. 主要定理

對下列分解中最後一個相異橢圓因子：

$$
\operatorname{Jac}(C_{7/32})
\sim_{\mathbb Q}
E_f^2\times E_0^2\times E_-,
$$

我們證明：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)=1.
}
$$

結合已獨立認證的結果

$$
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)=1
$$

以及

$$
\operatorname{rank}E_0(\mathbb Q)=1,
$$

可得：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}
\operatorname{Jac}(C_{7/32})(\mathbb Q)
=
5.
}
$$

由於

$$
g(C_{7/32})=5,
$$

固定切片滿足

$$
\boxed{
r=g=5.
}
$$

因此，要求下列不等式的通常 Chabauty–Coleman 方法：

$$
r<g,
$$

無法直接用於此切片。

---

# 2. G2D.2 的勘誤

較早的 G2D.2 草稿使用根數的奇偶性論證，得到

$$
\operatorname{rank}E_0=1.
$$

這條證明路線在此被取代。

$E_0$ 的秩一結果具有純粹基於下降的證明。

使用下列 $2$-同源的完全 $2$-撓群模型：

$$
\boxed{
E_0':
\qquad
Y^2
=
X
(X-448^2)
(X+1073^2).
}
$$

其完全 $2$-下降平方類搜尋包含

$$
128^2
=
16384
$$

個原始覆蓋對。

精確局部閘縮減為：

$$
16384
\rightarrow
2048
\rightarrow
512
\rightarrow
128
\rightarrow
32
\rightarrow
\boxed{8}.
$$

因此

$$
\dim_{\mathbf F_2}
\operatorname{Sel}^{(2)}(E_0'/\mathbb Q)
\le3.
$$

由於 $E_0'$ 具有完全有理 $2$-撓群，

$$
\dim_{\mathbf F_2}E_0'(\mathbb Q)[2]=2.
$$

因此：

$$
\operatorname{rank}E_0'\le1.
$$

顯式點

$$
\boxed{
(480704,468686400)
}
$$

位於 $E_0'$ 上，且為非撓點。

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_0'
=
\operatorname{rank}E_0
=
1.
}
$$

不需要任何奇偶性猜想或根數推論。

---

# 3. $E_-$ 的整數模型

使用：

$$
E_-:
\qquad
Y^2
=
(X-e_1)(X-e_2)(X-e_3),
$$

其中：

$$
e_1=-8195043371142,
$$

$$
e_2=8256895726659,
$$

$$
e_3=-61852355517.
$$

根差均為精確平方：

$$
e_2-e_1
=
4056099^2,
$$

$$
e_3-e_1
=
2851875^2,
$$

$$
e_2-e_3
=
2884224^2.
$$

精確撓群已認證為：

$$
\boxed{
E_-(\mathbb Q)_{\rm tors}
\cong
\mathbb Z/2\mathbb Z
\times
\mathbb Z/4\mathbb Z.
}
$$

---

# 4. 完全 $2$-Selmer 上界

G2D.1 枚舉了完整平方類支撐：

$$
\{
-1,2,3,5,7,13,29,37,73,18521
\}.
$$

原始覆蓋空間包含：

$$
1024^2
=
1048576
$$

個候選對。

精確局部條件將空間縮減為至多：

$$
\boxed{32}
$$

個類。

因此：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbf F_2}
\operatorname{Sel}^{(2)}(E_-/\mathbb Q)
\le5.
}
$$

---

# 5. 五個獨立的 Selmer 方向

選擇下列兩個撓群 Kummer 方向：

$$
T_2=(1,-1,-1),
$$

以及：

$$
T_4=
(
1352033,
20310239726,
15022
).
$$

再選三個額外方向：

$$
\boxed{
A=(1,406,406),
}
$$

$$
\boxed{
B=(1,74,74),
}
$$

$$
\boxed{
C=(65,1,65).
}
$$

它們的平方類向量在下列域上線性獨立：

$$
\mathbf F_2.
$$

因此，若 $A,B,C$ 是真正的 Selmer 類，則：

$$
\dim_{\mathbf F_2}
\operatorname{Sel}^{(2)}
\ge5.
$$

結合先前的上界，便會迫使等號成立。

---

# 6. 類 $A$ 來自全域有理點

點：

$$
\boxed{
P_-=
\left(
\frac{5132247118878268203}{606841},
\frac{2520702383000286338446320000}{472729139}
\right)
}
$$

精確滿足：

$$
Y^2
=
(X-e_1)(X-e_2)(X-e_3)
$$

此恆等式。

其 Kummer 像為：

$$
\boxed{
\delta(P_-)
=
(1,406,406)=A.
}
$$

此平方類方向獨立於撓群映像。

因此：

$$
P_-
$$

是非撓點，且：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)\ge1.
}
$$

---

# 7. 剩餘的兩個 Selmer 類

方向 $B$ 與 $C$ 化約為虧格 $1$ 的四次曲線：

$$
\mathcal Q_B:
\qquad
Y^2
=
(31117T^2+401408Z^2)
(100352T^2+42599173Z^2),
$$

以及：

$$
\mathcal Q_C:
\qquad
Y^2
=
(78125T^2-30074733Z^2)
(177957T^2-1953125Z^2).
$$

其判別式恰好支撐於：

$$
\boxed{
\{
2,3,5,7,13,29,37,73,18521
\}.
}
$$

對此集合之外的每個質數，這些射影四次曲線均具有光滑的虧格 $1$ 約化。

Hasse 界給出剩餘域上的點，再由 Hensel 提升得到局部點。

實點集非空，因為在下列座標處的值：

$$
(T,Z)=(0,1)
$$

為正。

---

# 8. $B$ 與 $C$ 的顯式局部證書

對 $p=2$，可使用：

$$
\mathcal Q_B:
\quad
(T,Z)=(-100,1),
$$

以及：

$$
\mathcal Q_C:
\quad
(T,Z)=(-100,1).
$$

去除偶數的 $2$-進賦值後，兩個值的奇單位部分均為：

$$
1\pmod8.
$$

因此，兩者均為下列域中的平方：

$$
\mathbb Q_2.
$$

對 $p=3$，使用：

$$
\mathcal Q_B:
\quad
(T,Z)=(-95,1),
$$

以及：

$$
\mathcal Q_C:
\quad
(T,Z)=(-99,1).
$$

兩個四次式值均具有偶數的 $3$-進賦值，且單位部分為：

$$
1\pmod3.
$$

在剩餘的奇壞質數處，可使用下列光滑剩餘點：

| $p$ | $\mathcal Q_B$ | $\mathcal Q_C$ |
|---:|---:|---:|
| $5$ | $(0,2)$ | $(1,2)$ |
| $7$ | $(1,3)$ | $(0,2)$ |
| $13$ | $(0,4)$ | $(1,5)$ |
| $29$ | $(1,5)$ | $(0,1)$ |
| $37$ | $(1,16)$ | $(0,8)$ |
| $73$ | $(0,1)$ | $(0,18)$ |
| $18521$ | $(0,8669)$ | $(0,4658)$ |

每個列出的 $Y$ 模 $p$ 均非零，因此可作 Hensel 提升。

因此：

$$
\boxed{
B,C
\in
\operatorname{Sel}^{(2)}(E_-/\mathbb Q).
}
$$

從而：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbf F_2}
\operatorname{Sel}^{(2)}(E_-/\mathbb Q)
=
5.
}
$$

---

# 9. Cassels 配對

模掉兩個撓群方向後，純 $2$-Selmer 空間為：

$$
\langle A,B,C\rangle.
$$

由於 $A$ 由全域有理點表示，它位於 Cassels 配對的根基中。

剩下需計算：

$$
\langle B,C\rangle.
$$

對 $B$-覆蓋，使用下列相依二次式：

$$
H_1:
\quad
c^2w^2+74u_2^2-74u_3^2=0,
$$

$$
H_2:
\quad
b^2w^2-u_1^2+74u_3^2=0,
$$

$$
H_3:
\quad
-a^2w^2+u_1^2-74u_2^2=0,
$$

其中：

$$
a=4056099,
\qquad
b=2851875,
\qquad
c=2884224.
$$

選擇切線形式：

$$
L_1=u_2-u_3,
$$

$$
L_2=bw-u_1,
$$

$$
L_3=u_1-aw.
$$

對於：

$$
C=(65,1,65),
$$

Cassels 的分裂 $2$-撓群公式將局部配對化約為：

$$
\boxed{
(L_1L_3,65)_v.
}
$$

只有有限個賦值處可能有貢獻。

---

# 10. $p=3$ 處的局部配對

以以下參數對 $H_1$ 作參數化：

$$
\tau=-87.
$$

則所誘導的

$$
u_1^2
$$

值滿足：

$$
v_3(u_1^2)=2
$$

且其平方單位部分為：

$$
1\pmod3.
$$

所以：

$$
v_3(u_1)=1.
$$

對切線因子：

$$
v_3(L_1)=-2,
$$

以及：

$$
v_3(aw)=-2.
$$

因此：

$$
v_3(L_3)=-2
$$

以及：

$$
v_3(L_1L_3)=-4.
$$

Hilbert 符號的第二個引數 $65$ 是 $3$-進非平方單位，但第一個引數具有偶數賦值。

因此：

$$
\boxed{
(L_1L_3,65)_3=+1.
}
$$

---

# 11. $p=5$ 處的局部配對

使用局部參數：

$$
\tau=2.
$$

模 $5$：

$$
u_1^2\equiv4,
$$

並選擇：

$$
u_1\equiv2.
$$

切線的剩餘值為：

$$
L_1\equiv4,
$$

$$
aw\equiv3,
$$

所以：

$$
L_3\equiv4.
$$

因此：

$$
L_1L_3\equiv1\pmod5.
$$

所以：

$$
\boxed{
(L_1L_3,65)_5=+1.
}
$$

---

# 12. $p=13$ 處的局部配對

使用：

$$
\tau=1.
$$

模 $13$：

$$
u_1^2\equiv9.
$$

選擇：

$$
u_1\equiv3.
$$

則：

$$
L_1\equiv1,
$$

$$
aw\equiv8,
$$

以及：

$$
L_3
\equiv
3-8
\equiv8
\pmod{13}.
$$

所以：

$$
L_1L_3
\equiv8
\pmod{13}.
$$

但：

$$
\left(
\frac8{13}
\right)
=
-1.
$$

由於：

$$
v_{13}(65)=1,
$$

得到：

$$
\boxed{
(L_1L_3,65)_{13}=-1.
}
$$

---

# 13. 所有其他局部貢獻

在 $p=2$ 處：

$$
65\equiv1\pmod8,
$$

所以，$65$ 是下列域中的平方：

$$
\mathbb Q_2.
$$

在：

$$
p\in
\{
7,29,37,73,18521
\},
$$

有：

$$
\left(
\frac{65}{p}
\right)=1.
$$

因此，$65$ 已是局部平方，Hilbert 符號為平凡。

在實賦值處：

$$
65>0,
$$

所以其貢獻為平凡。

在有限的 Cassels 支撐集合之外，配對不分歧，且局部貢獻為平凡。

因此，完整的局部符號乘積為：

$$
(+1)_\infty
(+1)_2
(+1)_3
(+1)_5
(+1)_7
(-1)_{13}
(+1)_{29}
(+1)_{37}
(+1)_{73}
(+1)_{18521}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\langle B,C\rangle
\neq0.
}
$$

---

# 14. 配對矩陣與 Mordell–Weil 秩

在純 Selmer 基底：

$$
(A,B,C),
$$

上，交替 Cassels 配對的矩陣為：

$$
\boxed{
\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}.
}
$$

其根基恰為：

$$
\boxed{
\langle A\rangle.
}
$$

下列商的映像：

$$
E_-(\mathbb Q)/2E_-(\mathbb Q)
$$

在純 $2$-Selmer 群內位於配對根基中。

因此：

$$
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)\le1.
$$

但第 6 節已給出非撓點 $P_-$。

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)=1.
}
$$

---

# 15. 完整的固定切片秩閉合

現在有精確的秩：

$$
\boxed{
r_f=1,
\qquad
r_0=1,
\qquad
r_-=1.
}
$$

因此：

$$
\operatorname{rank}
\operatorname{Jac}(C_{7/32})(\mathbb Q)
=
2r_f+2r_0+r_-.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}
\operatorname{Jac}(C_{7/32})(\mathbb Q)
=
2+2+1
=
5.
}
$$

由於：

$$
g(C_{7/32})=5,
$$

得到：

$$
\boxed{
r=g=5.
}
$$

因此，目前切片的整個 G2D 秩認證階段已完成。

---

# 16. 影響

經典的 Chabauty 不等式：

$$
r<g
$$

因為等號成立而不滿足。

因此，下一個證明階段不應再作一次秩下降。

在另一個意義下，固定切片的結構特別有利：

$$
\operatorname{Jac}(C_{7/32})
\sim
E_f^2\times E_0^2\times E_-,
$$

且每個相異橢圓因子的秩都恰為一。

因此，自然的下一個目標是：

$$
\boxed{
\text{G2E — 橢圓商相容性／Mordell–Weil 篩}.
}
$$

G2E 不應只問每個商是否各自有無限多個有理點，而必須問五個秩一橢圓因子上的有理點，能否來自原本虧格 $5$ 曲線上的同一個共同點。

下一處可能使完美長方體平方閘在全域失敗的地方，就是這個相容性條件。

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# 參考文獻

1. J. W. S. Cassels, *Second descents for elliptic curves*, Journal für die reine und angewandte Mathematik 494 (1998), 101–127.
2. Tom Fisher, *On binary quartics and the Cassels–Tate pairing*, Research in Number Theory 8, 74 (2022).
3. Himanshu Shukla and Michael Stoll, *The Cassels–Tate pairing on 2-Selmer groups of elliptic curves*, 2023.

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**G2D.3 結束**