> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2D.1 — 局部完全 $2$-下降秩定理

## 固定切片 $k=7/32$ 的精確局部認證

**狀態：** 一個精確秩定理，以及兩個已修正／加強的橢圓因子界  
**日期：** 2026-09-30

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# 1. 本階段的主要結果

對第一個橢圓因子

$$
E_f:
\qquad
y^2=
(x-2)(x+2)
\left(
x+\frac{1050977}{50176}
\right),
$$

其 Mordell–Weil 秩現在已獲得精確認證：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)=1.
}
$$

此認證只使用精確整數算術、完全 $2$-下降平方類與局部同餘障礙。

未使用 SageMath、PARI/GP、mwrank、浮點秩估計器或遠端計算。

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# 2. $E_f$ 的整數模型

由於

$$
50176=224^2,
$$

設

$$
x=\frac{X}{224^2},
\qquad
y=\frac{Y}{224^3}.
$$

則

$$
E_f
$$

在 $\mathbb Q$ 上與下列曲線同構：

$$
\boxed{
Y^2=
(X-100352)
(X+100352)
(X+1050977).
}
$$

三個根差為

$$
200704=448^2,
$$

$$
1151329=1073^2,
$$

$$
950625=975^2.
$$

因此，標準完全 $2$-下降平方類支撐中所需的質數僅有

$$
S=
\{
-1,2,3,5,7,13,29,37
\}.
$$

前兩個 Kummer 座標各有

$$
2^8=256
$$

個平方類。

因此，原始覆蓋空間包含

$$
256^2
=
\boxed{
65536
}
$$

個候選平方類對。

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# 3. 完全 $2$ 覆蓋方程

令整數根為

$$
e_1=100352,
$$

$$
e_2=-100352,
$$

$$
e_3=-1050977.
$$

對平方類代表元

$$
d_1,d_2,d_3
$$

且滿足

$$
d_1d_2d_3
\in
\mathbb Q^{\times2},
$$

Kummer 覆蓋的形式為

$$
d_1u_1^2-d_2u_2^2
=
(e_2-e_1)w^2,
$$

$$
d_1u_1^2-d_3u_3^2
=
(e_3-e_1)w^2.
$$

每個 $2$-Selmer 類都必須通過每項局部測試。

因此，只要模某一冪次

$$
p^n
$$

不存在原始解，即可作為不破壞證明可靠性的排除。

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# 4. 精確局部消去

從

$$
65536
$$

個候選覆蓋出發，精確局部閘給出：

$$
65536
\xrightarrow{2^4}
12288,
$$

$$
12288
\xrightarrow{3^2}
4608,
$$

$$
4608
\xrightarrow{5^2}
1152,
$$

$$
1152
\xrightarrow{7^2}
288,
$$

$$
288
\xrightarrow{13^2}
144,
$$

$$
144
\xrightarrow{29^2}
36,
$$

$$
36
\xrightarrow{37^2}
16.
$$

最後一次模下列模數的 $2$-進細化

$$
2^6=64
$$

給出

$$
\boxed{
16\rightarrow8.
}
$$

因此

$$
\boxed{
\#\operatorname{Sel}^{(2)}(E_f/\mathbb Q)
\le8.
}
$$

---

# 5. 八個存活的平方類三元組

存活的三元組

$$
(d_1,d_2,d_3)
$$

為：

$$
(1,1,1),
$$

$$
(1,65,65),
$$

$$
(-1,-1,1),
$$

$$
(-1,-65,65),
$$

$$
(7511,7,1073),
$$

$$
(7511,455,69745),
$$

$$
(-7511,-7,1073),
$$

$$
(-7511,-455,69745).
$$

在已枚舉的完整平方類支撐中，沒有額外的局部可容許類。

---

# 6. 由已知有理子群得到的下界

此曲線具有完全有理 $2$-撓群。

G2B 已認證

$$
E_f(\mathbb Q)_{\rm tors}
\cong
\mathbb Z/4\mathbb Z
\times
\mathbb Z/2\mathbb Z.
$$

因此

$$
\dim_{\mathbf F_2}E_f(\mathbb Q)[2]=2.
$$

種子點

$$
P=
\left(
\frac{1497}{64},
\frac{2224625}{14336}
\right)
$$

是非撓點。

所以

$$
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)\ge1.
$$

因此

$$
\dim_{\mathbf F_2}
E_f(\mathbb Q)/2E_f(\mathbb Q)
\ge
2+1
=
3.
$$

所以，此商已包含至少

$$
2^3=8
$$

個類。

由於它單射至 $2$-Selmer 群：

$$
8
\le
\#\operatorname{Sel}^{(2)}(E_f/\mathbb Q).
$$

結合局部下降的上界：

$$
\#\operatorname{Sel}^{(2)}(E_f/\mathbb Q)
\le8,
$$

得到：

$$
\boxed{
\#\operatorname{Sel}^{(2)}(E_f/\mathbb Q)=8.
}
$$

因此

$$
\dim_{\mathbf F_2}
\operatorname{Sel}^{(2)}(E_f/\mathbb Q)
=
3.
$$

最後，

$$
3
=
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)
+
\dim_{\mathbf F_2}E_f(\mathbb Q)[2],
$$

所以

$$
3
=
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)+2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)=1.
}
$$

---

# 7. 修正先前的 $E_0$ 撓群主張

先前的 G2D 檢查點過早記錄了

$$
E_0(\mathbb Q)_{\rm tors}
\cong
\mathbb Z/2\mathbb Z.
$$

該陳述不正確。

將唯一的有理 $2$-撓點平移至原點，再施加二的冪次有理縮放後，$E_0$ 具有下列整數模型：

$$
\boxed{
y^2=x^3+Ax^2+Bx
}
$$

其中

$$
A=-16266382031250,
$$

以及

$$
B=133806763259844761394140625.
$$

現在

$$
B
=
11567487335625^2,
$$

以及

$$
A+2\sqrt B
=
2620800^2.
$$

因此，有理點

$$
Q_0
=
\left(
11567487335625,
11567487335625\cdot2620800
\right)
$$

滿足

$$
2Q_0=(0,0).
$$

所以，$Q_0$ 的階為 $4$。

在良好質數

$$
11,17,19,
$$

處，精確點數為

$$
\#E_0(\mathbb F_{11})=16,
$$

$$
\#E_0(\mathbb F_{17})=24,
$$

$$
\#E_0(\mathbb F_{19})=20.
$$

因此，有理撓群的階整除

$$
\gcd(16,24,20)=4.
$$

由於存在階為 $4$ 的點，

$$
\boxed{
E_0(\mathbb Q)_{\rm tors}
\cong
\mathbb Z/4\mathbb Z.
}
$$

本文取代較早 G2D 檢查點中的撓群陳述。

$E_0$ 的自由秩仍未確定。

---

# 8. $E_-$ 的精確撓群

對第三個相異因子，使用下列整數根模型：

$$
Y^2
=
(X-e_1)(X-e_2)(X-e_3),
$$

其中

$$
e_1=-8195043371142,
$$

$$
e_2=8256895726659,
$$

$$
e_3=-61852355517.
$$

根差均為精確平方：

$$
e_2-e_1
=
4056099^2,
$$

$$
e_3-e_1
=
2851875^2,
$$

$$
e_2-e_3
=
2884224^2.
$$

因此，此曲線具有完全有理 $2$-撓群。

此外，

$$
Q_-
=
(
19955593808835,
81192743369781982848
)
$$

滿足

$$
2Q_-=(e_2,0).
$$

所以，有理撓子群至少包含八個元素。

在良好質數

$$
11,17,19,
$$

處，精確點數為

$$
16,\quad16,\quad24.
$$

因此，撓群的階整除

$$
\gcd(16,16,24)=8.
$$

從而：

$$
\boxed{
E_-(\mathbb Q)_{\rm tors}
\cong
\mathbb Z/2\mathbb Z
\times
\mathbb Z/4\mathbb Z.
}
$$

---

# 9. 完全 $2$-下降給出的 $E_-$ 上界

壞質數的平方類支撐為

$$
S_-=
\{
-1,
2,3,5,7,13,29,37,73,18521
\}.
$$

因此，原始完全 $2$ 覆蓋空間包含

$$
1024^2
=
1,048,576
$$

個候選平方類對。

精確局部閘將其如下縮減：

$$
1048576
\xrightarrow{2^6}
131072,
$$

$$
131072
\xrightarrow{3^3}
49152,
$$

$$
49152
\xrightarrow{5^3}
12288,
$$

$$
12288
\xrightarrow{7^3}
3072,
$$

$$
3072
\xrightarrow{13^3}
1536,
$$

$$
1536
\xrightarrow{29^2}
768,
$$

$$
768
\xrightarrow{37^2}
256,
$$

$$
256
\xrightarrow{73^2}
64.
$$

在

$$
p=18521,
$$

處，根差

$$
e_2-e_1
$$

的賦值為 $2$，而

$$
e_3-e_1
$$

是 $p$-進單位。

對模下列模數的原始局部覆蓋點：

$$
p^2,
$$

其 $p$-平方類指數模式

$$
(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)
$$

只能是

$$
(0,0,0)
$$

或

$$
(1,1,0).
$$

模式

$$
(0,1,1)
$$

以及

$$
(1,0,1)
$$

會迫使每個射影座標都被 $p$ 整除，與原始性矛盾。

因此：

$$
64
\rightarrow
\boxed{32}.
$$

所以

$$
\boxed{
\dim_{\mathbf F_2}
\operatorname{Sel}^{(2)}(E_-/\mathbb Q)
\le5.
}
$$

由於

$$
\dim_{\mathbf F_2}E_-(\mathbb Q)[2]=2,
$$

得到不破壞證明可靠性的 Mordell–Weil 秩界：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_-(\mathbb Q)
\le3.
}
$$

這裡並未主張自由秩的正下界。

---

# 10. 更新後的固定切片 Jacobian 狀態

固定切片的分解仍為

$$
\operatorname{Jac}(C_{7/32})
\sim_{\mathbb Q}
E_f^2
\times
E_0^2
\times
E_-.
$$

我們現在精確知道：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_f=1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}\operatorname{Jac}(C_{7/32})
=
2
+
2\operatorname{rank}E_0
+
\operatorname{rank}E_-.
}
$$

目前的嚴格界為：

$$
0
\le
\operatorname{rank}E_0,
$$

以及

$$
0
\le
\operatorname{rank}E_-
\le3.
$$

因此，下一個關鍵任務不再是 $E_f$。

而是：

$$
\boxed{
E_0
\text{ 的秩認證}
}
$$

再配合 $E_-$ 下降的細化。

---

# 11. 研究上的影響

本階段建立了第一個完全在新的完美長方體幾何分支內產生的精確 Mordell–Weil 秩定理：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_f(\mathbb Q)=1.
}
$$

它也修正較早的 $E_0$ 撓群紀錄，並把 $E_-$ 從未分類因子轉化為具有精確撓群及有限秩上界的曲線。

因此，秩認證的瓶頸已由三條橢圓曲線縮小至兩條。

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**G2D.1 結束**