> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2A — 巢狀 X 雙平方閉合

## 完美長方體問題的雙參數精確歸約

**系列：** 完美長方體全域閉合  
**主線：** 幾何分支 G  
**驗證線：** 驗證分支 A  
**階段：** G2A  
**日期：** 2026-09-28

---

# 摘要

中心軸有理閉合定理將完美長方體的存在性歸約為三參數 CARCE 曲面上的有理點問題。

本文進行第二次精確歸約。

不直接處理三個半角參數，而是以兩個巢狀的有理 X／半角階段建構長方體幾何。

首先選取有理參數

$$
p\in\mathbb Q\cap(0,1)
$$

以生成中心軸直角三角形

$$
(a,f,g).
$$

接著選取第二個有理參數

$$
h\in\mathbb Q\cap(0,1)
$$

將對側面的對角線

$$
f
$$

分解為有理直角三角形的組合

$$
(b,c,f).
$$

此建構使

$$
a,b,c,f,g
$$

自動成為有理數，並恆等地滿足完整的實數長方體幾何。

只有其餘兩條面對角線仍須在算術上閉合。

經過 Möbius 變數變換

$$
k=\frac{1-p}{1+p},
$$

定義

$$
F_k(h)
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2},
$$

以及交換邊的對合

$$
M(h)
=
\frac{1-h}{1+h}.
$$

則完美長方體的存在性精確等價於存在

$$
k,h\in\mathbb Q\cap(0,1)
$$

使得

$$
\boxed{
F_k(h)\in\mathbb Q^2
}
$$

且

$$
\boxed{
F_k(M(h))\in\mathbb Q^2.
}
$$

因此，原先的七整數問題變成：

$$
\boxed{
\text{兩個有理參數}
+
\text{兩個精確平方閘門}.
}
$$

對於目前的近算術種子

$$
(a,b,c;g)=(448,495,840;1073),
$$

兩個巢狀參數為

$$
\boxed{
k=\frac7{32},
\qquad
h=\frac47.
}
$$

第一個平方閘門精確通過：

$$
F_{7/32}\left(\frac47\right)
=
\left(\frac{17}{28}\right)^2,
$$

而第二個給出

$$
F_{7/32}\left(\frac3{11}\right)
=
\frac{233}{1913},
$$

它不是有理數的平方。

一項精確有限掃描固定

$$
k=\frac7{32}
$$

並對每個既約有理數

$$
0<h<1
$$

且分母至多為

$$
20{,}000
$$

測試了

$$
121{,}590{,}395
$$

個狀態。

只有四個狀態通過第一個橢圓平方閘門，四個對稱狀態通過第二個，沒有狀態同時通過兩者。

單一閘門是一條虧格為 $1$ 的曲線。

固定 $k$ 的同時雙平方閉合，是射影直線上一個次數為 $4$ 的雙二次覆蓋的正規化，其虧格為

$$
\boxed{5}.
$$

這確定了由新幾何分支直接產生的第一個精確代數幾何對象。

---

# 1. 從一個有理中心軸通道開始

選取

$$
p\in\mathbb Q\cap(0,1).
$$

定義

$$
x_a
=
\frac{1-p^2}{1+p^2},
$$

以及

$$
y_a
=
\frac{2p}{1+p^2}.
$$

則

$$
x_a^2+y_a^2=1.
$$

將下式解讀為

$$
x_a=\frac ag,
$$

以及

$$
y_a=\frac fg.
$$

因此，第一個有理 X／中心軸通道自動給出

$$
a,
f,
g
$$

這些有理比值。

---

# 2. 以第二個有理 X 參數分解對側面

選取

$$
h\in\mathbb Q\cap(0,1).
$$

定義

$$
u_h
=
\frac{1-h^2}{1+h^2},
$$

以及

$$
v_h
=
\frac{2h}{1+h^2}.
$$

則

$$
u_h^2+v_h^2=1.
$$

利用它們將

$$
f
$$

分解為

$$
b
$$

與

$$
c:
$$

$$
x_b
=
y_a u_h
=
\frac{
2p(1-h^2)
}{
(1+p^2)(1+h^2)
},
$$

$$
x_c
=
y_a v_h
=
\frac{
4ph
}{
(1+p^2)(1+h^2)
}.
$$

將下式解讀為

$$
x_b=\frac bg,
$$

$$
x_c=\frac cg.
$$

由於

$$
u_h^2+v_h^2=1,
$$

我們恆等地有

$$
x_b^2+x_c^2=y_a^2.
$$

再加上

$$
x_a^2+y_a^2=1,
$$

便得到

$$
\boxed{
x_a^2+x_b^2+x_c^2=1.
}
$$

因此，體對角線幾何已經閉合。

---

# 3. 巢狀建構後哪些條件自動成立

對有理數

$$
p,h,
$$

以下各項皆為有理數：

$$
\frac ag,
\qquad
\frac bg,
\qquad
\frac cg,
\qquad
\frac fg.
$$

且它們滿足：

$$
a^2+b^2+c^2=g^2,
$$

以及

$$
b^2+c^2=f^2.
$$

所以，經過一次共同縮放後，

$$
a,b,c,f,g
$$

皆可成為整數。

只有其餘兩條面對角線：

$$
d=\sqrt{a^2+b^2},
$$

以及

$$
e=\sqrt{a^2+c^2}
$$

仍須強制成為有理數。

這就是全部剩餘的算術問題。

---

# 4. 剩餘的半角平方閘門

剩餘的中心軸半角參數滿足

$$
t_b^2
=
\frac{1-x_b}{1+x_b},
$$

以及

$$
t_c^2
=
\frac{1-x_c}{1+x_c}.
$$

完美長方體要求：

$$
t_b\in\mathbb Q,
$$

以及

$$
t_c\in\mathbb Q.
$$

等價地：

$$
\boxed{
\frac{1-x_b}{1+x_b}
\in
\mathbb Q^2
}
$$

以及

$$
\boxed{
\frac{1-x_c}{1+x_c}
\in
\mathbb Q^2.
}
$$

---

# 5. Möbius 壓縮

定義

$$
k
=
\frac{1-p}{1+p}.
$$

由於

$$
p\in\mathbb Q\cap(0,1),
$$

我們也有

$$
k\in\mathbb Q\cap(0,1).
$$

反過來，

$$
p
=
\frac{1-k}{1+k}.
$$

在新座標中，

$$
x_a
=
\frac{2k}{1+k^2},
$$

以及

$$
y_a
=
\frac{1-k^2}{1+k^2}.
$$

巢狀幾何變為

$$
x_b
=
\frac{
(1-k^2)(1-h^2)
}{
(1+k^2)(1+h^2)
},
$$

$$
x_c
=
\frac{
2h(1-k^2)
}{
(1+k^2)(1+h^2)
}.
$$

---

# 6. 第一個平方閘門

定義

$$
F_k(h)
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2}.
$$

直接的代數運算給出

$$
\frac{1-x_b}{1+x_b}
=
\boxed{
F_k(h).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
t_b^2=F_k(h).
}
$$

所以，第一條剩餘面對角線為有理數，若且唯若：

$$
\boxed{
F_k(h)\in\mathbb Q^2.
}
$$

---

# 7. 交換邊的對合

定義：

$$
M(h)
=
\frac{1-h}{1+h}.
$$

則：

$$
M(M(h))=h.
$$

在幾何上，這正是交換：

$$
b\leftrightarrow c.
$$

事實上，若

$$
h=\tan\frac{\delta}{2},
$$

則交換直角三角形的兩股會使

$$
\delta
\mapsto
\frac{\pi}{2}-\delta,
$$

因此：

$$
\tan
\left(
\frac{\pi/2-\delta}{2}
\right)
=
\frac{1-h}{1+h}.
$$

---

# 8. 第二個平方閘門

直接代入得到：

$$
\frac{1-x_c}{1+x_c}
=
F_k(M(h)).
$$

因此：

$$
\boxed{
t_c^2
=
F_k(M(h)).
}
$$

第二條剩餘面對角線為有理數，若且唯若：

$$
\boxed{
F_k(M(h))
\in
\mathbb Q^2.
}
$$

---

# 9. 主要雙參數定理

## 定理 — 巢狀 X 雙平方閉合

完美長方體存在，若且唯若存在

$$
k,h\in\mathbb Q\cap(0,1)
$$

使得：

$$
\boxed{
F_k(h)\in\mathbb Q^2
}
$$

且

$$
\boxed{
F_k(M(h))\in\mathbb Q^2,
}
$$

其中：

$$
F_k(h)
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2},
$$

以及：

$$
M(h)
=
\frac{1-h}{1+h}.
$$

這是精確的。

此定理不包含任何浮點近似。

---

# 10. 為何此定理是充分的

給定有理數

$$
k,h,
$$

恢復：

$$
p
=
\frac{1-k}{1+k}.
$$

巢狀建構給出有理數：

$$
x_a,x_b,x_c,y_a.
$$

若：

$$
F_k(h)=q^2,
$$

且：

$$
F_k(M(h))=r^2
$$

其中：

$$
q,r\in\mathbb Q,
$$

則缺少的對側面半角通道為有理數。

因此，每個正規化的邊與對角線比值皆為有理數。

接著以公分母縮放此配置，即得到整數完美長方體。

---

# 11. 純整數平方閘門

寫成：

$$
k=\frac mn,
$$

$$
h=\frac uv,
$$

且皆為既約形式。

則：

$$
F_k(h)
=
\frac{
n^2u^2+m^2v^2
}{
n^2v^2+m^2u^2
}.
$$

定義：

$$
N_1
=
n^2u^2+m^2v^2,
$$

$$
D_1
=
n^2v^2+m^2u^2.
$$

以以下數值約分：

$$
g_1=\gcd(N_1,D_1).
$$

則第一個平方閘門精確通過的條件為：

$$
\boxed{
\frac{N_1}{g_1}
\text{ 與 }
\frac{D_1}{g_1}
\text{ 皆為完全平方數}.
}
$$

不需要因數分解。

---

# 12. 純整數的第二個平方閘門

由於：

$$
M(h)
=
\frac{v-u}{v+u},
$$

我們得到：

$$
N_2
=
n^2(v-u)^2
+
m^2(v+u)^2,
$$

$$
D_2
=
n^2(v+u)^2
+
m^2(v-u)^2.
$$

令：

$$
g_2=\gcd(N_2,D_2).
$$

則第二個平方閘門精確通過的條件為：

$$
\boxed{
\frac{N_2}{g_2}
\text{ 與 }
\frac{D_2}{g_2}
\text{ 皆為完全平方數}.
}
$$

因此，搜尋核心只需要：

- 整數加法；
- 乘法；
- gcd；
- 精確的整數平方測試。

---

# 13. 目前種子在新座標中的表示

目前的精確實數種子為：

$$
(a,b,c;f,g)
=
(448,495,840;975,1073).
$$

第一個巢狀中心軸參數為：

$$
p
=
\frac{f}{g+a}
=
\frac{975}{1521}
=
\frac{25}{39}.
$$

因此：

$$
k
=
\frac{1-p}{1+p}
=
\boxed{
\frac7{32}.
}
$$

第二個巢狀參數來自：

$$
\frac bf
=
\frac{495}{975}
=
\frac{33}{65},
$$

$$
\frac cf
=
\frac{840}{975}
=
\frac{56}{65}.
$$

因此：

$$
h
=
\frac{56}{65+33}
=
\boxed{
\frac47.
}
$$

所以，目前種子為：

$$
\boxed{
(k,h)
=
\left(
\frac7{32},
\frac47
\right).
}
$$

---

# 14. 種子處的第一個閘門

計算：

$$
F_{7/32}\left(\frac47\right)
=
\frac{
(4/7)^2+(7/32)^2
}{
1+(7/32)^2(4/7)^2
}.
$$

精確約分後：

$$
\boxed{
F_{7/32}\left(\frac47\right)
=
\frac{289}{784}
=
\left(
\frac{17}{28}
\right)^2.
}
$$

所以，第一個剩餘面對角線通道精確通過。

---

# 15. 種子處的第二個閘門

此對合給出：

$$
M\left(\frac47\right)
=
\frac{1-4/7}{1+4/7}
=
\boxed{
\frac3{11}.
}
$$

則：

$$
F_{7/32}\left(\frac3{11}\right)
=
\boxed{
\frac{233}{1913}.
}
$$

這正是原先的共享核心缺陷。

因此，種子狀態為：

$$
\boxed{
\text{閘門 1 PASS}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{閘門 2 FAIL，數值為 }233/1913.
}
$$

因此，新舊表述在精確算術層次上相同。

---

# 16. 種子的整數閘門數值

對於：

$$
k=\frac7{32},
$$

以及：

$$
h=\frac47,
$$

第一對整數為：

$$
N_1=18785,
$$

$$
D_1=50960.
$$

它們的 gcd 為：

$$
g_1=65.
$$

因此：

$$
\frac{N_1}{g_1}=289=17^2,
$$

$$
\frac{D_1}{g_1}=784=28^2.
$$

閘門 1 通過。

第二對為：

$$
N_2=15145,
$$

$$
D_2=124345.
$$

同樣地：

$$
g_2=65.
$$

約分得到：

$$
\frac{N_2}{g_2}=233,
$$

$$
\frac{D_2}{g_2}=1913.
$$

兩者皆不是平方數。

閘門 2 未通過。

---

# 17. 單一平方閘門的虧格為 1

第一個閘門：

$$
q^2
=
F_k(h)
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2}
$$

可改寫為：

$$
Y^2
=
(h^2+k^2)(1+k^2h^2),
$$

其中：

$$
Y=q(1+k^2h^2).
$$

對於：

$$
0<k<1,
$$

此四次式有四個相異根：

$$
\pm ik,
$$

$$
\pm\frac{i}{k}.
$$

因此，其光滑射影模型的虧格為：

$$
\boxed{1}.
$$

由於：

$$
h=1
$$

給出一個有理點，

此曲線是以下域上的橢圓曲線：

$$
\mathbb Q.
$$

---

# 18. 顯式橢圓模型

將四次式除以：

$$
k^2
$$

並令：

$$
y_0=\frac{Y}{k}.
$$

則：

$$
y_0^2
=
h^4
+
A h^2
+
1,
$$

其中：

$$
A
=
k^2+k^{-2}.
$$

定義：

$$
X
=
\frac{y_0+1}{h^2}.
$$

則：

$$
h^2
=
\frac{2X+A}{X^2-1}.
$$

定義：

$$
x=2X,
$$

以及：

$$
y=2h(X^2-1).
$$

則此四次曲線與以下曲線雙有理等價：

$$
\boxed{
E_k:
\quad
y^2
=
(x^2-4)(x+A).
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
y^2
=
(x-2)(x+2)(x+A).
}
$$

反向映射恢復：

$$
\boxed{
h
=
\frac{2y}{x^2-4}.
}
$$

因此，每個單閘門有理閉合皆屬於一條顯式橢圓曲線。

---

# 19. 固定目前的第一個通道

對於：

$$
k=\frac7{32},
$$

我們有：

$$
A
=
\left(\frac7{32}\right)^2
+
\left(\frac{32}{7}\right)^2
=
\frac{1050977}{50176}.
$$

種子：

$$
h=\frac47,
$$

$$
q=\frac{17}{28}
$$

映至橢圓曲線上的點：

$$
x
=
\frac{1497}{64},
$$

$$
y
=
\frac{2224625}{14336}.
$$

此點不是可見的有理 $2$-撓點之一。

所以，固定 $k$ 的第一閘門曲線已具有非平凡的有理結構。

---

# 20. 同時雙平方曲線

對固定的有理數：

$$
k\in(0,1),
$$

完美長方體閉合要求：

$$
q^2=F_k(h),
$$

以及：

$$
r^2=F_k(M(h)).
$$

這是以下空間的兩個雙重覆蓋的纖維積：

$$
\mathbb P^1_h.
$$

第一個覆蓋的分支位置為：

$$
\left\{
\pm ik,
\pm i/k
\right\}.
$$

第二個的分支位置為 Möbius 原像：

$$
M^{-1}
\left(
\left\{
\pm ik,
\pm i/k
\right\}
\right).
$$

對有理數：

$$
0<k<1,
$$

這兩個各含四點的分支集合互不相交。

因此，合併的覆蓋有八個相異分支位置。

---

# 21. 固定 $k$ 的同時閉合之虧格

完整的同時閉合曲線是以下空間的一個次數為 $4$ 的覆蓋：

$$
\mathbb P^1.
$$

在八個分支位置的每一處：

- 基底點上方有兩個點；
- 每個點的分歧指數皆為 $2$。

因此，每個分支位置對 Riemann-Hurwitz 分歧總和的貢獻為：

$$
2
$$

。

總分歧量：

$$
8\times2=16.
$$

Riemann-Hurwitz 給出：

$$
2g-2
=
4(-2)+16.
$$

因此：

$$
2g-2=8,
$$

所以：

$$
\boxed{
g=5.
}
$$

因此，對每個固定的有理數：

$$
0<k<1,
$$

同時雙平方的完美長方體閉合位於一條虧格為 $5$ 的曲線上。

這是新雙參數幾何分支的第一個直接代數幾何複雜度分類。

---

# 22. 虧格為 5 的推論

對任意固定的有理數：

$$
k,
$$

同時閉合曲線的虧格大於：

$$
1.
$$

因此，依 Faltings 定理，其有理點有限。

這不提供有效可求的清單。

但它解釋了為何固定第一個通道的精確雙平方閉合可能極其稀疏。

全域完美長方體問題仍未解決，因為：

$$
k
$$

本身可以在以下集合中自由變動：

$$
\mathbb Q\cap(0,1).
$$

---

# 23. 固定 $k$ 的精確掃描

第一項計算實驗固定：

$$
k=\frac7{32},
$$

這是目前種子所誘導的數值。

對每個既約有理數：

$$
h=\frac uv
$$

滿足：

$$
0<u<v,
$$

$$
\gcd(u,v)=1,
$$

且：

$$
v\le20{,}000
$$

皆進行了測試。

測試的狀態數：

$$
\boxed{
121{,}590{,}395.
}
$$

此搜尋只使用第 11 與 12 節的整數平方閘門。

沒有使用浮點接受準則。

---

# 24. 掃描中找到的第一閘門有理點

在受測範圍內，恰有四個既約有理狀態通過第一個平方閘門：

$$
h=\frac47,
\qquad
q=\frac{17}{28},
$$

$$
h=\frac4{33},
\qquad
q=\frac14,
$$

$$
h=\frac{33}{119},
\qquad
q=\frac{269}{763},
$$

$$
h=\frac{256}{817},
\qquad
q=\frac{61}{160}.
$$

沒有找到分母滿足以下條件的其他第一閘門狀態：

$$
v\le20{,}000
$$

。

---

# 25. 掃描中找到的第二閘門有理點

恰有四個狀態通過第二個平方閘門：

$$
h=\frac3{11},
\qquad
r=\frac{17}{28},
$$

$$
h=\frac{29}{37},
\qquad
r=\frac14,
$$

$$
h=\frac{43}{76},
\qquad
r=\frac{269}{763},
$$

$$
h=\frac{561}{1073},
\qquad
r=\frac{61}{160}.
$$

它們正是四個第一閘門狀態的對合像。

例如：

$$
M\left(\frac47\right)
=
\frac3{11},
$$

以及：

$$
M\left(\frac4{33}\right)
=
\frac{29}{37}.
$$

---

# 26. 有限掃描中沒有同時閉合

在以下範圍內：

$$
v\le20{,}000,
$$

同時滿足兩個平方閘門的狀態數為：

$$
\boxed{0}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{在固定的 }
k=\frac7{32}
\text{ 切片中，沒有完美長方體滿足 }
\operatorname{den}(h)\le20{,}000.
}
$$

這只是有界的精確計算排除。

它並未證明整條固定 $k$ 的虧格 $5$ 曲線沒有正有理點。

---

# 27. 獨立的小範圍交叉檢查

第二個實作使用精確的 Python 整數算術，獨立掃描了所有既約的：

$$
h=\frac uv
$$

滿足：

$$
v\le1000.
$$

它測試了：

$$
304{,}191
$$

個狀態。

它精確重現了在該範圍內可見的相同第一閘門點：

$$
\frac47,
\quad
\frac4{33},
\quad
\frac{33}{119},
\quad
\frac{256}{817},
$$

以及分母至多為 $1000$ 的第二閘門點：

$$
\frac3{11},
\quad
\frac{29}{37},
\quad
\frac{43}{76}.
$$

沒有找到同時閉合。

此交叉檢查在重疊的有界域上驗證了整數閘門實作。

---

# 28. 為何對合模式重要

關係式：

$$
F_k(M(h))
$$

不是另一個互不相關的獨立方程式。

它是在幾何交換邊之後求值的同一個橢圓平方閘門：

$$
b\leftrightarrow c.
$$

因此，固定以下參數的完美長方體閉合：

$$
k
$$

可以表述為：

> 找到一個有理數 $h$，使 $h$ 與 $M(h)$ 都屬於同一個橢圓閘門的有理平方投影集合。

這就是兩個有限命中集合呈現為對合配對的精確原因。

---

# 29. 新的典範搜尋對象

G2A 之後，建議的主要精確搜尋狀態不再是：

$$
(t_a,t_b,t_c).
$$

對建構性搜尋，使用：

$$
\boxed{
(k,h).
}
$$

幾何會恆等地生成。

驗證器只需要求值：

$$
F_k(h)
$$

以及：

$$
F_k(M(h)).
$$

形式化目標為：

$$
\boxed{
\exists
k,h\in\mathbb Q\cap(0,1)
:
F_k(h),F_k(M(h))
\in
\mathbb Q^2.
}
$$

---

# 30. 幾何分支的解讀

兩個參數具有直接的幾何意義。

第一個參數：

$$
k
$$

控制第一個中心軸分解：

$$
(a,f,g).
$$

第二個：

$$
h
$$

控制內部的面分解：

$$
(b,c,f).
$$

因此，軟體可以顯示：

1. 體對角線 X／中心軸三角形；
2. 對側面的 X 分解；
3. 其餘兩個算術面通道；
4. 兩個精確平方閘門指示器。

視覺目標變為：

$$
\boxed{
\text{閘門 1}
\quad
\checkmark
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{閘門 2}
\quad
\checkmark.
}
$$

當兩者在同一個有理狀態都轉為 PASS 時，完美長方體證書便存在。

---

# 31. 緊接著的數學方向

## A. 固定 $k$ 的虧格 $5$ 算術

對於：

$$
k=\frac7{32},
$$

確定同時閉合的虧格 $5$ 曲線上的有理點。

可能使用的工具：

- Jacobian 分解；
- Chabauty-Coleman；
- Mordell-Weil 篩法；
- 覆蓋族；
- 橢圓商分析；
- 局部障礙。

## B. 橢圓閘門生成

使用：

$$
E_k:
y^2=(x-2)(x+2)(x+A)
$$

以生成有理的第一閘門狀態，而不需對分母進行暴力枚舉。

接著以第二個平方閘門測試它們的對合像。

## C. 變動 $k$

搜尋有理數：

$$
k
$$

採用低高度精確算術，但使用橢圓閘門結構，而非原始的 $(k,h)$ 網格枚舉。

## D. Jacobian 對稱性

虧格 $5$ 曲線具有多個對合：

- 兩個平方根的符號變換；
- 交換邊 $h\mapsto M(h)$；
- 橢圓雙重覆蓋對稱性。

這些可能將 Jacobian 分解為較低維的因子。

此分解是高優先級的證明目標。

---

# 32. 對目前進展的解讀

原先的經典問題：

$$
7
\text{ 個整數長度}
$$

目前已經由以下精確鏈壓縮：

$$
\text{完美長方體}
$$

$$
\Longleftrightarrow
$$

$$
\text{CARCE 有理點}
$$

$$
\Longleftrightarrow
$$

$$
\boxed{
(k,h)
\text{ 為有理數}
+
2
\text{ 個同時平方閘門}.
}
$$

對目前種子：

$$
\left(
\frac7{32},
\frac47
\right),
$$

其中一個閘門已通過。

尚未解決的缺陷正是：

$$
\boxed{
\frac{233}{1913}
\notin
\mathbb Q^2.
}
$$

所以，此研究問題已大幅局部化。

---

# 33. 典範的單行目標

$$
\boxed{
\exists\,
k,h,q,r
\in
\mathbb Q\cap(0,1)
:
q^2
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2},
\qquad
r^2
=
\frac{M(h)^2+k^2}{1+k^2M(h)^2},
\quad
M(h)=\frac{1-h}{1+h}.
}
$$

此系統的任何建構性解都會給出一個精確的整數完美長方體。

---

**G2A 結束**