# P/NP 辯論遊戲研究區｜第十三輪

## 可解閉包穩定性與多項式鏈爆炸：每一步都容易，整條路就一定容易嗎？

**Tractable Closure Stability and Polynomial Chain Explosion: Does Local Polynomiality Compose Globally?**

- **主導研究者：** Neo.K（許筌崴）
- **協作整理：** Aletheia
- **機構：** EveMissLab（一言諾科技有限公司）
- **日期：** 2026 年 8 月 1 日
- **版本：** v1.0
- **研究狀態：** 第十三輪雙假設預演
- **前置文件：** `12_第十二輪_介面語言格_Schaefer臨界與遞迴SAT.md`
- **遊戲態度：** 等號隊與不等號隊繼續互相拆台
- **文件標準：** 正式命題、候選猜想、思想實驗與遊戲比分分開記錄

---

## 摘要

第十二輪建立了 Bridge Language Drift、Bridge Expressivity Transition、BCIC 與 DTCS，並將不同 bridge language 的關係從線性階梯修正為由 pp-definability／co-clone 所誘導的偏序結構。然而，一個尚未處理的關鍵問題是：即使動態 bridge portfolio 的**每一步**都位於某個已知 tractable representation 或 tractable theory 中，這是否足以保證**整條動態轉換軌跡**仍可在原始輸入大小的多項式資源內完成？

本輪證明一個簡單但重要的組合事實：**stepwise polynomiality 並不推出 pathwise polynomiality**。若表示大小滿足

$$
s_{t+1}=s_t^d,
\qquad d\ge 2,
$$

則每一步相對於當前表示大小都是多項式變換；然而從 $s_0=n$ 出發，經過 $m$ 步後：

$$
s_m=n^{d^m}.
$$

只要 $m$ 隨 $n$ 增長，整體即可迅速超出任何固定多項式界。這說明「我每次只做一個 polynomial transformation」不能作為 Dynamic Tractable Closure Scheme 的充分證明。

本輪據此正式區分：

$$
\boxed{\text{Stepwise Tractability}}
$$

與：

$$
\boxed{\text{Pathwise Tractability}}.
$$

並提出 **Tractable Closure Stability（TCS）**：一條動態表示／bridge 軌跡不只要求每一步可解，而要求所有中間表示大小、單步成本、累積成本、bridge depth 與答案 lifting 成本都對原始輸入大小保持統一多項式有界。

等號隊因此升級 DTCS：不再只尋找「下一個 tractable island」，而必須建立一個 **Amortized Tractability Certificate（ATC）** 或其他非循環的全域勢函數，證明整條切換歷史不會發生 size、degree、interface 或 recursion depth 的鏈式爆炸。不等號隊則提出 **Pathwise Closure Instability**：一般 SAT 的困難可能不是任一單步必然困難，而是任何足夠一般的 tractable-island trajectory 都會在某處累積超多項式的中間債務、轉換深度或 expressive drift。

本輪不證明 $P\neq NP$，但獲得一個對後續非常重要的排錯規則：

> **局部多項式性是必要條件，不是動態多階段演算法的充分條件；真正必須控制的是相對於原始輸入大小的全程峰值與累積成本。**

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# 一、上一輪留下的問題

第十二輪的等號隊提出 Dynamic Tractable Closure Scheme（DTCS）：

$$
R_0
\xrightarrow{\tau_0}
R_1
\xrightarrow{\tau_1}
\cdots
\xrightarrow{\tau_{m-1}}
R_m,
$$

其中每個 $R_t$ 都試圖落在某個 tractable representation／bridge language／theory island，並由某個 polynomial-time local solver 處理。

乍看之下，如果每一個：

$$
\tau_t
$$

都是多項式時間，似乎整條路應該也是多項式時間。

這個直覺只在**固定次數的多項式合成**下自動成立。

若轉換次數：

$$
m=m(n)
$$

本身隨輸入大小增長，而且每一步的多項式界是相對於**當前已經變大的表示大小**，則結論完全不同。

這就是本輪主戰場。

---

# 二、共同模型：動態 tractable trajectory

令原始 SAT 實例為：

$$
F_0,
\qquad |F_0|=n.
$$

一個動態 portfolio 產生表示序列：

$$
F_0=R_0,R_1,\ldots,R_m.
$$

第 $t$ 步由：

$$
\tau_t:R_t\mapsto R_{t+1}
$$

完成。

定義：

$$
s_t=|R_t|
$$

為第 $t$ 層表示長度，

$$
c_t=C(\tau_t,R_t)
$$

為第 $t$ 步實際構造／轉換成本。

最後 $R_m$ 必須允許答案被多項式時間求出，並在需要時將 witness lift 回原始 SAT：

$$
\operatorname{Lift}(R_m)\mapsto w.
$$

因此整條軌跡的成本至少包含：

$$
T_{\mathrm{path}}
=
\sum_{t=0}^{m-1}c_t
+
T_{\mathrm{solve}}(R_m)
+
T_{\mathrm{lift}}.
$$

另外，實際計算不能忽略峰值表示：

$$
S_{\mathrm{peak}}
=
\max_{0\le t\le m}s_t.
$$

---

# 三、第一個正式區分：Stepwise vs. Pathwise

## 3.1 Stepwise Polynomiality

稱一條軌跡具有 stepwise polynomiality，若對每一步 $t$，存在固定常數 $a_t,b_t$ 使：

$$
c_t\le s_t^{a_t},
$$

$$
s_{t+1}\le s_t^{b_t}.
$$

注意：這些界是相對於**當前** $s_t$。

這只表示：

> 如果我已經拿到 $R_t$，生成下一個 $R_{t+1}$ 並不比 $R_t$ 的某個多項式更昂貴。

它沒有說明 $R_t$ 自己相對於最初輸入 $n$ 有多大。

## 3.2 Pathwise Polynomiality

稱一條軌跡具有 pathwise polynomiality，若存在與 $n$ 無關的固定常數 $K$，使對所有足夠大的輸入：

$$
m(n)\le n^K,
$$

$$
S_{\mathrm{peak}}\le n^K,
$$

$$
T_{\mathrm{path}}\le n^K.
$$

這才是傳統 $P$ 所需要的層級。

因此：

$$
\boxed{
\text{Stepwise Polynomiality}
\not\Rightarrow
\text{Pathwise Polynomiality}
}
$$

是本輪第一個主結論。

---

# 四、多項式鏈爆炸引理

## 引理 4.1：反覆平方

令：

$$
s_0=n,
$$

並令每一步：

$$
s_{t+1}=s_t^2.
$$

則對每一個固定 $t$，映射：

$$
s\mapsto s^2
$$

顯然是多項式大小的變換。

然而：

$$
s_1=n^2,
$$

$$
s_2=n^4,
$$

$$
s_3=n^8,
$$

一般地：

$$
\boxed{
s_m=n^{2^m}
}.
$$

### 證明

由歸納法：若

$$
s_t=n^{2^t},
$$

則：

$$
s_{t+1}
=(n^{2^t})^2
=n^{2^{t+1}}.
$$

證畢。

因此只要：

$$
m(n)\to\infty,
$$

指數 $2^{m(n)}$ 便不再是固定常數。

例如 $m(n)=\lceil\log_2 n\rceil$ 時：

$$
s_m
=n^{\Theta(n)},
$$

已遠超任何固定多項式。

這個例子完全不依賴 SAT；它只是指出一個演算法設計常見的邏輯漏洞：

$$
\boxed{
\text{「每步 polynomial」不能直接量詞交換成「整條鏈 polynomial」。}
}
$$

---

# 五、一般化：degree accumulation

若每一步滿足：

$$
s_{t+1}\le c_t s_t^{d_t},
$$

忽略常數項的細節，反覆代入會出現近似的 degree accumulation：

$$
s_m
\lesssim
n^{\prod_{t=0}^{m-1}d_t}
\times
\text{constant factors}.
$$

因此一個很自然的上界證書量為：

$$
\boxed{
A_m
=
\prod_{t=0}^{m-1}d_t
}
$$

稱為 **Degree Accumulation Factor**。

如果 $A_m$ 隨 $n$ 無界增長，這類單純的局部 polynomial certificate 便無法保證最終表示為固定多項式大小。

必須強調：

$$
A_m
$$

只是**上界分析工具**，不是問題本身的不變量。實際變換可能高度收縮，使粗糙的 $d_t$ 上界很鬆。

它的用途是排除一種錯誤論證：

> 「我的每一個 bridge 都是 polynomial，所以 portfolio 當然是 polynomial。」

不，還需要全程組合控制。

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# 六、一個更微妙的反例：常數倍成長也可以累積

即使每一步只有：

$$
s_{t+1}\le 2s_t,
$$

若步數：

$$
m(n)=n,
$$

則：

$$
s_m\le 2^n n.
$$

所以問題甚至不只在 polynomial degree 大於 $1$。

真正需要同時控制的是：

1. 單步 expansion ratio；
2. bridge depth；
3. 是否有收縮步驟；
4. 峰值中間表示；
5. 累積構造時間。

因此本輪新增：

$$
\boxed{
D_B=m(n)
}
$$

作為 **Bridge Depth**。

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# 七、最終很小不代表過程很便宜

等號隊可能反擊：

> 我中間會膨脹，但最後又壓回一個很小的 normal form。

這不能自動解決問題。

考慮：

$$
|R_0|=n,
$$

$$
|R_1|=2^n,
$$

$$
|R_2|=1.
$$

最終 representation 只有一個 bit，但只要 $R_1$ 必須被顯式生成，演算法已經付出指數成本。

因此不能只測：

$$
|R_m|.
$$

而必須測：

$$
S_{\mathrm{peak}}
=
\max_t |R_t|.
$$

這與 Knowledge Compilation 中「target language 的 query tractability」與「succinctness／transformation cost」必須分開評估的基本精神一致。

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# 八、真正的 Tractable Closure Stability

本輪正式提出工作定義。

## 定義 8.1：TCS

一族動態 bridge trajectories：

$$
\Pi_n
=
(R_0,\tau_0,R_1,\ldots,\tau_{m-1},R_m)
$$

稱為 **Tractable-Closure Stable（TCS）**，若存在固定常數 $K$，使對所有 $n$ 與所有長度為 $n$ 的輸入：

$$
m(n)\le n^K,
$$

$$
\max_t |R_t|\le n^K,
$$

$$
\sum_t C(\tau_t,R_t)\le n^K,
$$

$$
T_{\mathrm{final}}+T_{\mathrm{lift}}\le n^K.
$$

並且所有轉換都是 uniform、exact、有限精度、可由標準計算模型實現。

這不是新的複雜度類，而是**對動態多表示演算法的一個完整成本證書格式**。

---

# 九、等號隊的新策略：Amortized Tractability Certificate

等號隊承認「每一步都 tractable」不夠。

於是提出更強的：

$$
\boxed{
\mathrm{ATC}
=
\text{Amortized Tractability Certificate}
}
$$

也就是不要逐步獨立保證，而是找一個全域、非循環的 potential：

$$
\Phi_n(R_t).
$$

希望滿足：

### 9.1 初始多項式有界

$$
\Phi_n(R_0)\le n^a.
$$

### 9.2 單步增量可控

$$
\Phi_n(R_{t+1})
\le
\Phi_n(R_t)+n^b.
$$

### 9.3 單步成本由勢函數控制

$$
|R_t|+c_t
\le
\operatorname{poly}(n,\Phi_n(R_t)).
$$

### 9.4 步數多項式有界

$$
m(n)\le n^c.
$$

則：

$$
\Phi_n(R_t)
\le
n^a+n^{b+c},
$$

故若單步 cost polynomial degree 是固定常數，整條軌跡可保持 polynomial。

這個思想本質上接近 amortized analysis：

> 不要求每一步都不增長，而要求增長有一個全域預算，且不能反覆無限制複利。

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# 十、ATC 的自我拆台：不能把 solver 偷進 potential

不等號隊立刻指出：

若定義：

$$
\Phi(R)
=
\text{「從 }R\text{ 出發的最佳剩餘求解時間」},
$$

那麼：

$$
\Phi(R_0)\in\operatorname{poly}(n)
$$

本身就是：

$$
P=NP
$$

的另一種說法。

因此 ATC 若要有證明價值，必須要求 potential：

1. **solver-independent**：不能由最佳算法身份定義；
2. **answer-blind**：不能先求答案再定義 potential；
3. **structural**：應由表示／約束／介面本身可獨立刻畫；
4. **computably checkable 或至少有獨立數學定義**；
5. **不能直接等於 remaining runtime、optimal circuit size 或最短證明長度**，除非這些量另有獨立可證下界。

這是第六輪「閉包悖論」與第八輪「unrestricted PEQS」的再次防呆。

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# 十一、已有 tractable closure 的正面樣板

本輪不是主張所有 tractable islands 都不穩定。相反，現有理論中存在很好的正面樣板。

## 11.1 固定 CSP language 內的 pp-closure

對固定有限 constraint language $\Gamma$，若關係 $R$ 能由 $\Gamma$ 以固定 primitive-positive definition 表示，則 $R$-constraint 可以透過引入 existential auxiliary variables 展開回 $\Gamma$-constraints。

在固定有限語言與固定 relation definitions 的情況下，這提供標準 polynomial reduction。

從 polymorphism 的觀點看，pp-definable relations 保留相同的 polymorphism invariants；因此 co-clone／pp-closure 正是 tractability classification 能使用的穩定代數空間之一。

這顯示：

$$
\boxed{
\text{某些真正的 tractable closures 是存在的。}
}
$$

問題是一般 SAT 的動態 portfolio 能否永遠待在這些安全 closure 中。

## 11.2 SMT theory combination 的條件式穩定

Nelson–Oppen 類方法也提供另一種正面樣板：在 signature disjoint、stable infiniteness 等條件成立時，可以把個別 theory decision procedures 合成。

但 literature 同時指出 shared-variable arrangements 可能具有 worst-case exponential reasoning cost；polite combination 與 care functions 等技術就是在控制這種 coordination explosion。

這再次支持本輪的核心：

$$
\text{local decidability}
+
\text{valid composition theorem}
+
\text{controlled interface growth}
$$

才足以得到全域 tractability。

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# 十二、Knowledge Compilation 的提醒：閉包不是只有 query

Knowledge Compilation Map 將 representation language 的價值分成至少兩個方向：

1. succinctness；
2. 支持哪些 queries／transformations 可在 polytime 完成。

因此一個 dynamic portfolio 若說：

> 我每次都切換到一個 query tractable language。

仍然不夠。

它必須同時回答：

$$
\text{translation cost?}
$$

$$
\text{intermediate succinctness?}
$$

$$
\text{closure under repeated transformations?}
$$

這正是 TCS 要補上的部分。

---

# 十三、不等號隊的新候選：Pathwise Closure Instability

不等號隊此輪不再主張：

> 某一個局部步驟必然超多項式。

而提出更動態的候選：

## Pathwise Closure Instability Conjecture（PCIC）

存在一族 SAT instances $\{F_n\}$，使任何符合 admissibility requirements 的 dynamic tractable-island trajectory，若精確求解 $F_n$，則至少發生以下之一：

$$
m(n)\notin\operatorname{poly}(n),
$$

或：

$$
S_{\mathrm{peak}}(n)\notin\operatorname{poly}(n),
$$

或：

$$
T_{\mathrm{path}}(n)\notin\operatorname{poly}(n),
$$

或：

$$
P_{\mathrm{precision}}(n)\notin\operatorname{poly}(n),
$$

或 trajectory 被迫離開所有已證明的 tractable closure。

這仍然只是一個**候選研究方向**。

若把「admissible trajectory」定義成所有可能 polynomial-time algorithms，就再次等價於原始 $P/NP$；所以後續仍需要找到一個寬廣但非循環的 trajectory class。

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# 十四、等號隊的最強版本：Global DTCS

等號隊把第十二輪 DTCS 升級為：

## Global Dynamic Tractable Closure Scheme（G-DTCS）

對每個 SAT instance $F$，存在 uniform polynomial-time controller $\Omega$，生成：

$$
R_0\to R_1\to\cdots\to R_m,
$$

其中：

1. 每個 local solver 的正確性可證；
2. 每個 bridge transformation exact；
3. 所有 $R_t$ 都由某個可識別的 tractable representation class 處理；
4. $m$、$S_{\mathrm{peak}}$、總 build cost、query cost、lift cost 均由同一固定 $n^K$ 控制；
5. controller 不使用 oracle 或預藏答案。

如果真能為一般 SAT 構造 G-DTCS，則它基本上就給出了 SAT 的 polynomial-time algorithm。

所以等號隊的任務非常明確：

$$
\boxed{
\text{不是找更多 tractable islands，}
}
$$

$$
\boxed{
\text{而是證明 island switching 本身具有全域 polynomial certificate。}
}
$$

---

# 十五、思想實驗 A：每一步都平方

等號隊：

> 每個 bridge 都只是 polynomial transformation。

不等號隊：

令：

$$
|R_{t+1}|=|R_t|^2.
$$

每一步都 polynomial，但：

$$
|R_m|=n^{2^m}.
$$

若：

$$
m=\Theta(\log n),
$$

則：

$$
|R_m|=n^{\Theta(n)}.
$$

**裁定：** stepwise polynomial 被擊破。

---

# 十六、思想實驗 B：安全的 additive trajectory

若存在固定常數 $a,b$ 使：

$$
|R_{t+1}|
\le
|R_t|+n^a,
$$

且：

$$
m(n)\le n^b,
$$

則：

$$
|R_m|
\le
n+n^{a+b},
$$

保持 polynomial。

若同時每一步運行時間相對於 $n$ 與當前表示有固定多項式界，累積成本亦可保持 polynomial。

**裁定：** 動態切換不是原罪；缺乏全域 amortized control 才是問題。

---

# 十七、思想實驗 C：最後壓縮不能抵銷中間爆炸

令：

$$
R_0\to R_1\to R_2,
$$

其中：

$$
|R_0|=n,
\qquad
|R_1|=2^n,
\qquad
|R_2|=1.
$$

即使答案最後被「漂亮地壓成一個 bit」，如果 $R_1$ 必須顯式生成，總成本仍然指數。

所以必須計算：

$$
S_{\mathrm{peak}}
$$

而非只計算 final normal form。

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# 十八、思想實驗 D：固定深度 composition 確實安全

若 bridge chain 長度為固定常數 $m=O(1)$，且每個轉換都有固定 degree polynomial bound：

$$
s_{t+1}\le s_t^{d_t},
$$

則：

$$
s_m
\le
n^{\prod_{t=0}^{m-1}d_t},
$$

其中乘積仍是固定常數。

因此：

$$
\boxed{
\text{有限固定深度的 polynomial transformations 仍是 polynomial。}
}
$$

真正危險的是：

$$
\boxed{
\text{composition depth 隨輸入增長。}
}
$$

---

# 十九、這一輪與原始動態速率理論的重新接合

這一輪出現了一個非常符合原始系列的現象。

以前我們寫：

$$
T_{\mathrm{total}}
=
T_{\mathrm{search}}
+
T_{\mathrm{construct}}
+
T_{\mathrm{realize}}
+
T_{\mathrm{run}}
+
T_{\mathrm{verify}}.
$$

現在 dynamic bridge portfolio 告訴我們：

$$
T_{\mathrm{construct}}
$$

本身可能不是一次性單層，而是：

$$
T_{\mathrm{construct}}
=
\sum_{t=0}^{m-1}
T_{\mathrm{bridge},t}.
$$

甚至 representation size 也成為一個動態狀態變數：

$$
s_{t+1}
=f_t(s_t,\Gamma_t,B_t).
$$

因此計算複雜度不只是「某個演算法的大 $O$」，還可以在研究過程中被視為一條資源軌跡：

$$
\mathbf R_t
=
(s_t,c_t,w_t,p_t,b_t,\ldots).
$$

這並不改寫傳統 $P$ 的定義；它只是提供一個更適合分析動態多表示 solver 的中間數學語言。

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# 二十、雙方互相攻擊

## 20.1 不等號隊攻擊等號隊

### 攻擊 A：local-poly 偷換 global-poly

$$
\forall t,
\quad
c_t\in\operatorname{poly}(s_t)
$$

不能推出：

$$
\sum_t c_t\in\operatorname{poly}(n).
$$

### 攻擊 B：只看 final representation

最終 normal form 小，不代表 compilation trajectory 小。

### 攻擊 C：無限 portfolio

如果 controller 每次遇到困難就新增一個 tractable island，必須計算 island discovery／recognition／translation 本身的 uniform cost。

### 攻擊 D：ATC 循環

若 potential 等於最佳剩餘求解時間，ATC 只是 $P=NP$ 改名。

## 20.2 等號隊攻擊不等號隊

### 攻擊 A：composition explosion 只是存在，不是必然

反覆平方只證明「某些 polynomial chains 會爆」，沒有證明任何 SAT solver chain 都會爆。

### 攻擊 B：真正演算法可以收縮

很多算法中間步驟不是 monotone expansion；elimination、contraction、quotienting 都可能大幅減少狀態。

### 攻擊 C：可以有全域 potential

若找到結構勢函數，控制總增長，chain depth 本身未必危險。

### 攻擊 D：已有成功 composition theorems

CSP pp-closure、Nelson–Oppen／polite combination 等案例都說明某些局部 decision procedures 的確可在明確條件下安全組合。

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# 二十一、已知障礙審查

## 21.1 是否證明 $P\neq NP$？

沒有。

Polynomial Chain Explosion Lemma 只說：

$$
\text{stepwise poly}
\not\Rightarrow
\text{pathwise poly}.
$$

它沒有說所有 SAT algorithms 都必須使用 growing-depth chain，更沒有說任何 chain 都必然爆炸。

## 21.2 是否只是重新定義 P？

TCS 若定義得過寬，確實會退化成：

$$
\text{存在 polynomial trajectory}
\Longleftrightarrow
L\in P.
$$

所以 TCS 目前只是一個**成本審計規格**；真正證明必須來自獨立結構條件或獨立下界。

## 21.3 Schaefer／CSP 能否直接完成分離？

不能。

它們能在固定 constraint-language 模型中給出 tractable／NP-complete 分界；NP-complete side 仍不能無條件推出不在 P。

## 21.4 Theory combination 的 exponential arrangements 能否直接證明一般下界？

不能。

它們只表明特定 combination framework 的 coordination 可能具有 worst-case exponential cost。

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# 二十二、本輪淘汰的錯誤論證

1. 「每個 transformation 都是 polynomial，所以整個 adaptive pipeline 一定 polynomial。」
2. 「最終表示是 polynomial size，所以 compilation 過程一定 polynomial。」
3. 「每一層都落在某個 P 類問題，所以所有層的組合仍自動在 P。」
4. 「有 polynomially many 個 polynomial-time subroutines，所以總時間一定 polynomial。」——只有當每個 subroutine 的輸入大小與 polynomial degree 都對原始 $n$ 有統一控制時才成立。
5. 「找到一個 potential」但 potential 其實是 remaining optimal runtime。
6. 「某個 bridge framework arrangements 指數」所以所有 bridge algorithms 都指數。

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# 二十三、本輪真正獲得的結果

## 結果一：Polynomial Chain Explosion Lemma

局部 polynomial transformation 可以在 growing-depth composition 中形成超多項式 trajectory。

這是正式成立的基礎數學事實。

## 結果二：Stepwise / Pathwise 分離

今後所有 dynamic representation／bridge algorithm 都必須同時報告：

$$
\text{step cost}
$$

與：

$$
\text{path cost}.
$$

## 結果三：Bridge Depth 成為必要參數

$$
D_B=m(n)
$$

不能再被忽略。

## 結果四：Peak Representation 是必要資源

$$
S_{\mathrm{peak}}
=
\max_t|R_t|
$$

比 final representation size 更重要。

## 結果五：ATC 成為等號隊的新建構任務

等號隊若要保住 Dynamic Tractable Closure，必須給出一個真正非循環的 amortized certificate。

## 結果六：不等號隊從「單步下界」轉向「路徑不穩定」

後續可研究的不是某個表示必然爆，而是：

$$
\boxed{
\text{是否所有足夠一般的 tractable trajectories 都缺乏全域穩定勢函數？}
}
$$

---

# 二十四、本輪裁定

等號隊成功指出：

$$
\text{動態切換本身並不導致困難，}
$$

只要有良好的全域 amortized control，長鏈仍可能保持 polynomial。

不等號隊則成功擊破一個很容易被忽略的假設：

$$
\boxed{
\text{每一步 tractable}
\not\Rightarrow
\text{整條 trajectory tractable}.
}
$$

因此本輪比分：

$$
P=NP:12
\qquad
P\neq NP:12.
$$

又平手。

本輪兩隊疑似已將「平手」本身發展成一種穩定不動點。

---

# 二十五、第十四輪入口

## 複雜度勢能遊戲：是否存在非循環的全域 tractability potential？

第十四輪將直接爭奪：

$$
\boxed{
\Phi(F)
}
$$

是否可能存在一種：

1. 不依賴特定 solver；
2. 不預先知道答案；
3. 可跨表示比較；
4. 在所有 tractable bridge transformations 下具有可控制漂移；
5. 足以保證 peak size、path cost 與 bridge depth polynomial；
6. 又不會退化成「最佳求解時間」的同義反覆；

的全域**複雜度勢函數**。

等號隊任務：

> 建立一個 admissible potential，使任意 SAT 都存在一條沿勢函數受控下降／受控增長的 polynomial trajectory。

不等號隊任務：

> 構造 adversarial formula family，證明任何候選 structural potential 都會出現 plateau、cycle、hidden debt 或 representation escape。

這會把本系列與原先的「動態速率／狀態演化」研究真正重新接回同一個數學介面。

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# 二十六、歷史依賴

本輪直接依賴：

1. `12_第十二輪_介面語言格_Schaefer臨界與遞迴SAT.md`
   - BCIC、DTCS、Bridge Language Drift、遞迴 SAT。
2. `11_第十一輪_共同保存結構崩塌與動態橋接.md`
   - Bridge Coordination Debt、Existential Reappearance。
3. `09_第九輪_尋找SAT的Blossom與商化債務.md`
   - Quotient Debt、Hybrid Quotient Portfolio。
4. `06_第六輪_多項式表示變換閉包與閉包悖論.md`
   - 避免把 unrestricted polynomial closure 直接當成新理論。
5. `00_數學構造狀態機中介層_v1.0.md`
   - 數學構造、表示、實現、狀態轉移的完整成本鏈。

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# 二十七、外部理論參照

1. Adnan Darwiche and Pierre Marquis, **A Knowledge Compilation Map**, Journal of Artificial Intelligence Research, 2002 / arXiv:1106.1819.
   - 用於 succinctness、polytime queries 與 transformations 之間必須分開評估的框架。
2. Dejan Jovanović and Clark Barrett, **Being Careful about Theory Combination**, Formal Methods in System Design 42(1), 2013.
   - shared-variable arrangements 與 care functions；組合理論的 coordination 並非免費。
3. Ying Sheng, Yoni Zohar, Christophe Ringeissen, Andrew Reynolds, Clark Barrett, Cesare Tinelli, **Politeness and Stable Infiniteness: Stronger Together**, CADE 2021.
   - theory combination 的條件式 composition theorem；arrangement reasoning 在 worst case 可為 exponential。
4. Ying Sheng et al., **Combining Stable Infiniteness and (Strong) Politeness**, Journal of Automated Reasoning, 2023.
   - 混合 combination 方法與降低 arrangement 變數的技巧。
5. Dmitriy Zhuk, **Strong subalgebras and the Constraint Satisfaction Problem**, 2020.
   - finite-domain CSP、WNU polymorphism 與 tractability／NP-hardness classification 背景。
6. Boolean CSP／Schaefer／pp-definability／polymorphism literature.
   - 用於說明真正的 tractable pp-closures 可以存在，但不會自動涵蓋一般 SAT 的動態多表示軌跡。

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## 本輪一句話版本

$$
\boxed{
\text{「每一步都容易」只是局部聲明；真正的 }P\text{ 要求「整條歷史都便宜」。}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{動態切換要想成為 }P=NP\text{ 的路線，必須交出一張全程 amortized polynomial 帳單。}
}
$$