# Moser 歪度場半自主研究：第 9 輪

## ——任意精度重建、單調 Darboux 尖點包絡與證書邊界

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 任意精度數值審計；非完整區間證書  
**延續：** Moser Skew Lab v0.8

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# 1. 本輪目標

第 8 輪平滑候選相對五連桿事件控制的提升約為：

$$
10^{-5}.
$$

本輪不擴大曲線族，而檢查這個差值是否來自：

- 雙精度誤差；
- 曲線積分誤差；
- 支撐點採樣誤差；
- 特殊相位尖點偏移；
- 事件控制值截斷。

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# 2. 明確曲線定義

平滑候選使用固定十進位參數：

$$
\varepsilon=0.037,
$$

$$
w=0.3361057714712081,
$$

$$
\beta=1.405382794839393,
$$

$$
\delta=0.05204734906280986,
$$

$$
c=0.5801781668857768.
$$

切向角為：

$$
\theta(u)=\beta+\delta F_\varepsilon(u;c),
$$

$$
F_\varepsilon(u;c)
=
\frac{g(u)-g(1)}{g(0)-g(1)},
$$

$$
g(u)=
\frac12
\left[
1-\tanh\left(\frac{u-c}{\varepsilon}\right)
\right].
$$

因此本輪研究的是一條由明確十進位常數定義的曲線，而不是隱含在某次浮點記憶體中的物件。

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# 3. $270^\circ$ 尖點的降維公式

令左翼端點為：

$$
p_1=(x_1,y_1),
$$

$$
x_1=w\int_0^1\cos\theta(u)\,du,
$$

$$
y_1=w\int_0^1\sin\theta(u)\,du.
$$

中央段長度：

$$
l_0=1-2w.
$$

在：

$$
\phi=\frac{3\pi}{2}
$$

時，活動支撐身份使尺度化為：

$$
\boxed{
s_{270}
=
\frac{y_1}{A}
+
\frac{x_1+l_0}{B}
}.
$$

所以關鍵候選值只需兩個一維積分。

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# 4. 任意精度雙算法結果

| 十進位精度 | 積分法 | $s_{270}$ | 秒 |
|---:|---|---|---:|
| 40 | quad | `0.9989143390846327172529644185367022461801905097…` | 0.144 |
| 40 | quadgl | `0.9989143390846327172529644185367022461801905097…` | 0.325 |
| 60 | quad | `0.9989143390846327172529644185367022461801921193…` | 0.321 |
| 60 | quadgl | `0.9989143390846327172529644185367022461801921193…` | 0.398 |
| 80 | quad | `0.9989143390846327172529644185367022461801921193…` | 0.347 |
| 80 | quadgl | `0.9989143390846327172529644185367022461801921193…` | 0.199 |
| 120 | quad | `0.9989143390846327172529644185367022461801921193…` | 1.130 |
| 120 | quadgl | `0.9989143390846327172529644185367022461801921193…` | 1.724 |

`tanh–sinh` 與 `Gauss–Legendre` 在所有保存位數一致。

採用 $120$ 位結果：

$$
\boxed{
s_{270}
=
0.99891433908463271725296441853670224618019211931483351998479812835127468012734148
}.
$$

---

# 5. 五連桿事件控制重算

事件控制的四個接觸分支：

| 分支 | 高精度尺度 |
|---:|---:|
| B1 | `0.99890375713250867495512982490055648021726822671219…` |
| B2 | `0.99890375713250875719719987386818978772130872751630…` |
| B3 | `0.99890375713250890026993583710653792959092798377771…` |
| B4 | `0.99890375713250873231720030171493453710521365469528…` |

由於第 5 輪只保存雙精度根，四支在任意精度重算後不會完全相等。

明確十進位事件曲線的最低值：

$$
\boxed{
s_0
=
0.99890375713250867495512982490055648021726822671219210378943867995125633337938996
}.
$$

差值：

$$
\boxed{
s_{270}-s_0
=
0.0000105819521240422978345936361457659629238926026414161953594484
}.
$$

---

# 6. 單調 Darboux 尖點包絡

在候選範圍內：

$$
0<\theta(u)<\frac{\pi}{2},
\qquad
\theta'(u)<0.
$$

所以：

$$
\sin\theta(u)
$$

單調下降，而：

$$
\cos\theta(u)
$$

單調上升。

因此左右 Riemann 和提供積分的數學上下界。

| 分割數 | 下界 | 上界 | 包絡寬度 | 下界減事件控制 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2048 | `0.998908810334668384712867473311…` | `0.998919867834597053657245003141…` | 1.10575e-5 | 5.0532022e-6 |
| 4096 | `0.998911574709650550499897197013…` | `0.998917103459614884972085961928…` | 5.52875e-6 | 7.8175771e-6 |
| 8192 | `0.998912956897141633755674280421…` | `0.998915721272123800991768662878…` | 2.764375e-6 | 9.1997646e-6 |
| 16384 | `0.998913647990887175474130102630…` | `0.998915030178378259092177293859…` | 1.3821875e-6 | 9.8908584e-6 |

只用 $4096$ 分割時：

$$
s_{270}^{\mathrm{lower}}-s_0
>
7.8\times10^{-6}.
$$

這個正性不依賴兩個求積器恰好輸出同一小數，而來自被積函數的單調次序。

但是這裡必須限制結論：

> Darboux 包絡只證明精確 $270^\circ$ 尖點值高於事件控制，不直接證明它是完整相位圓的全域最低值。

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# 7. 四個控制分支的獨立高精度審計

純 `mpmath` 支撐求值器：

- 重新積分曲線座標；
- 由切線與法向垂直條件反解翼內支撐點；
- 不讀取第 8 輪曲線 CSV；
- 不使用 NumPy 密集點雲。

| 分支 | 相位 | 高精度尺度 | 高於 $270^\circ$ |
|---|---:|---:|---:|
| low-1 | 0.1546991336743802 | `0.99891438487362665738117862916810012877023458…` | 4.5788994e-8 |
| low-2 | 0.1240808007425145 | `0.99891438598653319985024388065682119515720639…` | 4.69019e-8 |
| 120° | $2\pi/3$ | `0.99891434072296678644611538508900424690954547…` | 1.6383341e-9 |
| 270° | $3\pi/2$ | `0.99891433908463271725296441853670224618019211…` | 0 |

最接近的競爭者是 $120^\circ$：

$$
s_{120}-s_{270}
\approx
1.6383\times10^{-9}.
$$

這個極窄差距解釋了為何完整相位區間證書比尖點積分驗證困難很多。

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# 8. 非光滑尖點

以 $h=10^{-9}$ 估計單側相位導數。

## $120^\circ$

$$
D_-s
\approx
-0.26765828712846099158541019163433513227162387662221,
$$

$$
D_+s
\approx
0.61241640533971782839191670429430484687720698747482.
$$

## $270^\circ$

$$
D_-s
\approx
-0.32948028282201254839549821055633001477896472662321,
$$

$$
D_+s
\approx
0.43268675794937853584820971062851505492461178023733.
$$

兩個事件都滿足：

$$
D_-s<0<D_+s.
$$

因此它們是活動支撐身份切換造成的尖點局部極小。

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# 9. 峰值寬度診斷

對第 8 輪窄掃描做低階多項式擬合：

| 次數 | 估計 $\varepsilon_*$ | 估計尺度 | 二階導數 |
|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 0.0367514042 | 0.998914327819115 | -2.255644e-02 |
| 3 | 0.0367690341 | 0.998914346242333 | -2.822115e-02 |
| 4 | 0.0370322777 | 0.998914337907332 | -2.615875e-02 |

不同低階擬合將峰值放在：

$$
0.0367\lesssim\varepsilon_*\lesssim0.0371.
$$

這支持 $\varepsilon=0.037$ 是合理峰值採樣點，但不構成連續最優性證明。

---

# 10. 證書狀態

| 項目 | 狀態 |
|---|---|
| 任意精度獨立曲線積分 | 通過 |
| tanh–sinh／Gauss–Legendre 交叉 | 通過 |
| $270^\circ$ Darboux 正下界 | 通過 |
| 四控制分支高精度重算 | 通過 |
| 尖點左右方向導數 | 通過 |
| 完整相位區間排除 | **未完成** |
| 參數盒 Krawczyk／interval Newton | **未完成** |
| 形式化證明 | 未開始 |

所以本輪可以把第 8 輪結論提高為：

$$
\boxed{
\text{平滑候選的关键尖點值與正差，
已通過任意精度、雙求積算法與單調和包絡。}
}
$$

但尚不能提高成：

$$
\boxed{
\text{完整曲線合同難度的嚴格區間證書。}
}
$$

---

# 11. 尚缺的全域步驟

真正需要證明的是：

$$
s(\phi)\ge s_{270}
\qquad
\forall\phi\in[0,2\pi).
$$

若只使用全域 Lipschitz 常數與均勻網格，$120^\circ$ 與 $270^\circ$ 間的 $10^{-9}$ 級差距會迫使網格極度細密。

下一輪必須利用接觸結構：

1. 把相位圓拆成固定活動身份區間；
2. 在每個區間寫出光滑支撐公式；
3. 對尖點使用單側導數；
4. 對光滑區間使用導數符號或 interval Newton；
5. 單獨包住 $120^\circ$ 與 $270^\circ$ 的競爭。

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# 12. 第 10 輪方向

下一輪建立「相位接觸區間圖」：

$$
\phi
\longmapsto
(
I_{\min x},
I_{\min y},
I_{\max d}
).
$$

並將：

$$
[0,2\pi)
$$

拆成有限個活動身份區間。

每個區間再建立：

$$
s_I(\phi)
$$

與導數包絡，逐區排除低於 $s_{270}$ 的可能。

並行建立平滑五參數事件—KKT：

$$
(w,\beta,\delta,c,\varepsilon)
$$

加上兩個低相位駐點、兩個特殊尖點與分支壓力。

---

# 13. 結論

任意精度候選尖點：

$$
\boxed{
s_{270}
=
0.9989143390846327172529644185367022461801921193148335199847981283512747
}.
$$

事件控制：

$$
\boxed{
s_0
=
0.9989037571325086749551298249005564802172682267121921037894386799512563
}.
$$

差值：

$$
\boxed{
s_{270}-s_0
=
0.0000105819521240422978345936361457659629238926026
}.
$$

$4096$ 分割的單調 Darboux 下界仍保留約：

$$
7.8\times10^{-6}
$$

的正差。

因此平滑候選已從雙精度候選提升成：

$$
\boxed{
\text{任意精度确认、雙算法一致，
並具有單調 Darboux 尖點下界的候選。}
}
$$

下一個核心不是增加更多小數位，而是完成整个相位圓的分段區間排除。