# Moser 歪度場半自主研究：第 8 輪

## ——有限寬度曲率層、平滑候選超越與雙路徑支撐複核

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 探索性數值研究；非形式證明；非區間證書  
**延續：** Moser Skew Lab v0.7

# 1. 原始問題

以端點正規化的雙曲正切層平滑五連桿側翼內部折點：

$$
\theta_\varepsilon(u)=\beta+(\alpha-\beta)F_\varepsilon(u;c).
$$

當 $\varepsilon\to0$，它收斂到兩段常方向側翼。原先預期只檢查：

$$
s_\varepsilon\to s_{\mathrm{event}}.
$$

但數值延拓揭露了更強的非單調現象：有限寬度曲率層可略高於折線事件根。

# 2. 事件控制

第 5 輪五連桿事件值：

$$
s_0=0.998903757132509.
$$

它是固定接觸拓撲中的數值孤立折線候選，不是完整曲線空間的局部最優證明。

# 3. 四分支等高延拓

針對有限寬度重新優化：

$$
(w,\beta,\delta,c),
$$

並最大化四個控制分支中的最低值。

| $\varepsilon$ | 高解析尺度 | 相對事件根 | 追蹤分支差距 |
|---:|---:|---:|---:|
| 0.008 | 0.998906840475532 | +3.083e-06 | 4.093e-11 |
| 0.01 | 0.998907550948445 | +3.794e-06 | 3.122e-10 |
| 0.012 | 0.998908292529886 | +4.535e-06 | 9.310e-10 |
| 0.015 | 0.998909552492856 | +5.795e-06 | 2.608e-09 |
| 0.02 | 0.998911009485979 | +7.252e-06 | 8.250e-09 |
| 0.025 | 0.998912766749906 | +9.010e-06 | 1.439e-08 |
| 0.03 | 0.998913788104096 | +1.003e-05 | 2.261e-08 |
| 0.04 | 0.998914215192917 | +1.046e-05 | 3.783e-08 |
| 0.05 | 0.998912678555912 | +8.921e-06 | 3.506e-08 |

尺度先隨寬度增加而上升，之後回落，說明事件折線不是這個平滑族中的最高測試點。

# 4. 峰值窄掃描

| $\varepsilon$ | 高解析尺度 | 相對事件根 |
|---:|---:|---:|
| 0.034 | 0.998914233445604 | +1.048e-05 |
| 0.037 | 0.998914339084632 | +1.058e-05 |
| 0.039 | 0.998914282362084 | +1.053e-05 |
| 0.041 | 0.998914124398065 | +1.037e-05 |
| 0.043 | 0.998913860300118 | +1.010e-05 |
| 0.046 | 0.998913375588294 | +9.618e-06 |

目前最佳測試寬度：

$$
\boxed{\varepsilon_*=0.037}.
$$

候選參數：

$$
w=0.336105771471208,\qquad l_0=0.327788457057584,
$$

$$
\beta=80.522502744597^\circ,
\qquad
\alpha-\beta=2.982093436143^\circ,
$$

$$
\alpha=83.504596180740^\circ,
\qquad
c=0.580178166885777.
$$

駐點支撐法得到：

$$
\boxed{s_*=0.998914339084632}.
$$

相對事件折線：

$$
\boxed{s_*-s_0=1.058195212322e-05}.
$$

距離認證尺度 $1$ 仍為：

$$
1-s_*=1.085660915368e-03.
$$

# 5. 四個控制分支

| 分支 | 相位 | 追蹤尺度 |
|---:|---:|---:|
| B1 | 0.154703285399 | 0.998914378360892 |
| B2 | 0.124068014820 | 0.998914379509003 |
| B3 | 2.094395081474 | 0.998914346322076 |
| B4 | 4.712388997111 | 0.998914346322089 |

追蹤分支差距：

$$
3.318692665122e-08.
$$

完整相位審計的真正最低值位於 $270^\circ$ 尖點。追蹤局部最小器在非光滑尖點旁會產生約 $10^{-8}$ 的偏差，因此最終值以完整相位與精確特殊相位審計為準。

# 6. 多解析度審計

| 曲線積分網格 | 相位網格 | 臨界尺度 | 相位 | 局部極小數 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 3001 | 8192 | 0.998914339084638 | 4.712388980385 | 8 |
| 6001 | 16384 | 0.998914339084646 | 4.712388980385 | 8 |
| 12001 | 32768 | 0.998914339084632 | 4.712388980385 | 8 |

三個解析度層級在顯示精度內一致。

# 7. 密集點雲獨立支撐路徑

為排除「切線—法向駐點反解」單一實作造成的假提升，另建立約 $24$ 萬點的曲線點雲，固定相位時直接對所有點求：

$$
\min x,\qquad \min y,\qquad \max\left(\frac{x}{A}+\frac{y}{B}\right).
$$

此路徑不使用駐點反解。

密集點雲在精確 $270^\circ$ 尖點得到：

$$
s_{\mathrm{cloud}}=0.998914339084602.
$$

與駐點支撐法差：

$$
s_{\mathrm{cloud}}-s_*=-2.997602166488e-14.
$$

相對事件根：

$$
s_{\mathrm{cloud}}-s_0=1.058195209325e-05.
$$

兩種支撐路徑在約 $10^{-14}$ 層級一致。

# 8. 曲率帳本

最佳候選的曲率資料：

$$
\|\kappa\|_\infty=2.092618923824,
$$

$$
W_{5\%-95\%}=0.036579511462,
$$

$$
\int |\kappa|\,ds\approx0.052047349063.
$$

這表示最高候選不是零寬折點，而是一個有限支持寬度、有限峰值曲率的平滑層。

# 9. 研究判定

本輪支持一項新的有限族命題：

$$
\boxed{\text{在目前 tanh 曲率層族中，存在有限 }\varepsilon>0\text{ 的候選，其壓力略高於事件五連桿。}}
$$

這修正了第 7 輪的簡單「曲率集中只恢復折線極限」敘述。更準確的圖像是：

$$
\boxed{\text{曲率攤平過寬會降壓；曲率集中過窄回到折線；中間寬度可能產生小幅超越。}}
$$

# 10. 尚未能宣稱的事項

1. 這不是 Moser 問題的新面積下界；
2. 這不是 Wetzel 三角形覆蓋結果的反例，因為 $s_*<1$；
3. 尚未證明此平滑族的全域最優；
4. 兩種支撐路徑仍共享曲線座標的數值積分；
5. 尚未使用任意精度獨立實作、區間算術或 Krawczyk 證書；
6. 提升量只有約 $10^{-5}$，必須按候選突破處理。

# 11. 第 9 輪方向

下一輪優先順序：

1. 以任意精度重新實作曲線積分與支撐；
2. 將四個平滑接觸事件寫成明確方程；
3. 同時把 $\varepsilon$ 納入事件—KKT 系統；
4. 建立候選盒的區間 Newton／Krawczyk 草案；
5. 測試雙峰、偏置與 biarc 曲率分布；
6. 檢查有限寬度提升能否擴大到 $10^{-4}$，或只是此族內的微小局部效應。

# 12. 結論

第 8 輪目前最佳候選：

$$
\boxed{s_*=0.998914339084632},
$$

$$
\boxed{s_*-s_0=1.058195212322e-05}.
$$

真正成果是發現：

$$
\boxed{\text{五連桿折線平台可被一個有限寬度的平滑曲率層小幅超越。}}
$$

此結果已通過多解析度與密集點雲支撐交叉複核，但仍等待任意精度與區間證書確認。