# Moser 歪度場半自主研究：第 7 輪

## ——折線—曲率弧混合族、曲率集中與離散折點價值

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 探索性數值研究；非形式證明；非區間證書  
**延續：** Moser Skew Lab v0.6  
**容器：** Wetzel 認證三角形  
**研究問題：** 第 3 至 6 輪的近平行雙側翼，是平滑小曲率翼的粗離散近似，還是依賴離散折點的有限接觸骨架？

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# 1. 控制模型

第 5 輪事件五連桿作為顯式控制：

$$
s_{\mathrm{event}}
=
0.998903757132509.
$$

其每側有兩個近平行段，中央有一條水平段。

本輪比較兩類延拓：

1. 每側拆成 $m=2,3,4,6,8$ 段的分段曲率翼；
2. 每側改成一條常曲率圓弧的連續模型。

所有模型保持鏡像對稱，因此不會出現單一手性假提升。

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# 2. 分段曲率翼

每側方向由：

$$
\alpha\longrightarrow\beta
$$

單調過渡。

段長使用指數偏置參數分配，方向過渡使用曲率冪次控制。全曲線共有：

$$
2m+1
$$

段。

| 每側段數 $m$ | 總段數 | 臨界尺度 | 相對事件根 | 距離 1 | $\alpha$ | $\beta$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 5 | 0.998530736905809 | -3.730e-04 | 1.469e-03 | 83.330319 | 80.407857 |
| 3 | 7 | 0.998735916360649 | -1.678e-04 | 1.264e-03 | 82.925851 | 81.607056 |
| 4 | 9 | 0.998695140056995 | -2.086e-04 | 1.305e-03 | 84.392977 | 78.728097 |
| 6 | 13 | 0.998839177646286 | -6.458e-05 | 1.161e-03 | 83.588284 | 80.656043 |
| 8 | 17 | 0.998808279772033 | -9.548e-05 | 1.192e-03 | 83.636154 | 81.387381 |

目前找到的最佳分段延拓為：

$$
m=6,
$$

$$
s_{\mathrm{seg}}
=
0.998839177646286.
$$

相對事件根：

$$
s_{\mathrm{seg}}-s_{\mathrm{event}}
=
-6.457948622285e-05.
$$

接觸簽章：

```json
{
  "left": [
    3,
    4
  ],
  "bottom": [
    0
  ],
  "hypotenuse": [
    7
  ]
}
```

此簽章不同於第 5 輪的四事件骨架，表示多段曲率翼確實進入另一種局部放置機制；但目前壓力仍較低。

---

# 3. 必要的搜尋審計

$m=2$ 的分段參數族理論上包含事件五連桿。

然而，本輪統一啟發式搜尋只找到：

$$
0.998530736905809,
$$

顯著低於顯式事件控制：

$$
0.998903757132509.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{啟發式搜尋未回到已知控制解}
}
$$

本身就是一個警告。

因此，本輪不能把每個 $m$ 的結果稱為該分段族的全域最優，只能稱為：

> 在統一低算力搜尋預算下找到的最佳候選。

所有結論均以事件控制為硬基準，而不是把 $m=2$ 的啟發式失敗誤當成曲率效應。

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# 4. 連續常曲率翼

每側翼改成長度 $w$ 的圓弧，切向角線性地由：

$$
\alpha\longrightarrow\beta
$$

變化。

中央保留水平直線段：

$$
l_0=1-2w.
$$

最終等高參數：

$$
w=0.335463343870,
$$

$$
l_0=0.329073312260,
$$

$$
\beta=80.129063238^\circ,
$$

$$
\alpha=84.460551713^\circ,
$$

$$
\alpha-\beta=4.331488475^\circ.
$$

常曲率：

$$
\kappa=-0.225356173125.
$$

---

# 5. 圓弧支撐的解析複核

外層搜尋階段使用高密度圓弧採樣，以降低計算成本。

最終候選不再依賴採樣點，而是對三角形的三個線性泛函逐一計算：

1. 圓弧端點；
2. 法向與切向垂直的弧內駐點；
3. 中央直線端點。

因此，最終固定相位尺度是圓弧模型內的解析支撐計算。

控制分支為：

- 低相位尖點；
- $120^\circ$；
- $270^\circ$。

等高後：

$$
m_1=0.998862397495093,
$$

$$
m_2=0.998862397495092,
$$

$$
m_3=0.998862397495093.
$$

分支差距：

$$
9.992007221626e-16.
$$

完整解析相位審計得到：

$$
\boxed{
s_{\mathrm{arc}}
=
0.998862397495093
}.
$$

相對事件根：

$$
s_{\mathrm{arc}}-s_{\mathrm{event}}
=
-4.135963741603e-05.
$$

距離認證尺度：

$$
1-s_{\mathrm{arc}}
=
1.137602504907e-03.
$$

---

# 6. 最終排序

| 排名 | 模型 | 臨界尺度 | 相對事件根 |
|---:|---|---:|---:|
| 1 | event_control | 0.998903757132509 | +2.220e-16 |
| 2 | continuous_circular_wing_equalized | 0.998862397495093 | -4.136e-05 |
| 3 | segmented_m6 | 0.998839177646286 | -6.458e-05 |
| 4 | segmented_m8 | 0.998808279772033 | -9.548e-05 |
| 5 | segmented_m3 | 0.998735916360649 | -1.678e-04 |
| 6 | segmented_m4 | 0.998695140056995 | -2.086e-04 |
| 7 | segmented_m2 | 0.998530736905809 | -3.730e-04 |

事件五連桿仍為本輪最高模型。

常曲率圓弧翼比最佳分段啟發式候選更高，但仍低於離散事件骨架：

$$
s_{\mathrm{event}}-s_{\mathrm{arc}}
=
4.135963741603e-05.
$$

---

# 7. 曲率集中工作命題

本輪資料不支持：

> 五連桿只是常曲率平滑翼的粗近似。

反而支持以下較弱、但更精確的工作命題：

$$
\boxed{
\text{在本輪鏡像對稱翼族中，
將有限轉向連續攤平會釋放少量合同容納壓力。}
}
$$

離散事件骨架把總轉角集中在兩段之間的折點；常曲率翼則把同一轉角分散到整條側翼。

數值損失約為：

$$
4.14\times10^{-5}.
$$

所以有效因素可能不是「有沒有曲率」，而是：

$$
\boxed{
\text{曲率在曲線參數上的集中位置}
}
$$

以及它如何控制：

- 端點斜邊雙接觸；
- 內部頂點左、底邊接觸；
- 多個相位尖點的同時等高；
- 活動支撐點切換時機。

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# 8. 不能過度推論之處

本輪不能推出：

1. 所有平滑曲線都低於折線；
2. 所有變曲率翼都低於五連桿；
3. 五連桿是完整五段族或所有曲線的最優；
4. 分段 $m>2$ 的啟發式候選是各自族的全域最優；
5. 離散折點對 Moser 問題整體必然必要。

常曲率只是一種非常受限的平滑化。更一般的曲率分布可能把轉向集中在小區域，同時保持曲線光滑。

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# 9. 最佳分段候選的解析度審計

| 初始相位網格 | 臨界尺度 | 最佳相位 | 局部極小數 |
|---:|---:|---:|---:|
| 4096 | 0.998839177646367 | 0.138875813036 | 7 |
| 8192 | 0.998839177646274 | 0.138875813041 | 7 |
| 16384 | 0.998839177646278 | 0.138875813041 | 7 |
| 32768 | 0.998839177646286 | 0.138875813040 | 7 |
| 65536 | 0.998839177646280 | 0.138875813040 | 7 |
| 131072 | 0.998839177646271 | 0.138875813041 | 7 |

經局部細化後結果保持穩定，說明其數值不是相位網格的假提升。

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# 10. 第 8 輪方向

下一輪不回到單純增加折線段數，而研究：

## 10.1 可控曲率集中族

令側翼切向角為：

$$
\theta(s)
=
\beta
+
(\alpha-\beta)F(s),
$$

其中 $F$ 不再固定為線性，而允許：

- sigmoid 集中；
- 分段常曲率；
- 雙曲率 biarc；
- 近折點但仍為 $C^1$ 的窄轉向層。

研究問題是：

$$
\text{當曲率集中寬度 }\varepsilon\to0,
\qquad
s_\varepsilon
\to
s_{\mathrm{event}}
\ ?
$$

## 10.2 曲率集中極限

若平滑族隨 $\varepsilon\to0$ 收斂到事件五連桿，便可把離散折點理解為：

$$
\boxed{
\text{平滑曲率集中的奇異極限}
}
$$

而不是完全不同的曲線類型。

## 10.3 新帳本欄位

下一輪加入：

$$
(
\text{總轉角},
\text{曲率峰值},
\text{曲率支持寬度},
\text{曲率質心},
\text{分支尺度}
).
$$

這會把歪度場正式擴展成「曲率—接觸—相位」三重帳本。

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# 11. 限制

1. 分段族使用有限啟發式搜尋；
2. 統一搜尋預算未能重現 $m=2$ 控制解；
3. 圓弧模型只允許常曲率；
4. 中央直線與圓弧接合仍有大折角；
5. 未建立曲率族的全域最優；
6. 未提出新的 Moser 上界或下界；
7. 未進行形式化或區間證明。

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# 12. 結論

本輪最終結果：

$$
s_{\mathrm{event}}
=
0.998903757132509,
$$

$$
s_{\mathrm{arc}}
=
0.998862397495093,
$$

$$
s_{\mathrm{seg,best}}
=
0.998839177646286.
$$

目前排序為：

$$
\boxed{
\text{離散事件五連桿}
>
\text{常曲率圓弧翼}
>
\text{本輪最佳多段曲率候選}.
}
$$

因此，第 8 輪應研究的不是「平滑或不平滑」二分，而是：

$$
\boxed{
\text{曲率應該集中到多窄、集中在哪裡，
才能維持四個接觸分支的極小極大平衡。}
}
$$