# Moser 歪度場半自主研究：第 5 輪

## ——接觸事件方程、非光滑 KKT 系統與五連桿孤立候選

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 數值結構重建；非形式證明；非區間證書  
**延續：** Moser Skew Lab v0.4  
**曲線族：** 鏡像對稱五連桿

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# 1. 從黑箱分支追蹤轉向事件方程

鏡像對稱五連桿的方向與長度為：

$$
(\alpha,\beta,0,-\beta,-\alpha),
$$

$$
(l_1,l_2,l_3,l_2,l_1),
$$

其中：

$$
\alpha=\beta+\delta,
\qquad
l_3=1-2(l_1+l_2).
$$

令未旋轉曲線頂點為：

$$
q_0,\ldots,q_5.
$$

定義：

$$
q_2=l_1v_\alpha+l_2v_\beta,
$$

$$
q_3=q_2+l_3(1,0),
$$

以及端點水平跨度：

$$
D
=
2l_1\cos\alpha
+
2l_2\cos\beta
+
l_3.
$$

由第 4 輪觀察到的活動頂點身份，可以把四個控制分支的相位直接寫出，不再以黑箱局部最小器追蹤。

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# 2. 四個精確接觸事件

## 2.1 第一分支

頂點 $q_0,q_1$ 同時接觸左邊界，因此：

$$
\phi_1=\frac\pi2-\alpha.
$$

## 2.2 第二分支

頂點 $q_1,q_2$ 同時接觸左邊界，因此：

$$
\phi_2=\frac\pi2-\beta.
$$

## 2.3 第三分支

兩端點同時接觸斜邊。由 Wetzel 三角形：

$$
\frac BA=\sqrt3,
$$

得到精確相位：

$$
\phi_3=\frac{2\pi}{3}.
$$

## 2.4 第四分支

兩端點同時接觸左邊界，得到：

$$
\phi_4=\frac{3\pi}{2}.
$$

數值相位為：

$$
(\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4)
=
(
0.114929000958,
0.162519595932,
2.094395102393,
4.712388980385
).
$$

角度為：

$$
(
6.584946699^\circ,
9.311686935^\circ,
120^\circ,
270^\circ
).
$$

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# 3. 事件尺度函數

定義旋轉後的斜邊支撐泛函：

$$
H_\phi(x,y)
=
\frac{x\cos\phi-y\sin\phi}{A}
+
\frac{x\sin\phi+y\cos\phi}{B}.
$$

四個分支尺度可寫為：

$$
m_1=H_{\phi_1}(q_3),
$$

$$
m_2
=
H_{\phi_2}(q_3)
-
\frac{x_{\phi_2}(q_1)}A,
$$

$$
m_3
=
-\frac{x_{\phi_3}(q_3)}A
-
\frac{y_{\phi_3}(q_2)}B,
$$

$$
m_4
=
\frac{y_2}{A}
+
\frac{D-x_2}{B}.
$$

這四個函數只依賴：

$$
p=(l_1,l_2,\beta,\delta).
$$

---

# 4. 九方程事件—KKT 系統

只要求：

$$
m_1=m_2=m_3=m_4
$$

提供三條獨立等式，因此一般形成一維候選族，不能唯一決定曲線。

加入極小極大的第二層分支壓力：

$$
\mu_r\ge0,
\qquad
\sum_{r=1}^4\mu_r=1,
$$

以及駐定條件：

$$
\sum_{r=1}^4
\mu_r\nabla_p m_r
=
0,
$$

便得到：

$$
\boxed{
m_r(p)-s=0
\quad(r=1,\ldots,4)
}
$$

$$
\boxed{
\sum_r\mu_r-1=0
}
$$

$$
\boxed{
\sum_r\mu_r\nabla_p m_r=0
}.
$$

未知量為：

$$
(l_1,l_2,\beta,\delta,s,\mu_1,\ldots,\mu_4),
$$

共 $9$ 個；方程亦為 $9$ 條。

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# 5. 事件系統解

數值解為：

$$
\boxed{
l_1=0.194313116153072,
\quad
l_2=0.141593079119592,
\quad
l_3=0.328187609454671
},
$$

$$
\boxed{
\beta=80.688313064938^\circ,
\quad
\delta=2.726740236531^\circ,
\quad
\alpha=83.415053301469^\circ
}.
$$

共同尺度：

$$
\boxed{
s_{\mathrm{event}}
=
0.998903757132509
}.
$$

四個解析事件尺度的差距：

$$
\max_r m_r-\min_r m_r
=
2.220446049250e-16.
$$

相對第 4 輪完整非光滑審計值，提升：

$$
s_{\mathrm{event}}-s_5^{(4)}
=
6.656150519646e-09.
$$

距離認證尺度：

$$
1-s_{\mathrm{event}}
=
1.096242867491e-03.
$$

這個提升只有約 $10^{-9}$，其意義不是實質提高 Moser 下界，而是把第 4 輪的黑箱等高點投影到精確事件方程的駐定解上。

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# 6. 分支壓力帳本

| 分支 | 壓力 |
|---|---:|
| B1 | 0.027979394124 |
| B2 | 0.028750082793 |
| B3 | 0.736540138466 |
| B4 | 0.206730384616 |

其中第三分支仍承擔主要壓力，第四分支次之。

事件方程殘差範數：

$$
\|F\|
=
2.777480200316e-16.
$$

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# 7. 分支梯度

| 分支 | $\partial_{l_1}$ | $\partial_{l_2}$ | $\partial_\beta$ | $\partial_\delta$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| B1 | -2.808858450 | -2.723385298 | -0.274339827 | -0.023773699 |
| B2 | -2.885212398 | -2.884021564 | -0.243891703 | -0.009722549 |
| B3 | 0.267943760 | 0.254102052 | 0.095066488 | 0.046873361 |
| B4 | -0.173226017 | -0.135644459 | -0.267655455 | -0.162430955 |

壓力加權後：

$$
\sum_r\mu_r\nabla m_r
=
0
$$

在數值精度內成立。

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# 8. 接觸身份複核

| 分支 | 相位 | 角度 | 左邊界 | 底邊 | 斜邊 |
|---|---:|---:|---|---|---|
| B1 | 0.114929001 | 6.584947 | [0, 1] | [0] | [3] |
| B2 | 0.162519596 | 9.311687 | [1, 2] | [0] | [3] |
| B3 | 2.094395102 | 120.000000 | [3] | [2] | [0, 5] |
| B4 | 4.712388980 | 270.000000 | [0, 5] | [5] | [2] |

四個事件的活動身份與第 4 輪觀察一致，說明事件方程不是錯接到另一個拓撲分支。

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# 9. 非光滑局部極小檢查

| 分支 | 左方向導數 | 右方向導數 |
|---|---:|---:|
| B1 | -0.330210281 | 0.023773716 |
| B2 | -0.023773716 | 0.234169151 |
| B3 | -0.267655431 | 0.612833351 |
| B4 | -0.330210281 | 0.432315428 |

所有分支均滿足：

$$
D_-s(\phi_r)<0<D_+s(\phi_r).
$$

所以四個事件都是活動頂點切換形成的尖點局部極小，而不是普通光滑駐點。

這也解釋了為何第 4 輪黑箱一維最小器會產生約 $10^{-8}$ 的尖點偏差。

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# 10. 孤立性診斷

完整事件—KKT Jacobian 尺寸：

$$
9\times9.
$$

數值秩：

$$
\operatorname{rank}J
=
9.
$$

最小奇異值：

$$
\sigma_{\min}
=
3.607219048175e-02.
$$

條件數：

$$
\kappa(J)
=
162.781733366.
$$

因此在數值線性化層次，事件—KKT 解不是一條未決流形，而是一個孤立交點。

再從附近隨機擾動 $40$ 個初值：

- 成功回到同一根：40；
- 最大解距離：8.312345999721e-15。

這不構成解析唯一性證明，但強烈支持：

$$
\boxed{
\text{目前候選是此固定接觸拓撲中的數值孤立駐定點。}
}
$$

---

# 11. 完整相位審計

使用 $262144$ 個相位點掃描完整週期。

網格最低值：

$$
0.998903757132509.
$$

事件值與網格最低值之差：

$$
0.000000000000e+00.
$$

網格最低點恰位於：

$$
\phi=\frac{3\pi}{2},
$$

所以第四事件在目前候選上可被直接命中；其他三個尖點需要事件公式才能避免相位網格偏移。

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# 12. 研究判定

本輪完成了三個層級的轉換：

$$
\boxed{
\text{黑箱相位搜尋}
\longrightarrow
\text{明確接觸事件}
\longrightarrow
\text{事件—KKT 聯立系統}
}.
$$

結論不是「Moser 問題已接近解決」，而是：

1. 第 3 至 4 輪發現的五連桿平台可由四個精確接觸事件描述；
2. 四事件等高條件本身形成一維族；
3. 加入分支壓力駐定條件後得到數值孤立解；
4. 此接觸拓撲內的黑箱搜尋已大致收束；
5. 繼續微調同一五連桿拓撲，預期只能得到極小數值變動。

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# 13. 第 6 輪方向

下一輪不再反覆微調此孤立點，而分成兩條路徑。

## 13.1 接觸拓撲越界搜尋

主動尋找不同於目前四事件的身份：

- 斜邊不由兩端點共同接觸；
- 左、底邊由多頂點同時接觸；
- 五連桿出现不同頂點循環順序；
- 非鏡像曲線但兩手性分支同時困難；
- 曲率弧取代近平行子段。

## 13.2 局部拓撲極限證書

在不進入 Lean 的前提下，先建立：

- 活動身份鄰域；
- 事件方程區間盒；
- Jacobian 非奇異數值界；
- 分支一側導數界；
- 局部不存在更高解的計算證書草案。

第一條尋找突破；第二條確認目前平台不是求解器幻覺。

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# 14. 限制

1. 方程以雙精度浮點求解；
2. Jacobian 秩與奇異值是數值診斷；
3. 擾動回根不等於解析唯一性；
4. 尚未建立區間 Newton 或 Krawczyk 證書；
5. 未證明此五連桿拓撲對全部五連桿最優；
6. 未提出新的 Moser 上界或下界；
7. 未進行形式化證明。

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# 15. 結論

第 5 輪得到：

$$
\boxed{
s_{\mathrm{event}}
=
0.998903757132509
}.
$$

但真正成果不是小數點後的提升，而是把候選的生成原因完整寫出：

$$
\boxed{
\text{四個尖點接觸事件等高}
+
\text{四分支壓力駐定}
=
\text{數值孤立五連桿候選}.
}
$$

這表示目前五連桿接觸骨架已經從探索性圖形，提升為一套可求解、可微分、可擾動複核的低維事件系統。