# Moser 歪度場半自主研究：第 4 輪

## ——相位分支帳本、靈敏度矩陣與四分支等高化

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 探索性數值研究；非形式證明；非普適覆蓋證書  
**曲線族：** 鏡像對稱五連桿  
**容器核：** Wetzel 認證三角形的精確三法向公式

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# 1. 本輪問題

第 3 輪五連桿臨界尺度為：

$$
s_5^{(3)}=0.998754371668.
$$

將四個最低相位分支記為：

$$
m_1(\eta),\ldots,m_4(\eta),
$$

其中：

$$
\eta=(l_1,l_2,\beta,\delta).
$$

本輪直接求解：

$$
\max_{\eta,z}z
$$

並要求：

$$
m_r(\eta)\ge z,
\qquad r=1,\ldots,4.
$$

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# 2. 分支等高結果

| 分支 | 相位區域 | 第 3 輪 | 第 4 輪 | 最佳相位 |
|---:|---|---:|---:|---:|
| 1 | B1 low phase | 0.999388066722 | 0.998903763498 | 0.114909854 |
| 2 | B2 low phase | 0.999238612437 | 0.998903763495 | 0.162556218 |
| 3 | B3 120° | 0.998754376311 | 0.998903763495 | 2.094395111 |
| 4 | B4 270° | 0.999301890611 | 0.998903763495 | 4.712389010 |

等高後四分支差距：

$$
\max_r m_r-\min_r m_r
=
2.734812376559e-12.
$$

全相位重新掃描的臨界尺度：

$$
\boxed{
s_5^{(4)}=0.998903750476
}.
$$

相對第 3 輪提升：

$$
\Delta s=1.493788082036e-04.
$$

距離認證尺度 $1$：

$$
1-s_5^{(4)}=1.096249523642e-03.
$$

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# 3. 參數重新分配

第 3 輪：

$$
(l_1,l_2,l_3)
=
(0.1915275890,0.1440083663,0.3289280894),
$$

$$
(\beta,\alpha)
=
(80.87459061^\circ,83.20204747^\circ).
$$

第 4 輪：

$$
\boxed{
(l_1,l_2,l_3)
=
(0.1943225812,0.1415865167,0.3281818042)
},
$$

$$
\boxed{
(\beta,\alpha)
=
(80.68621471^\circ,83.41615042^\circ)
}.
$$

外側段略增加，內側段略減少；內側角下降、外側角上升。這相當於加強端點—斜邊接觸，同時重新配置內部頂點對左、底邊的控制。

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# 4. 分支接觸帳本

| 分支 | 名稱 | 左邊界接觸 | 底邊接觸 | 斜邊接觸 |
|---:|---|---|---|---|
| 1 | B1 low phase | [0, 1] | [0] | [3] |
| 2 | B2 low phase | [1, 2] | [0] | [3] |
| 3 | B3 120° | [3] | [2] | [0, 5] |
| 4 | B4 270° | [0, 5] | [5] | [2] |

四個分支使用不同的頂點身份與邊界排列。因此，被等高的是不同接觸拓撲的局部最優值，而不是同一放置的旋轉副本。

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# 5. 分支靈敏度矩陣

$$
G_{rj}
=
\frac{\partial m_r}{\partial\eta_j}.
$$

| 分支 | $\partial_{l_1}$ | $\partial_{l_2}$ | $\partial_\beta$ | $\partial_\delta$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| B1 low phase | -2.80882321 | -2.72325088 | -0.27436981 | -0.02382433 |
| B2 low phase | -2.88525400 | -2.88408375 | -0.24383978 | -0.00974016 |
| B3 120° | 0.26806247 | 0.25422165 | 0.09494274 | 0.04679436 |
| B4 270° | -0.17308714 | -0.13546270 | -0.26760573 | -0.16241876 |

不同分支對同一參數的反應方向互相衝突。沒有一個局部方向能讓四個分支全部上升，因而形成 max-min 等高點。

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# 6. 第二層分支壓力帳本

尋找：

$$
\mu_r\ge0,
\qquad
\sum_r\mu_r=1,
$$

使：

$$
\sum_r\mu_r\nabla_\eta m_r\approx0.
$$

| 分支 | 名稱 | 分支壓力 |
|---:|---|---:|
| 1 | B1 low phase | 0.0280095829 |
| 2 | B2 low phase | 0.0287990896 |
| 3 | B3 120° | 0.7367588828 |
| 4 | B4 270° | 0.2064324448 |

駐定殘差：

$$
\left\|
\sum_r\mu_r\nabla_\eta m_r
\right\|
=
1.840159765877e-07.
$$

這形成兩層壓力帳本：

1. 幾何接觸壓力：容器邊界法向與曲線支撐點；
2. 相位分支壓力：不同最佳放置分支對曲線參數的制衡。

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# 7. 研究判定

本輪證實：

$$
\boxed{
\text{不增加線段數，只做最弱相位分支等高，
仍能繼續提高五連桿的有限族臨界尺度。}
}
$$

但提升已縮小到約 $10^{-4}$。候選仍低於 $1$，不能形成新的 Moser 下界或 Wetzel 反例。

更重要的是：

$$
\boxed{
\text{曲線難度不是單一接觸帳本，
而是一組競爭放置分支的多帳本平衡。}
}
$$

---

# 8. 第 5 輪方向

下一輪把四分支等高與固定接觸身份寫成低維方程組：

$$
F(\eta,\phi_1,\ldots,\phi_4,s)=0.
$$

研究：

1. 四分支交會是否為孤立點；
2. 活動頂點身份是否在鄰域穩定；
3. 接觸事件方程能否取代黑箱優化；
4. 五連桿等高點是否已接近此接觸拓撲內的極限；
5. 是否存在新的接觸身份，可突破目前的 $0.9989$ 平台。

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# 9. 限制

1. 分支局部最小使用浮點一維優化；
2. 靈敏度使用有限差分；
3. SLSQP 沒有全域最優保證；
4. 尚未建立區間證書；
5. 尚未證明活動身份在完整鄰域穩定；
6. 未提出新的 Moser 上界或下界；
7. 未進行形式化證明。

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# 10. 結論

第 4 輪結果：

$$
\boxed{
s_5=0.998903750476
}.
$$

四個最低分支的等高誤差為：

$$
2.734812376559e-12.
$$

目前五連桿不再由單一明顯弱分支限制，而是由四種不同放置機制共同制衡。下一階段應把這個非光滑交點改寫為接觸事件方程，直接研究其結構。