# Moser 歪度場半自主研究：第 3 輪

## ——接觸帳本逆向生成、鏡像對稱多連桿與自由度有效性檢驗

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 探索性數值研究；非形式證明；非普適覆蓋證書  
**容器核：** Wetzel 認證三角形的精確三法向公式  
**搜尋族：** 鏡像對稱 3、5、7 段折線

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# 1. 本輪方法

第 2 輪發現，高壓力三連桿具有：

- 幾乎零手性歪度；
- 三段近等長；
- 左右近鏡像；
- 三個三角形邊界同步活動。

因此，本輪不再從任意曲線座標隨機生成，而從一份目標接觸帳本逆向限制搜尋空間：

$$
\mathcal T=
\{\mathrm{left},\mathrm{bottom},\mathrm{hypotenuse}\},
$$

並強制曲線鏡像對稱，使：

$$
s_+(\gamma)=s_-(\gamma).
$$

手性假警報因此在參數層被排除。

## 1.1 五連桿族

$$
(\alpha,\beta,0,-\beta,-\alpha),
$$

$$
(l_1,l_2,l_3,l_2,l_1).
$$

## 1.2 七連桿族

$$
(\alpha,\beta,\gamma,0,-\gamma,-\beta,-\alpha),
$$

$$
(l_1,l_2,l_3,l_4,l_3,l_2,l_1).
$$

所有線段長度皆為正，總長歸一化為 $1$。

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# 2. 精確容納核

固定旋轉相位 $\phi$ 時：

$$
s(\phi)=
\max_i\left(
\frac{x_i(\phi)}A+\frac{y_i(\phi)}B
\right)
-
\frac{\min_i x_i(\phi)}A
-
\frac{\min_i y_i(\phi)}B.
$$

外層難度為：

$$
s_\ast(\gamma)=\min_\phi s(\phi).
$$

搜尋目標：

$$
\max_{\gamma\in\mathcal F_n}s_\ast(\gamma),
$$

其中 $\mathcal F_n$ 是指定的鏡像對稱 $n$ 段折線族。

這裡不再使用近似支撐角度描述三角形。三個半空間就是容器的完整有限描述。

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# 3. 三連桿基準

第 2 輪候選重新以最高 $65536$ 相位網格及局部細化計算：

$$
s_3=0.998574374711.
$$

最佳相位：

$$
\phi_3=2.094396758064.
$$

相位景觀中的局部極小值數量為：

$$
N_3=7.
$$

接觸帳本：

> 左邊界頂點 [2]；底邊頂點 [1]；斜邊頂點 [0, 3]

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# 4. 五連桿結果

最佳五連桿：

$$
\boxed{
s_5=0.998754371668.
}
$$

相對三連桿的增益：

$$
\boxed{
s_5-s_3=1.799969565222e-04.
}
$$

距離認證尺度 $1$：

$$
1-s_5=1.245628332221e-03.
$$

長度結構：

$$
(l_1,l_2,l_3,l_2,l_1)
=
(0.1915275890,0.1440083663,0.3289280894,0.1440083663,0.1915275890).
$$

方向結構：

$$
(\alpha,\beta,0,-\beta,-\alpha),
$$

$$
\alpha=83.20204747^\circ,
\qquad
\beta=80.87459061^\circ.
$$

兩個外側方向與兩個內側方向非常接近。這表示五段曲線並不是由五個完全獨立的方向構成，而是把原三連桿兩側各分裂成兩個近平行子段。

最佳相位：

$$
\phi_5=2.094395102393.
$$

接觸帳本：

> 左邊界頂點 [3]；底邊頂點 [2]；斜邊頂點 [0, 5]

特別地，斜邊由曲線的兩個端點共同接觸，而左邊界與底邊分別由兩個內部頂點控制。有效接觸數為 $4$。

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# 5. 七連桿結果

最佳七連桿：

$$
s_7=0.998674157956.
$$

相對三連桿：

$$
s_7-s_3=9.978324505744e-05.
$$

相對五連桿：

$$
\boxed{
s_7-s_5=-8.021371146472e-05.
}
$$

七段族在本輪搜尋中沒有超越五段族。

長度結構：

$$
(l_1,l_2,l_3,l_4,l_3,l_2,l_1)
=
(0.1235587192,0.1387194732,0.0726712116,0.3301011921,0.0726712116,0.1387194732,0.1235587192).
$$

角度結構：

$$
(\alpha,\beta,\gamma,0,-\gamma,-\beta,-\alpha),
$$

$$
\alpha=83.13833037^\circ,
\quad
\beta=82.51914854^\circ,
\quad
\gamma=80.18827111^\circ.
$$

三個正向角度只分布在約 $80^\circ$ 至 $83^\circ$ 的狹窄區間。換言之，七段解也在退化為「近垂直側翼加中央水平段」的低維骨架，而不是使用七個差異顯著的方向。

接觸帳本：

> 左邊界頂點 [4]；底邊頂點 [3]；斜邊頂點 [0, 7]

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# 6. 自由度有效性判定

本輪結果為：

$$
s_3=0.998574374711,
$$

$$
s_5=0.998754371668,
$$

$$
s_7=0.998674157956.
$$

因此：

$$
\Delta_{5,3}=1.799969565222e-04,
$$

$$
\Delta_{7,5}=-8.021371146472e-05.
$$

第一個結論是：

$$
\boxed{
\text{三連桿不是本搜尋架構中的終點；
五連桿可以產生小幅但穩定的更高壓力。}
}
$$

第二個結論是：

$$
\boxed{
\text{增加到七段並未繼續改善；
新增參數大量退化為近平行子段。}
}
$$

因此，目前有效自由度不是「線段數」，而是：

1. 能否增加新的獨立活動頂點；
2. 能否抬高最低相位分支；
3. 能否在不創造更容易放置的新相位下，重新分配端點與內部接觸；
4. 能否讓多個局部極小同時上升。

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# 7. 四接觸骨架

五段與七段最佳候選都出現相同接觸拓撲：

$$
\boxed{
2\text{ 個端點接觸斜邊}
+
1\text{ 個內部頂點接觸左邊}
+
1\text{ 個內部頂點接觸底邊}.
}
$$

三角形只有三個邊界法向，但曲線可以讓同一斜邊約束由兩個端點同時飽和。這是第 3 輪最重要的結構發現。

它表示接觸帳本不應只記錄法向類型：

$$
\{\mathrm{left},\mathrm{bottom},\mathrm{hypotenuse}\},
$$

還必須記錄每個法向上有多少個曲線支撐點，以及它們在曲線參數中的順序：

$$
\mathcal T^\sharp
=
\{(f_j,I_j,\lambda_j)\},
$$

其中 $I_j$ 是接觸頂點索引集合。

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# 8. 相位極小分支等高化

難曲線的目標不是製造一個很高的相位峰值，而是提高：

$$
m_1(\gamma)
=
\min_\phi s(\phi).
$$

若主要局部極小依序為：

$$
m_1\le m_2\le\cdots,
$$

只提高 $m_2$ 或某個峰值都無法增加真正難度。這使下一步成為：

$$
\boxed{
\text{找出最低放置分支}
\longrightarrow
\text{辨認其接觸帳本}
\longrightarrow
\text{只修改能抬高該分支的曲線自由度}.
}
$$

若修改使另一分支下降，它就成為新的最弱環節。這是一個分支間的極小極大等高化過程。

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# 9. 接觸壓力熵

三角形三個法向的平衡權重經正規化後，定義：

$$
H_\lambda
=
-\frac1{\log3}
\sum_{j=1}^3p_j\log p_j.
$$

本容器的幾何壓力熵為：

$$
H_\lambda=0.963370649827.
$$

這是容器法向幾何決定的基準。曲線無法改變三個法向本身，但能改變：

- 哪些頂點提供各方向支撐；
- 同一法向是否由多點共同接觸；
- 接觸頂點沿曲線的順序；
- 各相位分支何時失去某個接觸；
- 支撐極值對小變形的靈敏度。

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# 10. 第 4 輪研究節點

下一輪不先增加到 $9$ 或 $11$ 段，而建立：

## 相位分支帳本與靈敏度更新器

對每個主要局部極小 $\phi_r$ 保存：

$$
\mathcal B_r
=
(
\phi_r,
s(\phi_r),
I_{\mathrm{left}},
I_{\mathrm{bottom}},
I_{\mathrm{hyp}},
\nabla_\eta s_r
).
$$

其中 $\eta$ 是曲線參數。

下一輪依序：

1. 找出最低的數個相位分支；
2. 對每個分支計算有限差分靈敏度；
3. 找出能同時抬高最低分支的共同方向；
4. 加入分支方差懲罰；
5. 直接優化分支等高，而不是單純增加線段數；
6. 檢查五段解是否能在此機制下進一步逼近 $1$。

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# 11. 限制

1. 曲線外層搜尋仍是浮點全域啟發式；
2. 沒有證明五段或七段族的全域最優；
3. 相位細化不是區間證書；
4. 未提出新的 Moser 上界或下界；
5. 未進行形式化證明；
6. 曲線仍限於折線；
7. 七段低於五段可能是族本身、參數化或搜尋不足造成，尚不能作一般否定。

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# 12. 結論

接觸帳本逆向生成第一版得到一個小幅但真實的正進展：

$$
\boxed{
s_5>s_3,
}
$$

但同時得到更重要的限制：

$$
\boxed{
s_7<s_5.
}
$$

因此，解題方向不能簡化為「增加曲線複雜度」。目前最有資訊量的結構是：

$$
\boxed{
\text{低手性鏡像對稱}
+
\text{近垂直分裂側翼}
+
\text{中央水平骨架}
+
\text{斜邊雙端點接觸}
+
\text{左右邊內部接觸}
+
\text{相位最低分支等高化}.
}
$$