# Moser 歪度場半自主研究：第 2 輪

## ——相位跳躍、對偶接觸壓力帳本與拓撲導引曲線搜尋

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 探索性計算；非形式證明；非普適覆蓋證書  
**延續：** Moser Skew Lab v0.1  
**規模：** 256 個支撐方向、每條曲線 360 個完整旋轉相位

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# 1. 對偶接觸壓力帳本

對固定曲線旋轉 $\phi$，原始問題為：

$$
\min_{t_x,t_y,s\ge0}s
$$

並滿足：

$$
h_\gamma(\theta_j-\phi)+t\cdot u_{\theta_j}-s h_C(\theta_j)\le0.
$$

非零對偶乘子 $\lambda_j$ 只落在真正控制最優尺度的支撐方向。正尺度解近似滿足：

$$
\sum_j\lambda_j u_{\theta_j}=0,
$$

$$
\sum_j\lambda_j h_C(\theta_j)=1,
$$

$$
s_\ast=\sum_j\lambda_j h_\gamma(\theta_j-\phi).
$$

這表示活動法向壓力自平衡，並把最小尺度分解為一份可稽核的接觸壓力帳本。

最大數值誤差：

- 原始可行殘差：2.987e-15；
- 法向平衡殘差：3.140e-16；
- 對偶正規化殘差：2.220e-16；
- 對偶間隙：4.441e-16。

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# 2. 完整相位掃描

| 曲線 | 最小尺度 | 相位障壁 | 局部極小數 | 跳躍點數 | 容器接觸簽章數 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| U_equal | 0.951236875 | 0.177263986 | 8 | 27 | 1 |
| arc_270 | 0.922316000 | 0.127589662 | 31 | 26 | 1 |
| semicircle | 0.913857419 | 0.620026793 | 3 | 26 | 2 |
| segment | 0.910859678 | 1.182791197 | 2 | 26 | 4 |
| round1_adversarial | 0.913756411 | 0.764323330 | 4 | 26 | 2 |

相位障壁定義為：

$$
B_\phi=\max_\phi s(\phi)-\min_\phi s(\phi).
$$

它描述方向錯置的額外尺度，不等於曲線的 Moser 難度；普適容納只關心 $\min_\phi s(\phi)$。

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# 3. 相位跳躍的結構

最佳平移在相位空間中形成分段平滑路徑。當對偶活動方向改變時：

- 平移導數跳轉；
- 接觸權重重新分配；
- 控制容器尺度的曲線支撐點改變；
- 相位空間進入新的放置機制區域。

原始變數只有 $(t_x,t_y,s)$，所以非退化最優解通常由少數有效方向控制。這解釋了第 1 輪中大量「殘差近零方向」不等於大量獨立接觸。

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# 4. 拓撲導引三連桿搜尋

等長 U 形基準：

$$
(\alpha,0,-\alpha),\qquad(l,1-2l,l),
$$

$$
\alpha=90^\circ,\qquad l=\frac13.
$$

本輪掃描 $65^\circ\le\alpha\le115^\circ$、$0.18\le l\le0.42$，再生成 120 條非對稱局部候選。

高解析基準：

$$
s_U=0.9512368779.
$$

最佳拓撲導引候選：

$$
s_{\mathrm{topo}}=0.9933108210.
$$

差值：

$$
\Delta s=4.2073943098e-02.
$$

最佳參數：

$$
(l_1,l_2,l_3)=(0.28724539,0.38561210,0.32714251),
$$

$$
(\alpha_1,\alpha_3)=(92.468232^\circ,80.979113^\circ).
$$

這只是有限三連桿族中的數值極值，不是全體單位弧的極值。

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# 5. 最佳候選的接觸壓力帳本

| 接觸 | 支撐方向（度） | 對偶權重 | 容器特徵 |
|---:|---:|---:|---|
| 1 | 29.53125 | 2.09372094 | vertex:1 |
| 2 | 180.00000 | 1.82171936 | edge:0-2 |
| 3 | 270.00000 | 1.03199127 | edge:0-1 |

守恆殘差：

$$
\left\|\sum_j\lambda_j u_{\theta_j}\right\|=3.140e-16,
$$

$$
\left|\sum_j\lambda_j h_C(\theta_j)-1\right|=2.220e-16,
$$

$$
\left|s_\ast-\sum_j\lambda_j h_\gamma(\theta_j-\phi)\right|=1.110e-16.
$$

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# 6. 本輪判斷

三連桿族仍能提供高壓力候選，但尚未逼近 Wetzel 認證尺度 $1$。真正的下一步不應只是繼續增加隨機折線，而應從「曲線座標搜尋」轉向「接觸帳本搜尋」。

下一輪建立接觸帳本逆向生成器。輸入：

$$
\{(\theta_j,\lambda_j)\}_{j=1}^m,
$$

並要求：

$$
\sum_j\lambda_j u_{\theta_j}\approx0.
$$

再反向構造總長為一的曲線，使指定方向同時形成高壓力活動接觸。

評分將加入：

1. 臨界尺度；
2. 對偶權重熵；
3. 接觸簽章新穎性；
4. 最佳相位附近的拓撲競爭；
5. 高階歪度頻譜；
6. 四至八連桿與曲率弧片段。

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# 7. 本輪未宣稱事項

1. 未提出新 Moser 上界或下界；
2. 未證明三連桿候選為任何連續曲線族的極值；
3. 未執行區間證書；
4. 未重跑 Wetzel 論文的 599 個 SOCP 模型；
5. 未進行 Lean／Coq 形式化；
6. 未把相位離散結果視為連續完備證明。

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# 8. 參考基準

1. W. Wichiramala and C. Panraksa, *Wetzel's 30-60-90 Triangle Covers Unit Arcs*, arXiv:2606.14625, 2026.
2. T. Khandhawit, D. Pagonakis, and S. Sriswasdi, *Lower Bound for Convex Hull Area and Universal Cover Problems*, arXiv:1101.5638.