# Moser 歪度場半自主研究：第 15 輪

## ——曲率函數模態譜、隱藏分支開啟與有限模態新候選

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 八模態函數空間探索；完整相位數值審計；非區間證書  
**延續：** Moser Skew Lab v0.14

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# 1. 曲率函數座標

直接以 $z^k$ 做加權正交化，會在低密度尾部產生巨大振幅。本輪改用基準曲率累積座標：

$$
t(u)=2\int_0^u\rho_0(v)\,dv-1.
$$

在理想連續情況下：

$$
\rho_0(u)\,du=\frac12\,dt.
$$

因此採用有界模態：

$$
\psi_n(u)=\sqrt{2n+1}\,P_n(t(u)),
\qquad n=1,\ldots,8.
$$

八模態 Gram 矩陣最大誤差：

$$
2.220e-16.
$$

| 模態 | 名稱 | 最大振幅 | 壓力投影一階導數 |
|---:|---|---:|---:|
| 1 | `translation_like_P1` | 1.732051 | -6.332259e-09 |
| 2 | `width_split_P2` | 2.236068 | 4.809263e-07 |
| 3 | `skew_P3` | 2.645751 | 1.813983e-08 |
| 4 | `shoulder_P4` | 3.000000 | -1.978316e-06 |
| 5 | `tail_skew_P5` | 3.316625 | 4.450454e-09 |
| 6 | `triple_peak_P6` | 3.605551 | 5.430115e-07 |
| 7 | `wave_P7` | 3.872983 | 1.054055e-09 |
| 8 | `wave_P8` | 4.123106 | 3.949364e-07 |

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# 2. 一階等高補償

原五參數為：

$$
p=(w,\beta,\delta,c,\varepsilon).
$$

對每個函數模態方向 $a_k$，求最小範數補償 $q_k$，使四分支的一階變化相等：

$$
(G_r-G_1)q_k=-(g_{r,k}-g_{1,k}),
\qquad r=2,3,4.
$$

從而建立一階等高路徑：

$$
p(a)=p_0+Qa.
$$

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# 3. 壓力投影 Hessian

本輪 Hessian 定義為：

> 分支壓力加權 Lagrangian，沿一階等高補償路徑的有限差分 Hessian。

它不是完整無限維 Hessian，也不是區間 Hessian。

| 特徵序 | 特徵值 |
|---:|---:|
| 1 | -3.994047425874e-05 |
| 2 | -1.677090218573e-05 |
| 3 | -7.694084915116e-06 |
| 4 | -2.511641939558e-06 |
| 5 | -2.084605783142e-06 |
| 6 | -6.856451325604e-07 |
| 7 | -8.164075413227e-08 |
| 8 | 1.329483966094e-06 |

結果為七個負特徵值與一個小正特徵值：

$$
1.32948\times10^{-6}.
$$

所以第 13 輪單峰候選並非此八模態空間中的嚴格局部極大。

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# 4. 被排除的四分支候選

若只優化原四個控制分支，可得到表面尺度：

$$
0.998914692247305.
$$

但完整相位審計發現新的中間低相位分支：

$$
\phi\approx0.1390815,
$$

$$
s\approx0.9989115500.
$$

因此該候選必須排除。

這揭示：

$$
\boxed{
\text{函數模態可透過開啟新相位谷，
使固定活動集 Hessian 失效。}
}
$$

---

# 5. 有效 Newton 方向

沿壓力投影 Newton 方向：

$$
a(m)=m\,a_N,
$$

並在每個選定 $m$ 上重新等高五個幾何參數。

隨 $m$ 增大：

1. 原四控制分支持續抬高；
2. 在 $m\approx2.2$ 後出現第九個局部極小；
3. 初期新分支仍高於控制分支；
4. 約在 $m\approx3.228$ 附近，新分支開始接管。

因此存在一個由分支開啟界定的有限上升窗。

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# 6. 最終有限模態候選

選定：

$$
m=3.2275.
$$

模態係數範數：

$$
\|a\|_2=0.1291.
$$

五個幾何參數：

$$
w=0.336103949585649,
$$

$$
\beta=1.405423162911031,
$$

$$
\delta=0.051972968077193,
$$

$$
c=0.580209552730338,
$$

$$
\varepsilon=0.036983383487425.
$$

模態係數：

| 模態 | 係數 |
|---|---:|
| `translation_like_P1` | 0.000636097040 |
| `width_split_P2` | 0.017635433568 |
| `skew_P3` | 0.004755842499 |
| `shoulder_P4` | -0.075223543043 |
| `tail_skew_P5` | 0.010666503454 |
| `triple_peak_P6` | 0.057547527233 |
| `wave_P7` | -0.019001897724 |
| `wave_P8` | -0.082991765217 |

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# 7. 多解析度複核

| 曲線積分點 | 全域尺度 | 第五分支餘量 | 相對第 13 輪 |
|---:|---:|---:|---:|
| 6001 | 0.998914480716964 | 3.005e-09 | 1.374e-07 |
| 12001 | 0.998914480716965 | 3.005e-09 | 1.374e-07 |
| 24001 | 0.998914480716971 | 3.005e-09 | 1.374e-07 |
| 48001 | 0.998914480716966 | 3.005e-09 | 1.374e-07 |
| 96001 | 0.998914480716946 | 3.005e-09 | 1.374e-07 |

最高解析度結果：

$$
\boxed{
s_{15}=0.998914480716946
}
$$

相對第 13 輪：

$$
\boxed{
s_{15}-s_{13}=1.374194610326e-07
}
$$

新中間分支仍高於全域值：

$$
\boxed{
3.004601123457e-09.
}
$$

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# 8. 完整相位結果

使用：

$$
96001
$$

個曲線積分點與：

$$
262144
$$

個相位點。

接觸切換數：

$$
18.
$$

局部極小數：

$$
9.
$$

| 排名 | 相位 | 尺度 | 高於全域 | 簽章 |
|---:|---:|---:|---:|---|
| 1 | 2.094395102393 | 0.998914480716946 | 0.000e+00 | `120deg` |
| 2 | 4.712388980385 | 0.998914480716949 | 2.776e-15 | `p3|p3|p1` |
| 3 | 0.155043705238 | 0.998914481120860 | 4.039e-10 | `L|p0|p2` |
| 4 | 0.123610811813 | 0.998914481739265 | 1.022e-09 | `L|p0|p2` |
| 5 | 0.138424648493 | 0.998914483721547 | 3.005e-09 | `L|p0|p2` |
| 6 | 1.736148508754 | 1.029348172727573 | 3.043e-02 | `p2|L|p3` |
| 7 | 5.235987755983 | 1.081427088911538 | 8.251e-02 | `p0|p3|p1` |
| 8 | 3.028192453799 | 1.099806229894018 | 1.009e-01 | `p3|p1|p0` |
| 9 | 3.778900491653 | 1.127584185185207 | 1.287e-01 | `p3|p2|L` |

全域最低由：

$$
\phi=\frac{2\pi}{3}
$$

與：

$$
\phi=\frac{3\pi}{2}
$$

在顯示精度內近乎等高地控制。

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# 9. 本輪結構結果

第 15 輪得到兩層結果。

## 9.1 有限模態上升

第 13 輪單峰 tanh 曲率層不是八模態空間中的局部極大。

## 9.2 分支開啟障礙

上升不能無限延伸。曲率密度變形會在兩個既有低相位分支之間生成新的局部極小，最終接管全域目標。

因此新的工作命題為：

$$
\boxed{
\text{曲率函數優化受到分支生成，
而不只受到 Hessian 負定性控制。}
}
$$

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# 10. 限制

1. 只研究八個 CDF–Legendre 模態；
2. 候選沿特定 Newton 方向搜尋；
3. 五參數幾何重整使用浮點 SLSQP；
4. 完整相位審計為高密度數值審計；
5. 第五分支餘量只有約 $3\times10^{-9}$；
6. 尚未建立五分支事件—KKT；
7. 尚未進行區間或 Arb 證書；
8. 未提出新的 Moser 面積上下界。

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# 11. 第 16 輪方向

下一輪不再使用四分支 KKT，而建立五分支系統：

$$
m_1=m_2=m_3=m_4=m_5=s.
$$

第五分支位於：

$$
\phi_5\approx0.13842465.
$$

研究內容：

1. 把 Newton 倍數或等價模態座標納入未知量；
2. 為第五分支加入 $\partial_\phi m_5=0$；
3. 重算五分支壓力；
4. 建立擴展 Jacobian；
5. 對 $s_{15}-s_{13}$ 做高精度差值包絡；
6. 對約 $3\times10^{-9}$ 的第五分支餘量做專用區間驗證。

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# 12. 結論

第 15 輪候選：

$$
\boxed{
s_{15}=0.998914480716946
}
$$

相對第 13 輪提升：

$$
\boxed{
1.374194610326e-07.
}
$$

同時確認：

$$
\boxed{
\text{固定四分支 Hessian 不足；
曲率函數方向會生成新的活動分支。}
}
$$

目前最準確的描述是：

> 一條通過完整相位數值審計的八模態有限曲率候選，位於第五分支接管之前的狹窄上升窗口內。