# Moser 歪度場半自主研究：第 14 輪

## ——雙峰曲率分裂、手性破缺與單峰局部穩定性

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 曲率分布探索；有限搜尋；非全函數空間證明  
**延續：** Moser Skew Lab v0.13

基準：

$$
s_{13}=0.998914343297485.
$$

---

# 1. 研究問題

第 13 輪只允許單個 tanh 曲率層。本輪加入：

1. 同一側翼分裂成兩個曲率峰；
2. 左右翼曲率中心或寬度的反對稱偏移。

目標是判斷單峰鏡像對稱候選是否只是受限參數化造成的假孤立點。

---

# 2. 雙峰曲率密度

$$
\rho(u)
=
(1-a)\rho_1(u;c_1,\varepsilon_1)
+
a\rho_2(u;c_2,\varepsilon_2),
$$

其中：

$$
\rho_i(u)
\propto
\operatorname{sech}^2
\left(
\frac{u-c_i}{\varepsilon_i}
\right).
$$

單峰模型包含於：

$$
c_1=c_2,
\qquad
\varepsilon_1=\varepsilon_2.
$$

---

# 3. 雙峰搜尋結果

最佳八參數混合得到：

$$
|c_2-c_1|
\approx
3.325511791719e-06.
$$

兩個寬度：

$$
\varepsilon_1=0.037064233544,
$$

$$
\varepsilon_2=0.036584022364.
$$

第二成分權重：

$$
a=0.505765188602.
$$

最佳解沒有形成可分辨的兩個峰，而是重新塌縮為近單峰。

同一高解析求值器下：

$$
s_{\mathrm{double}}-s_{\mathrm{single}}
=
-6.549770725783e-10.
$$

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# 4. 峰值分離方向

| 峰距 $d$ | 尺度 | 相對 $d=0$ |
|---:|---:|---:|
| 0.0000 | 0.998914341156203 | 0.000e+00 |
| 0.0020 | 0.998914205767712 | -1.354e-07 |
| 0.0040 | 0.998913798823585 | -5.423e-07 |
| 0.0060 | 0.998913115592216 | -1.226e-06 |
| 0.0080 | 0.998912149175696 | -2.192e-06 |
| 0.0100 | 0.998910890891321 | -3.450e-06 |
| 0.0240 | 0.998892167429063 | -2.217e-05 |
| 0.0400 | 0.998842447005232 | -7.189e-05 |
| 0.0560 | 0.998771954422084 | -1.424e-04 |
| 0.0720 | 0.998685929509345 | -2.284e-04 |

小分離量擬合：

$$
\Delta s(d)
\approx
-0.033794468d^2+O(d^4).
$$

二次係數為負。

例如 $d=0.01$ 時，尺度約下降：

$$
3.45\times10^{-6}.
$$

---

# 5. 正確的手性座標

鏡像基準的兩個局部中心為：

$$
c_L=c,
\qquad
c_R=1-c.
$$

中心手性模態：

$$
c_L=c+\eta_c,
$$

$$
c_R=1-c+\eta_c.
$$

寬度手性模態：

$$
\varepsilon_L=\varepsilon e^{\eta_\varepsilon},
$$

$$
\varepsilon_R=\varepsilon e^{-\eta_\varepsilon}.
$$

合同目標為：

$$
s_{\mathrm{cong}}
=
\min(s_+,s_-).
$$

---

# 6. 中心偏移

| $\eta_c$ | 原手性 | 鏡像手性 | 合同尺度 |
|---:|---:|---:|---:|
| -0.0300 | 0.998386461741 | 0.998038458209 | 0.998038458209 |
| -0.0200 | 0.998562356573 | 0.998342625752 | 0.998342625752 |
| -0.0100 | 0.998738317094 | 0.998638703661 | 0.998638703661 |
| 0.0000 | 0.998914319065 | 0.998914319065 | 0.998914319065 |
| 0.0100 | 0.998638703661 | 0.998738317094 | 0.998638703661 |
| 0.0200 | 0.998342625752 | 0.998562356573 | 0.998342625752 |
| 0.0300 | 0.998038458209 | 0.998386461741 | 0.998038458209 |

最高測試點：

$$
\boxed{\eta_c=0}.
$$

零點附近二次係數：

$$
-3.674929940.
$$

---

# 7. 寬度偏移

| $\eta_\varepsilon$ | 原手性 | 鏡像手性 | 合同尺度 |
|---:|---:|---:|---:|
| -0.450 | 0.998917547301 | 0.998696999268 | 0.998696999268 |
| -0.300 | 0.998916078391 | 0.998783827179 | 0.998783827179 |
| -0.150 | 0.998915019154 | 0.998858563359 | 0.998858563359 |
| 0.000 | 0.998914319065 | 0.998914319065 | 0.998914319065 |
| 0.150 | 0.998858563359 | 0.998915019154 | 0.998858563359 |
| 0.300 | 0.998783827179 | 0.998916078391 | 0.998783827179 |
| 0.450 | 0.998696999269 | 0.998917547301 | 0.998696999269 |

最高測試點：

$$
\boxed{\eta_\varepsilon=0}.
$$

零點附近二次係數：

$$
-0.003092904.
$$

---

# 8. 二維手性普查

在：

$$
\eta_c\in[-0.03,0.03],
$$

$$
\eta_\varepsilon\in[-0.45,0.45]
$$

內抽樣 $80$ 個二維偏移。

高解析零偏移：

$$
s_{\mathrm{zero}}
=
0.998914341156140.
$$

最佳非零候選：

$$
s_{\mathrm{nonzero}}
=
0.998886247847192.
$$

同一求值器下：

$$
s_{\mathrm{nonzero}}-s_{\mathrm{zero}}
=
-2.809330894860e-05.
$$

因此手性破缺沒有提供合同提升。

---

# 9. 座標錯誤審計

第一版曾錯誤地令右翼局部中心再次等於 $c$，而不是 $1-c$。

這生成的不是鏡像對稱基準，並造成：

- 粗網格假提升；
- 狹窄弱相位分支；
- 粗解析與高解析互相矛盾。

該批數值已完全排除，沒有進入本輪結論。

修正後，零偏移曲線與其鏡像尺度一致到約 $10^{-15}$。

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# 10. 完整相位審計

單峰與近退化雙峰候選均保留原本的低分支結構。

沒有因峰分裂而生成低於原四控制分支的新相位谷。

---

# 11. 研究判定

有限數據支持：

$$
\boxed{
\text{單峰曲率層對峰分裂方向局部穩定。}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{鏡像對稱對所測中心與寬度手性模態局部穩定。}
}
$$

新增曲率分布自由度後，最佳解仍返回單峰、零手性偏移附近。

---

# 12. 不能推論的事

本輪不能證明：

1. 單峰對所有曲率密度函數最優；
2. 所有雙峰模型都較差；
3. 所有非對稱曲線都較差；
4. biarc 或一般樣條無法超越；
5. 曲率函數空間 Hessian 全部負定。

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# 13. 第 15 輪方向

下一輪改為曲率函數空間局部分析：

$$
\rho_a(u)
=
\frac{
\rho_0(u)\exp(\sum_k a_k\psi_k(u))
}{
\int_0^1\rho_0(v)\exp(\sum_k a_k\psi_k(v))\,dv
}.
$$

優先模態：

- 平移；
- 展寬；
- 雙峰分裂；
- 偏斜；
- 高階振盪。

在四分支等高流形上估計約束 Hessian：

$$
H_{\mathrm{eff}}
=
P_T^\top\nabla^2s\,P_T.
$$

---

# 14. 結論

雙峰最佳峰距：

$$
|c_2-c_1|
\approx
3.325511791719e-06,
$$

即重新塌縮為單峰。

中心手性最佳：

$$
\eta_c^\ast=0.
$$

寬度手性最佳：

$$
\eta_\varepsilon^\ast=0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{在所測曲率分裂與手性破缺族內，
第 13 輪單峰鏡像對稱候選沒有可辨識的上升方向。}
}
$$