# Moser 歪度場半自主研究：第 13 輪

## ——平滑五參數事件—KKT 系統、孤立性與峰值修正

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 數值事件—KKT 重建；非區間 KKT 證書；非形式證明  
**延續：** Moser Skew Lab v0.12

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# 1. 十二變數系統

曲線參數為：

$$
p=(w,\beta,\delta,c,\varepsilon).
$$

控制分支：

$$
m_1(p,\phi_1),\quad
m_2(p,\phi_2),\quad
m_3\left(p,\frac{2\pi}{3}\right),\quad
m_4\left(p,\frac{3\pi}{2}\right).
$$

未知量為：

$$
(w,\beta,\delta,c,\varepsilon,\phi_1,\phi_2,s,\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4),
$$

共 $12$ 個。

方程為：

$$
m_r-s=0,\qquad r=1,\ldots,4,
$$

$$
\partial_\phi m_1=\partial_\phi m_2=0,
$$

$$
\sum_r\mu_r\nabla_p m_r=0,
$$

$$
\sum_r\mu_r=1.
$$

---

# 2. 五參數候選

$$
w=0.336104284558314,
$$

$$
\beta=1.405407705040992,
$$

$$
\delta=0.052008500382349,
$$

$$
c=0.580164729946572,
$$

$$
\varepsilon=0.036823344353076.
$$

角度：

$$
\beta=80.523929994016^\circ,
\qquad
\delta=2.979867570713^\circ,
$$

$$
\alpha=83.503797564729^\circ.
$$

中央段：

$$
l_0=0.327791430883373.
$$

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# 3. 四分支等高

| 分支 | 相位 | 高精度重算值 |
|---|---:|---:|
| B1 low | 0.154865921088826 | 0.998914343297489 |
| B2 low | 0.123902822042353 | 0.998914343297485 |
| 120° | 2.094395102393195 | 0.998914343297542 |
| 270° | 4.712388980384690 | 0.998914343297542 |

共同尺度：

$$
\boxed{
s_{13}=0.998914343297485
}
$$

分支差距：

$$
5.739853037312e-14.
$$

相對第 8 輪：

$$
\boxed{
s_{13}-s_8=4.212852400265e-09
}
$$

距離認證尺度：

$$
1-s_{13}=1.085656702515e-03.
$$

這個增益約為 $4.21\times10^{-9}$。其意義是峰值位置修正，而不是新的幾何級突破。

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# 4. 參數修正

$$
\Delta w=-1.486912894477e-06,
$$

$$
\Delta\beta=2.491020159856e-05,
$$

$$
\Delta\delta=-3.884868046042e-05,
$$

$$
\Delta c=-1.343693920453e-05,
$$

$$
\Delta\varepsilon=-1.766556469240e-04.
$$

最明顯的修正為：

$$
0.037
\longrightarrow
0.036823344353076.
$$

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# 5. 分支壓力

| 分支 | 壓力 |
|---|---:|
| B1 low | 0.0282523300 |
| B2 low | 0.0283757600 |
| 120° | 0.7360431600 |
| 270° | 0.2073287400 |

$120^\circ$ 分支承擔約 $73.6\%$ 的壓力，$270^\circ$ 分支約 $20.7\%$。

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# 6. 五參數梯度

| 分支 | $\partial_w$ | $\partial_\beta$ | $\partial_\delta$ | $\partial_c$ | $\partial_\varepsilon$ |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| B1 low | -2.865884868 | -0.248527131 | -0.010715915 | -0.006727360 | -0.007779309 |
| B2 low | -2.793250780 | -0.268319607 | -0.019829414 | -0.025109379 | -0.007772916 |
| 120° | 0.261986134 | 0.095277667 | 0.047078423 | 0.005108074 | 0.000473420 |
| 270° | -0.157260180 | -0.267658292 | -0.162960229 | -0.013781158 | 0.000443204 |

加權駐定殘差：

```text
[7.92303109024174e-09, -2.4601682404565255e-08, -1.2172673240943544e-08, -2.8343874670266987e-08, 7.059235300514802e-10]
```

範數：

$$
4.025002772641e-08.
$$

此殘差受有限差分與曲線積分插值限制，不能視為區間 KKT 證明。

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# 7. 四分支控制五參數的機制

四分支等高提供三條獨立差值方程，等高集合局部仍有兩個切向自由度。

共同尺度梯度在此二維切空間上的投影約為：

$$
2.7\times10^{-9}.
$$

因此目前沒有可辨識的一階上升方向。

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# 8. Jacobian 孤立性

完整 Jacobian：

$$
12\times12.
$$

數值秩：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}J=12.
}
$$

最小奇異值：

$$
1.139753650e+01.
$$

條件數：

$$
\kappa(J)\approx3.766322538e+07.
$$

系統滿秩，但高度病態。因此它支持數值孤立，不支持穩健的區間可逆性結論。

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# 9. 局部盆地

附近 $20$ 組五參數隨機擾動重新求解：

$$
\boxed{
20/20
}
$$

全部返回同一尺度盆地。

尺度範圍：

$$
[0.998914343297213,\ 0.998914343297252].
$$

最大參數距離：

$$
3.900000000000e-07.
$$

---

# 10. 曲率帳本

總轉角：

$$
\int|\kappa|\,ds\approx0.052008500382.
$$

峰值曲率：

$$
\|\kappa\|_\infty\approx2.101101621113.
$$

$5\%$ 至 $95\%$ 轉向寬度：

$$
W_{5\%-95\%}\approx0.036441801352.
$$

候選仍是有限寬度、有限峰值曲率層。

---

# 11. 完整相位審計

完整相位景觀仍有 $8$ 個局部極小。

四個控制分支以外，最低的其他局部極小約為：

$$
1.02935,
$$

遠高於共同尺度。沒有發現五參數修正引入的新低分支。

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# 12. 判定

第 13 輪支持：

$$
\boxed{
\text{第 8 輪平滑候選可修正為
五參數事件—KKT 數值孤立候選。}
}
$$

其尺度約為：

$$
\boxed{
0.99891434329749.
}
$$

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# 13. 限制

1. 參數梯度使用有限差分；
2. Jacobian 滿秩是浮點診斷；
3. 系統條件數高；
4. 尚未完成 $12\times12$ Krawczyk／interval Newton；
5. 尚未完成 Arb 重播；
6. 未提出新的 Moser 面積上下界；
7. 未進行形式化證明。

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# 14. 第 14 輪方向

停止微調單峰 tanh 曲率層，改測曲率分布：

1. 雙峰曲率層；
2. 左右翼非對稱曲率；
3. biarc／分段常曲率；
4. 合同雙手性目標；
5. 新接觸分支與新壓力帳本。

任何候選都必須超過：

$$
s_{\mathrm{base}}=0.99891434329749
$$

並通過完整相位與雙手性複核。

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# 15. 結論

$$
\boxed{
s_{13}=0.998914343297485
}
$$

$$
\boxed{
\varepsilon=0.036823344353076
}
$$

$$
\boxed{
\operatorname{rank}J=12.
}
$$

目前最準確的描述是：

$$
\boxed{
\text{有限寬度 tanh 曲率層，
在五參數族中形成數值孤立、
但高度病態的極小極大候選。}
}
$$