# Moser 歪度場半自主研究：第 11 輪

## ——精確接觸邊界、導數區間盒與 $120^\circ$／$270^\circ$ 專用差值證書

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 半驗證區間盒；非全程 directed-rounding；非形式證明  
**延續：** Moser Skew Lab v0.10

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# 1. 本輪目標

第 10 輪已把相位圓分成 $18$ 個活動身份區間，但邊界、導數符號與駐點仍主要由雙精度數值求根描述。

第 11 輪完成三項推進：

1. 將全部接觸邊界改寫為精確解析公式；
2. 對 $18$ 個區間建立自適應導數盒；
3. 對最敏感的 $120^\circ$ 與 $270^\circ$ 建立獨立的解析誤差包絡。

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# 2. 精確接觸邊界

由三角形法向角：

$$
\psi_d(\phi)=\frac{\pi}{6}-\phi
$$

以及平滑翼切向角範圍：

$$
\beta\le\theta\le\alpha
$$

可直接推出全部邊界。

| 編號 | 解析公式 | 相位 | 角度 |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | $0$ | 0.000000000000000 | 0.000000000° |
| 1 | $\pi/2-\alpha$ | 0.113366182892694 | 6.495403819° |
| 2 | $\pi/2-\beta$ | 0.165413531955503 | 9.477497255° |
| 3 | $\beta-\pi/3$ | 0.358185243642795 | 20.522502745° |
| 4 | $\alpha-\pi/3$ | 0.410232592705605 | 23.504596181° |
| 5 | $\pi/2$ | 1.570796326794897 | 90.000000000° |
| 6 | $\pi-\alpha$ | 1.684162509687590 | 96.495403819° |
| 7 | $\pi-\beta$ | 1.736209858750400 | 99.477497255° |
| 8 | $2\pi/3$ | 2.094395102393195 | 120.000000000° |
| 9 | $\pi/2+\beta$ | 2.976179121634289 | 170.522502745° |
| 10 | $\pi/2+\alpha$ | 3.028226470697100 | 173.504596181° |
| 11 | $\pi$ | 3.141592653589793 | 180.000000000° |
| 12 | $5\pi/3-\alpha$ | 3.778557612080786 | 216.495403819° |
| 13 | $5\pi/3-\beta$ | 3.830604961143596 | 219.477497255° |
| 14 | $\pi+\beta$ | 4.546975448429186 | 260.522502745° |
| 15 | $\pi+\alpha$ | 4.599022797491996 | 263.504596181° |
| 16 | $3\pi/2$ | 4.712388980384690 | 270.000000000° |
| 17 | $5\pi/3$ | 5.235987755982989 | 300.000000000° |
| 18 | $2\pi$ | 6.283185307179586 | 360.000000000° |

與第 10 輪數值邊界的最大差異只有：

$$
5.240e-14.
$$

因此相位分割不再依賴二分所得的小數，而是由有限個精確角度事件決定。

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# 3. 特殊分支解析包絡

使用：

$$
N=262144
$$

個複合中點分割，並以全域二階導數界控制誤差。

得到：

$$
\boxed{
s_{270}
\in
[0.998914339075752,\,
 0.998914339093513]
}.
$$

而：

$$
\boxed{
s_{120}-s_{270}
\in
[1.634956007484312e-09,\,
 1.641712345829326e-09]
}.
$$

下界嚴格為正：

$$
s_{120}-s_{270}
>
1.6349560\times10^{-9}.
$$

這是本系列第一次對 $120^\circ$／$270^\circ$ 的 $10^{-9}$ 級競爭給出顯式誤差盒，而不只比較兩個高精度中央值。

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# 4. 與五連桿事件控制比較

使用事件控制第一分支作為事件曲線實際最小值的上界：

$$
s_0
\le
0.9989037571325086749551298249\ldots
$$

平滑候選的保守下界與該分支之差落在：

$$
[0.000010581943243125044870175099443519782731773287807896210561320048743665520857071074,\,
 0.000010581961004625044870175099443519782731773287807896210561320048743665520857071074].
$$

因此：

$$
\boxed{
s_{270}^{\mathrm{lower}}
>
s_0^{\mathrm{upper}}
}
$$

仍保留約 $1.05819\times10^{-5}$ 的安全距離。

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# 5. 導數盒覆蓋

對固定活動簽章：

$$
s'(\phi)
=
n_d'\cdot p_d
-
\frac{n_x'\cdot p_x}{A}
-
\frac{n_y'\cdot p_y}{B}.
$$

平滑支撐點座標以單調前綴積分盒包住；若導數盒包含零，便遞迴二分。

| 區間 | 簽章 | 駐點 | 導數子盒 | 出現符號 | 未解析 |
|---:|---|---:|---:|---|---:|
| 0 | `p0|p0|p2` | 0 | 1 | negative | 0 |
| 1 | `L|p0|p2` | 3 | 286 | negative, positive | 0 |
| 2 | `p1|p0|p2` | 0 | 2 | positive | 0 |
| 3 | `p1|p0|R` | 0 | 1 | positive | 0 |
| 4 | `p1|p0|p3` | 1 | 43 | negative, positive | 0 |
| 5 | `p2|p0|p3` | 0 | 1 | negative | 0 |
| 6 | `p2|L|p3` | 1 | 8 | negative, positive | 0 |
| 7 | `p2|p1|p3` | 1 | 45 | negative, positive | 0 |
| 8 | `p2|p1|p0` | 1 | 41 | negative, positive | 0 |
| 9 | `R|p1|p0` | 0 | 3 | negative | 0 |
| 10 | `p3|p1|p0` | 0 | 1 | positive | 0 |
| 11 | `p3|p2|p0` | 1 | 2 | negative, positive | 0 |
| 12 | `p3|p2|L` | 1 | 9 | negative, positive | 0 |
| 13 | `p3|p2|p1` | 1 | 47 | negative, positive | 0 |
| 14 | `p3|R|p1` | 0 | 1 | negative | 0 |
| 15 | `p3|p3|p1` | 0 | 1 | negative | 0 |
| 16 | `p0|p3|p1` | 1 | 40 | negative, positive | 0 |
| 17 | `p0|p3|p2` | 1 | 47 | negative, positive | 0 |

總計：

$$
\boxed{
579
}
$$

個導數子盒，未解析子盒：

$$
\boxed{
0
}.
$$

因此，除已隔離的駐點根盒與接觸邊界盒外，$18$ 個區間內部的導數符號全部被盒化排除。

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# 6. 光滑駐點根盒

| 編號 | 區間 | 類型 | 根中心 | 二階導數盒 | 最小值盒下界減 $s_{270}$ 上界 |
|---:|---:|---|---:|---:|---:|
| 1 | 1 | smooth_minimum | 0.124080806550179 | [3.304413e-01, 3.342203e-01] | 4.670e-08 |
| 2 | 1 | smooth_maximum | 0.139389574288097 | [-1.284230e-01, -1.283342e-01] | 8.198e-06 |
| 3 | 1 | smooth_minimum | 0.154699127028334 | [3.304555e-01, 3.342464e-01] | 4.558e-08 |
| 4 | 4 | smooth_maximum | 0.994829121177570 | [-1.247879e+00, -1.247879e+00] | 2.490e-01 |
| 5 | 6 | smooth_minimum | 1.736180225507774 | [1.308566e+02, 6.779911e+02] | 3.044e-02 |
| 6 | 7 | smooth_maximum | 1.832595717654542 | [-1.034152e+00, -1.034152e+00] | 3.524e-02 |
| 7 | 8 | smooth_maximum | 2.644378233756333 | [-1.171701e+00, -1.171701e+00] | 1.728e-01 |
| 8 | 11 | smooth_maximum | 3.480731208100489 | [-1.179523e+00, -1.179523e+00] | 1.806e-01 |
| 9 | 12 | smooth_minimum | 3.778956292755884 | [3.036512e+01, 3.366684e+01] | 1.287e-01 |
| 10 | 13 | smooth_maximum | 4.092020570314876 | [-1.169124e+00, -1.169124e+00] | 1.702e-01 |
| 11 | 16 | smooth_maximum | 5.121148360205284 | [-1.088599e+00, -1.088599e+00] | 8.968e-02 |
| 12 | 17 | smooth_maximum | 5.717277034815458 | [-1.220025e+00, -1.220025e+00] | 2.211e-01 |

共有：

$$
12
$$

個光滑駐點。

全部根盒滿足：

$$
0\notin s''(X_r).
$$

所以在目前外擴模型中，每個根盒都具有唯一根的 interval-Newton 式條件。

其中兩個低相位平滑極小的保守安全距離仍約為：

$$
4.56\times10^{-8},
\qquad
4.67\times10^{-8}.
$$

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# 7. 接觸邊界鄰域

| 邊界 | 公式 | 類型 | 兩側導數定號 | 鄰域下界減 $s_{270}$ 上界 | 處理 |
|---:|---:|---|---|---:|---|
| 1 | $\pi/2-\alpha$ | decreasing_through_switch | True | -2.691e-02 | 一般盒 |
| 2 | $\pi/2-\beta$ | increasing_through_switch | True | -2.297e-02 | 一般盒 |
| 3 | $\beta-\pi/3$ | increasing_through_switch | True | -7.712e-04 | 一般盒 |
| 4 | $\alpha-\pi/3$ | increasing_through_switch | True | 1.058e-02 | 一般盒 |
| 5 | $\pi/2$ | decreasing_through_switch | True | 4.764e-02 | 一般盒 |
| 6 | $\pi-\alpha$ | decreasing_through_switch | True | 1.601e-02 | 一般盒 |
| 7 | $\pi-\beta$ | increasing_through_switch | True | 1.713e-02 | 一般盒 |
| 8 | $2\pi/3$ | cusp_minimum | True | 1.617e-09 | 120deg |
| 9 | $\pi/2+\beta$ | decreasing_through_switch | True | 8.583e-02 | 一般盒 |
| 10 | $\pi/2+\alpha$ | unresolved_derivative | False | 7.391e-02 | 一般盒 |
| 11 | $\pi$ | increasing_through_switch | True | 1.134e-01 | 一般盒 |
| 12 | $5\pi/3-\alpha$ | decreasing_through_switch | True | 9.752e-02 | 一般盒 |
| 13 | $5\pi/3-\beta$ | increasing_through_switch | True | 1.039e-01 | 一般盒 |
| 14 | $\pi+\beta$ | decreasing_through_switch | True | 3.798e-02 | 一般盒 |
| 15 | $\pi+\alpha$ | decreasing_through_switch | True | 1.546e-02 | 一般盒 |
| 16 | $3\pi/2$ | cusp_minimum | True | -1.776e-11 | 270deg |
| 17 | $5\pi/3$ | cusp_minimum | True | 8.251e-02 | 一般盒 |

$17$ 個內部邊界中，$16$ 個的兩側導數盒可直接完成定號。

剩餘一個平滑支撐點退出端點的切換，導數盒較寬；但其整個鄰域尺度下界仍比全域候選高約 $7.39\times10^{-2}$，所以不影響全域排除。

$120^\circ$ 與 $270^\circ$ 使用前述專用解析包絡。

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# 8. 證書狀態

| 項目 | 狀態 |
|---|---|
| $18$ 個接觸區間的解析邊界 | 通過 |
| $18$ 個區間內部導數盒 | 通過 |
| $12$ 個駐點根盒二階導數排零 | 通過 |
| $120^\circ-270^\circ$ 正差盒 | 通過 |
| 平滑候選高於事件控制 | 通過 |
| 全部接觸邊界的全域安全排除 | 通過 |
| 全程 directed-rounding | **未完成** |
| Arb／MPFI 獨立重算 | **未完成** |
| 形式化證明 | 未開始 |

因此，本輪可將第 10 輪的「完整數值排除帳本」提升為：

$$
\boxed{
\text{解析邊界}
+
\text{自適應導數盒}
+
\text{駐點根盒}
+
\text{特殊分支正差盒}.
}
$$

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# 9. 誠實邊界

本輪所有積分誤差均有解析二階導數界，且額外加入浮點外擴。

但 NumPy 的基本運算不是全程 directed-rounding，故不能稱為完整機器驗證證明。

精確表述是：

> 這是一份具解析誤差界、浮點外擴與逐區盒化排除的半驗證計算證書。

它顯著強於普通網格掃描，但仍低於 Arb、MPFI 或專用區間函式庫產生的嚴格證書。

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# 10. 第 12 輪方向

下一輪的工作已非常明確：

1. 將 `special_branch_verify.py` 移植到 Arb／python-flint ball arithmetic；
2. 以 ball arithmetic 重建平滑翼前綴積分；
3. 重算 $579$ 個導數盒；
4. 對 $12$ 個根盒執行真正的 interval Newton；
5. 產生獨立可重播的證書 JSON；
6. 若全部通過，再把平滑五參數事件—KKT 系統納入。

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# 11. 結論

第 11 輪得到最關鍵的新包絡：

$$
\boxed{
s_{120}-s_{270}
>
1.6349560\times10^{-9}
}.
$$

並完成：

$$
\boxed{
18\text{ 個解析接觸區間}
+
579\text{ 個導數盒}
+
12\text{ 個唯一駐點根盒}.
}
$$

所以目前平滑超越候選的全域相位排除，已不再只是高密度取樣，而是一份逐區間、逐根、逐邊界的半驗證證書。