# Moser 歪度場半自主研究：第 10 輪

## ——完整相位接觸區間圖、包絡導數與全域數值排除帳本

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 完整相位數值分解；非嚴格區間證書；非形式證明  
**延續：** Moser Skew Lab v0.9  
**研究目標：** 將整個相位圓拆成固定活動支撐身份區間，枚舉全部局部極小並檢查 $270^\circ$ 是否仍為全域最低

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# 1. 活動支撐身份

對每個旋轉相位 $\phi$，記錄：

$$
\Sigma(\phi)
=
\left(
I_{\min x},
I_{\min y},
I_{\max d}
\right),
$$

其中：

$$
d(x,y)=\frac{x}{A}+\frac{y}{B}.
$$

活動標籤為：

- `p0`、`p1`、`p2`、`p3`：曲線端點與中央接合點；
- `L`：左側平滑翼內部的支撐駐點；
- `R`：右側平滑翼內部的支撐駐點。

固定簽章區間內，三角形尺度為：

$$
s(\phi)
=
n_d(\phi)\cdot p_d(\phi)
-
\frac{n_x(\phi)\cdot p_x(\phi)}{A}
-
\frac{n_y(\phi)\cdot p_y(\phi)}{B}.
$$

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# 2. 包絡導數

在活動身份固定的開區間內，支撐點對法向泛函已經是極值，所以由包絡定理：

$$
\boxed{
s'(\phi)
=
n_d'(\phi)\cdot p_d(\phi)
-
\frac{n_x'(\phi)\cdot p_x(\phi)}{A}
-
\frac{n_y'(\phi)\cdot p_y(\phi)}{B}
}.
$$

不必對支撐點位置本身顯式微分。

因此，每個活動區間可以分為：

1. 嚴格遞增；
2. 嚴格遞減；
3. 含一個或多個光滑駐點；
4. 區間邊界的非光滑接觸切換。

---

# 3. 相位圓分解

完整相位圓被數值分成：

$$
\boxed{
18
}
$$

個活動身份區間，包含：

$$
18
$$

種不同簽章。

| 區間 | 起點 | 終點 | 活動簽章 | 導數分類 | 區間最低值 | 相對 $270^\circ$ |
|---:|---:|---:|---|---|---:|---:|
| 0 | 0.000000000 | 0.113366183 | `p0|p0|p2` | strictly_decreasing_sampled | 0.998992939447 | 7.860e-05 |
| 1 | 0.113366183 | 0.165413532 | `L|p0|p2` | contains_stationary | 0.998914384874 | 4.579e-08 |
| 2 | 0.165413532 | 0.358185244 | `p1|p0|p2` | strictly_increasing_sampled | 0.998992937554 | 7.860e-05 |
| 3 | 0.358185244 | 0.410232593 | `p1|p0|R` | strictly_increasing_sampled | 1.024754525639 | 2.584e-02 |
| 4 | 0.410232593 | 1.570796327 | `p1|p0|p3` | contains_stationary | 1.040650116923 | 4.174e-02 |
| 5 | 1.570796327 | 1.684162510 | `p2|p0|p3` | strictly_decreasing_sampled | 1.030501754256 | 3.159e-02 |
| 6 | 1.684162510 | 1.736209859 | `p2|L|p3` | contains_stationary | 1.029351988860 | 3.044e-02 |
| 7 | 1.736209859 | 2.094395102 | `p2|p1|p3` | contains_stationary | 0.998914340723 | 1.638e-09 |
| 8 | 2.094395102 | 2.976179122 | `p2|p1|p0` | contains_stationary | 0.998914340723 | 1.638e-09 |
| 9 | 2.976179122 | 3.028226471 | `R|p1|p0` | strictly_decreasing_sampled | 1.099810225768 | 1.009e-01 |
| 10 | 3.028226471 | 3.141592654 | `p3|p1|p0` | strictly_increasing_sampled | 1.099810225768 | 1.009e-01 |
| 11 | 3.141592654 | 3.778557612 | `p3|p2|p0` | contains_stationary | 1.112339567866 | 1.134e-01 |
| 12 | 3.778557612 | 3.830604961 | `p3|p2|L` | contains_stationary | 1.127591529695 | 1.287e-01 |
| 13 | 3.830604961 | 4.546975448 | `p3|p2|p1` | contains_stationary | 1.050201944900 | 5.129e-02 |
| 14 | 4.546975448 | 4.599022797 | `p3|R|p1` | strictly_decreasing_sampled | 1.029774207798 | 3.086e-02 |
| 15 | 4.599022797 | 4.712388980 | `p3|p3|p1` | strictly_decreasing_sampled | 0.998914339085 | -8.371e-14 |
| 16 | 4.712388980 | 5.235987756 | `p0|p3|p1` | contains_stationary | 0.998914339085 | -8.371e-14 |
| 17 | 5.235987756 | 6.283185307 | `p0|p3|p2` | contains_stationary | 1.029825335513 | 3.091e-02 |

這份表是本輪的核心「全域排除帳本」：每個區間的最小值只可能出現在：

- 左邊界；
- 右邊界；
- 已枚舉的光滑駐點。

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# 4. 多解析度穩定性

| 相位點數 | 接觸切換 | 不同簽章 | 取樣局部極小 | 取樣全域最低 | 最低相位 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 32768 | 18 | 18 | 8 | 0.998914339084549 | 4.712388980385 |
| 65536 | 18 | 18 | 8 | 0.998914339084549 | 4.712388980385 |
| 131072 | 18 | 18 | 8 | 0.998914339084549 | 4.712388980385 |
| 262144 | 18 | 18 | 8 | 0.998914339084549 | 4.712388980385 |

從：

$$
32768
$$

到：

$$
262144
$$

個相位點，均得到：

- $18$ 個循環接觸切換；
- $18$ 種活動簽章；
- $8$ 個取樣局部極小；
- 全域最低落在：

$$
\phi=\frac{3\pi}{2}.
$$

因此，接觸區間圖沒有隨相位解析度增加而產生新的微小區間或新局部極小。

---

# 5. 光滑駐點枚舉

完整區間圖內共找到：

$$
12
$$

個光滑駐點，包括局部極小、局部極大及其他駐定切換。

| 編號 | 相位 | 尺度 | 類型 | 活動簽章 |
|---:|---:|---:|---|---|
| 0 | 0.124080806550 | 0.998914385986 | smooth_minimum | `L|p0|p2` |
| 1 | 0.139389574289 | 0.998922536883 | smooth_maximum | `L|p0|p2` |
| 2 | 0.154699127028 | 0.998914384874 | smooth_minimum | `L|p0|p2` |
| 3 | 0.994829121178 | 1.247879448750 | smooth_maximum | `p1|p0|p3` |
| 4 | 1.736180225508 | 1.029351988860 | smooth_minimum | `p2|L|p3` |
| 5 | 1.832595717655 | 1.034152222372 | smooth_maximum | `p2|p1|p3` |
| 6 | 2.644378233756 | 1.171701205190 | smooth_maximum | `p2|p1|p0` |
| 7 | 3.480731208101 | 1.179523333677 | smooth_maximum | `p3|p2|p0` |
| 8 | 3.778956292756 | 1.127591529695 | smooth_minimum | `p3|p2|L` |
| 9 | 4.092020570315 | 1.169124263471 | smooth_maximum | `p3|p2|p1` |
| 10 | 5.121148360205 | 1.088598956350 | smooth_maximum | `p0|p3|p1` |
| 11 | 5.717277034815 | 1.220024828834 | smooth_maximum | `p0|p3|p2` |

對每個區間，導數根數在：

$$
257,\quad1025,\quad4097
$$

三種區間內取樣密度下保持一致。

因此，目前沒有發現隱藏於粗網格之間的額外導數換號。

---

# 6. 接觸切換邊界

| 編號 | 相位 | 左簽章 | 右簽章 | 類型 | 左導數 | 右導數 |
|---:|---:|---|---|---|---:|---:|
| 0 | 0.113366182893 | `p0|p0|p2` | `L|p0|p2` | contact_switch_nonextremum | -0.329242 | -0.149183 |
| 1 | 0.165413531955 | `L|p0|p2` | `p1|p0|p2` | contact_switch_nonextremum | 0.149175 | 0.231057 |
| 2 | 0.358185243643 | `p1|p0|p2` | `p1|p0|R` | contact_switch_nonextremum | 0.035390 | 0.129940 |
| 3 | 0.410232592706 | `p1|p0|R` | `p1|p0|p3` | contact_switch_nonextremum | 0.480744 | 0.688658 |
| 4 | 1.570796326795 | `p1|p0|p3` | `p2|p0|p3` | contact_switch_nonextremum | -0.679653 | -0.082514 |
| 5 | 1.684162509688 | `p2|p0|p3` | `p2|L|p3` | contact_switch_nonextremum | -0.200374 | -0.096417 |
| 6 | 1.736209858750 | `p2|L|p3` | `p2|p1|p3` | contact_switch_nonextremum | 0.052249 | 0.099523 |
| 7 | 2.094395102393 | `p2|p1|p3` | `p2|p1|p0` | cusp_minimum | -0.267658 | 0.612416 |
| 8 | 2.976179121634 | `p2|p1|p0` | `R|p1|p0` | contact_switch_nonextremum | -0.381677 | -0.299795 |
| 9 | 3.028226470697 | `R|p1|p0` | `p3|p1|p0` | cusp_minimum | -0.006893 | 0.173166 |
| 10 | 3.141592653590 | `p3|p1|p0` | `p3|p2|p0` | contact_switch_nonextremum | 0.047640 | 0.392398 |
| 11 | 3.778557612081 | `p3|p2|p0` | `p3|p2|L` | contact_switch_nonextremum | -0.346123 | -0.138209 |
| 12 | 3.830604961144 | `p3|p2|L` | `p3|p2|p1` | contact_switch_nonextremum | 0.207609 | 0.302158 |
| 13 | 4.546975448429 | `p3|p2|p1` | `p3|R|p1` | contact_switch_nonextremum | -0.513739 | -0.466464 |
| 14 | 4.599022797492 | `p3|R|p1` | `p3|p3|p1` | contact_switch_nonextremum | -0.318322 | -0.214365 |
| 15 | 4.712388980385 | `p3|p3|p1` | `p0|p3|p1` | cusp_minimum | -0.329480 | 0.432687 |
| 16 | 5.235987755983 | `p0|p3|p1` | `p0|p3|p2` | cusp_minimum | -0.124739 | 0.564777 |

其中有四個接觸切換形成尖點局部極小，其餘為局部極大或不改變單調方向的活動身份切換。

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# 7. 完整局部極小排序

| 排名 | 來源 | 相位 | 尺度 | 相對 $270^\circ$ | 簽章 |
|---:|---|---:|---:|---:|---|
| 1 | contact_switch_cusp | 4.712388980385 | 0.998914339084549 | -8.371e-14 | `p3|p3|p1 -> p0|p3|p1` |
| 2 | 120deg | 2.094395102393 | 0.998914340722870 | 1.638e-09 | `p2|p1|p3 -> p2|p1|p0` |
| 3 | smooth_stationary | 0.154699127028 | 0.998914384873594 | 4.579e-08 | `L|p0|p2` |
| 4 | smooth_stationary | 0.124080806550 | 0.998914385986498 | 4.690e-08 | `L|p0|p2` |
| 5 | smooth_stationary | 1.736180225508 | 1.029351988860359 | 3.044e-02 | `p2|L|p3` |
| 6 | contact_switch_cusp | 5.235987755983 | 1.081428573076156 | 8.251e-02 | `p0|p3|p1 -> p0|p3|p2` |
| 7 | contact_switch_cusp | 3.028226470697 | 1.099810225768483 | 1.009e-01 | `R|p1|p0 -> p3|p1|p0` |
| 8 | smooth_stationary | 3.778956292756 | 1.127591529695195 | 1.287e-01 | `p3|p2|L` |

最低者仍為：

$$
\boxed{
\phi=\frac{3\pi}{2}
}
$$

雙精度接觸圖值：

$$
0.998914339084549.
$$

第 9 輪任意精度值：

$$
\boxed{
0.99891433908463271725296441853670224618019211931483351998479812835127468110999017\ldots
}.
$$

雙精度相位圖與任意精度值之差約為：

$$
-8.37\times10^{-14}.
$$

---

# 8. 最接近的競爭分支

排除同一個 $270^\circ$ 尖點被左右相鄰區間重複記帳後，第二低為：

$$
\phi=\frac{2\pi}{3}.
$$

任意精度差距：

$$
s_{120}-s_{270}
\approx
1.6383340692\times10^{-9}.
$$

兩個低相位光滑極小則分別高約：

$$
4.5789\times10^{-8},
$$

$$
4.6902\times10^{-8}.
$$

所以整個相位圓中，真正需要嚴格區間處理的主要競爭只剩：

$$
\boxed{
120^\circ
\quad\text{對}\quad
270^\circ.
}
$$

其餘區間具有更大的數值安全距離。

---

# 9. 全域數值排除達成了什麼

本輪完成：

1. 整個 $[0,2\pi)$ 的活動身份分割；
2. 全部接觸切換枚舉；
3. 全部光滑駐點枚舉；
4. 每個區間的最小值帳本；
5. 四種相位解析度的一致性；
6. 三種導數取樣密度的根數一致性；
7. 與第 9 輪任意精度四分支結果接軌。

因此目前可以說：

$$
\boxed{
\text{在完整相位數值分解中，
沒有發現低於 }270^\circ\text{ 的其他相位分支。}
}
$$

但不能把這句話替換成嚴格定理，因為導數符號仍以高密度浮點取樣與數值求根確認，而非區間算術包絡。

---

# 10. 證書狀態

| 層級 | 狀態 |
|---|---|
| 完整相位接觸分割 | 數值完成 |
| 多解析度接觸圖一致性 | 通過 |
| 各區間導數根數穩定性 | 通過 |
| 所有區間最小值枚舉 | 數值完成 |
| 四個最低分支任意精度重算 | 第 9 輪已通過 |
| $270^\circ$ Darboux 正下界 | 第 9 輪已通過 |
| 各區間嚴格導數包絡 | **未完成** |
| 接觸邊界區間定位 | **未完成** |
| 完整全域區間證書 | **未完成** |
| 形式化證明 | 未開始 |

---

# 11. 與事件控制的關係

平滑候選任意精度值：

$$
s_{270}
=
0.9989143390846327172529644185367022461801921193148335199847981283512746\ldots.
$$

明確五連桿事件控制：

$$
s_0
=
0.9989037571325086749551298249005564802172682267121921037894386799512563\ldots.
$$

差值：

$$
\boxed{
s_{270}-s_0
=
0.00001058195212404229783459363614576596292389260264141619\ldots
}.
$$

第 9 輪已用 Darboux 下界包住這個正差；第 10 輪則確認完整相位數值圖中沒有其他較低分支抵銷該提升。

---

# 12. 第 11 輪方向

下一輪不需要再掃描整個相位圓，而應把這 $18$ 個區間逐一轉為區間算術物件。

## 12.1 接觸邊界盒

對每個切換相位 $\phi_k$ 建立：

$$
[\underline\phi_k,\overline\phi_k],
$$

並證明盒外活動身份固定。

## 12.2 導數區間

對不含駐點的區間證明：

$$
0\notin s'(I_k).
$$

## 12.3 光滑駐點 interval Newton

對含光滑駐點的區間，使用 interval Newton 包住唯一根：

$$
s'(\phi_k^\ast)=0.
$$

再包住：

$$
s(\phi_k^\ast)-s_{270}.
$$

## 12.4 特殊尖點

對 $120^\circ$ 與 $270^\circ$ 使用：

- 精確特殊相位；
- 左右活動公式；
- 單側導數區間；
- 任意精度支撐值；
- $10^{-9}$ 級差距的專用高精度包絡。

---

# 13. 限制

1. 接觸邊界目前由雙精度二分定位；
2. 導數根目前由浮點 Brent 法定位；
3. 導數無隱藏根依賴多網格穩定性，而非嚴格界；
4. 翼內座標使用高密度 Simpson 積分與 PCHIP 插值；
5. 任意精度僅重新檢查最接近的控制分支；
6. 未建立完整區間證書；
7. 未進行形式化證明。

---

# 14. 結論

第 10 輪把第 9 輪的局部尖點驗證擴展到整個相位圓：

$$
\boxed{
[0,2\pi)
=
\bigcup_{k=1}^{18}I_k.
}
$$

在每個 $I_k$ 中，活動身份固定，全部光滑駐點與接觸尖點皆已數值枚舉。

完整數值排序仍為：

$$
\boxed{
s_{270}
<
s_{120}
<
s_{\mathrm{low1}}
<
s_{\mathrm{low2}}
<
\text{其餘局部極小}.
}
$$

因此，第 8 輪的平滑超越現在具有三層支撐：

1. 任意精度尖點值；
2. 單調 Darboux 正下界；
3. 完整相位接觸區間數值排除。

剩下的關鍵工作，是把第三層從「完整數值帳本」轉成「逐區間嚴格包絡」。